1、 1 【类型综述】 线段和差的最值问题，常见的有两类： 第一类问题是“两点之间，线段最短” 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”第二类问题是 “两点之间，线段最短”结合“垂线段最短” 【方法揭秘】 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图 1） 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对 称轴“反射镜面”（如图 2） 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值 就是第三边的长如图 3，PA
2、 与 PB 的差的最大值就是 AB，此时点 P 在 AB 的延长线上，即 P 来源: 解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题 图 1 图 2 图 3 如图 4，正方形 ABCD 的边长为 4，AE 平分BAC 交 BC 于 E点 P 在 AE 上，点 Q 在 AB 上，那么BPQ 周长的最小值是多少呢？ 如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE 是河流，但是点 Q 不确定啊 第一步，应用“两点之间，线段最短”如图 5，设点 B 关于“河流 AE”的对称点为 F，那么此刻 PFPQ 的 最小值是线段 FQ 第二步，应用“垂线段最短”如图 6，在点 Q 运动过程中，
3、FQ 的最小值是垂线段 FH 这样，因为点 B 和河流是确定的，所以点 F 是确定的，于是垂线段 FH 也是确定的 2 图 4 图 5 图 6 【典例分析】 例 1 如图 1，二次函数 ya(x22mx3m2)（其中 a、m 是常数，且 a0，m0）的图像与 x 轴分别交于 A、B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C(0,3)，点 D 在二次函数的图像上，CD/AB，联结 AD过 点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点 E，AB 平分DAE （1）用含 m 的式子表示 a； （2）求证： AD AE 为定值； （3）设该二次函数的图像的顶点为 F探索：在 x 轴的负半轴上
4、是否存在点 G，联结 GF，以线段 GF、AD、 AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在， 只要找出一个满足要求的点 G 即可， 并用含 m 的代 数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由 图 1 思路点拨 1不算不知道，一算真奇妙通过二次函数解析式的变形，写出点 A、B、F 的坐标后，点 D 的坐标也可 以写出来点 E 的纵坐标为定值是算出来的 2在计算的过程中，第（1）题的结论 2 1 a m 及其变形 2 1am 反复用到 3注意到点 E、D、F 到 x 轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4） ，因此过点 F 作 AD 的平行线与 x 轴的交点，就是要求的点 G 满
5、分解答 3 （1）将 C(0,3)代入 ya(x22mx3m2)，得33am2因此 2 1 a m 所以 am(x3m)1结合 2 1 a m ，于是得到 x4m 当 x4m 时，ya(xm)(x3m)5am25所以点 E 的坐标为(4m, 5) 所以 3 5 ADDD AEEE 图 2 图 3 （3）如图 3，由 E(4m, 5)、D(2m,3)、F(m,4)， 可知点 E、D、F 到 x 轴的距离分别为 5、4、3 那么过点 F 作 AD 的平行线与 x 轴的负半轴的交点，就是符合条件的点 G 证明如下：作 FFx 轴于 F，那么 4 3 GFFF ADDD 因此 534 AEADGF 所
6、以线段 GF、AD、AE 的长围成一个直角三角形 此时 GF4m所以 GO3m，点 G 的坐标为(3m, 0) 考点伸展 第（3）题中的点 G 的另一种情况，就是 GF 为直角三角形的斜边 此时 5334 AEADGF 因此34GFm 4 所以( 341)GOm此时(34 ,0)G mm 例 2 如图 1，已知抛物线的方程 C1： 1 (2)()yxxm m (m0)与 x 轴交于点 B、C，与 y 轴交于点 E， 且点 B 在点 C 的左侧 （1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值； （2）在（1）的条件下，求BCE 的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找
