1、 1 考点 17 特殊的平行四边形 一一、矩形的性质与判定矩形的性质与判定 1矩形的性质： （1）四个角都是直角； （2）对角线相等且互相平分； （3）面积=长宽=2SABD=4SAOB（如图） 2矩形的判定： （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形； （2）有三个角是直角； （3）对角线相等的平行四边形 二二、菱形的性质与判定菱形的性质与判定 1菱形的性质： （1）四边相等； （2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角； （3）面积=底 高=对角线乘积的一半 2菱形的判定： （1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形； （2）对角线互相垂直的平行四边形； （3）四条边都相等的四边形
2、三三、正方形的性质与判定正方形的性质与判定 1正方形的性质： （1）四条边都相等，四个角都是直角； （2）对角线相等且互相垂直平分； 2 （3）面积=边长边长=2SABD=4SAOB 2正方形的判定： （1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形； （2）一组邻边相等的矩形； （3）一个角是直角的菱形； （4）对角线相等且互相垂直、平分 四四、联系联系 （1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角； （5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都 是直角 五五、中点四边形中点四边形 （1）任意四边
3、形所得到的中点四边形一定是平行四边形. （2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形. （3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形. （4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形. 考向一 矩形的性质与判定 1矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等 2利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜 3 边的一半 3矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形 典例典例 1 （2019 陕西初三期中）如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O
4、，若BAO=55 ，则AOD 等 于 A105 B110 C115 D120 【答案】B 【解析】四边形 ABCD 是矩形，OA=OBBAO=ABO=55 AOD=BAO+ABO=55 +55 =110 故选 B 典例典例 2 （2019 阜阳市第九中学初二期中）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与数轴重合（点 C 在正 半轴上），AB=5，BC=12，点 A 表示的数是1，则对角线 AC、BD 的交点表示的数 A5.5 B5 C6 D6.5 【答案】A 【解析】连接 BD 交 AC 于 E，如图所示： 四边形 ABCD 是矩形， 1 90 , 2 BAEAC， 2222 51213ACA
5、BBC， AE=6.5， 点 A 表示的数是1，OA=1，OE=AEOA=5.5，点 E 表示的数是 5.5， 即对角线 AC、BD 的交点表示的数是 5.5；故选 A. 4 1（2019 陕西师大附中初三月考）如图，四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那 么需要添加的条件是 AAB=BC BAC 垂直 BD CA=C DAC=BD 2（2019 云南初二期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线ACBD、交于点O，并且 6015DACADB， 点E是AD边上一动点， 延长EO交于BC点F， 当点E从点D 向点A移动过程中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE的变化是 A平
6、行四边形菱形平行四边形矩形平行四边形 B平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形 C平行四边形矩形平行四边形正方形平行四边形 D平行四边形矩形菱形正方形平行四边形 考向二 菱形的性质与判定 1菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等； 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 2菱形的判定： 四条边都相等的四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 典例典例 3 菱形具有而平行四边形不具有的性质是 A两组对边分别平行 B两组对边分别相等 C一组邻边相等 D对角线互相平分 5 【答案】C 【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现
