1、 1 第第 09 讲讲 不等式（组）及其应用不等式（组）及其应用 一、考点知识梳理 【考点 1 不等式的概念及性质】 1不等式：一般地，用不等号连接的式子叫做不等式 2不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的解的全体，叫 做不等式的解集 3不等式的基本性质： 性质 1：不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变； 性质 2：不等式两边同乘(或除以)以一个正数，不等号的方向不变； 性质 3：不等式两边同乘(或除以)以一个负数，不等号的方向改变 【考点【考点 2 2 一元一次不等式及其解法】 1一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的
2、次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式，其一般形 式是 axb0 或 axb0(a0) 2解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为 1. 3一元一次不等式的解集在数轴上的表示 解集在数轴上的表示 xa xa xa 【考点【考点 3 3 一元一次不等式组及其解法】 1一元一次不等式组：含有相同未知数的若干一元一次不等式（一般是两个）所组成的不等式组叫做一元 一次不等式组 2一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分 3解一元一次不等式组的步骤：(1)先求出各个不等式的解集；(2)再利用数轴找它们的公共部分；(
3、3)写 出不等式组的解集 4.求不等式(组)的特殊解，一方面要先求不等式(组)的解集，然后在解集中找特殊解 【考点【考点 4 4 一元一次不等式（组）的应用】 列不等式(组)解应用题的步骤：(1)找出实际问题中的不等关系，设定未知数，列出不等式(组)；(2)解不 等式(组)；(3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案 二、考点分析 2 【考点【考点 1 不等式的概念及性质】 【解题技巧】不等式的基本性质是不等式变形的重要依据，性质 3不等号的方向会发生改变这是不等式 独有的性质 （1）不等式的基本性质 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若
4、 ab，那么 ambm； 不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若 ab，且 m0，那么 ambm 或； 不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若 ab，且 m0，那么 ambm 或； （2）不等式的变形：两边都加、减同一个数，具体体现为“移项” ，此时不等号方向不变，但移项要变 号；两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变 【规律方法】 1应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号 的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于 0 进行分
5、类讨论 2不等式的传递性：若 ab，bc，则 ac 【例 1】 （2019 上海中考）如果 mn，那么下列结论错误的是（ ） Am+2n+2 Bm2n2 C2m2n D2m2n 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求出答案 【解答】解：mn， 2m2n， 故选：D 【举一反三举一反三1-1】 （2019 山东淄博中考模拟）若 xy，则下列式子中错误的是( D ) Ax3y3 B3x3y Cx3y3 D3x3y 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求出答案 【解答】A 是在不等式 xy 的两边都减去 3，是正确的 B 是在不等式 xy 的两边都乘以 3，是正确的 3 C 是在不等式 xy
6、 的两边都加上 3，是正确的 D 是在不等式 xy 的两边都乘以-3，是错误的 故选：D 【举一反三举一反三1-2】 （2019 辽宁葫芦岛中考模拟）四个小朋友玩 跷跷板，他们的体重分别为 P、Q、R、S， 如图 3 所示，则他们的体重大小关系是（ ） A PRSQ B QSPR C SPQR D SPRQ 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求出答案 【解答】跷跷板不平衡时是不等量关系，要注意较低的那边重些，解决此类问题常通过不等式(组)来转换， 由图知 SP，PR，P+RQ+S，所以 SPRS 选 D 【举一反三举一反三1-3】 （2019广东佛山中考模拟）现有不等式的性质： 在不等式
