1、2 2020020- -20212021 学年人教版八年级上册期末复习精选题考点讲义学年人教版八年级上册期末复习精选题考点讲义 第第十一十一章章 三角形三角形 思维导图思维导图 新知讲练新知讲练 知识点知识点 1：三角形的有关概念和性质：三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系： 定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 细节剖析细节剖析 （1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较 短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形当已知 三角形两边长，可求第三边长的取值范围 2.
2、2.三角形按“边”分类：三角形按“边”分类： 3.3.三角形的重要线段：三角形的重要线段： （1）三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角 形的高 细节剖析细节剖析 三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交 点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线， 细节剖析细节剖析 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心中线把三角形分成面积相等的两 个三角形. （3）三角形的角平分线 三角形的一个内角的平
3、分线与这个角的对边相交， 这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分 线. 细节剖析细节剖析 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心. 知识点知识点 2：三角形的稳定性：三角形的稳定性 如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性 细节剖析细节剖析 (1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变(2)三角形的稳定 性在生产和生活中很有用例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着 钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形大桥钢架、输电线支架都采用三角形
4、 结构，也是这个道理(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形 状，它的各个角的大小可以改变四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺有时我们又 要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形 不等边三角形 三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 知识点知识点 3：三角形的内角和与外角和：三角形的内角和与外角和 1.1.三角形内角和定理：三角形内角和定理：三角形的内角和为 180 推论：推论：1.直角三角形的两个锐角互余 2.有两个角互余的三角形是直角三角形 2.2.三角形外角性质：三角形外角性质： （1）
5、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角 3.3.三角形的外角和：三角形的外角和： 三角形的外角和等于 360. 知识点知识点 4、 ： 、多边形及有关概念、 ： 、多边形及有关概念 1. 多边形的定义：多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 细节剖析细节剖析 多边形通常还以边数命名，多边形有 n 条边就叫做 n 边形三角形、四边形都属于多边形，其中三角形 是边数最少的多边形. 2.2.正多边形：正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形 等 细节剖析细节剖析 各角
6、相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方 形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正 方形. 3.多边形的对角线：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 细节剖析细节剖析 (1)从 n 边形一个顶点可以引(n3)条对角线，将多边形分成(n2)个三角形； (2)n 边形共有 条对角线 知识点知识点 5： 、多边形的内角和及外角和公式： 、多边形的内角和及外角和公式 1.1.内角和内角和公式公式：n 边形的内角和为(n2)180(n3，n 是正整数) 细节剖析细节剖析 （
7、1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决； (3) 2 n n (2)内角和定理的应用： 已知多边形的边数，求其内角和； 已知多边形内角和，求其边数. 2.2.多边形外角和多边形外角和：n 边形的外角和恒等于 360，它与边数的多少无关. 细节剖析细节剖析 (1)外角和公式的应用： 已知外角度数，求正多边形边数； 已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系： n 边形的内角和等于(n2)180(n3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数 n 有关，每增 加 1 条边，内角和增加 180. 知识点 6： 、镶嵌的概念和特征 1 1. .定义定义：用一些不重叠摆放