7、一点 H，使得 BHEH 最小，求出点 H 的坐标； （4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与BCE 相似？若存 在，求 m 的值；若不存在，请说明理由 图 1 思路点拨 1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小 2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF，作CBFEBC45 ，或者作 BF/EC再用含 m 的式子表示点 F 的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于 m 的方程 满分解答 设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么 HPEO CPCO 因此 2 34 HP 解得 3 2 HP 所以点
8、 H 的坐标为 3 (1, ) 2 5 由 2 BCCE BF，得 2 22 (4)4 (2)4 mm mm m 整理，得 016此方程无解 图 2 图 3 图 4 如图 4，作CBF45 交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F， 由于EBCCBF，所以 BEBC BCBF ，即 2 BCBE BF时，BCEBFC 在 RtBFF中，由 FFBF，得 1 (2)()2xxmx m 解得 x2m所以 F(2 ,0)m所以 BF2m2， 2(22)BFm 由 2 BCBE BF，得 2 (2)2 22(22)mm解得22 2m 综合、，符合题意的 m 为2 2 2 考点伸展 第（4）题也可
9、以这样求 BF 的长： 在求得点 F、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求 BF 的长 例 3 如图 1，抛物线 yax2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； 6 图 1 思路点拨 第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点 P 在线段 BC 上时PAC 的周长最小 满分解答 当点 P 落在线段 BC 上时，PAPC 最小，PAC 的周长最小 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H 由 BHPH BOCO ，BOCO，得 PHBH2
10、 所以点 P 的坐标为(1, 2) 图 2 考点伸展 在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不 存在，请说明理由 7 如图 5，当 CMCA 时，CM2CA2解方程 1(m3)210，得 m0 或 6 当 M(1, 6)时，M、A、C 三点共线，所以此时符合条件的点 M 的坐标为(1,0) 图 3 图 4 图 5 例 4 如图 1，已知 A、B 是线段 MN 上的两点，4MN，1MA，1MB以 A 为中心顺时针旋转点 M， 以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成ABC，设xAB （1）求 x 的取值范
11、围； （2）若ABC 为直角三角形，求 x 的值； （3）探究：ABC 的最大面积？ 图 1 思路点拨 1根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于 x 的不等式组，可以求得 x 的取值范围 2分类讨论直角三角形 ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性 3把ABC 的面积 S 的问题，转化为 S2的问题AB 边上的高 CD 要根据位置关系分类讨论，分 CD 在三角 8 形内部和外部两种情况 满分解答 （1）在ABC 中，1AC，xAB ，xBC 3，所以 .31 ,31 xx xx 解得21 x 边平方，得 22222 112)3(hhxxhx 整理，得
12、431 2 xhx 两边平方，得 16249)1 ( 222 xxhx整理，得16248 222 xxhx 所以462 4 1 2222 xxhxS 2 1 ) 2 3 (2 2 x（ 4 2 3 x ） 当 2 3 x时（满足 4 2 3 x ） ， 2 S取最大值 2 1 ，从而 S 取最大值 2 2 图 2 图 3 如图 3，若点 D 在线段 MA 上，则xhhx 222 1)3( 同理可得，462 4 1 2222 xxhxS 2 1 ) 2 3 (2 2 x（ 4 1 3 x） 易知此时 2 2 S 综合得，ABC 的最大面积为 2 2 考点伸展 9 第（3）题解无理方程比较烦琐，迂
