1、 1 【类型综述】 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并 验根 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三 角形，这样列比例方程比较简便 【方法揭秘】 我们先看三个问题： 1已知线段 AB，以线段 AB 为直角边的直角三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 2已知线段 AB，以线段 AB 为斜边的直
2、角三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 3已知点 A(4,0)，如果OAB 是等腰直角三角形，求符合条件的点 B 的坐标 图 1 图 2 图 3 如图 1，点 C 在垂线上，垂足除外如图 2，点 C 在以 AB 为直径的圆上，A、B 两点除外如图 3，以 OA 为边画两个正方形，除了 O、A 两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点 B，共 6 个 如图 4，已知 A(3, 0)，B(1,4)，如果直角三角形 ABC 的顶点 C 在 y 轴上，求点 C 的坐标 我们可以用几何的方法，作 AB 为直径的圆，快速找到两个符合条件的点 C 如果作 BDy 轴于 D，那么AO
3、CCDB 2 设 OCm，那么 34 1 m m 这个方程有两个解，分别对应图中圆与 y 轴的两个交点 【典例分析】 例 1 如图 1，已知抛物线 E1：yx2经过点 A(1,m)，以原点为顶点的抛物线 E2经过点 B(2,2)，点 A、B 关于 y 轴的对称点分别为点 A、B （1）求 m 的值及抛物线 E2所表示的二次函数的表达式； （2）如图 1，在第一象限内，抛物线 E1上是否存在点 Q，使得以点 Q、B、B为顶点的三角形为直角 三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，P 为第一象限内的抛物线 E1上与点 A 不重合的一点，连结 OP 并延长与抛物线
4、 E2相交于 点 P，求PAA与PBB的面积之比 图 1 图 2 思路点拨思路点拨 1判断点 P 是线段 OP的中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点 P、P的坐标 2分别求线段 AABB，点 P 到 AA的距离点 P到 BB的距离，就可以比较PAA与PBB的面积之 比 3 满分解答满分解答 （1）当 x1 时，yx21，所以 A(1, 1)，m1 设抛物线 E2的表达式为 yax2，代入点 B(2,2)，可得 a 1 2 所以 y 1 2 x2 （2）点 Q 在第一象限内的抛物线 E1上，直角三角形 QBB存在两种情况： 图 3 图 4 如图 3，过点 B 作 BB的垂线交抛物线
5、 E1于 Q，那么 Q(2, 4) 如图 4，以 BB为直径的圆 D 与抛物线 E1交于点 Q，那么 QD 1 2 BB2 设 Q(x, x2)，因为 D(0, 2)，根据 QD24 列方程 x2(x22)24 解得 x3此时 Q( 3,3) 图5 图6 4 考点伸展考点伸展 第（2）中当BQB90 时，求点Q(x, x2)的坐标有三种常用的方法： 方法二，由勾股定理，得BQ2BQ2BB2 所以(x2)2(x22)2(x2)2(x22)242 方法三，作 QHBB 于 H，那么 QH2BH BH 所以(x22)2(x2) (2x) 例 2 如图 1，二次函数 yx2bxc 的图象与 x 轴交于
6、 A(1, 0)、B(3, 0)两点，与 y 轴交于点 C，连结 BC动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 向点 B 运动，动点 Q 以每秒 2个单位长度的速度从点 B 向 点 C 运动，P、Q 两点同时出发，连结 PQ，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点同时停止运动设运动的时间 为 t 秒 （1）求二次函数的解析式； （2）如图 1，当BPQ 为直角三角形时，求 t 的值； （3）如图 2，当 t2 时，延长 QP 交 y 轴于点 M，在抛物线上是否存在一点 N，使得 PQ 的中点恰为 MN 的中点，若存在，求出点 N 的坐标与 t 的值；若不存在，请说明理由 图 1 图 2