7、 A，B，D 两者均具有，而 C 只有 菱形具有平行四边形不具有，故选 C 【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 典例典例 4 如图，四边形 ABCD 的对角线互相垂直，且满足 AO=CO，请你添加一个适当的条件 _，使四边形 ABCD 成为菱形（只需添加一个即可） 【答案】BO=DO（答案不唯一） 【解析】四边形 ABCD 中，AC、BD 互相垂直，若四边形 ABCD 是菱形，需添加的条件是：AC、BD 互相平分（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）故答案为：BO=DO（答案不唯一） 3已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为 A45 ，135 B60 ，120 C9
8、0 ，90 D30 ，150 4如图，在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，DEAC 交 AB 于 E，DFAB 交 AC 于 F，求证： 四边形 AEDF 是菱形 考向三 正方形的性质与判定 1正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质 6 2正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相 垂直平分且相等的四边形是正方形证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱 形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形 典例典例 5 （2020 宁夏初二期中）面积为 9 2的正方形以对角线为边长的正方形面积为 A18 2 B20 2 C24 2 D28 2 【答案
9、】A 【解析】正方形的面积为 9cm2，边长为 3cm，根据勾股定理得对角线长= 22 3 +3 =3 2cm， 以3 2为边长的正方形的面积=( ) 2 3 2=18cm2.故选 A 典例典例 6 （2019 重庆初三期中）如图，在 ABC 中，B=90 ，AB=BC=4，把 ABC 绕点 A 逆时针 旋转 45 得到 ADE，过点 C 作 CFAE 于 F，DE 交 CF 于 G，则四边形 ADGF 的周长是 A8 B4+4 2 C8+ 2 D8 2 【答案】D 【解析】如图，连接 AG， B=90 ，AB=BC=4，CAB=ACB=45 ，AC=4 2，把 ABC 绕点 A 逆时针旋转
10、45 得到 ADE，AD=AB=4，EAD=CAB=45 ，FAB=90 ，CD=ACAD=4 24， B=90 =FAB，CFAE，四边形 ABCF 是矩形，且 AB=BC=4， 7 四边形 ABCF 是正方形，AF=CF=AB=4=AD，AFC=FCB=90 ， GCD=45 ，且GDC=90 ，GCD=CGD=45 ，CD=GD=4 24， AF=AD，AG=AG，Rt AGFRt AGD（HL），FG=GD=4 24， 四边形 ADGF 的周长=AF+AD+FG+GD=4+4+4 24+424=82，故选 D 5（2019 山东初三期中）如图，在正方形 ABCD 内一点 E 连接 BE
11、、CE，过 C 作 CFCE 与 BE 延长线交于点 F，连接 DF、DECE=CF=1，DE= 6，下列结论中：CBECDF；BF DF；点 D 到 CF 的距离为 2；S四边形DECF= 2+1其中正确结论的个数是 A1 B2 C3 D4 6（2020 陕西初三期末）如图，在正方形 ABCD 中，,2BEFC CFFD，AE、BF 交于点 G， 下列结论中错误的是 AAEBF BAEBF C 4 3 BGGE D ABGCEGF SS 四边形 考向四 中点四边形 1中点四边形一定是平行四边形； 2中点四边形的面积等于原四边形面积的一半 8 典例典例 7 如图，任意四边形 ABCD 中，E，
12、F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 上的点，对于四边形 EFGH 的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是 A当 E，F，G，H 是各边中点，且 AC=BD 时，四边形 EFGH 为菱形 B当 E，F，G，H 是各边中点，且 ACBD 时，四边形 EFGH 为矩形 C当 E，F，G，H 不是各边中点时，四边形 EFGH 可以为平行四边形 D当 E，F，G，H 不是各边中点时，四边形 EFGH 不可能为菱形 【答案】D 【解析】A当 E，F，G，H 是四边形 ABCD 各边中点，且 AC=BD 时，存在 EF=FG=GH=HE，故 四边形 EFGH