8、的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平 面(或平面镶嵌)这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同. 细节剖析细节剖析 （1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于 360；相邻的多边形有公共边. (2)用正多边形实现镶嵌的条件： 边长相等； 顶点公用； 在一个顶点处各正多边形的内角之和为 360.(3) 只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角 360时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用. 考点典例分析考点典例分析 考点考点 1 1：三角形的角平分线、中线和高三角形的角平分线、中线和高
9、 【例题【例题 1 1】 （2020 春靖远县期末）有两条高在三角形外部的三角形是( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 【解答】解：有两条高在三角形外部的是钝角三角形 故选：C 【变式变式 1 1- -1 1】 （2020 春海淀区校级期末）已知BD是ABC的中线，7AB ，3BC ，且ABD的周长为 15，则BCD的周长为 【解答】解：BD是ABC的中线， ADCD， ABD的周长为 15，7AB ，3BC ， BCD的周长是15(73)11， 故答案为：11 【变式变式 1 1- -2 2】 （2018 秋庐江县期末）如图，ACBC，CDAB，DEBC，垂足分别为C，
10、D，E， 则下列说法不正确的是( ) ABC是ABC的高 BAC是ABE的高 CDE是ABE的高 DAD是ACD的高 【解答】 解： 观察图象可知：BC是ABC的高，AC是ABE的高，AD是ACD的高，DE是BCD、BDE、 CDE的高 故A，B，D正确，C错误， 故选：C 【变式变式 1 1- -3 3】 （2017 春新华区期末） （1）如图（1） ，已知，在ABC中，AD，AE分别是ABC的高和角 平分线，若30B，50C求DAE的度数； （2）如图（2） ，已知AF平分BAC，交边BC于点E，过F作FDBC，若Bx ，(36)Cx， CAE 72x （含x的代数式表示） 求F的度数 【
11、解答】解： （1）30B，50C， 180100CABBC， AE是BAC的平分线， 1 50 2 CAECAB， AD是ABC的高， 90ADC， 9040CADC， 504010DAECAECAD ； （2）Bx ，(36)Cx，AF平分BAC， EACBAF ， 1 180(36) 72 2 CAExxx ， 72AECBAEB ， FDBC， 18F 【变式变式 1 1- -4 4】 （2016 春沧州期末）如图所示，CD为ABC的AB边上的中线，BCD的周长比ACD的周 长大3cm，8BCcm，求边AC的长 【解答】解：CD为ABC的AB边上的中线， ADBD， BCD的周长比ACD
12、的周长大3cm， ()()3BCBDCDACADCDcm， 3BCACcm， 8BCcm， 5ACcm 考点考点 2 2：三角形三边关系三角形三边关系 【例题例题 2 2】 （2019 秋瑞安市期末）下列各组数可能是一个三角形的边长的是( ) A5，7，12 B5，6，7 C5，5，12 D1，2，6 【解答】解：A、5712，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，故本选项不符合题意； B、567，576，675，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，故本选项符合题意； C、5512，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，故本选项不符合题意； D、126，不符合三角形三边关系定理，不能
13、组成三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 【变式变式 2 2- -1 1】 （2019 秋天峨县期末）一个三角形的三边长分别为x，4，6，那么x的取值范围 【解答】解：三角形的三边长分别为 4，6，x， 6446x ， 即210 x 故答案为：210 x 【变式变式 2 2- -2 2】 （2019 秋瑶海区期末）如图，已知ABC （1）若4AB ，5AC ，则BC边的取值范围是 ； （2） 点D为BC延长线上一点， 过点D作/ /DEAC， 交BA的延长线于点E， 若55E，125ACD， 求B的度数 【解答】解： （1）4AB ，5AC ， 5445BC ， 即19BC， 故答案为：19
14、BC； （2）125ACD， 18055ACBACD， / /DEAC， 55BDEACB 55E， 180180555570BEBDE 【变式变式 2 2- -3 3】 （2019 秋开远市期末）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，不能构成三 角形的一组是( ) A3、3、9 B7、8、9 C6、6、10 D5、12、13 【解答】解：A、339，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，故本选项符合题意； B、789，897，798，符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，故本选项不符合题意； C、6610，6106，符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，故本选项不符合题