7、思路点拨思路点拨 1分两种情况讨论等腰直角三角形 BPQ 2 如果 PQ 的中点恰为 MN 的中点， 那么 MQNP， 以 MQ、 NP 为直角边可以构造全等的直角三角形， 从而根据直角边对应相等可以列方程 满分解答满分解答 5 图 3 图 4 图 5 （3）如图 5，设 PQ 的中点为 G，当点 G 恰为 MN 的中点时，MQNP 作 QEy 轴于 E，作 NFx 轴于 F，作 QHx 轴于 H，那么MQENPF 由已知条件，可得 P(t1, 0)，Q(3t,t) 由 QEPF，可得 xQxNxP，即 3txN(t1)解得 xN2 将 x2 代入 y(x1)(x3)，得 y3所以 N(2,3
8、) 由 QH/NF，得 QHPH NFPF ，即 (3)(1) 32(1) ttt t 整理，得 t29t120解得 933 2 t 因为 t2，所以取 933 2 t 考点伸展考点伸展 第（3）题也可以应用中点坐标公式，得 (1)(3) 1 22 PQ G xx tt x 所以xN2xG2 例 3 如图 1，在 RtABC 中，ACB90 ，AB13，CD/AB，点 E 为射线 CD 上一动点（不与点 C 重合） ， 6 联结 AE 交边 BC 于 F，BAE 的平分线交 BC 于点 G （1）当 CE3 时，求 SCEFSCAF的值； （2）设 CEx，AEy，当 CG2GB 时，求 y
9、与 x 之间的函数关系式； （3）当 AC5 时，联结 EG，若AEG 为直角三角形，求 BG 的长 图 1 思路点拨思路点拨 1第（1）题中的CEF 和CAF 是同高三角形，面积比等于底边的比 2第（2）题中的ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形 3第（3）题中的直角三角形 AEG 分两种情况讨论 满分解答满分解答 所以EMAEAM所以 yEAEM26x 图 3 图 4 7 图 5 图 6 考点伸展考点伸展 第（3）题的第种情况，当AEG90 时的核心问题是说理 GAGB 如果用四点共圆，那么很容易 如图 6，由 A、C、E、G 四点共圆，直接得到24 上海版教材不学习四点共圆，比较
10、麻烦一点的思路还有： 如图 7，当AEG90 时，设 AG 的中点为 P，那么 PC 和 PE 分别是 RtACG 和 RtAEG 斜边上的中 线，所以 PCPEPAPG 所以122，325 如图 8，在等腰PCE 中，CPE180 2(45)， 又因为CPE180 (13)，所以132(45)所以124 所以24B所以GABB所以 GAGB 8 图 7 图 8 例 4 如图 1，二次函数 ya(x22mx3m2)（其中 a、m 是常数，且 a0，m0）的图像与 x 轴分别交 于 A、 B （点 A 位于点 B 的左侧） ， 与 y 轴交于点 C(0,3)， 点 D 在二次函数的图像上， CD
11、/AB， 联结 AD 过 点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点 E，AB 平分DAE （1）用含 m 的式子表示 a； （2）求证： AD AE 为定值； （3）设该二次函数的图像的顶点为 F探索：在 x 轴的负半轴上是否存在点 G，联结 GF，以线段 GF、 AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点 G 即可，并用含 m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由 图 1 思路点拨思路点拨 1不算不知道，一算真奇妙通过二次函数解析式的变形，写出点 A、B、F 的坐标后，点 D 的坐标 也可以写出来点 E 的纵坐标为定值是算出来的 2在计算
12、的过程中，第（1）题的结论 2 1 a m 及其变形 2 1am 反复用到 来源:ZXXK 3注意到点 E、D、F 到 x 轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4） ，因此过点 F 作 AD 的平行线 与 x 轴的交点，就是要求的点 G 满分解答满分解答 9 图 2 图 3 （3）如图 3，由 E(4m, 5)、D(2m,3)、F(m,4)， 可知点 E、D、F 到 x 轴的距离分别为 5、4、3 那么过点 F 作 AD 的平行线与 x 轴的负半轴的交点，就是符合条件的点 G 来源:ZXXK 证明如下：作 FFx 轴于 F，那么 4 3 GFFF ADDD 因此 534 AEADGF 所以