13、为菱形，故 A 正确； B当 E，F，G，H 是四边形 ABCD 各边中点，且 ACBD 时，存在EFG=FGH=GHE=90， 故四边形 EFGH 为矩形，故 B 正确； C 如图所示， 当 E， F， G， H 不是四边形 ABCD 各边中点时， 若 EFHG， EF=HG， 则四边形 EFGH 为平行四边形，故 C 正确； D如图所示，当 E，F，G，H 不是四边形 ABCD 各边中点时，若 EF=FG=GH=HE，则四边形 EFGH 为菱形，故 D 错误，故选 D 9 7顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是 A平行四边形 B菱形 C矩形 D梯形 8如图，我们把依次连接任意
14、四边形 ABCD 各边中点所得四边形 EFGH 叫中点四边形若四边形 ABCD 的面积记为 S1，中点四边形 EFGH 的面积记为 S2，则 S1与 S2的数量关系是 AS1=3S2 B2S1=3S2 CS1=2S2 D3S1=4S2 1如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，ADB=30 ，AB=4，则 OC= A5 B4 C3.5 D3 2（2018 贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，已知AOD=120 ，AC=16，则图中长度为 8 的线段有 A2 条 B4 条 C5 条 D6 条 3如图，在长方形 ABC
15、D 中，AB=3，BC=4，若沿折痕 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，则折痕 EF 的长为 10 A15 8 B15 4 C15 2 D15 4如图，菱形 ABCD 的对角线交于点 O，AC=8 cm，BD=6 cm，则菱形的高为 A 48 5 cm B 24 5 cm C12 5 cm D10 5 cm 5（2018 贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在菱形 ABCD 中，ADC=72 ，AD 的垂直 平分线交对角线 BD 于点 P，垂足为 E，连接 CP，则CPB 的度数是 A108 B72 C90 D100 6 （2018 贵阳市云岩区华文实验中学初三月考）如图，在正方形 A
16、BCD 中，点 E，F 分别在边 BC， CD 上，且 BE=CF连接 AE，BF，AE 与 BF 交于点 G下列结论错误的是 AAE=BF BDAE=BFC CAEB+BFC=90 DAEBF 11 7如图，矩形 ABCD 中将其沿 EF 翻折后，D 点恰落在 B 处，BFE=65 ，则AEB=_. 8 （2018 陕西初三期末）如图，P 为正方形 ABCD 内一点，且 BP=2，PC=3，APB=135 ，将APB 绕点 B 顺时针旋转 90 得到CPB，连接 PP，则 AP=_ 9如图，在ABCD 中，AB=6，BC=8，AC=10 （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）求 BD
17、 的长 10（2020 内蒙古初三期末）如图，ABC 中，AB=AC=1，BAC=45 ，AEF 是由ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的，连接 BE，CF 相交于点 D （1）求证：BE=CF； （2）当四边形 ACDE 为菱形时，求 BD 的长 12 11（2020 呼和浩特市第十三中学初二期中）如图，ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线 MNBC，交ACB 的平分线于点 E，交ACB 的外角平分线于点 F （1）判断 OE 与 OF 的大小关系？并说明理由； （2）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并说出你的理由； （3）在（2）的条件下，当
18、ABC 满足什么条件时，四边形 AECF 是正方形直接写出答案， 不需说明理由 1（2019重庆）下列命题正确的是 A有一个角是直角的平行四边形是矩形 B四条边相等的四边形是矩形 13 C有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D对角线相等的四边形是矩形 2（2019天津）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2,0)，(0,1)，点C， D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于 A5 B4 3 C4 5 D20 3（2019安徽）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 将对角线 AC 三等分，且 AC=12，点 P 在正 方形的边上，则满足 PE+PF=9 的点 P 的个数是 A0