7、的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变； 在不等式的两边都乘以同一个数（或整式） ，乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变， 乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变 请解决以下两个问题： （1）利用性质比较 2a 与 a 的大小（a0） ； （2）利用性质比较 2a 与 a 的大小（a0） 【分析】根据不等式的性质即可求出答案 【解答】 （1）a0 时，a+aa+0，即 2aa， a0 时，a+aa+0，即 2aa； （2）a0 时，21，得 2a1a，即 2aa； a0 时，21，得 2a1a，即 2aa 【考点【考点 2 2 一元一次不等式及其解法】 【解题技巧】(1)已知一元
8、一次不等式(组)的解集，确定其中字母的取值范围的方法是：逆用不等式(组)的 解集确定；分类讨论确定；从反面求解确定；借助于数轴确定 4 (2)根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去 分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为 1 以上步骤中，只有去分母和化系数为 1 可能用到性质 3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等 号方向 注意：符号“”和“”分别比“”和“”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式 【例 2】 （2019 辽宁大连中考）不等式 5x+13x1 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【答案】B 【分析】
9、先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可 【解答】解：5x+13x1， 移项得 5x3x11， 合并同类项得 2x2， 系数化为 1 得，x1， 在数轴上表示为： 故选：B 【举一反三举一反三2-1】 （2019呼和浩特）若不等式12x 的解集中 x 的每一个值，都能使关于 x 的不 等式 3（x1）+55x+2（m+x）成立，则 m 的取值范围是（ ） Am Bm Cm Dm 【答案】C 【分析】求出不等式12x 的解，求出不等式 3（x1）+55x+2（m+x）的解集，得出关于 m 的不等式，求出 m 即可 【解答】解：解不等式12x 得：x， 不等式12x 的解集中 x 的每一个值，
10、都能使关于 x 的不等式 3 （x1） +55x+2 （m+x） 成立， x， 5 ， 解得：m， 故选：C 【举一反三举一反三2-2】 （2019长春）不等式x+20 的解集为（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【答案】D 【分析】直接进行移项，系数化为 1，即可得出 x 的取值 【解答】解：移项得：x2 系数化为 1 得：x2 故选：D 【举一反三举一反三2-3】 （2019 吉林中考）不等式 3x21 的解集是 【答案】x1 【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上 2 再除以 3，不等号的方向不变 【解答】解：3x21， 3x3， x1， 原不等式的解集为：x1 故答案为
11、 x1 【举一反三举一反三2-4】 （2019 河北保定中考模拟）定义新运算：对于任意实数 a，b，都有 aba(ab)1， 等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：252(25)12(3)1615.若 3x 的值小于 13，求 x 的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来 【分析】利用不等式的基本性质，按照解不等式的步骤给以变形 【解答】由 3x 小于 13，得 3(3x)11. 在数轴上表示如图 【举一反三举一反三2-5】 （2019 江苏南京中考）已知一次函数 y1kx+2（k 为常数，k0）和 y2x3 （1）当 k2 时，若 y1y2，求 x 的取值范围 6 （2）当 x1 时，
12、y1y2结合图象，直接写出 k 的取值范围 【分析】 （1）解不等式2x+2x3 即可； （2）先计算出 x1 对应的 y2的函数值，然后根据 x1 时，一次函数 y1kx+2（k 为常数，k0）的图象 在直线 y2x3 的上方确定 k 的范围 【解答】解： （1）k2 时，y12x+2， 根据题意得2x+2x3， 解得 x； （2）当 x1 时，yx32，把（1，2）代入 y1kx+2 得 k+22，解得 k4， 当4k0 时，y1y2； 当 0k1 时，y1y2 【考点【考点 3 3 一元一次不等式组及其解法】 【解题技巧】解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集