13、线段 GF、AD、AE 的长围成一个直角三角形 此时 GF4m所以 GO3m，点 G 的坐标为(3m, 0) 考点伸展考点伸展 第（3）题中的点 G 的另一种情况，就是 GF 为直角三角形的斜边 此时 5334 AEADGF 因此 34GFm 10 所以( 341)GOm此时(34 ,0)G mm 例 5 如图 1，抛物线 2 13 4 42 yxx与 x 轴交于 A、B 两点（点 B 在点 A 的右侧） ，与 y 轴交于点 C， 连结 BC， 以 BC 为一边， 点 O 为对称中心作菱形 BDEC， 点 P 是 x 轴上的一个动点， 设点 P 的坐标为(m, 0)， 过点 P 作 x 轴的垂
14、线 l 交抛物线于点 Q （1）求点 A、B、C 的坐标； （2） 当点 P 在线段 OB 上运动时， 直线 l 分别交 BD、 BC 于点 M、 N 试探究 m 为何值时， 四边形 CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由； （3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q，使BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 思路点拨思路点拨 1第（2）题先用含 m 的式子表示线段 MQ 的长，再根据 MQDC 列方程 2第（2）题要判断四边形 CQBM 的形状，最直接的方法就是根据求得的 m 的值画一个准确的示意图，
15、 先得到结论 3第（3）题BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似 三角形 满分解答满分解答 11 图 2 图 3 （3）存在两个符合题意的点 Q，分别是(2,0)，(6,4) 考点伸展考点伸展 第（3）题可以这样解：设点 Q 的坐标为 1 ( ,(2)(8) 4 xxx 如图 3，当DBQ90 时， 1 2 QGBH GBHD 所以 1 (2)(8) 1 4 82 xx x 解得 x6此时 Q(6,4) 如图 4，当BDQ90 时， 2 QGDH GDHB 所以 1 4(2)(8) 4 2 xx x 解得 x2此时 Q(2,0) 12 图 3 图 4 例
16、 6 如图 1，抛物线 2 33 3 84 yxx 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求点 A、B 的坐标； （2） 设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点， 当ACD 的面积等于ACB 的面积时， 求点 D 的坐标； （3）若直线 l 过点 E(4, 0)，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有 三 个时，求直线 l 的解析式 图 1 思路点拨思路点拨 1根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点 D 有两个 2当直线 l 与以 AB 为直径的圆相交时，符合AMB90
17、的点 M 有 2 个；当直线 l 与圆相切时，符合 AMB90 的点 M 只有 1 个 3灵活应用相似比解题比较简便 满分解答满分解答 （1）由 2 333 3(4)(2) 848 yxxxx ， 得抛物线与 x 轴的交点坐标为 A(4, 0)、B(2, 0)对称轴是直线 x1 （2）ACD 与ACB 有公共的底边 AC，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，点 B、D 到直线 AC 的 距离相等 过点 B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点 D，在 AC 的另一侧有对应的点 D 13 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G，与 AC 交于点 H 由 BD/AC，得DBGCAO所以 3 4