13、回一下可以避免烦琐的运算：设aAD ， 来源:+网 例如在图 2 中，由 2222 BDBCADAC 列方程 222 )()3(1axxa 整理，得 x x a 43 所以 2 1a 2 2 2 1624843 1 x xx x x 因此462)1 ( 4 1 2222 xxaxS 例 5 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax22ax3a（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，经过点 A 的直线 l：ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD4AC （1）直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含
14、a 的式子表示） ； （2）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积的最大值为 5 4 ，求 a 的值； （3）设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩 形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由 图 1 备用图 思路点拨 1过点 E 作 x 轴的垂线交 AD 于 F，那么AEF 与CEF 是共底的两个三角形 2以 AD 为分类标准讨论矩形，当 AD 为边时，AD 与 QP 平行且相等，对角线 APQD；当 AD 为对角线 时，AD 与 PQ 互相平分且相等 满分解答 （1）由 yax22ax3aa(x1)(x
15、3)，得 A(1, 0) 由 CD4AC，得 xD4所以 D(4, 5a) 由 A(1, 0)、D(4, 5a)，得直线 l 的函数表达式为 yaxa 10 由 yDyAyPyQ，得 yP26a所以 P(1, 26a) 由 AP2QD2，得 22(26a)282(16a)2 整理，得 7a21所以 7 7 a 此时 P 26 7 (1) 7 ， 如图 3，如果 AD 为矩形的对角线，那么 AD 与 PQ 互相平分且相等 由 xDxAxPxQ，得 xQ2所以 Q(2,3a) 由 yDyAyPyQ，得 yP8a所以 P(1, 8a) 由 AD2PQ2，得 52(5a)212(11a)2 整理，得
16、4a21所以 1 2 a 此时 P(14)， 图 1 图 2 图 3 考点伸展 第（3）题也可以这样解设 P(1,n) 如图 2，当 AD 时矩形的边时，QPD90 ，所以 AMDN MDNP ，即 55 53 an a 11 解得 2 35a n a 所以 P 2 35 (1,) a a 所以 Q 3 ( 4,) a 将 Q 3 ( 4,) a 代入 ya(x1)(x3)，得 3 21a a 所以 7 7 a 如图 3，当 AD 为矩形的对角线时，先求得 Q(2,3a) 由AQD90 ，得 AGQK GQKD ，即 32 335 a aa 解得 1 2 a 【变式训练】 1如图，已知，以为圆
17、心，长为半径作 ， 是上一个动点，直线交 轴于 点， 则面积的最大值是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 当直线 AN 与B 相切时，AOM 面积的最大设 BM=x，由切割线定理表示出 MN，可证明BNM AOM，根据相似三角形的性质可求得 x，然后求得AOM 面积 【详解】 当直线 AN 与B 相切时，AOM 面积的最大 连接 AB、BN， 在 RtAOB 和 RtANB 中 12 RtAOBRtANB， AN=AO=2， 解得 x= ， SAOM= 故选 B 2如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中 AB=4，AOC=120 ，P 为O 上的动点，连 AP，取
18、 AP 中点 Q，连 CQ，则线段 CQ 的最大值为（ ） A3 B1+ C1+3 D1+ 【答案】D 【解析】 【分析】 如图，连接 OQ，作 CHAB 于 H首先证明点 Q 的运动轨迹为以 AO 为直径的K，连接 CK，当点 Q 在 CK 的延长线上时，CQ 的值最大，利用勾股定理求出 CK 即可解决问题. 【详解】 解：如图，连接 OQ，作 CHAB 于 H 13 AQ=QP， OQPA， AQO=90 ， 点 Q 的运动轨迹为以 AO 为直径的K，连接 CK， 3如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD3，P 是边 CD 上一点，将ADP 沿直线 AP 对折，得到APQ当 射线 BQ 交
19、线段 CD 于点 F 时，DF 的最大值是（ ） A3 B2 C47 D45 【答案】C 14 【解析】 4如图，由两个长为 ，宽为 的全等矩形叠合而得到四边形，则四边形面积的最大值是（ ） A15 B16 C19 D20 【答案】A 【解析】 如图 1，作 AEBC 于 E，AFCD 于 F， ， ADBC,ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， 两个矩形的宽都是 3， 15 AE=AF=3， S 四边形 ABCD=AEBC=AFCD， BC=CD， 平行四边形 ABCD 是菱形。 如图 2， ， 5如图，在菱形 ABCD 中，AB=6，A=135 ，点 P是菱形内部一点，且满足，则
