2020-2021学年浙江省宁波市海曙区二校联考九年级上期中数学试卷（含答案解析）

1、2020-2021 学年浙江省学年浙江省宁波市海曙区二校联考九年级上期中数学试卷宁波市海曙区二校联考九年级上期中数学试卷 一、单选题（每题一、单选题（每题 4 分，共分，共 40 分）分） 1下列事件是必然事件的是（ ） A任意一个五边形的外角和为 540 B抛掷一枚均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数为 50 次 C13 个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的 D太阳从西方升起 2已知 2x3y，则下列比例式成立的是（ ） A B C D 3如图，点 A，B，C 在O 上，A50，则BOC 的度数为（ ） A40 B50 C80 D100 4抛物线 yx26x+4 的顶点坐

2、标是（ ） A （3，5） B （3，5） C （3，5） D （3，5） 5已知扇形的圆心角为 60，半径为 1，则扇形的弧长为（ ） A B C D 6如图，点 D，E 分别为ABC 边 AB，AC 上的一点，且 DEBC，SADE4，S四边形DBCE5，则ADE 与ABC 相似比为（ ） A5：9 B4：9 C16：81 D2：3 7下列命题中，正确的是（ ） A平分弦的直径垂直于弦 B三角形的三个顶点确定一个圆 C圆心角的度数等于它所对弧上的圆周角度数的一半 D相等的圆周角所对的弧相等 8已知O 的直径 CD10cm，AB 是O 的弦，ABCD，垂足为 M，且 AB8cm，则 AC 的

3、长为（ ） A2cm B4cm C2cm 或 4cm D2cm 或 4cm 9已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列 5 个结论：abc0；4a+2b+c0； （a+c）2b2；2c3b；a+bm（am+b） （m1 的实数） 其中正确的结论有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 10如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，CACB，CECD，ACB 的顶点 A 在ECD 的斜边 DE 上，AB、CD 交于 F，若 AE6，AD8，则 AF 的长为（ ） A5 B C D6 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分

4、）已知线段 a2cm，b8cm，若线段 c 是 a，b 的比例中项，那么 c cm 12 （5 分）在单词“mathematics”中任意选择一个字母，选到字母“a”的概率是 13 （5 分）将抛物线 y3（x2）2+1 向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，则所得抛物线的表达式 为 14 （5 分）如图，在圆内接四边形 ABCD 中，B100，则D 的度数为 15 （5 分）如图，矩形 ABCD 中，AB2，BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BD 于点 P，过点 P 作 PQBC 于点 Q，则 PQ 16 （5 分）已知点 A、B 是半径为 2 的O 上两点，且BOA120，点

5、 M 是O 上一个动点，点 P 是 AM 的中点，连接 BP，则 BP 的最小值是 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 80 分）分） 17 （8 分）如图，已知点 D 是ABC 的边 AC 上的一点，连接 BDABDC，AB6，AD4 （1）求证：ABDACB； （2）求线段 CD 的长 18 （8 分）已知二次函数 yx24x+3设其图象与 x 轴交点分别是 A，B，与 y 轴的交点是 C 求： （1）A、B、C 三点的坐标； （2）ABC 的面积 19 （8 分）已知：如图，AB 为O 的直径，ABAC，BC 交O 于点 D，AC 交O 于点 E，BAC45 （1）求EBC

6、的大小； （2）若O 的半径为 2求图中阴影部分的面积 20 （10 分）某校 5 月份举行了八年级生物实验考查，有 A 和 B 两个考查实验，规定每位学生只参加其中 一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验，小明、小丽、小华都参加了本次考查 （1）小丽参加实验 A 考查的概率是 ； （2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验 A 考查的概率； （3）他们三人都参加实验 A 考查的概率是 21 （10 分）如图，ABDBCD90，DB 平分ADC，过点 B 作 BMCD 交 AD 于 M连接 CM 交 DB 于 N （1）求证：BD2ADCD； （2）若 CD6，AD8，求

7、MN 的长 22 （10 分）如图，ABC 内接于O，AB 为O 的直径，AB10，AC6，连结 OC，弦 AD 分别交 OC， BC 于点 E，F，其中点 E 是 AD 的中点 （1）求证：CADCBA （2）求 OE 的长 23（12 分） 新冠肺炎期间， 某超市将购进一批口罩进行销售， 已知购进 4 盒甲口罩和 6 盒乙口罩需 260 元， 购进 5 盒甲口罩和 4 盒乙口罩需 220 元两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销量 y1（盒）与售价 x （元）之间的关系为 y14008x；当售价为 40 元时，乙口罩可销售 100 盒，售价每提高 1 元，少销售 5 盒 （1）求甲、乙两种口