18、 DGCO BGAO 所以 39 44 DGBG，点 D 的坐标为 9 (1,) 4 因为 AC/BD，AGBG，所以 HGDG 而 DHDH，所以 DG3DG 27 4 所以 D的坐标为 27 (1,) 4 图 2 图 3 考点伸展考点伸展 第（3）题中的直线 l 恰好经过点 C，因此可以过点 C、E 求直线 l 的解析式 在 RtEGM 中，GM3，GE5，所以 EM4 在 RtECO 中，CO3，EO4，所以 CE5 因此三角形EGMECO，GEMCEO所以直线 CM 过点 C 【变式训练】 1 如图， 点 M 是直线 y=2x+3 上的动点， 过点 M 作 MN 垂直于 x 轴于点 N
19、， y 轴上是否存在点 P， 使得MNP 14 为等腰直角三角形，则符合条件的点 P 有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） （ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【答案】C 【解析】 当 M 运动到(1，1)时，ON=1，MN=1， 因此，符合条件的点 P 坐标是(0，0)，(0， )，(0，3)，(0，1) 15 故答案选 C, 2如图，在矩形中，是边上的一个动点，当点 在 （不含两点） 上运动时，若是以为斜边的直角三角形，则等于（ ） A B 或 C D或 【答案】D 【解析】 故选 D 3如图，在ABC 中，AB=2，AO=BO，P 是直线 CO 上的一个动点，AO
20、C=60 ，当PAB 是以 BP 为直 角边的直角三角形时，AP 的长为（ ） 16 A,1,2 B ,2 C,1 D，2 【答案】C 【解析】 当APB=90 时, 情况一： （如图） ， 情况二：如图 2， 17 AO=BO，APB=90 ， PO=AO， AOC=60 ， AOP 为等边三角形， AP=AO=1； 当ABP=90 时（如图 3） ， 4如图，是的直径，弦， 是弦 的中点，若动点 以的速度从 点出 发沿着方向运动，设运动时间为，连结，当是直角三角形时， （s）的值为 A B1 C 或 1 D或 1 或 【答案】D 【解析】 18 析：若BEF 是直角三角形，则有两种情况：B
21、FE=90 ，BEF=90 ；在上述两种情况所得到的直角 三角形中，已知了 BC 边和B 的度数，即可求得 BE 的长；AB 的长易求得，由 AE=AB-BE 即可求出 AE 的长，也就能得出 E 点运动的距离，根据时间=路程 速度即可求得 t 的值 解答：解：AB 是O 的直径， ACB=90 ； 当BEF=90 时； 同可求得 BE=0.5cm，此时 AE=AB-BE=3.5cm； E 点运动的距离为：3.5cm，故 t=1.75s； 当 E 从 B 回到 O 的过程中，在运动的距离是：2（4-3.5）=1cm，则时间是：1.75+ = s 综上所述，当 t 的值为 1s 或 1.75s
22、和 s 时，BEF 是直角三角形 故选 D 5若 D 点坐标(4，3)，点 P 是 x 轴正半轴上的动点，点 Q 是反比例函数 12 (0)yx x 图象上的动点，若 PDQ 为等腰直角三角形，则点 P 的坐标是_ 【答案】 19197 5,0 ,0,0 72 【解析】3 4=12， 点 D 在反比例 y= 12 x (x0)图象上， 19 当 QP=QD,PQD=90 ，如图 1，作 QAx 轴于 A，DHx 轴与 H，QBDH 于 B， DP= 2PQ=10， 在 RtDPH 中，DH=3， PH= 2 2 10-3 =1， 来源:ZXXK OP=5， P 点坐标为(5，0)； 当 DP=
23、DQ,PDQ=90 ，如图 2，作 QAx 轴于 A，DHx 轴与 H，QBDH 于 B， 来源:ZXXK 易证得DPHQDB，则 BQ=DH=3，BD=PH， Q 点坐标为(7， 12 7 )， BD=3 12 7 = 9 7 ， 20 PH= 9 7 ， OP=4 9 7 = 19 7 ， P 点坐标为(19 7 ,0); 当 PD=PQ,DPQ=90，如图 3，作 QAx 轴于 A，DHx 轴与 H， P 点坐标为(1 97 2 ,0). 故答案为(5，0)、( 19 7 ，0)、 ，(1 97 2 ,0). 6如图，长方形 ABCD 中，A=ABC=BCD=D=90 ，AB=CD=6，