20、PC+PD 的最小值为（ ） A B C6 D 【答案】B 【解析】分析：在 BC 上截取点 E使 CE= BC=2,过点 E作 EF/AD，交 AD于点 F， 由可 知点 P线段 EF 上，作 C与 C 关于 EF对称，连接 DC，则 DC的长即是 PC+PD的最小值. 详解：在 BC 上截取点 E使 CE= BC=2,过点 E 作 EF/AD，交 AD 于点 F， 16 当点 P 在线段 EF 上是时，. 6如图，在 ABC 中，ABAC5，BC6，ADBC 于 D，点 E，F 分别在 AD，AB 是，则 BEEF 的 最小值是 A4 B4.8 C5 D5.4 【答案】B 【解析】作 F关
21、于 AD 的对称点 M,连接 BM 交 AD于 E,连接 EF,过 B 作 BNAC于 N,已知 ABAC5， BC6，ADBC于 D，根据等腰三角形的三线合一的性质可得 BD=CD=3，AD平分BAC,即可得点 M在 AC 上,在 RtABD 中，由勾股定理求得 AD=4，所以，由此求得 BN=4.8， 再由点 F关于 AD 的对称点 M 可得 EF=EM，所以 BE+EF=BE+EM=BM，根据垂线段最短得出:BMBN,即 BE+EF4.8 ,即 BE+EF 的最小值是 4.8，故选 B. 17 7在 RtABC 中，ACB=90 ，AC=4，BC=8，D，E 是 AB 和 BC 上的动点
22、，连接 CD，DE 则 CD+DE 的最小值为（ ） A8 B C D 【答案】D 【解析】 【分析】 根据轴对称的性质，可得 C的对称点 C，然后过 C作垂线可得 CE，再根据垂线段最短可知 CD+DE最短， 再利用直角三角形的性质求得 CC的长，继而得知CCEABC，利用相似三角形的对应边成比例，求 出答案. 【详解】 过 C作 C 关于 AB 的对称点 C，然后过 C作 CEBC，垂足为 E，交 AB于 D，则 CE=CD+DE=CD+DE 最短， AC=4,BC=8 AB= CF= = 18 二、解答题 8问题发现： （ ） 如图，中， 点 是边上任意一点， 则的最小值为_ （ ）如图
23、，矩形中，点 、点 分别在、上，求的最小值 （ ）如图，矩形中，点 是边上一点，且，点 是边上的任意一点， 把沿翻折，点 的对应点为点 ，连接、，四边形的面积是否存在最小值，若存在，求 这个最小值及此时的长度；若不存在，请说明理由 【答案】(1) ;(2) 的最小值为.(3) 【解析】试题分析： （1）根据两种不同方法求面积公式求解； （2）作 关于的对称点 ，过 作的垂线， 垂足为 ，求的长即可;(3) 连接，则，则点 的 轨迹为以 为圆心， 为半径的一段弧过 作的垂线，与 交于点 ，垂足为 ，由求得 GM的值，再由 求解即可. 19 试题解析： （ ）从 到距离最小即为过 作的垂线，垂足为
24、 ， ， ， （ ）作 关于的对称点 ，过 作的垂线，垂足为 ，且与交于 ， 则的最小值为的长， 设与交于 ，则， ，且， ， ， 来源: ， 即的最小值为 （ ）连接，则， 20 ， ， 9问题提出：如图 1，在 RtABC 中，ACB=90 ，CB=4，CA=6，C 半径为 2，P 为圆上一动点，连结 AP、BP，求 AP+ BP 的最小值 （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 2，连接 CP，在 CB 上取点 D，使 CD=1， 则有，又PCD=BCP，PCDBCP，PD= BP，AP+ BP=AP+PD 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+ BP 的最小值
25、为 （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， AP+BP 的最小值为 （3）拓展延伸：已知扇形 COD 中，COD=90 ，OC=6，OA=3，OB=5，点 P 是上一点，求 2PA+PB 的 最小值 21 【答案】 （1）； （2）； （3）13 【解析】 试题分析： （1）连结 AD，最短为 AD=； （2）连接 CP，在 CA 上取点 D，使 CD ，则有 ，可证PCDACP，得到 PD AP，故 AP BPBPPD，从而 APBP 的最小值为 BD； （3）延长 OA 到点 E，使 CE6，连接 PE、OP，可证OAPOPE，得到 EP2PA，得到 2PAPB EPPB，当
26、E、P、B 三点共线时，得到最小值 试题解析： （1）连结 AD，最短为 AD=； （2）连接 CP，在 CA 上取点 D，使 CD ，则有 ，又PCDACP，PCDACP， ，PD AP， APBPBPPD， APBP 的最小值为 BD=； 考点：圆的综合题 22 10已知二次函数 y=x2+2bx+c（b、c 为常数） （）当 b=1，c=3 时，求二次函数在2x2 上的最小值； （）当 c=3 时，求二次函数在 0 x4 上的最小值； （）当 c=4b2时，若在自变量 x 的值满足 2bx2b+3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 21，求 此时二次函数的解析式 【答案】 （）