19、B4 C6 D8 4 （2019湖北孝感）如图，正方形 ABCD 中，点 E.F 分别在边 CD，AD 上，BE 与 CF 交于点 G若 BC=4，DE=AF=1，则 GF 的长为 A13 5 B12 5 C19 5 D16 5 5（2019天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为 12，E是边CD上一点，连接AE折叠该 纸片， 使点A落在AE上的G点， 并使折痕经过点B， 得到折痕BF， 点F在AD上 若5DE ， 则GE的长为_ 14 6（2019浙江杭州）如图，把某矩形纸片 ABCD 沿 EF、GH 折叠（点 E、H 在 AD 边上，点 F、 G 在 BC 边上），使得点 B、点 C 落在
20、 AD 边上同一点 P 处，A 点的对称点为 A 点，D 点的对称 点为D点，若90FPG?，A EP 的面积为 4，D PH 的面积为 1，则矩形 ABCD 的面积等 于_. 7 （2019湖北十堰） 如图， 已知菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 交于点 O， E 为 BC 的中点， 若 OE=3， 则菱形的周长为_ 8（2019湖南长沙）如图，正方形 ABCD，点 E，F 分别在 AD，CD 上，且 DE=CF，AF 与 BE 相 交于点 G （1）求证：BE=AF； （2）若 AB=4，DE=1，求 AG 的长 15 9（2019湖南怀化）已知：如图，在ABCD 中，AEBC，CF
21、AD，E，F 分别为垂足 （1）求证：ABECDF； （2）求证：四边形 AECF 是矩形 10 （2019湖南岳阳）如图，在菱形 ABCD 中，点 E.F 分别为 ADCD 边上的点，DE=DF，求证： 1=2 11（2019福建）如图，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、CD 上的一点，且 DF=BE求证： AF=CE 16 12（2019江西） 如图， 四边形 ABCD 中， AB=CD， AD=BC， 对角线 AC， BD 相交于点 O， 且 OA=OD 求 证：四边形 ABCD 是矩形 13（2019浙江宁波10 分）如图，矩形 EFGH 的顶点 E，G 分别在菱形 ABC
22、D 的边 AD，BC 上， 顶点 F，H 在菱形 ABCD 的对角线 BD 上 （1）求证：BG=DE； （2）若 E 为 AD 中点，FH=2，求菱形 ABCD 的周长 1【答案】D 【解析】结合选项可知，添加 AC=BD， 四边形 ABCD 的对角线互相平分，四边形 ABCD 是平行四边形， 变式拓展变式拓展 17 AC=BD， 根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形， 四边形 ABCD 是矩形， 故选 D 2【答案】A 【解析】点 E 从 D 点向 A 点移动过程中，当EOD15 时，四边形 AFCE 为平行四边形，当 EOD=15 时，ACEF，四边形 AFCE 为菱形， 当 1
23、5 EOD75 时，四边形 AFCE 为平行四边形， 当EOD=75 时，AEF=90 ，四边形 AFCE 为矩形， 当 75 EOD105 时，四边形 AFCE 为平行四边形，故选 A 3【答案】B 【解析】如图，由题意知 AB=BC=AC， AB=BC=AC ， ABC 为 等 边 三 角 形 ， 即60B ，根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 ， 18060120 .BAD故选 B 4【解析】DEAC，DFAB， 四边形 AEDF 为平行四边形， FAD=EDA， AD 是BAC 的平分线，EAD=FAD，EAD=EDA， AE=ED，四边形 AEDF 是菱形 5【答案】B 【解析】
24、四边形 ABCD 是正方形，BC=CD，BCD=90 ， CFCE，ECF=BCD=90 ，BCE=DCF， 在BCE 与DCF 中， BCCD BCEDCF CECF ，BCEDCF（SAS），故正确； BCEDCF，CBE=CDF，DFB=BCD=90 ，BFED， 故正确， 过点 D 作 DMCF，交 CF 的延长线于点 M， 18 ECF=90 ，FC=EC=1，CFE=45 ， DFM+CFB=90 ，DFM=FDM=45 ，FM=DM，由勾股定理可求得：EF= 2， DE= 6，由勾股定理可得：DF=2， EF2+BE2=2BE2=BF2，DM=FM= 2，故错误， BCEDCF，