24、AD=BC=10，点 E 为射线 AD 上的 一个动点，若ABE 与ABE 关于直线 BE 对称，当ABC 为直角三角形时，AE 的长为_ 【答案】2 或 18 【解析】 21 解：如图 在 RTCB A中，AC=8, AE= AE=CE- AC=10-8=2; 如图 22 7如图，BOC=60 ，点 A 是 BO 延长线上的一点，OA=10cm，动点 P 从点 A 出发沿 AB 以 2cm/s 的速度 移动，动点 Q 从点 O 出发沿 OC 以 1cm/s 的速度移动，如果点 P，Q 同时出发，用 t（s）表示移动的时间， 当 t=_s 时，POQ 是等腰三角形；当 t=_s 时，POQ 是
25、直角三角形 【答案】或 10 【解析】 如图，当 PO=QO 时，POQ 是等腰三角形 PO=AOAP=102t，OQ=1t 当 PO=QO 时，102t=t 23 解得 t=； 如图，当 PO=QO 时，POQ 是等腰三角形 PO=APAO=2t10，OQ=1t， 当 QO=2OP 时,t=2 (2t10) 解得 t=； 如图，当 PQOC 时，POQ 是直角三角形，且 2QO=OP PO=APAO=2t10，OQ=1t， 当 2QO=OP 时，2t=2t10 方程无解. 故答案为：(1). 或 10 (2). 8如图，AB 是O 的直径，弦 BC=6cm，AC=8cm若动点 P 以 2cm
26、/s 的速度从 B 点出发沿着 BA 的方 向运动，点 Q 以 1cm/s 的速度从 A 点出发沿着 AC 的方向运动，当点 P 到达点 A 时，点 Q 也随之停止运 24 动设运动时间为 t(s)，当APQ 是直角三角形时，t 的值为_ 【答案】， 【解析】 【分析】 应分两种情况进行讨论：当 PQAC 时，APQ 为直角三角形，根据APQABC，可将时间 t 求出； 当 PQAB 时，APQ 为直角三角形，根据APQACB，可将时间 t 求出 【详解】 当点 P 到达点 A 时，点 Q 也随之停止运动， 0t5， 如图 1，当 PQAC 时，PQBC，则 25 9如图，已知抛物线的对称轴为
27、直线，且抛物线与 轴交于 、 两点，与 轴 交于 点，其中，. （1）若直线经过 、 两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点 ，使点 到点 的距离与到点 的距离之和最小，求出点 的坐标； （3）设点 为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点 的坐标. 【答案】 （1）抛物线的解析式为，直线的解析式为.（2）； （3） 的坐标为 或或或. 【解析】 26 （2）直线与对称轴的交点为 ，则此时的值最小，把代入直线得， .即当点 到点 的距离与到点 的距离之和最小时 的坐标为. （注： 本题只求 坐标没说要求证明为何此时的值最小， 所以答案未证明的值最小的原因） .
28、 （3）设，又， ， 若点 为直角顶点，则，即：解得：， 若点 为直角顶点，则，即：解得：， 若点 为直角顶点，则，即：解得： ，. 综上所述 的坐标为或或或. 10如图所示，已知抛物线经过点 A （2，0） 、 B （4，0） 、 C （0，8） ，抛物线 y a x 2 b x c （a0）与直线 y x 4 交于 B ， D 两点 27 （1）求抛物线的解析式并直接写出 D 点的坐标； （2）点 P 为抛物线上的一个动点，且在直线 BD 下方，试求出 BDP 面积的最大值及此时点 P 的坐标； （3） 点 Q 是线段 BD 上异于 B 、 D 的动点， 过点 Q 作 QF x 轴于点 F
29、 ， 交抛物线于点 G 当 QDG 为直角三角形时，求点 Q 的坐标 【答案】 （1） (-1，-5)； （2） ( 3 2 ，- 35 4 )； （3） (2，-2)或 (3，-1) 试题解析： （1）设抛物线的解析式为 y=a（x+2） （x-4） ，将点 C 的坐标代入得：-8a=-8，解得：a=1， 抛物线的解析式为 y=x2-2x-8 将 y=x-4 代入抛物线的解析式得：x2-2x-8=x-4，解得：x=4 或 x=-1， 将 x=-1 代入 y=x-4 得：y=-5 D（-1，-5） （2）如图所示： 28 （3）设直线 y=x-4 与 y 轴相交于点 K，则 K（0，-4） ，