27、4（）3，b2+3；8b+19（）y=x2+x+7，b=（舍）或 b=（舍）b= 或 b=2，此时二次函数的解析式为 y=x2+x+7 或 y=x24x+16 【解析】 （）把 b=2，c=3 代入函数解析式，求二次函数的最小值； （）根据当 c=5时，若在函数值 y=l 的情况下，只有一个自变量 x的值与其对应，得到 x2+bx+5=1有两个 相等是实数根，求此时二次函数的解析式； （）当 c=b2时，写出解析式，分三种情况减小讨论即可 （）当 c=4b2时，二次函数的解析式为 y=x2+2bx+4b2，它的开口向上，对称轴为 x=b 的抛物线， 若b2b，即 b0 时，在自变量 x 的值满
28、足 2bx2b+3 的情况下，与其对应的函数值 y 随 x 增大而增 大， 当 x=2b 时，y=（2b）2+2b 2b+（2b）2=12b2为最小值， 12b2=21，b= 或 b=（舍）二次函数的解析式为 y=x2+x+7， 若 2bb2b+3，即1b0， 当 x=b 时，代入 y=x2+2bx+4b2，得 y 最小值为 3b2， 3b2=21b= （舍）或 b=（舍） ， 若b2b+3，即 b1，在自变量 x 的值满足 2bx2b+3 的情况下，与其对应的函数值 y 随 x 增大而 减小， 当 x=2b+3 时，代入二次函数的解析式为 y=x2+2bx+4b2中，得 y 最小值为 12b
29、2+18b+9， 23 12b2+18b+9=21，b=2 或 b= （舍） ，二次函数的解析式为 y=x24x+16 综上所述，b=或 b=2，此时二次函数的解析式为 y=x2+ x+7 或 y=x24x+16 “点睛”本题考查了二次函数的最值： 当 a0时， 抛物线在对称轴左侧， y随 x的增大而减少； 在对称轴右侧， y随 x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当 x= 2 b a 时，y= 2 4 4 acb a ；当 a0时， 抛物线在对称轴左侧，y随 x 的增大而增大；在对称轴右侧，y随 x 的增大而减少，因为图象有最高点，所 以函数有最大值，当 x= 2 b a
30、时，y= 2 4 4 acb a ；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当 自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函 数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值 11已知四边形 ABCD，ADBC，ABBC，AD=1，AB=2，BC=3 （1）如图 1，若 P 为 AB 边上一点以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ 的长是否存在最小 值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由 （2）若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使 DE=PD，再以 PE，PC 为边作平行四边形 PCQE，
31、请问 对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请直接写出最小值，如果不存在，请说明理由 （3）如图 2，若 P 为直线 DC 上任意一点，延长 PA 到 E，使 AE=AP，以 PE、PB 为边作平行四边形 PBQE， 请问对角线 PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由 【答案】 （1）存在，理由见解析，当 PQAB 时，PQ 的长最 小，即为 4 （2）存在，理由见解析， 当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 5 （3）存在，理由见解析，最小值为13 【解析】试题分析： （1）在平行四边形 PCQD中，设对角线 PQ 与 DC相交于点 G，则 G 是
32、 DC的中点，过 点 Q 作 QHBC，交 BC的延长线于 H，使得 RtADPRtHCQ，进而求出最小值； 24 （2）设 PQ 与 DC相交于点 G，作 QHBC，交 BC的延长线于 H，可得 RtADPRtHCQ，进而求出最 小值； （3）设 PQ 与 AB 相交于点 G，由平行线分线段成比例定理可得 1 22 DGPD GCPD .作 QHPD，交 CB 的延 长线于 H，过点 C 作 CKCD，交 QH 的延长线于 K，可证ADPBHQ， 从而 1 2 ADPA BHBQ .过点 D 作 DMBC 于 M，则四边形 ABND 是矩形，可求DCM=45 ，从而求出 CD、 CK 的值，