25、SBCE=SDCF， S四边形DECF=SDCF+SDCE=SECF+SDEF=SAFP+SPFB=1 + 2 2 ，故错误，故选 B 6【答案】C 【解析】在正方形 ABCD 中，AB=BC，ABE=C=90， 又BE=CF，ABEBCF（SAS），AE=BF，BAE=CBF， FBC+BEG=BAE+BEG=90 ，BGE=90 ，AEBF故 A、B 正确； CF=2FD，CF:CD=2:3，BE=CF，AB=CD， 3 2 AB BE ， EBG+ABG=ABG+BAG=90 ，EBG=BAG， EGB=ABE=90 ，BGEABE， 3 2 BGAB GEBE ，故 C 不正确, AB
26、EBCF，SABE=SBFC，SABESBEG=SBFCSBEG，S四边形CEGF=SABG， 故 D 正确故选 C 7【答案】C 【解析】顺次连接任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形， 当对角线相等时，所得图形一定是菱形，故选 C 8【答案】C 19 【解析】如图，设 AC 与 EH、FG 分别交于点 N、P，BD 与 EF、HG 分别交于点 K、Q， E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，EFAC， 同理可证 EHBD，EBKABM，AENEBK， EBK ABM S S = 1 4 ，SAEN=SEBK， EKMN ABM S S 四边形 = 1 2 ，同理可得 KFPM
27、BCM S S 四边形 = 1 2 ， QGPM DCM S S 四边形 = 1 2 ， HQMN DAM S S 四边形 = 1 2 ， EFGH ABCD S S 四边形 四边形 = 1 2 ， 四边形 ABCD 的面积记为 S1，中点四边形 EFGH 的面积记为 S2，则 S1与 S2的数量关系是 S1=2S2故选 C 1【答案】B 【解析】四边形 ABCD 是矩形，AC=BD，OA=OC，BAD=90 ， ， AC=BD=2AB=8，OC=AC=4故选 B 2【答案】D 【解析】AC=16，四边形 ABCD 是矩形， DC=AB，BO=DO= 1 2 BD，AO=OC= 1 2 AC=
28、8，BD=AC， BO=OD=AO=OC=8， AOD=120 ，AOB=60 ，ABO 是等边三角形， AB=AO=8，DC=8，即图中长度为 8 的线段有 AO、CO、BO、 DO、AB、 DC 共 6 条，故选 D 3【答案】B 1 2 考点冲关考点冲关 20 【解析】如图，连接 AF根据折叠的性质，得 EF 垂直平分 AC，则设，则 ，在中，根据勾股定理，得，解得 在中，根据勾股定理，得 AC=5，则 AO=2.5 在中，根据勾股定理，得 根据全等三角形的性质，可以证明则故选 B 4【答案】B 【解析】 菱形 ABCD 的对角线ACBD， OA=AC=4 cm， OB= BD=3 cm
29、，根据勾股定理，（cm）设菱形的高为 h，则菱 形的面积， 即， 解得， 即菱形的高为cm 故选 B 5【答案】B 【解析】如图，连接 AP，在菱形 ABCD 中，ADC=72 ，BD 为菱形 ABCD 的对角线， ADP=CDP= 1 2 ADC=36 . AD 的垂直平分线交对角线 BD 于点 P，垂足为 E，PA=PD. DAP=ADP=36 .APB=DAP+ADP=72 . 又菱形 ABCD 是关于对角线 BD 对称的，CPB=APB=72 .故选 B. AFCFAFx 4BFx RtABF 22 9(4)xx 25 8 x RtABC RtAOF 15 8 ，OF ，OEOF 15
30、 4 EF 8cm6cmACBD， 1 2 1 2 2222 435ABOAOB 1 2 AB hAC BD 1 58 6 2 h 24 5 h 24 5 21 6【答案】C 【解析】AD/BC，DAE=AEB，BE=CF，AB=BC，ABE=BCF，ABEBCF， AE=BF，DAE=BFC，FBC+BFC=90 ，AEB=BFC，FBC+AEB=90 ，AE BF，所以 A、B、D 三个选项正确，AEB=BFC，故 C 选项错误，故选 C. 7【答案】50 【解析】如图所示， 由矩形 ABCD 可得 ADBC，1=BFE=65 ，由翻折得2=1=65 ， AEB=180 12=180 65
31、 65 =50 故答案为：50 8【答案】1 【解析】 BPC 是由BPA 旋转得到， APB=CPB=135 ， ABP=CBP， BP=BP， AP=CP， ABP+PBC=90 ，CBP+PBC=90 ，即PBP=90 ，BPP是等腰直角三角形， BPP=45 ，APB=CPB=135 ，PPC=90 ，BP=2，PP 22 BPBP =2 2， PC=3，CP= 22 PCPP = 9 8 =1，AP=CP 1，故答案为 1 22 9【解析】（1）AB=6，BC=8，AC=10，AB2+BC2=AC2，ABC=90 ， 四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD 是矩形 （2）四边形 A