30、设 G 点坐标为（x，x2-2x-8） ，点 Q 点坐标为（x， x-4） B（4，0） ， OB=OK=4 OKB=OBK=45 QFx 轴， DQG=45 若QDG 为直角三角形，则QDG 是等腰直角三角形 当QDG=90 时，过点 D 作 DHQG 于 H， 当DGQ=90 ，则 DH=QH 29 -x2+3x+4=x+1，解得 x=-1（舍去）或 x=3， Q2（3，-1） 综上所述，当QDG 为直角三角形时，点 Q 的坐标为（2，-2）或（3，-1） 11如图，抛物线 y=ax25ax+c 与坐标轴分别交于点 A，C，E 三点，其中 A（3，0） ，C（0，4） ，点 B 在 x 轴
31、上， AC=BC， 过点 B 作 BDx 轴交抛物线于点 D， 点 M， N 分别是线段 CO， BC 上的动点， 且 CM=BN， 连接 MN，AM，AN （1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标； （2）当CMN 是直角三角形时，求点 M 的坐标； （3）试求出 AM+AN 的最小值 【答案】 （1）抛物线解析式为 y= x2+ x+4；D 点坐标为（3，5） ； （2）M 点的坐标为（0，）或（0，） ； （3）AM+AN 的最小值为 【解析】 30 （2）在 RtOBC 中，BC=5， 设 M（0，m） ，则 BN=4m，CN=5（4m）=m+1， MCN=OCB， 当时，CMNCOB，
32、则CMN=COB=90 ， 即，解得 m=，此时 M 点坐标为（0，） ； 当时，CMNCBO，则CNM=COB=90 ， 即，解得 m=，此时 M 点坐标为（0，） ； 综上所述，M 点的坐标为（0，）或（0，） ； 31 12如图所示，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 A（2，0） 、B（4，0） 、C（0，8） ，与直线 y=x 4 交于 B，D 两点 （1）求抛物线的解析式并直接写出 D 点的坐标； （2）点 P 为直线 BD 下方抛物线上的一个动点，试求出BDP 面积的最大值及此时点 P 的坐标； （3）点 Q 是线段 BD 上异于 B、D 的动点，过点 Q 作 QFx
33、 轴于点 F，交抛物线于点 G，当QDG 为直角 三角形时，直接写出点 Q 的坐标 32 【答案】 （1）y=（x+2） （x4） ，D 的坐标是（1，5） ； （2）P（ ，） ； （3）点 Q 的坐标为（2， 2）或（3，1） 【解析】 （2）如图所示： 过点 P 作 PEy 轴，交直线 AB 与点 E，设 P（x，x22x8） ，则 E（x，x4） PE=x4（x22x8）=x2+3x+4 33 SBDP=SDPE+SBPE= PE（xpxD）+PE（xBxE）=PE（xBxD）=（x2+3x+4）=（x） 2+ 当 x=时，BDP 的面积的最大值为 P（，） QG=2DH，QG=x2+
34、3x+4，DH=x+1， x2+3x+4=2（x+1） ，解得：x=1（舍去）或 x=2， Q1（2，2） 当DGQ=90 ，则 DH=QH 34 x2+3x+4=x+1，解得 x=1（舍去）或 x=3， Q2（3，1） 综上所述，当QDG 为直角三角形时，点 Q 的坐标为（2，2）或（3，1） 13如图，抛物线与直线交于 A、B 两点.点 A 的横坐标为3，点 B 在 y 轴上，点 P 是 y 轴 左侧抛物线上的一动点，横坐标为 m，过点 P 作 PCx 轴于 C，交直线 AB 于 D. （1）求抛物线的解析式； （2）当 m 为何值时，； （3）是否存在点 P,使PAD 是直角三角形，若存
35、在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】 （1）y=x2+4x-1； （2）m=,-2，或-3 时 S 四边形OBDC=2SSBPD 【解析】试题分析： （1）由 x=0 时带入 y=x-1 求出 y 的值求出 B 的坐标，当 x=-3 时，代入 y=x-1 求出 y 的 值就可以求出 A 的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式； （2）连结 OP，由 P 点的横坐标为 m 可以表示出 P、D 的坐标，可以表示出 S四边形OBDC和 2SBPD建立方程 求出其解即可 35 （3）如图 2，当APD=90 时，设出 P 点的坐标，就可以表示出 D 的坐标，由APDFCD 就可
