1、2021 中考数学专题训练中考数学专题训练：相似三角形及其应用相似三角形及其应用 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 道小题）道小题） 1. 下列命题是真命题的是 ( ) A.如果两个三角形相似，相似比为 49，那么这两个三角形的周长比为 23 B.如果两个三角形相似，相似比为 49，那么这两个三角形的周长比为 49 C.如果两个三角形相似，相似比为 49，那么这两个三角形的面积比为 23 D.如果两个三角形相似，相似比为 49，那么这两个三角形的面积比为 49 2. 如图，每个小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与 A1B1C1相似的是 ( ) 3. 如图，长
2、、宽均为 3，高为 8 的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为 6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图是此时的示意图，则图中 水面高度为 ( ) A.24 5 B.32 5 C.1234 17 D.2034 17 4. （2020哈尔滨）如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 E 在 AC 边上，过 点 E 作 EFBC， 交 AD 于点 F,过点 E 作 EGAB， 交 BC 于点 G,则下列式子一定正确的是 （ ） A CD EF EC AE B AB EG CD EF C GC BG FD AF D AD AF BC CG 5. （20
3、20 河北） 在图5所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是 A.四边形NPMQ B.四边形NPMR C.四边形NHMQ D.四边形NHMR 6. 如图， 弦 CD 垂直于O 的直径 AB， 垂足为 H， 且 CD2 2， BD 3， 则 AB 的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. （2020 重庆A卷） 如图， 在平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标分别是A （1,2） ,B （1,1） ， C（3,1），以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF，使DEF与ABC成位似图形，且相 似比为2:1，则线段DF的长度为（ ） A5 B2 C4 D2 5 8.
4、（2020 河南） 如图， 在 ABC中， ACB=90 ， 边BC在x轴上， 顶点A， B的坐标分别为(-2， 6)和(7，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为( ) A. ( 3 2 ，2) B. (2，2) C. ( 11 4 ，2) D. (4，2) 9. （2020 昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫 做格点三角形.如图，ABC 是格点三角形，在图中的 66 正方形网格中作出格点三角形 ADE(不含ABC)，使得ADEABC(同一位置的格点三角形ADE 只算一个)，这样的格 点三角形一共有（ ） A.4 个 B
5、.5 个 C.6 个 D.7 个 10. （2020新疆）如图，在ABC 中，A90 ，D 是 AB 的中点，过点 D 作 BC 的平行线 交 AC 于点 E，作 BC 的垂线交 BC 于点 F，若 ABCE，且DFE 的面积为 1，则 BC 的长为 （ ） A2 5 B5 C4 5 D10 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 道小题）道小题） 11. 如图，在 ABC 中，DEBC，BF 平分ABC，交 DE 的延长线于点 F，若 AD=1，BD=2， BC=4，则 EF= . 12. 如图， 在 ABCD 中， 过对角线 BD 上一点 P 作 EFBC， GHAB， 且 CG=2
6、BG， S BPG=1， 则 SAEPH= . 13. (2019郴州)若，则_ 14. (2019吉林)在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的 影长为，则这栋楼的高度为_m A B C 3 2 xy x y x 1.8 m3m 90 m 15. (2019永州)如图，已知点 F 是 ABC 的重心，连接 BF 并延长，交 AC 于点 E，连接 CF 并 延长，交 AB 于点 D，过点 F 作 FGBC，交 AC 于点 G设三角形 EFG，四边形 FBCG 的面 积分别为 S1，S2，则 S1：S2=_ 16. （2020深圳）如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD
7、 相交于点 O，ABCDAC90 ， tanACB1 2， BO OD 4 3，则 SABD SCBD_ 17. 如图，在 RtABC 中，ACB90 ，AC3， BC4， CDAB，垂足为 D， E 为 BC 的中点，AE 与 CD 交于点 F，则 DF 的长为_ 18. （2020 杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把BCE沿直线CE对折，使点B落在 对角线AC上的点F处，连接DF若点E，F，D在同一条直线上，2AE ，则DF _，BE _ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 道小题）道小题） 19. 如图，在 Rt ABC 中，ACB=90 ，AB=10，BC=6，CD
8、AB，ABC 的平分线 BD 交 AC O D C B A F E D B CA F D BEA C 于点 E，求 DE 的长. 20. （2020 苏州）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DFAE，垂足为F. （1）求证：ABEDFA； （2）若6AB，4BC ，求DF的长. 21. (2019广东)如图，在中，点是边上的一点 (1)请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；(不要求写作 法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若，求的值 22. 如图， ABC 内接于O，ABAC，BAC36 ，过点 A 作 ADBC，与ABC 的平分 线交于点 D，BD 与 AC 交于点 E，与O
9、交于点 F. (1)求DAF 的度数； (2)求证：AE2EF ED； ABCDAB ABCADEADEBDEACE 2 AD DB AE EC (3)求证：AD 是O 的切线 23. 如图，甲、乙两人分别从 A、B 两点同时出发，点 O 为坐标原点甲沿 AO 方向、乙沿 BO 方向均以每小时 4 千米的速度行走，t 小时后，甲到达 M 点，乙到达 N 点 （1）请说明甲、乙两人到达点 O 前，MN 与 AB 不可能平行； （2）当 t 为何值时，OMNOBA？ （3）甲、乙两人之间的距离为 MN 的长设 sMN2，求 s 与 t 之间的函数关系式，并求甲、 乙两人之间距离的最小值 24. 在
10、平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根比如对于方程 x2 5x20，操作步骤是： 第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点 A(0，1)，B(5，2)； 第二步： 在坐标平面中移动一个直角三角板， 使一条直角边恒过点 A， 另一条直角边恒过点 B； 第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在 x 轴上点 C 处时，点 C 的横坐标 m 即为该 方程的一个实数根(如图)； 第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在 x 轴上另一点 D 处时，点 D 的横坐标 n 既为 该方程的另一个实数根 (1)在图中，按照“第四步”的操作方法作出点 D(请保留作出点 D 时直角三角板
11、两条直角边的 痕迹)； (2)结合图，请证明“第三步”操作得到的 m 就是方程 x25x20 的一个实数根； (3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置若要以此方法找到一元二次方程 ax2bxc 0(a0，b24ac0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标； (4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当 m1，n1，m2，n2与 a，b，c 之间满足怎样的 关系时，点 P(m1，n1)Q(m2，n2)就是符合要求的一对固定点？ 答案答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 道小题）道小题） 1. 【答案】【答案】B 2. 【答案】【答案】B 解析根据勾股定理分别表示出已知三
12、角形的各边长，同理利用勾股定理表示出 四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两个三角形相似可得结果， A1B1C1各边长分别为 1，2，5，选项 A 中阴影三角形三边长分别为:2，5，3，三边不 与已知三角形各边对应成比例， 故两三角形不相似;选项 B 中阴影三角形三边长分别为:2， 2， 10，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似;选项 C 中阴影三角形三边长分 别为:1，5，22，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项 D 中阴影 三角形三边长分别为:2， 5，13， 三边不与已知三角形各边对应成比例， 故两三角形不相似， 故选 B. 3. 【答