13、的公共部分，利 用数轴可以直观地表示不等式组的解集方法与步骤：求不等式组中每个不等式的解集；利用数轴求 公共部分 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 【例 3】 （2019 山西中考）不等式组的解集是（ ） Ax4 Bx1 C1x4 Dx1 【答案】A 【分析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出其公共解集 【解答】解：， 由得：x4， 由得：x1， 不等式组的解集为：x4， 故选：A 【举一反三举一反三3-1】 （2019 甘肃中考）不等式组的最小整数解是 【答案】0 【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可 7 【解答】解：不等式组整理得：， 不
14、等式组的解集为1x2， 则最小的整数解为 0， 故答案为：0 【举一反三举一反三3-2】 （2019 河南中考）不等式组的解集是 【答案】x2 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式1，得：x2， 解不等式x+74，得：x3， 则不等式组的解集为 x2， 故答案为：x2 【举一反三举一反三3-3】 （2019 湖北黄石中考）若点 P 的坐标为（，2x9） ，其中 x 满足不等式组 ，求点 P 所在的象限 【分析】先求出不等式组的解集，进而求得 P 点的坐标，即可求得点 P 所在的象限 【解答】解
15、：， 解得：x4， 解得：x4， 则不等式组的解是：x4， 1，2x91， 点 P 的坐标为（1，1） ， 点 P 在的第四象限 【举一反三举一反三3-4】 （2019 天津中考）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答 8 （）解不等式，得 ； （）解不等式，得 ； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来； （）原不等式组的解集为 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集 【解答】解： （）解不等式，得 x2； （）解不等式，得 x1； （）把不等式和的解集在数轴上表示出来； （）原不等式组的解集为2x1 故答案为：
16、x2，x1，2x1 【举一反三举一反三3-5】 （2019 浙江温州中考）不等式组的解为 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可 【解答】解：， 由得，x1， 由得，x9， 故此不等式组的解集为：1x9 故答案为：1x9 【考点【考点 4 4 一元一次不等式（组）的应用】 【解题技巧】 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得 到实际问题的答案 （2）列不等式解应用题需要以“至少” 、 “最多” 、 “不超过” 、 “不低于”等词来体现问题中的不等关系因 此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵 9 （3）列一元一次不等式解决实际问题
17、的方法和步骤： 弄清题中数量关系，用字母表示未知数 根据题中的不等关系列出不等式 解不等式，求出解集 写出符合题意的解 【例 4】 （2019哈尔滨）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动 使用若购买 3 副围棋和 5 副中国象棋需用 98 元；若购买 8 副围棋和 3 副中国象棋需用 158 元； （1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元； （2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共 40 副，总费用不超过 550 元，那么寒梅中学最多可以购买多少 副围棋？ 【分析】 （1）设每副围棋 x 元，每副中国象棋 y 元，根据题意得：，求解即可； （2）设购买围棋 z
18、副，则购买象棋（40z）副，根据题意得：16z+10（40z）550，即可求解； 【解答】解： （1）设每副围棋 x 元，每副中国象棋 y 元， 根据题意得：， ， 每副围棋 16 元，每副中国象棋 10 元； （2）设购买围棋 z 副，则购买象棋（40z）副， 根据题意得：16z+10（40z）550， z25， 最多可以购买 25 副围棋； 【举一反三举一反三4-1】 （2019台湾）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表已知阿慧购买 10 盒蛋糕，花费的金额不超过 2500 元若他将蛋糕分给 75 位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花 多少元购买蛋糕？（ ） 10 A21