36、与求出 结论，如图 3，当PAD=90 时，作 AEx 轴于 E，就有,可以表示出 AD，再由PADFEA 由相似三角形的性质就可以求出结论 （2）P 点横坐标是 m（m0） ，P（m，m2+4m-1） ，D（m，m-1） 如图 1，作 BEPC 于 E， BE=-m CD=1-m，OB=1，OC=-m，CP=1-4m-m2， PD=1-4m-m2-1+m=-3m-m2， 解得：m1=0（舍去） ，m2=-2，m3= 如图 1，作 BEPC 于 E， BE=-m PD=1-4m-m2+1-m=2-4m-m2， 解得：m=0（舍去）或 m=-3， 36 m=,-2，或-3 时 S 四边形OBDC
37、=2SBPD； 如图 2，当APD=90 时，设 P（a，a2+4a-1） ，则 D（a，a-1） ， AP=m+4，CD=1-m，OC=-m，CP=1-4m-m2， DP=1-4m-m2-1+m=-3m-m2 解得：m=1 舍去或 m=-2，P（-2，-5） 如图 3，当PAD=90 时，作 AEx 轴于 E， AEF=90 CE=-3-m，EF=4，AF=4 PD=1-m-（1-4m-m2）=3m+m2 PCx 轴，PCx 轴， DCF=90 ， DCF=AEF， AECD AD=(-3-m) PADFEA， 37 m=-2 或 m=-3 P（-2，-5）或（-3，-4）与点 A 重合，舍
38、去， P（-2，-5） 考点：二次函数综合题. 14 （本小题满分 12 分）已知：直线 1 1 2 yx与y轴交于 A，与x轴交于 D，抛物线 2 1 2 yxbxc与 直线交于 A、E 两点，与x轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为 （1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）动点 P 在x轴上移动，当PAE 是直角三角形时，求点 P 的坐标 （3）在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AMMC的值最大，求出点 M 的坐标 （2）设点 E 的横坐标为 m，则它的纵坐标为 2 13 1 22 mm 则 E（m， 2 13 1 22 mm） 又点 E 在直线 1 1 2 yx上， 2 131 1
39、1 222 mmm 解得 1 0m （舍去） ， 2 4m E 的坐标为（4，3） y x O D E A B C 38 （）当 A 为直角顶点时 过 A 作 1 APDE交x轴于 1 P点，设 1( 0) P a， 易知 D 点坐标为（2，0） 由RtRtAODPOA得 DOOA OAOP 即 21 1a ，a 2 1 1 1 0 2 P ， （）同理，当E为直角顶点时， 2 P点坐标为（11 2 ，0） ） （3）抛物线的对称轴为 3 2 x B、C 关于x 2 3 对称， MCMB 要使|AMMC最大，即是使|AMMB最大 由三角形两边之差小于第三边得，当 A、B、M 在同一直线上时|A
40、MMB的值最大 y x O D E A B C P1 F P2 P3 M 39 易知直线 AB 的解折式为1yx 由 1 3 2 yx x 得 3 2 1 2 x y M（ 2 3 ， 2 1 ） 【解析】略 15如图，抛物线与 x 轴相交于点 A、B，与 y 轴相交于点 C，抛物线的对称轴与 x 轴相 交于点 MP 是抛物线在 x 轴上方的一个动点（点 P、M、C 不在同一条直线上） 分别过点 A、B 作直线 CP 的垂线，垂足分别为 D、E，连接点 MD、ME （1）求点 A，B 的坐标（直接写出结果） ，并证明MDE 是等腰三角形； （2）MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点 P