32、BCD 是矩形，BD=AC=10. 10【解析】（1）AEF 是由ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的， AE=AB，AF=AC，EAF=BAC， EAF+BAF=BAC+BAF，即EAB=FAC， 在ACF 和ABE 中， ACAB CAFBAE AFAE ，ACFABE， BE=CF. （2）四边形 ACDE 为菱形，AB=AC=1，DE=AE=AC=AB=1，ACDE， AEB=ABE，ABE=BAC=45 ，AEB=ABE=45 ， ABE 为等腰直角三角形，BE= 2AC=2，BD=BEDE=2 1 11【解析】（1）OE=OF，理由如下： 因为CE平分ACB， 所以1=2， 又
33、因为MNBC， 所以1=3， 所以3=2， 所以EO=CO， 同理，FO=CO，所以 OE=OF （2）当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形，理由如下： 因为 OE=OF，点 O 是 AC 的中点，所以四边形 AECF 是平行四边形，又因为 CF 平分BCA 的 外角，所以4=5，又因为1=2，所以1=2，2+4= 1 180 2 =90 ，即ECF=90 ， 所以平行四边形 AECF 是矩形 （3）当ABC 是直角三角形时，即ACB=90 时，四边形 AECF 是正方形，理由如下： 由 （2） 证明可知， 当点 O 运动到 AC 的中点时， 四边形 AECF 是矩形，
34、又因为ACB=90 ， CE， CN 分别是ACB 与ACB 的外角的平分线，所以1=2=3=4=5=45 ，所以 ACMN， 所以四边形 AECF 是正方形 23 1【答案】A 【解析】A有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；B四条边都相等的四边形是 菱形，故 B 错误；C 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故 C 错误；对角线相等且相互平分 的四边形是矩形，则 D 错误；故选 A 【名师点睛】本题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形； 2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相 等的平行四边形是矩形.
35、2【答案】C 【解析】菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（2，0），（0，1）， AO=2，OB=1，ACBD， 由勾股定理知： 2222 512ABBOOA ， 四边形ABCD为菱形， AB=DC=BC=AD= 5， 菱形ABCD的周长为：4 5故选 C 【名师点睛】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及坐标与图形的性质，得出 AB 的长是解 题关键 3【答案】D 【解析】如图，过 E 点作关于 AB 的对称点 E，则当 E，P，F 三点共线时 PE+PF 取最小值， EAP=45 ，E E=90 ， 又AE=EF= E=4， PE+PF 的最小值为 EF= 2222 8480AF
36、AE ， 满足 PE+PF=9= 81， 在边 AB 上存在两个 P 点使 PE+PF=9， 同理在其余各边上也都存在两个 P 点满足条件， 满足 PE+PF=9 的点 P 的个数是 8，故选 D 直通中考直通中考 24 【名师点睛】本题主要考查了正方形的性质以及根据轴对称求最短路径，有一定难度，巧妙的运 用求最值的思想判断满足题意的点的个数是解题关键. 4【答案】A 【解析】正方形 ABCD 中，BC=4， BC=CD=AD=4，BCE=CDF=90， AF=DE=1，DF=CE=3，BE=CF=5， 在BCE 和CDF 中， BCCD BCECDF CEDF ， BCECDF（SAS），C
37、BE=DCF， CBE+CEB=ECG+CEB=90=CGE， cosCBE=cosECG= BCCG BECE ， 4 53 CG ，CG= 12 5 ，GF=CFCG=5 12 5 = 13 5 ， 故选 A 【名师点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函 数，证明BCECDF 是解本题的关键 5【答案】 49 13 【解析】如图，令 AE 与 BF 的交点为 M. 在正方形ABCD中，BAD=D=90， 25 BAM+FAM=90， 在 Rt ADE 中， 2222 +1DE2315AADE ， 由折叠的性质可得ABFGBF， AB=BG，FBA=F