19、50 B2250 C2300 D2450 【答案】D 【分析】可设阿慧购买 x 盒桂圆蛋糕，则购买（10 x）盒金爽蛋糕，根据不等关系：购买 10 盒蛋糕， 花费的金额不超过 2500 元；蛋糕的个数大于等于 75 个，列出不等式组求解即可 【解答】解：设阿慧购买 x 盒桂圆蛋糕，则购买（10 x）盒金爽蛋糕，依题意有 ， 解得 2x3， x 是整数， x3， 3503+200（103） 1050+1400 2450（元） 答：阿慧花 2450 元购买蛋糕 故选：D 【举一反三举一反三4-2】 （2015 .河北中考）水平放置的容器内原有 210 mm 高的水，如图，将若干个球逐一放入 该容器
20、中，每放入一个大球水面就上升 4 mm，每放入一个小球水面就上升 3 mm，假定放入容器中的所有球 完全浸没水中且水不溢出设水面高为 y mm. (1)只放入大球，且个数为 x大，求 y 与 x大的函数关系式；(不必写出 x大的范围) (2)仅放入 6 个大球后，开始放入小球，且小球个数为 x小 求 y 与 x小的函数关系式；(不必写出 x小的范围) 限定水面高不超过 260 mm，最多能放入几个小球？ 【分析】水面高度与球的个数是一次函数关系 【解答】(1)y4x大210； (2)当 x大6 时，y46210234， y3x小234； 依题意，得 3x小234260， 11 解得 x小82
21、3， x小为自然数，x小最大为 8， 即最多能放入 8 个小球 【举一反三举一反三4-3】 （2019 湖北孝感中考）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 A、B 两种型号的一体机 经过市场调查发现， 今年每套 B 型一体机的价格比每套 A 型一体机的价格多 0.6 万元， 且用 960 万元恰好能购买 500 套 A 型一体机和 200 套 B 型一体机 （1）求今年每套 A 型、B 型一体机的价格各是多少万元？ （2）该市明年计划采购 A 型、B 型一体机共 1100 套，考虑物价因素，预计明年每套 A 型一体机的价格比 今年上涨 25%， 每套 B 型一体机的价格不变， 若
22、购买 B 型一体机的总费用不低于购买 A 型一体机的总费用， 那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？ 【分析】 （1）直接利用今年每套 B 型一体机的价格比每套 A 型一体机的价格多 0.6 万元，且用 960 万元恰 好能购买 500 套 A 型一体机和 200 套 B 型一体机，分别得出方程求出答案； （2）根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案 【解答】解： （1）设今年每套 A 型一体机价格为 x 万元，每套 B 型一体机的价格为 y 万元， 由题意可得：， 解得：， 答：今年每套 A 型的价格各是 1.2 万元、B 型一体机的价格是 1.8 万元； （2）设该
23、市明年购买 A 型一体机 m 套，则购买 B 型一体机（1100m）套， 由题意可得：1.8（1100m）1.2（1+25%）m， 解得：m600， 设明年需投入 W 万元， W1.2（1+25%）m+1.8（1100m） 0.3m+1980， 0.30， W 随 m 的增大而减小， m600， 当 m600 时，W 有最小值0.3600+19801800， 故该市明年至少需投入 1800 万元才能完成采购计划 12 【举一反三举一反三4-4】 （2019 福建中考）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建 了日废水处理量为 m 吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处
24、理但随着工厂生产规模的扩大， 该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理已 知该车间处理废水，每天需固定成本 30 元，并且每处理一吨废水还需其他费用 8 元；将废水交给第三方企 业处理，每吨需支付 12 元根据记录，5 月 21 日，该厂产生工业废水 35 吨，共花费废水处理费 370 元 （1）求该车间的日废水处理量 m； （2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超 过 10 元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围 【分析】 （1）求出该车间处理 35 吨废水所需费用，将其与 350 比