13、案】【答案】A 解析如图所示.设 DM=x，则 CM=8-x， 根据题意得:1 2(8-x+8) 3 3=3 3 6，解得 x=4，DM=4. D=90 . 由勾股定理得: BM=2+ 2=42+ 32=5. 过点 B 作 BH水平桌面于 H，HBA+ABM=ABM+DBM=90 ， HBA=DBM， AHB=D=90 ， ABHMBD， = ，即 8 =3 5，解得 BH= 24 5 ，即水面高度为24 5 . 4. 【答案】【答案】C 【解析】 本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似， EFBC， EC AE FD AF ， EFBC， EC AE GC BG ， GC BG FD
14、AF 因此本题选 C 5. 【答案】【答案】A 【解析】 解析： 连接AO并延长AO至点N， 连接BO并延长PO至点P, 连接CO并延长CO至点M, 连 接DO并延长DO至Q，可知 1 2 AOBOCODO NOPOMOQO ，所以以点O为位似中心，四边形ABCD 的位似图形是四边形NPMQ，故答案为A. 6. 【答案】【答案】B 【解析】由垂径定理可得 DH 2，所以 BHBD2DH21，又可得DHB ADB，所以有 BD2BH BA，( 3)21 BA，AB3. 7. 【答案】【答案】D 【解析】A（1,2）,B（1,1），C（3,1），AB=1，BC=2,AC= 5.DEF与ABC成位似
15、 图形，且相似比为2，DF=2AB=2 8. 【答案】【答案】B 【解析】点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，OC=2，AC=6，OB=7， BC=9，正方形的边长为2将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，设正方 形与x轴的两个交点分别为G、F，EFx轴，EF=GF=DG=2，EFAC，D，E两点的纵坐 标均为2， EFBF ACBC =，即 2 69 BF =，解得BF=3.OG=OB-BF-GF=7-3-2=2， D点的横坐标为2，点D 的坐标为 (2，2) 9. 【答案】【答案】A 【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示： 因此本题
16、选 A 10. 【答案】【答案】A 【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理如答图，过点 E 作 EG BC 于 G，过点 A 作 AHBC 于 H A B C 又因为 DFBC， 所以 DFAHEG， 四边形 DEGF 是矩形 所以BDFBAH， DFEG， 所以 DF AH BD BA ，因为 D 为 AB 中点，所以 BD BA 1 2 ，所以 DF AH 1 2 设 DFEGx，则 AH 2x因为BAC90，所以BC90，因为 EGBC，所以CCEG90， 所以BCEG，又因为BHACGE90，ABCE，所以ABHCEG，所以 CG AH2x同理可证BDFECG，所
17、以 BF EG BD EC ，因为 BD 1 2 AB 1 2 CE，所以BF 1 2 EG 1 2 x 在 RtBDF 中， 由勾股定理得 BD 22 DFBF 22 1 () 2 xx 5 2 x， 所以 AD 5 2 x， 所以 CEAB2AD5x 因为 DEBC， 所以 AE AC AD AB 1 2 ， 所以 AE 1 2 ACCE5 x 在 RtADE 中，由勾股定理得 DE 22 ADAE 22 5 ()( 5 ) 2 xx 5 2 x因DEF 的面积为 1，所以 1 2 DEDF1，即 1 2 5 2 xx1，解得 x 2 5 5 ，所以 DE 5 2 2 5 5 5，因为 A
18、D BD，AECE，所以 BC2DE2 5，因此本题选 D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 道小题）道小题） 11. 【答案】【答案】2 3 解析DEBC，AD=1，BD=2，BC=4， = ，即 1 3= 4 ，解得:DE=4 3. BF 平分ABC，ABF=FBC， 又DEBC，FBC=F， ABF=F，BD=DF=2， DF=DE+EF，EF=2-4 3= 2 3. 故答案为:2 3. 12. 【答案】【答案】4 解析由“平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形”可推出 AEPH 的面积等于 PGCF 的面积. CG=2BG，BGBC=13，BGPF=12. BP
19、GBDC，且相似比为 13， S BDC=9S BPG=9. BPGPDF，且相似比为 12， S PDF=4S BPG=4. SAEPH=SPGCF=9-1-4=4. 13. 【答案】【答案】 【解析】， 故 2y=x，则，故答案为： 14. 【答案】【答案】54 【解析】设这栋楼的高度为 h m， 在某一时刻，测得一根高为 1.8 m 的竹竿的影长为 3 m，同时测得一栋楼的影长为 60 m， ，解得 h=54(m)故答案为：54 15. 【答案】【答案】 【解析】点 F 是 ABC 的重心，BF=2EF，BE=3EF， FGBC，EFGEBC， ，()2， S1S2，故答案为： 16.