8、罩每盒的进价分别为多少元？ （2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时两种口罩的销售利润总和为多少？ （3）已知甲的销售量不低于乙口罩的销售量的，若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为多 少？ 24 （14 分）如图，直线 yx+c 与 x 轴交于点 A（3，0） ，与 y 轴交于点 B，抛物线 yx2+bx+c 经 过点 A，B （1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P，N 点 M 在线段 OA 上运动，若以 B，P，N 为顶点的三角形与APM 相似，求点 M 的

9、坐标； 点 M 在 x 轴上自由运动， 若三个点 M， P， N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点 （三点重合除外） ， 则称 M，P，N 三点为“共谐点” 请直接写出使得 M，P，N 三点成为“共谐点”的 m 的值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题（每题一、单选题（每题 4 分，共分，共 40 分）分） 1下列事件是必然事件的是（ ） A任意一个五边形的外角和为 540 B抛掷一枚均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数为 50 次 C13 个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的 D太阳从西方升起 【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它

10、一定不会发生的事件称为不可能 事件 【解答】解：A任意一个五边形的外角和等于 540，属于不可能事件，不合题意； B投掷一枚均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数为 50 次是随机事件，不合题意； C.13 个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的，属于必然事件，符合题意； D太阳从西方升起，属于不可能事件，不合题意； 故选：C 2已知 2x3y，则下列比例式成立的是（ ） A B C D 【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积 式 2x3y，即可判断 【解答】解：A、变成等积式是：xy6，故错误； B、变成等积式是：3x2y，

11、故错误； C、变成等积式是：2x3y，故正确； D、变成等积式是：3x2y，故错误 故选：C 3如图，点 A，B，C 在O 上，A50，则BOC 的度数为（ ） A40 B50 C80 D100 【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可 得出答案 【解答】解：由题意得BOC2A100 故选：D 4抛物线 yx26x+4 的顶点坐标是（ ） A （3，5） B （3，5） C （3，5） D （3，5） 【分析】直接利用配方法将二次函数写成顶点式进而得出其顶点坐标 【解答】解：yx26x+4（x3）25， 故抛物线 yx26x+4 的顶点坐标是：

12、 （3，5） 故选：C 5已知扇形的圆心角为 60，半径为 1，则扇形的弧长为（ ） A B C D 【分析】利用弧长公式 l即可直接求解 【解答】解：弧长是： 故选：D 6如图，点 D，E 分别为ABC 边 AB，AC 上的一点，且 DEBC，SADE4，S四边形DBCE5，则ADE 与ABC 相似比为（ ） A5：9 B4：9 C16：81 D2：3 【分析】先证明ADEABC，然后利用相似三角形的性质求解 【解答】解：DEBC， ADEABC， （）2， ， 即ADE 与ABC 相似比为 2：3 故选：D 7下列命题中，正确的是（ ） A平分弦的直径垂直于弦 B三角形的三个顶点确定一个圆

13、 C圆心角的度数等于它所对弧上的圆周角度数的一半 D相等的圆周角所对的弧相等 【分析】根据垂径定理的推论、确定圆的条件以及圆周角定理判断即可 【解答】解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原命题是错误的，不符合题意； B、三角形的三个顶点确定一个圆，是真命题，符合题意； C、圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，原命题是错误的，不符合题意； D、在等圆或同圆中，等的圆周角所对的弧相等，原命题是错误的，不符合题意； 故选：B 8已知O 的直径 CD10cm，AB 是O 的弦，ABCD，垂足为 M，且 AB8cm，则 AC 的长为（ ） A2cm B4cm C2cm 或 4cm D2cm

14、 或 4cm 【分析】分两种情况，根据题意画出图形，先根据垂径定理求出 AM 的长，连接 OA，由勾股定理求出 OM 的长，进而可得出结论 【解答】解：连接 AC，AO， O 的直径 CD10cm，ABCD，AB8cm， AMAB84（cm） ，ODOC5（cm） ， 当 C 点位置如图 1 所示时， OA5cm，AM4cm，CDAB， OM3（cm） ， CMOC+OM5+38（cm） ， AC4（cm） ； 当 C 点位置如图 2 所示时， 同理可得：OM3cm， OC5cm， MC532（cm） ， 在 RtAMC 中，AC2（cm） ； 综上所述，AC 的长为 4cm 或 2cm， 故

15、选：C 9已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列 5 个结论：abc0；4a+2b+c0； （a+c）2b2；2c3b；a+bm（am+b） （m1 的实数） 其中正确的结论有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及 抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：由图象可知：a0，c0， 0， b0， abc0，故此选项错误； 由对称知，当 x2 时，函数值大于 0，即 y4a+2b+c0，故此选项正确； 当 x1 时，yab+c0；当