38、BG， BF 垂直平分 AG， AM=MG，AMB=90， BAM+ABM=90， ABM=FAM， ABMEAD ， AMAB DEAE ， 12 513 AM ， AM= 60 13 ，AG= 120 13 ， GE=13 12049 1313 . 【名师点睛】本题考查了正方形与折叠，勾股定理，等腰三角形的性质，以及三角形相似的判定 和性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键. 6【答案】6 5+10 【解析】AEPF，AEP=DPH， 又A=A=90 ，D=D=90 ，A=D，AEPDPH， 又AB=CD，AB=AP，CD=DP，AP= DP， 设 AP=DP=x， SAEP：SDPH=4：
39、1，AE=2DP=2x，S AEP= 2 11 24 22 A EA Pxxx， 0 x，2x ，AP=DP=2，AE=2DP=4， 2222 422 5EPAEAP ， 1 =5 2 PHEP ， 1 1 2 DHD HA P， 42 55153 5ADAEEPPHDH ， 2ABA P， 2 (3 55)6 510 ABCD SABAD 矩形 ， 26 【名师点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质. 7【答案】24 【解析】四边形 ABCD 是菱形， AB=BC=CD=AD，BO=DO， 点 E 是 BC 的中点， OE 是BCD 的中位线， CD=2
40、OE=23=6， 菱形 ABCD 的周长=46=24； 故答案为：24 【名师点睛】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理 是解题的关键 8【解析】（1）四边形 ABCD 是正方形， BAE=ADF=90，AB=AD=CD， DE=CF，AE=DF， 在BAE 和ADF 中， ABAD BAEADF AEDF ， BAEADF（SAS）， BE=AF； （2）解：由（1）得：BAEADF， EBA=FAD， GAE+AEG=90， AGE=90， AB=4，DE=1， AE=3， BE= 22 ABAE = 22 43 =5， 在 RtABE 中， 1 2 A
41、BAE= 1 2 BEAG， AG= 4 3 5 = 12 5 【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公 27 式；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键 9【解析】（1）四边形 ABCD 是平行四边形， B=D，AB=CD，ADBC， AEBC，CFAD， AEB=AEC=CFD=AFC=90， 在ABE 和CDF 中， BD AEBCFD ABCD ， ABECDF（AAS）； （2）ADBC， EAF=AEB=90， EAF=AEC=AFC=90， 四边形 AECF 是矩形 【名师点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角
42、形的判定与性质；熟练掌握 平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键 10【解析】四边形 ABCD 是菱形， AD=CD， 在ADF 和CDE 中， ADCD DD DFDE ， ADFCDE（SAS）， 1=2 【名师点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明 三角形全等是解题的关键 11【答案】见解析 【解析】四边形 ABCD 是矩形， D=B=90 ，AD=BC， 在ADF 和CBE 中， ADCB DB DFBE ， ADFCBE（SAS）， 28 AF=CE 【名师点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明 三角形全等
43、是解题的关键 12【答案】见解析 【解析】四边形 ABCD 中，AB=CD，AD=BC， 四边形 ABCD 是平行四边形， AC=2AO，BD=2OD， OA=OD，AC=BD， 四边形 ABCD 是矩形 【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定等知识点，能由题中已知信息 推出四边形 ABCD 是平行四边形是关键 13【解析】（1）四边形 EFGH 是矩形，EH=FG，EHFG，GFH=EHF， BFG=180 GFH，DHE=180 EHF，BFG=DHE， 四边形 ABCD 是菱形，ADBC，GBF=EDH， BGFDEH（AAS），BG=DE； （2）连接 EG， 四边形 ABCD 是菱形，AD=BC，ADBC， E 为 AD 中点，AE=ED， BG=DE，AE=BG，AEBG， 四边形 ABGE 是平行四边形，AB=EG， EG=FH=2，AB=2，菱形 ABCD 的周长=8 【名师点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作 图是解题的关键 29
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