20、【答案】【答案】 3 32 【解析】法 1：过 B 点作 BE/AD 交 AC 于点 E，则ADOEBO，由DAC90 ，得到 BE AD， 1 2 3 2 xy x 223xyx 1 2 y x 1 2 1.8 390 h 1 8 1 3 EF BE 1 EBC S S 1 3 1 9 1 8 O D C B A E AO OE OD OB 3 4，由 tanACB 1 2，可得 CE2BE4AE， S ABD SCBD AO OC 3 4(34)4 3 32 法 2：如图，过点 D 作 DMBC，交 CA 的延长线于点 M，延长 BA 交 DM 于点 N，得到ABC ANM，OBCODM，
21、进而得出对应边成比例，AB BC AN NMtanACB 1 2， BC DM OB OD 4 3；又ABCDAC90 ，BACNAD90 ，BACBCA90 ，NAD BCA，ABCDAN，得出对应边之间关系，AB BC DN NA 1 2，设 ABa，DNb，则 BC2a，NA2b，MN4b，得 DM3 2a，4bb 3 2a，即 b 3 10a，进而表示三角形的面积， 得到S ABD SCBD 1 2ABDN 1 2BCNB ab 2a(a2b) 3 10a 2 2a16 10a 3 32 17. 【答案】【答案】 54 85 【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性
22、质已知ACB90 ， AC3， BC4， 由勾股定理， 得 AB5 CDAB， 由三角形的面积， 得 CD AC BC AB 12 5 易 得 ABCACDCBD， 由相似三角形对应边成比例， 得 AD AC AC AB 9 5 ， BD BC BC AB 16 5 过点 E 作 EGAB 交 CD 于点 G， 由平行线分线段成比例， 得 DG 1 2 CD 6 5 ， EG 8 5 ， 所以 DFAD GFEG ，即 9 5 68 55 DF DF ，所以 DF，故答案为 54 85 18. 【答案】【答案】2 51 【解析】设BEx，则ABAEBE2x四边形ABCD是矩形，CDAB2x，A
23、B CD，DCEBEC由折叠得BECDEC，EFBEx，DCEDEC G F E D B CA DECD2x点D，F，E在同一条直线上，DFDEEF2xx2ABCD， DCFEAF， DC EA DF EF 2 2 x 2 x，解得x151，x251经检验，x1 51，x251都是分式方程的根x0，x51，即BE51 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 道小题）道小题） 19. 【答案】【答案】 解:BD 平分ABC，ABD=CBD. ABCD，D=ABD，CBD=D，CD=BC=6. 在 Rt ABC 中，AC=2-2=102-62=8. ABCD， ABECDE， = = = 6
24、 10= 3 5， CE=3 5AE，DE= 3 5BE，即 CE= 3 8AC= 3 8 8=3. 在 Rt BCE 中，BE=2+ 2=62+ 32=35， DE=3 5BE= 3 5 35= 9 5 5. 20. 【答案】【答案】 解： 证明：（1）四边形ABCD是矩形， 90B ，AD BC . AEBDAF ， DF AE ， 90DFA.BDFA ， ABEDFA . 解：（2） ABEDFA ， ABAE DFAD . 4BC ，E是BC的中点， 11 42 22 BEBC .在Rt ABE 中， 2222 622 10AEABBE . 又 4ADBC ， 62 10 4DF ，
25、 6 10 5 DF . 21. 【答案】【答案】 (1)如图所示： (2) ， ADEB 22. 【答案】【答案】 (1)解：ABAC，BAC36 ， ABCACB1 2(180 36 )72 ， AFBACB72 ， BD 平分ABC， DBC36 ， ADBC， DDBC36 ， DAFAFBD72 36 36 ； (2)证明：EAFFBCD，AEFAED， EAFEDA， AE DE EF EA， AE2EF ED； (3)证明：如解图，过点 A 作 BC 的垂线，G 为垂足， ABAC， AG 垂直平分 BC， AG 过圆心 O， ADBC ， ADAG ， AD 是O 的切线 解图