16、x1 时，ya+b+c0， （ab+c） （a+b+c）0，即（a+c）2b20， （a+c）2b2，故此选项错误； 当 x3 时函数值小于 0，y9a+3b+c0，且 x1， 即 a，代入得 9（）+3b+c0，得 2c3b，故此选项正确； 当 x1 时，y 的值最大此时，ya+b+c， 而当 xm 时，yam2+bm+c， 所以 a+b+cam2+bm+c， 故 a+bam2+bm，即 a+bm（am+b） ，故此选项正确 故正确 故选：B 10如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，CACB，CECD，ACB 的顶点 A 在ECD 的斜边 DE 上，AB、CD 交于 F，若 AE6，

17、AD8，则 AF 的长为（ ） A5 B C D6 【分析】首先证明ECADCB（SAS） ，再利用CBFCDB，即可求解 【解答】解：连接 BD， CACB，CECD，ECA90ACDDCB， ECADCB（SAS） ， DBAE6，CDBE45， EDBADC+CDB90， 在 RtABD 中，AD8，DB6，则：AB10， 在 RtABC 中，AB10，则：BC10sin455， 在 RtECD 中，EDAE+AD14，则：DC7， CDB45FBC，DCBDCB， CBFCDB， ，即：， 解得：BF， AFABBF， 故选：B 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，共分，共 30

18、 分）分） 11 （5 分）已知线段 a2cm，b8cm，若线段 c 是 a，b 的比例中项，那么 c 4 cm 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解 【解答】解：线段 a2cm，b8cm，线段 c 是 a、b 的比例中项， ， c2ab2816， c14，c24（舍去） ， 线段 c4cm 故答案为：4 12 （5 分）在单词“mathematics”中任意选择一个字母，选到字母“a”的概率是 【分析】先数出“mathematics”中共多少个字母，让字母“a”的个数除以所有字母的总个数即为所求的 概率 【解答】解： “mathematics”中共 11 个字母，其中共 2 个“a

19、” ， 任意取出一个字母，有 11 种情况可能出现， 取到字母“a”的可能性有两种，故其概率是； 故答案为： 13 （5 分）将抛物线 y3（x2）2+1 向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，则所得抛物线的表达式 为 y3x2 【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式 【解答】解：将抛物线 y3（x2）2+1 向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位， 平移后的抛物线的解析式为：y3（x2+2）2+11，即 y3x2 故答案为 y3x2 14 （5 分）如图，在圆内接四边形 ABCD 中，B100，则D 的度数为 80 【分析】利用圆内接四边形的性

20、质解决问题即可 【解答】解：四边形 ABCD 是圆内接四边形， B+D180， B100， D80， 故答案为 80 15 （5 分）如图，矩形 ABCD 中，AB2，BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BD 于点 P，过点 P 作 PQBC 于点 Q，则 PQ 【分析】根据矩形的性质得到 ABCD，ABCD，ADBC，BAD90，根据线段中点的定义得到 DECDAB，根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ABCD，ABCD，ADBC，BAD90， E 为 CD 的中点， DECDAB， ABPEDP， ， ， ， PQBC， PQCD， BPQDBC，

21、 ， CD2， PQ， 故答案为： 16 （5 分）已知点 A、B 是半径为 2 的O 上两点，且BOA120，点 M 是O 上一个动点，点 P 是 AM 的中点，连接 BP，则 BP 的最小值是 2 【分析】根据三角形三边性质 BP|ABPA|，因为 AB 是定值，所以当 PA 取最大值是 BP 最小，由 PA 的最大值为 2，即可得到 P 与 O 重合，所以 BP 的最小值为 OB2 【解答】解：BP|ABPA|， 当 PA 取最大值时，BP 有最小值， P 是 AM 的中点， PAAM， AM 的最大值为圆的直径， O 的半径为 2， AM 的最大值为 4， PA 的最大值是 2， P

22、与 O 重合， BP 的最小值为 2， 故答案为 2 三、解答题（共三、解答题（共 8 题，共题，共 80 分）分） 17 （8 分）如图，已知点 D 是ABC 的边 AC 上的一点，连接 BDABDC，AB6，AD4 （1）求证：ABDACB； （2）求线段 CD 的长 【分析】 （1）根据ABDC，AA，即可证得ABDACB； （2）由（1）知：ABDACB，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结果 【解答】解： （1）ABDC，AA（公共角） ， ABDACB； （2）由（1）知：ABDACB， ， 即， CD5 18 （8 分）已知二次函数 yx24x+3设其图象与 x 轴交点分