33、可知当 D 与 P 重合时的 PQ 长就是 PQ 的最小值. 解： （1）存在，理由如下： 在ADP 和HCQ 中， ADPHCQ（AAS） ， AD=HC， 来源:Zxxk.Com AD=1，BC=3， BH=4， 当 PQAB 时，PQ 的长最 小，即为 4 25 （2）存在，理由如下： 作 QHBC，交 BC 的延长线于 H， 同（2）得：ADP=QCH， RtADPRtHCQ， =， CH=2， BH=BC+CH=3+2=5， 当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 5 （3）存在，理由如下： 如图 4，设 PQ 与 AB 相交于点 G， 26 四边形 PBQE 是平行四边形， PEB
34、Q，PE=BQ， ， AE=PA， BQ=2PA， = 过点 D 作 DMBC 于 M， 则四边形 ABND 是矩形， BM=AD=1，DM=AB=2 CM=BCBM=31=2=DM， DCM=45 ， KCH=45 ， CK=CHcos45=5=， 在 RtCDM 中，CD=2， CKCD， 当 PQCD 时，PQ 的长最小，但是，P 点已经不在 CD 上了，到延长线上了， 当 D 与 P 重合时的 PQ 长就是 PQ 的最小值， 此时 Q 与 H 重合，PQ=HD= 27 最小值为 12 （1） 【问题】如图1，点A为线段BC外一动点，且BC a， 6AB 当点A位于_时线 段AC的长取得
35、最大值，且最大值为_（用含a、b的式子表示） （2） 【应用】点A为线段B除外一动点，且3BC ， 1AB 如图2所示，分别以AB、AC为边， 作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD、BE 请找出图中与BE相等的线段，并说明理由 直接写出线段BE长的最大值 （3） 【拓展】如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为2,0，点B的坐标为5,0，点P为线段 AB外一动点， 且2PA ， PMPB ， 90BPM请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的 坐标 【答案】 （1）CB延长线上， ab； （2）BEDC；4（3）3 2 2 ； 22, 2P 【解析】 （1）当三点不共线时，三角形两边
36、之和大于第三边，即ACab； 当A在CB延长线上时， ACab； 当A在线段CB上时， ACab 故当A在CB延长线上时， AC取得最大值，且为ab 28 （2） 依题意得ADAB ， ACAE， 利用等边三角形每个角都是60和角的关系得CADEAB ， 最后根据边角边定理证明CADEAB， 从而推出DCBE 因为DCBE，所以线段DC的最大值即BE的最大值 根据三角形两边之和大于第三边，所以DC最大时即B、C、D三点共线， 得到DC的最大值为4BCDBBCAB， 故BE的最大值为4 由（1）可知，当点N在BA的延长线上时， NB取得最大值， 又因为NBAM，所以此时AM取得最大值 如图 2，
37、点N在BA的延长线上时，过点P作PEx轴于点E 在Rt APN中，由勾股定理得 222 222 2ANPAPNPAPA ， 所以 2 23AMNBANAB 因为PAPN， 90APN，所以NPA是等腰直角三角形， 又因为PEAN，所以 1 2 2 PEAEAN， 又因为点2,0A， 所以 22OEOAAE ， 所以点P坐标为22, 2 29 13如图，已知中，边上的高，四边形 为内接矩形 当矩形是正方形时，求正方形的边长 设，矩形的面积为 ，求 关于 的函数关系式，当 为何值时 有最大值，并求出最大值 【答案】 （1）； （2），当时 有最大值，并求出最大值 【解析】 【分析】 见解析. 【详
38、解】 解：设，则， 四边形为矩形， ， ， ， 当矩形是正方形时， ， 30 解得：； 【点睛】 利用相似的性质求解是解题的关键. 14 如图， 抛物线与坐标轴相交于 、三点，是线段 上一动点 （端点除外） ， 过 作， 交于点 ，连接 直接写出 、 、 的坐标； 求抛物线的对称轴和顶点坐标； 求面积的最大值， 并判断当的面积取最大值时， 以、为邻边的平行四边形是否为菱形 【答案】 （1）、对称轴是直线，顶点坐标是 （3）以、为 邻边的平行四边形不是菱形 【解析】 【分析】 （1）设 y=0，解一元二次方程即可求出 A和 B 的坐标，设 x=0，则可求出 C的坐标 31 （2）抛物线：，所以抛
39、物线的对称轴是直线 x=1，顶点坐标是（1， ） （3）设 P（x，0） （2x4） ，由 PDAC，可得到关于 PD 的比例式，由此得到 PD 和 x 的关系，再求 出 C 到 PD的距离（即 P到 AC的距离） ，利用三角形的面积公式可得到 S和 x 的函数关系，利用函数的性 质即可求出三角形面积的最大值，进而得到 x 的值，所以 PD可求，而 PAPD，所以 PA、PD为邻边的平行 四边形不是菱形 【详解】 （3）设 P（x，0） （2x4） PDAC，解得： C 到 PD 的 距 离 （ 即 P 到 AC 的 距 离 ） ：， PCD 的 面 积 ，PCD 面积的最大值为 3， 当PC