15、意； D、51213，12135，51312，符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，故本选项不符合题 意； 故选：A 【变式变式 2 2- -4 4】 （2018 秋静安区期末）如图，将三角形ABC沿射线BC平移后能与三角形DEF重合（点B、 C分别与点E、F对应） ，如果BF的长为 12，点E在边BC上，且24EC，求边BC长的取值范围 【解答】解：BCEF， BECF， 当2EC 时， 1 (122)5 2 BECF， 527BC， 当4EC 时， 1 (124)4 2 BECF， 448BC， 78BC 考点考点 3 3：三角形内角和定理三角形内角和定理 【例题例题 3 3】 （202
16、0 春开福区校级期末）如图，在三角形ABC中，45A，三角形ABC的高线BD，CE交 于点O，则BOC的度数( ) A120 B125 C135 D145 【解答】解：180AABCACB ，45A， 135ABCACB， BDAC，CEAB， 90ABCBCEACBCBD ， 180ABCBCEACBCBD， 45BCECBD， 180BOCBCEDBC， 135BOC 故选：C 【变式变式 3 3- -1 1】 （2020 春昌图县期末）已知，在ABC中，B是A的 3 倍，C比A大30，则A的度 数是( ) A30 B50 C70 D90 【解答】解：由题意 180 3 30 ABC BA
17、 CA ， 解得 30 90 60 A B C ， 故选：A 【变式变式 3 3- -2 2】 （2020 春溧阳市期末）如图，在直角三角形ABC中，点P、Q分别是AC、BC边上的两个 动点，MP、NQ分别平分APQ和BQP，交AB于点M、N，MR、NR又分别平分BMP和ANQ， 两条角平分线交于点R，则R 【解答】解：180CAB ，180CCPQCQP，90C， 90AB ，90CPQCQP， 360APQBQPCPQCQP， 270APQBQP， MP、NQ分别平分APQ和BQP， 135MPQNQPAPMBQN， 360MPQNQPPMNQNM， 225PMNQNM， MR、NR又分别
18、平分BMP和ANQ， 112.5NMRMNR， 180NMRMNRR， 67.5R 故答案为 67.5 【变式变式 3 3- -3 3】 （2020 春盱眙县期末）直线MN与PQ相互垂直，垂足为点O，点A在射线OQ上运动，点B 在射线OM上运动，点A、点B均不与点O重合 （1）如图 1，AI平分BAO，BI平分ABO，若40BAO，求AIB的度数； （2）如图 2，AI平分BAO，BC平分ABM，BC的反向延长线交AI于点D 若40BAO，则ADB 度（直接写出结果，不需说理） ； 点A、B在运动的过程中，ADB是否发生变化，若不变，试求ADB的度数；若变化，请说明变化规 律 （3）如图 3，
19、已知点E在BA的延长线上，BAO的角平分线AI、OAE的角平分线AF与BOP的角平 分线所在的直线分别相交于点D、F，在ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的 4 倍，请直接写出 ABO的度数 【解答】解： （1）如图 1 中， MNPQ， 90AOB，40OAB， 9050ABOOAB， AI平分BAO，BI平分ABO， 1 25 2 IBAABO， 1 20 2 IABOAB， 180()135AIBIBAIAB （2）如图 2 中， 9040130MBAAOBBAO ， AI平分BAO，BC平分ABM， 1 65 2 CBAMBA， 1 20 2 BAIBAO， CBADBAD ， 4
20、5D， 故答案为：45 不变， 理由： 11111 ()9045 22222 DCBABADMBABAOMBABAOAOB ， 点A、B在运动的过程中，45ADB （3）如图 3 中， BAO的角平分线AI、OAE的角平分线AF与BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F， 1 2 DAOBAO， 1 2 FAOEAP， 111 18090 222 DAFBAOEAP ， 1111 () 2222 DPODDAOPOBBAOPOBBAOABO ， 当4DAFD 时，22.5D， 245ABOD 当4DAFF 时，22.5F，67.5D， 2135ABOD （不合题意舍弃） 当4FD 时，18
21、D， 236ABOD 当4DF 时，72D， 2144ABOD （不合题意舍弃） 综上所述，当45ABO或36时，在ADF中，有一个角的度数是另一个角的 4 倍 考点考点 4 4：多边形内角与外角多边形内角与外角 【例题例题 4 4】 （2020 春如东县期末）如图，AP，CP分别是四边形ABCD的外角DAM，DCN的平分线， 设ABC，APC，则ADC的度数为( ) A180 B C2 D2 【解答】解：在四边形ABCD中， 360()ADCDCBDAB 360(36022)PCDPAD 2()PCDPAD 2()ADC， 2ADC， 故选：C 【变式变式 4 4- -1 1】 （2018
22、秋庐江县期末）若四边形ABCD中，:1:4:2:5ABCD，则CD 等于( ) A90 B180 C210 D270 【解答】解：:1:4:2:5ABCD， 25 360210 1425 CD ， 故选：C 【变式变式 4 4- -2 2】（2014 春金堂县期末） 一个多边形的一个外角为， 且该多边形的内角和与的和等于840， 则这个多边形的边数为 ， 度 【解答】解：8401804120 ， 这个多边形的边数为：426， 120， 故答案为：六；120 【变式变式 4 4- -3 3】 （2020 春襄汾县期末）如图，ABC中，BD平分ABC，且与ABC的外角ACE的角平 分线交于点D （