25、较后可得出 m35，根据废水处理费用 该车间处理 m 吨废水的费用+第三方处理超出部分废水的费用，即可得出关于 m 的一元一次方程，解之即 可得出结论； （2）设一天产生工业废水 x 吨，分 0 x20 及 x20 两种情况考虑，利用每天废水处理的平均费用不超过 10 元/吨，可得出关于 x 的一元一次不等式，解之即可得出结论 【解答】解： （1）358+30310（元） ，310350， m35 依题意，得：30+8m+12（35m）370， 解得：m20 答：该车间的日废水处理量为 20 吨 （2）设一天产生工业废水 x 吨， 当 0 x20 时，8x+3010 x， 解得：15x20；
26、当 x20 时，12（x20）+820+3010 x， 解得：20 x25 综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为 15x20 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 13 1.（2019 云南中考）若关于 x 的不等式组的解集是 xa，则 a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da2 【答案】D 【分析】根据不等式组的解集的概念即可求出 a 的范围 【解答】解：解关于 x 的不等式组得 a2 故选：D 2.（2019日照）把不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） A B C D 【答案】C 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大
27、中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集，再把不等式组的解集在数轴上表示出来即可 【解答】解： 解不等式得：x3， 解不等式得：x1， 故不等式组的解集为：3x1， 在数轴上表示为： 故选：C 3.（2019广东佛山中考模拟）一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ） 14 A4 B 5 C6 D 7 【答案】C 【分析】根据解不等式组的方法即可 【解答】解不等式 2x+10 得：x 2 1 ， 解不等式 x50 得：x5， 不等式组的解集是 2 1 x5， 整数解为 0，1，2，3，4，5，共 6 个， 故选 C 4.（2019 安徽中考）已知三个实数 a，b，c 满足 a2b+c0，
28、a+2b+c0，则（ ） Ab0，b2ac0 Bb0，b2ac0 Cb0，b2ac0 Db0，b2ac0 【答案】D 【分析】根据 a2b+c0，a+2b+c0，可以得到 b 与 a、c 的关系，从而可以判断 b 的正负和 b2ac 的正 负情况，本题得以解决 【解答】解：a2b+c0，a+2b+c0， a+c2b，b， a+2b+c（a+c）+2b4b0， b0， b2acac0， 即 b0，b2ac0， 故选：D 5.（2019 河北沧州中考模拟）已知点 P（a+1，2a3）在第一象限，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 B1a Ca1 Da 【答案】D 【分析】根据点的位置得出不等式组，
29、求出不等式组的解集即可 【解答】解：点 P（a+1，2a3）在第一象限， 15 ， 解得：a， 故选：D 6.（2019 山东淄博中考模拟）数学著作算术研究一书中，对于任意实数，通常用x表示不超过 x 的最 大整数，如：3，22，2.13，给出如下结论： xx； 若xn，则 x 的取值范围是 nxn+1； 当1x1 时，1+x+1x的值为 1 或 2； x2.75 是方程 4x2x+50 的唯一一个解 其中正确的结论有（ ） A B C D 【答案】B 【分析】 可举反例； 可根据题意中的规定判断； 当1x0， x0， 0 x1 时， 分类讨论得结论； 根据 x 的取值范围，求出方程的解后判断
30、 【解答】解：因为3.143，所以xx，故错误； 若xn，则 x 的取值范围是 nxn+1，故是正确的； 当1x0 时，1+x+1x0+11， 当 x0 时，1+x+1x1+12， 当 0 x1 时，1+x+1x1+01，综上是正确的； 由题意，得 0 xx1， 4x2x+50， 2xx+0， xxx， 0 x1， 3.5x2.5 当3.5x3 时，方程变形为 4x2（4）+50， 解得 x3.25； 16 当3x2.5 时，方程变形为 4x2（3）+50， 解得 x2.75； 所以3.25 与2.75 都是方程 4x2x+50 的解故是错误的 故选：B 7.（2019 河北衡水中考模拟）一元
31、一次不等式组的最大整数解是（ ） A1 B0 C1 D2 【答案】C 【分析】求出不等式组的解集，即可求出正最大整数解； 【解答】解：， 由得到：2x+640， x1， 由得到：x+13x3， x2， 1x2， 最大整数解是 1， 故选：C 8.（2019 重庆中考）若关于 x 的一元一次不等式组的解集是 xa，且关于 y 的分式方 程1 有非负整数解，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ） A0 B1 C4 D6 【答案】B 【分析】先解关于 x 的一元一次不等式组，再根据其解集是 xa，得 a 小于 5；再解分 式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出 a 的值，再求和即可 1