23、别是 A，B，与 y 轴的交点是 C 求： （1）A、B、C 三点的坐标； （2）ABC 的面积 【分析】 （1）令把已知抛物线方程转化为两点式方程，通过解析式可以来求抛物线与 x 轴的两个交点， 令 x0，来求点 C 的坐标； （2）ABC 的底边长是 AB，AB 边上的高是点 C 的纵坐标 【解答】解： （1）yx24x+3（x1） （x3） ， 二次函数 yx24x+3 的图象与 x 轴交点分别是 A（1，0） ，B（3，0） ； 令 x0，则 y3，即点 C 的坐标是（0，3） ； （2）由（1）知，A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3） ， 则 SABC233，即ABC 的面积

24、是 3 19 （8 分）已知：如图，AB 为O 的直径，ABAC，BC 交O 于点 D，AC 交O 于点 E，BAC45 （1）求EBC 的大小； （2）若O 的半径为 2求图中阴影部分的面积 【分析】 （1） EBC 的度数等于ABCABE， 因而求EBC 的度数就可以转化为求ABC 和ABE， 根据等腰三角形的性质等边对等角，就可以求出； （2）利用扇形的面积减去等腰直角三角形的面积即可求得 【解答】解； （1）AB 是O 的直径， AEB90， 又BAC45， ABE45 又ABAC， ABCC67.5 EBC22.5； （2）连接 OE， AB 是O 的直径， AEB90， 又BAC4

25、5， ABE45 AEBE， OAOB， OEAB， OAOBOE2， S阴影S扇形OBESOBE2 20 （10 分）某校 5 月份举行了八年级生物实验考查，有 A 和 B 两个考查实验，规定每位学生只参加其中 一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验，小明、小丽、小华都参加了本次考查 （1）小丽参加实验 A 考查的概率是 ； （2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验 A 考查的概率； （3）他们三人都参加实验 A 考查的概率是 【分析】 （1）由可参加实验考查只有两个，可得出小丽参加实验 A 考查的概率是； （2）画出树状图，结合树状图得出结论； （3）由每人选择实验

26、A 考查的概率为，利用概率公式即可求出三人都参加实验 A 考查的概率 【解答】解： （1）小丽参加实验 A 考查的概率是 故答案为： （2）画树状图如图所示 两人的参加实验考查共有四种等可能结果，而两人均参加实验 A 考查有 1 种， 小明、小丽都参加实验 A 考查的概率为 （3）他们三人都参加实验 A 考查的概率是 故答案为： 21 （10 分）如图，ABDBCD90，DB 平分ADC，过点 B 作 BMCD 交 AD 于 M连接 CM 交 DB 于 N （1）求证：BD2ADCD； （2）若 CD6，AD8，求 MN 的长 【分析】 （1）通过证明ABDBCD，可得，可得结论； （2）由平

27、行线的性质可证MBDBDC，即可证 AMMDMB4，由 BD2ADCD 和勾股定理可 求 MC 的长，通过证明MNBCND，可得，即可求 MN 的长 【解答】证明： （1）DB 平分ADC， ADBCDB，且ABDBCD90， ABDBCD BD2ADCD （2）BMCD MBDBDC ADBMBD，且ABD90 BMMD，MABMBA BMMDAM4 BD2ADCD，且 CD6，AD8， BD248， BC2BD2CD212 MC2MB2+BC228 MC2 BMCD MNBCND ，且 MC2 MN 22 （10 分）如图，ABC 内接于O，AB 为O 的直径，AB10，AC6，连结 OC

28、，弦 AD 分别交 OC， BC 于点 E，F，其中点 E 是 AD 的中点 （1）求证：CADCBA （2）求 OE 的长 【分析】 （1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可 （2）证明AECBCA，推出，求出 EC 即可解决问题 【解答】 （1）证明：AEDE，OC 是半径， ， CADCBA （2）解：AB 是直径， ACB90， AEDE， OCAD， AEC90， AECACB， AECBCA， ， ， CE3.6， OCAB5， OEOCEC53.61.4 23（12 分） 新冠肺炎期间， 某超市将购进一批口罩进行销售， 已知购进 4 盒甲口罩和 6 盒乙口罩需 260 元，

29、购进 5 盒甲口罩和 4 盒乙口罩需 220 元两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销量 y1（盒）与售价 x （元）之间的关系为 y14008x；当售价为 40 元时，乙口罩可销售 100 盒，售价每提高 1 元，少销售 5 盒 （1）求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？ （2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时两种口罩的销售利润总和为多少？ （3）已知甲的销售量不低于乙口罩的销售量的，若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为多 少？ 【分析】 （1）设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为 x 元、y 元，由题意得方程组，求解即可 （2）设乙口罩的销售利润为 w 元，由题意