26、 23. 【答案】【答案】 （1）当 M、N 都在 O 右侧时， 24 1 2 2 OMt t OA ， 642 1 63 ONt t OB ， 所以 OMON OAOB 因此 MN 与 AB 不平行 （2）如图 2，当 M、N 都在 O 右侧时，OMNB，不可能OMNOBA 如图 3，当 M 在 O 左侧、N 在 O 右侧时，MONBOA，不可能OMNOBA 如图 4，当 M、N 都在 O 左侧时，如果OMNOBA，那么 ONOA OMOB DEBC 2 AEAD ECDB 所以 462 426 t t 解得 t2 图 2 图 3 图 4 （3）如图 2，2 4OMt ，1 2OHt ，3(
27、12 )MHt (64 )(1 2 )52NHONOHttt 如图 3，42OMt，21OHt，3(21)MHt (64 )(21)52NHONOHttt 如图 4，42OMt，21OHt，3(21)MHt (21)(46)52NHOHONttt 综合、，s 222 MNMHNH 2 222 3(21)(52 )16322816(1)12ttttt 所以当 t1 时，甲、乙两人的最小距离为 12 千米 24. 【答案】【答案】 【思路分析】(1)因为点 C 是 x 轴上的一动点，且ACB90 保持不变，所以由圆周角的性质 得，点 C 必在以 AB 为直径的圆上，所以以 AB 为直径画圆，与 x
28、 轴相交于两点，除点 C 的另 一点就是所求；(2)因为ACB90 ，AOC90 ，所以过点 B 作 BEx 轴，垂足为 E，则 构造了一个“K”字型的基本图形， 再由相似三角的性质得出比例式， 化简后得 m25m20， 问题得证；(3)由(2)中的证明过程可知，一个二次项系数为 1 的一元二次方程，一次项系数是 点 A 的横坐标与点 B 的横坐标的和的相反数；常数项是点 A 的纵坐标与点 B 的纵坐标的积， 先把方程 ax2bxc0，化为 x2b ax c a0，再根据上述关系写出一对固定点的坐标；(4)由 (2)的证明中知， 本题的关键点在“K”字型的构造， 所以本小题解题的关键是要抓住图
29、中的“K” 字型，只要 P、Q 两点分别在 AD、BD 上，过 P、Q 分别作 x 轴垂线，垂足为 M、N，这样就 构造出满足条件的基本图形，再应用相似三角形的性质，可得相应的关系式 图 图 (1)解：如解图，先作出 AB 的中点 O1，以 O1为圆心，1 2AB 为半径画圆 x 轴上另外一个交点即为 D 点；(4 分) (2)证明：如解图，过点 B 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 E， ADB90 ，ADOBDE90 ， OADADO90 ，OADBDE， AODDEB90 ， AODDEB，(6 分) AO DE OD EB，即 1 5m m 2， m25m20，m 是 x25x20 的一
30、个实根；(8 分) (3)解：(0，1)，(b a ，c a)或(0， 1 a)，( b a，c)；(10 分) (4)解：在解图中，P 在 AD 上，Q 在 BD 上，过 P，Q 分别作 x 轴的垂线交 x 轴于 M，N. 由(2)知 PMDDNQ， n1 m2x xm1 n2 ，(12 分) x2(m1m2)xm1m2n1n20 与 ax2bxc0 同解， b am1m2； c am1m2n1n2.(14 分) 【难点突破】本题是一道考查数形结合思想的题本题解题的突破口要抓住ACB90 保持 不变的特征，构造相似三角形中的基本图形，通过数形结合的方法，以相似三角形的比例式为 桥梁，以此获得关于 m 的等量关系，从而使问题得以解决
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