41、 的坐标；若不能，说明理由； （3）若将“P 是抛物线在 x 轴上方的一个动点（点 P、M、C 不在同一条直线上）”改为“P 是抛物线在 x 轴 下方的一个动点”，其他条件不变，MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点 P 的坐标（直接写出结 果） ；若不能，说明理由 【答案】 （1）A（1，0） ，B（5，0） ，证明见解析 （2）MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 坐标为（ ，3） （3）能。此时点 P 坐标为（，） 。 【解析】 试题分析： （1）在抛物线解析式中，令 y=0，解一元二次方程，可求得点 A、点 B 的坐标。如答图 1 所示， 作辅助线，构造全等三角形AMFBME
42、，得到点 M 为为 RtEDF 斜边 EF 的中点，从而得到 MD=ME， 问题得证。 40 在中，令 y=0，即，解得 x=1 或 x=5， A（1，0） ，B（5，0） 。 如答图 1 所示，分别延长 AD 与 EM，交于点 F， （2）首先分析，若MDE 为等腰直角三角形，直角顶点只能是点 M。如答图 2 所示，设直线 PC 与对称轴 交于点 N，证明ADMNEM，得到 MN=AM，从而求得点 N 坐标为（3，2） ；利用点 N、点 C 坐标， 求出直线 PC 的解析式；最后联立直线 PC 与抛物线的解析式，求出点 P 的坐标。 能。 ，抛物线的对称轴是直线 x=3，M（3，0） 令 x
43、=0，得 y=4，C（0，4） 。 MDE 为等腰直角三角形，有 3 种可能的情形： 若 DEEM， 由 DEBE，可知点 E、M、B 在一条直线上，而点 B、M 在 x 轴上，因此点 E 必然在 x 轴上。 由 DEBE，可知点 E 只能与点 O 重合，即直线 PC 与 y 轴重合，不符合题意。 故此种情况不存在。 41 若 DEDM，与同理可知，此种情况不存在。 若 EMDM，如答图 2 所示， 直线 PC 解析式为 y=2x4。 将 y=2x4 代入抛物线解析式得：，解得：x=0 或 x= 。 当 x=0 时，交点为点 C；当 x= 时，y=2x4=3。 P（ ，3） 。 综上所述，MD
44、E 能成为等腰直角三角形，此时点 P 坐标为（ ，3） 。 （3）当点 P 是抛物线在 x 轴下方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同： 来源:Z。xx。k.Com 如答题 3 所示，设对称轴与直线 PC 交于点 N， 42 直线 PC 解析式为 y= x4。 将 y= x4 代入抛物线解析式得：，解得：x=0 或 x=。 当 x=0 时，交点为点 C；当 x=时，y= x4=。P（，） 。 综上所述，MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 坐标为（，） 。 16如图，直线与抛物线相交于 和，点 P 是线段 AB 上异于 A、 B 的动点，过点 P 作轴于点 D，交抛物线于点 C 求抛物线
45、的解析式； 是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； 连接 AC，直接写出为直角三角形时点 P 的坐标 43 【答案】 （1）； （2）当时，线段 PC 最大且为； （3）为直角三角形时，点 P 的 坐标为或 【解析】 在直线上， ， ， ，在抛物线上， ，解得， 抛物线的解析式为； 为直角三角形， 44 若点 P 为直角顶点，则， 由题意易知，轴，因此这种情形不存在； 若点 A 为直角顶点，则， 如图 1，过点作轴于点 N，则， 过点 A 作直线 AB，交 x 轴于点 M，则由题意易知，为等腰直角三角形， ， ， ， 设直线 AM 的
46、解析式为：， 则：，解得， 45 若点 C 为直角顶点，则 ， 抛物线的对称轴为直线， 如图 2，作点关于对称轴的对称点 C， 则点 C 在抛物线上，且， 当时， ， 点、均在线段 AB 上， 综上所述，为直角三角形时，点 P 的坐标为或 17如图，抛物线 y=x2x+与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求该抛物线的对称轴和线段 AB 的长； （2）如图 1，已知点 D（0，） ，点 E 是直线 AC 上访抛物线上的一动点，求AED 的面积的最大值； （3）如图 2，点 G 是线段 AB 上的一动点，点 H 在第一象限，ACGH，AC=GH，ACG 与ACG 关于 直线 CG 对称，是否存在点 G，使得ACH 是直角三角形？
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