40、D 的面积取最大值时，x=1，PA=4x=3，因为 PAPD，所以以 PA、PD 为邻边的平行四边形不是菱形 【点睛】 本题考查了二次函数和坐标轴的交点问题、平行线分线段成比例定理、特殊角的锐角三角形函数值、二次 函数的最值问题以及菱形的判定，题目的综合性较强，难度中等 15如图，抛物线过 O、A、B 三点，A（4,0）B（1，-3） ，P 为抛物线上一点，过点 P 的直线 y=x+m 与对 称轴交于点 Q. （1）直线 PQ 与 x 轴所夹锐角的度数，并求出抛物线的解析式. （2）当点 P 在 x 轴下方的抛物线上时，过点 C(2,2)的直线 AC 与直线 PQ 交于点 D，求： PD+DQ
41、 的最大 值；PD.DQ 的最大值. 32 【答案】 （1）直线 PQ与 x轴所夹锐角的度数为 45 ，抛物线的解析式为 y=x -4x；(2) PD+DQ的最大值为 6;PD DQ的最大值为 18. 【解析】 【分析】 （1）根据直线的解析式求得直线 PQ与 x 轴所夹锐角的度数，根据抛物线过 O、A、B 三点可求得解析式； （2） 过点 C作 CHx轴交直线 PQ于点 H， 可得CHQ 是等腰三角形， 进而得出 ADPH， 得出 DQ=DH， 从而得出 PD+DQ=PH，过 P 点作 PMCH 于点 M，则PMH 是等腰直角三角形，得出 PH=PM，因为当 PM 最大时，PH最大，通过求得
42、 PM 的最大值，从而求得 PH的最大值； 由可知：PD+PH6，设 PD=a，则 DQ6-a ，得出 PDDQa（6-a）=-a2+6a=-（a-3 ）2+18， 当点 P 在抛物线的顶点时，a=3，得出 PDDQ18 【详解】 （1）对于直线 y=x+m， k=10， 直线 PQ与 x 轴所夹锐角的度数为 45 ， 抛物线抛物线经过点 O， 设抛物线的解析式为 y=ax +bx，把 A（4,0）B（1，-3）代入得 ，解得， 抛物线的解析式为 y=x -4x. 33 则PMH 为等腰直角三角形, PH=PM, 当 PM 最大时,PH最大, 当点 P 在抛物线顶点处时 PM 取最大值,此时
43、PM=6, PH的最大值为 6,即 PD+DQ 的最大值为 6; 由可知 PD+DQ6, 设 PD=a,则 DQ6-a. 设点 P 的坐标为(n,n -4n), 设 AC的解析式为 y=kx+b， 将点 A和点 C的坐标代入得，解得， 则直线 AC的解析式为 y=-x+4， 如图所示，延长 PM 交 AC于点 N， 34 PD=a=PN=4-n-（n -4n）=- （n -3n-4）=- （n- ） + ， 又-0,0n0，可知 214 2 m 不符合题意 214 2 m 20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线1 2 bxaxy交y轴于点A，交x轴正半轴于点)0 , 4(B，与过A 点的直线相
44、交于另一点) 2 5 , 3(D，过点D作xDC 轴，垂足为C. 44 （1）求抛物线的表达式； （2）点P在线段OC上（不与点O、C重合） ，过P作xPN 轴，交直线AD于M，交抛物线于点N， 连接CM，求PCM面积的最大值； （3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为，是否存在，使以点NDCM、为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.来源:Z&X&X&K 【答案】(1) 2 311 1 44 yxx ； （2）当 m= 1 2 时， 25 = 16 S最大 ； （3）当 9201 6 t 时，以点 NDCM、为顶点的四边形是平行四边形. 【解析】 试题解析
45、： （1）把点)0 , 4(B，) 2 5 , 3(D代入抛物线1 2 bxaxy可得， 01641 5 931 2 ab ab 解得， 3 4 11 4 a b 45 2 311 1 44 yxx ； （2） 2 311 1 44 yxx , A(0,1). 设直线 AD 的表达式为y=kx+b， 把 A(0,1)，) 2 5 , 3(D代入得， 1 5 3 2 b kb ，解得， 1 1 2 b b ， 1 1 2 yx 设 p xm （0m3） ， MP= 1 1 2 m ym ， 3 CD xx , PC=3 CP xxm, 1 11 (1)(3)(2)(3) 2 24 MCP Smmmm ， 二次函数的顶点坐标为（ 1 25 , 2 16 ） 即当 m= 1 2 时， 25 = 16 S最大 ； （3）存在. 方程无解； 46 MN=CD= 5 2 , 2 395 442 tt， 解得 1 9201 6 t （舍去） ， 2 9201 6 t ； 综上所述，当 9201 6 t 时，以点NDCM、为顶点的四边形是平行四边形.
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