23、1）若75ABC，45ACB，求D的度数； （2）若把A截去，得到四边形MNCB，如图，猜想D、M、N的关系，并说明理由 【解答】解：ACEAABC ， ACDECDAABDDBE ，DCEDDBC ， 又BD平分ABC，CD平分ACE， ABDDBE，ACDECD ， 2()ADCEDBC ，DDCEDBC ， 2AD ， 75ABC，45ACB， 60A， 30D； （2） 1 (180 ) 2 DMN； 理由：延长BM、CN交于点A， 则180ABMNCNM ， 由（1）知， 1 2 DA， 1 (180 ) 2 DMN 【变式变式 4 4- -4 4】 （2020 春新野县期末）旧知新
24、意： 我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和那么，三角形的一个内角与它不相邻 的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究： （1）如图 1，DBC与ECB分别为ABC的两个外角，试探究A与DBCECB 之间存在怎样的数量 关系？为什么？ 初步应用： （2）如图 2，在ABC纸片中剪去CDE，得到四边形ABDE，1130 ，则2C ； （3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图 3，在ABC中，BP、CP分别平分外角DBC、ECB， P与A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 拓展提升： （4）如图 4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角EBC、FCB，
25、P与A、D有何数量关 系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可接使用，不需说明理由) 【解答】解： （1）DBCECB 180180ABCACB 360()ABCACB 360(180)A 180A； （2）12180C ， 1302180C ， 250C ； （3）180DBCECBA， BP、CP分别平分外角DBC、ECB， 11 ()(180) 22 PBCPCBDBCECBA ， 在PBC中， 11 180(180)90 22 PAA ； 即 1 90 2 PA； 故答案为：50， 1 90 2 PA； （4）延长BA、CD于Q， 则 1 90 2 PQ， 1802QP ， 180B
26、ADCDAQ， 1801802 P ， 3602 P 【变式变式 4 4- -5 5】 （2019 秋温岭市期末）多边形每一个内角都等于150，则从该多边形一个顶点出发，可引出 对角线的条数为( ) A6 条 B8 条 C9 条 D12 条 【解答】解：设这个多边形是n边形 由题意 360 180150 n ， 解得12n ， 则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为1239条， 故选：C 【变式变式 4 4- -6 6】 （2020 春文登区期末）已知，在四边形ABCD中，160AC ，BE，DF分别为四边形 ABCD的外角CBN，MDC的平分线 （1）如图 1，若/ /BEDF，求C
27、的度数； （2）如图 2，若BE，DF交于点G，且/ /BEAD，/ /DFAB，求C的度数 【解答】解： （1）如图 1，过点C作/ /CHDF， / /BEDF， / / /BEDFCH， FDCDCH ，BCHEBC ， DCBDCHBCHFDCEBC ， BE，DF分别为四边形ABCD的外角CBN，MDC的平分线， 1 2 FDCCDM， 1 2 EBCCBN， 160ABCD ， 360160200ADCABC ， 160MDCCBN， 80FDCCBE， 80DCB； （2）如图 2，连接GC并延长， 同理得160MDCCBN ，80MDFNBG， / /BEAD，/ /DFAB，
28、 40AMDFDGBNBG ， 160ABCD ， 16040120BCD 【变式变式 4 4- -7 7】 （2017 秋红旗区校级期末） （1）如图 1，ABC的内角ABC的平分线与外角ACD的平分线 相交于P点，40A，求P的度数 （2）如图 2，四边形ABCD中，设A，D，P为四边形ABCD的内角ABC与外角 DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角 如图 2，若180，求P的度数 （用含，的代数式表示） 如图 3，若180，请在图 3 中画出P，并直接写出P的度数 （用含，的代数式表示） 【解答】解： （1）BP平分ABC， 1 2 CBPABC， CP平分ABC的外角， 1111 () 2222 DCPACDAABCAABC ， 在BCP中，由三角形的外角性质， 1 2 DCPCBPPABCP ， 111 222 AABCABCP ， 11 4020 22 PA （2）360()ABCDCB， (180)360()2(1802)1802()1802ABCDCEFBCDCPDCPFBCP ， 360()1802 P ， 2180P， 1 ()90 2 P； 如图，360()ABCDCB， (180)360()2(1802)1802()1802ABCDCEGBCHCEGBCHCEP ， 360()1802 P ， 1 90() 2 P
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