30、得关于 x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性 质可得乙口罩的售价及此时乙口罩的最大销售总利润，然后此时甲的销售利润进而求得两种口罩的销售 利润总和 （3）根据甲的销售量不低于乙口罩的销售量的列出不等式，解得 x 的范围，再得出两种口罩的利润 总和 w总关于 x 的二次函数，根据二次函数的性质可得其对称轴，从而可得答案 【解答】解： （1）设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为 x 元、y 元，由题意得： ， 解得： 甲、乙两种口罩每盒的进价分别为 20 元、30 元 （2）设乙口罩的销售利润为 w 元，由题意得： w（x30）1005（x40） 5x2+450 x9000 5（x45）2

31、+1125， 当乙口罩的售价为 45 元时，乙口罩的销售总利润最大，为 1125 元 当售价为 45 元时，y14008x40084540（盒） ； 甲口罩的销售利润为： （4520）401000（元） ， 此时两种口罩的销售利润总和为：1125+10002125（元） 当乙口罩的售价为 45 元时，乙口罩的销售总利润最大，此时两种口罩的销售利润总和为 2125 元 （3）由题意得：4008x1005（x40）， 解得：x36， 两种口罩的利润总和 w总（4008x） （x20）+（5x2+450 x9000） 13x2+1010 x17000， 对称轴为：x36， 当 x36 时，两种口罩的

32、利润总和最高 若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为 36 元 24 （14 分）如图，直线 yx+c 与 x 轴交于点 A（3，0） ，与 y 轴交于点 B，抛物线 yx2+bx+c 经 过点 A，B （1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P，N 点 M 在线段 OA 上运动，若以 B，P，N 为顶点的三角形与APM 相似，求点 M 的坐标； 点 M 在 x 轴上自由运动， 若三个点 M， P， N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点 （三点重合除外） ， 则称 M，P，N 三点为

33、“共谐点” 请直接写出使得 M，P，N 三点成为“共谐点”的 m 的值 【分析】 （1）把 A 点坐标代入直线解析式可求得 c，则可求得 B 点坐标，由 A、B 的坐标，利用待定系 数法可求得抛物线解析式； （2）由 M 点坐标可表示 P、N 的坐标，从而可表示出 MA、MP、PN、PB 的长，分NBP90和 BNP90两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于 m 的方程，可求得 m 的值； 用 m 可表示出 M、P、N 的坐标，由题意可知有 P 为线段 MN 的中点、M 为线段 PN 的中点或 N 为线 段 PM 的中点，可分别得到关于 m 的方程，可求得 m 的值 【解答】解： （1）

34、yx+c 与 x 轴交于点 A（3，0） ，与 y 轴交于点 B， 02+c，解得 c2， B（0，2） ， 抛物线 yx2+bx+c 经过点 A，B， ，解得， 抛物线解析式为 yx2+x+2； （2）由（1）可知直线解析式为 yx+2， M（m，0）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P，N， P（m，m+2） ，N（m，m2+m+2） ， PMm+2，AM3m，PNm2+m+2（m+2）m2+4m， BPN 和APM 相似，且BPNAPM， BNPAMP90或NBPAMP90， 当BNP90时，则有 BNMN， N 点的纵坐标为 2， m

35、2+m+22，解得 m0（舍去）或 m， M（，0） ； 当NBP90时，过点 N 作 NCy 轴于点 C， 则NBC+BNC90，NCm，BCm2+m+22m2+m， NBP90， NBC+ABO90， ABOBNC， RtNCBRtBOA， ， ，解得 m0（舍去）或 m， M（，0） ； 综上可知当以 B，P，N 为顶点的三角形与APM 相似时，点 M 的坐标为（，0）或（，0） ； 由可知 M（m，0） ，P（m，m+2） ，N（m，m2+m+2） ， M，P，N 三点为“共谐点” ， 有 P 为线段 MN 的中点、M 为线段 PN 的中点或 N 为线段 PM 的中点， 当 P 为线段 MN 的中点时，则有 2（m+2）m2+m+2，解得 m3（舍去）或 m0.5； 当 M 为线段 PN 的中点时，则有m+2+（m2+m+2）0，解得 m3（舍去）或 m1； 当 N 为线段 PM 的中点时，则有m+22（m2+m+2） ，解得 m3（舍去）或 m； 综上可知当 M，P，N 三点成为“共谐点”时 m 的值为 0.5 或1 或