32、7 【解答】解：由不等式组得： 解集是 xa， a5； 由关于 y 的分式方程1 得 2ya+y4y1 y， 有非负整数解， 0， a3，且 a3，a1（舍，此时分式方程为增根） ，a1，a3 它们的和为 1 故选：B （二）（二）填空题填空题 1. （2019呼和浩特） 对任意实数a， 若多项式2b25ab+3a2的值总大于3， 则实数b的取值范围是 【答案】6b6 【分析】将已知转化为对任意实数 a，3a25ab+2b2+30 恒成立，利用0 即可求解 【解答】解：由题意可知：2b25ab+3a23， 3a25ab+2b2+30， 对任意实数 a，3a25ab+2b2+30 恒成立， 25
33、b212（2b2+3）b2360， 6b6； 故答案为6b6 2.（2019沈阳）二元一次方程组的解是 【答案】6b6 【分析】通过观察可以看出 y 的系数互为相反数，故+可以消去 y，解得 x 的值，再把 x 的值代入或 ，都可以求出 y 的值 【解答】解：， +得：4x8， 18 解得 x2， 把 x2 代入中得：2+2y5， 解得 y1.5， 所以原方程组的解为 故答案为 3.（2019 辽宁绥中中考模拟）一辆公交车每月的支出费用为 3000 元，乘车平均票价为 1.5 元/人，设每月有 x 人乘坐该公交车， 每月收入与支出的差额为 y 元， 当每月乘客量达到 人以上时， 该公交车才不会
34、亏损 【答案】2000 【分析】设当每月乘客量达到 x 人以上时，该公交车才不会亏损，根据题意列出不等式，求出不等式的解 集即可 【解答】解：设当每月乘客量达到 x 人以上时，该公交车才不会亏损， 则 1.5x30000， 解得：x2000， 故答案为：2000 4.（2019 山西大同中考模拟）已知 m，n 都是正整数，且是整数若的最大值是 a，最小值是 b， 则 a+b 【答案】1.8 【分析】将的分子与分母同除以 m 得，由是整数，则 63可以等于1，2， 4 共 6 个值由于 63的最大值为 4，此时最小，即；反之 63的最小值为4，最 大，即；从而可求出 a，b 的值，代入即可 【解
35、答】解：是整数， 631 或2 或4， 63的最大值为 4，此时最小，即的最大值为； 63的最小值为4，此时最大，即的最小值为； 19 的最大值是 a，最小值是 b， a，b； a+b+1.8 故答案为：42，6 5.（2019 河南安阳中考模拟）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分 5 个苹果，则还剩 12 个苹 果；若每位小朋友分 8 个苹果，则有一个小朋友能分到不足 5 个苹果这一箱苹果的个数是 ， 小朋友的人数是 【答案】1.8 【分析】设小朋友为 x 人，根据每位小朋友分 5 个苹果，则还剩 12 个苹果，表示出苹果的个数，再由每位 小朋友分 8 个苹果，根据人数为 x 人，用
36、总苹果数减去前 x1 人、每人 8 个所分的苹果数，即为最后一名 小朋友分到的苹果数，再利用最后一位小朋友分到了苹果，但不足 5 个列出关于 x 的不等式，求出不等式 的解集，在解集中找出正整数解得到 x 的值，即为小朋友的人数，即可得到一箱苹果的个数 【解答】解：设有 x 位小朋友，则苹果为（5x+12）个， 依题意得：05x+128（x1）5， 可化为：， 解得：5x， x 是正整数， x6， 当 x6 时，5x+1242； 这一箱苹果有 42 个，小朋友有 6 位， 故答案为：42，6 6. （2019 山东青岛中考模拟） 某次知识竞赛共有 20 道题， 每答对一题得 5 分， 答错或不
37、答的题都扣 3 分 小 亮获得二等奖（7090 分） ，则小亮答对了 道题 【答案】17 或 18 【分析】先设小亮答对了 x 道题，则小亮的得分是 5x3（20 x） ，再根据小亮获得二等奖（7090 分） ， 列出不等式组，求出解集，最后根据 x 只能取整数即可得出答案 【解答】解：设小亮答对了 x 道题，根据题意得： 20 ， 解得：x， x 只能取整数， x17 或 18； 故答案为：17 或 18 7.（2019 河北张家口中考模拟）1 月份，A 型汽油均价为 5.7 元/升，B 型汽油均价为 6 元/升，某汽车租赁 公司购买这两种型号的汽油共支付 40800 元；2 月份，这两种型
38、号的汽油均价都上调了 0.6 元/升，该公司要 购买与 1 月份 A 型汽油和 B 型汽油数量都相同的汽油就需多支付费用 （1）若多支付的费用不超过 4200 元，那么该公司 1 月或 2 月最多可购买 A 型汽油 升？ （2）3 月份，该公司 A 型汽油的购买量在（1）小题中 2 月份最多购买量的基础上减少了 m%，但 A 型汽油 的均价在 2 月份的基础上上调了元，因此 3 月份支付 A 种型号汽油的费用与（1）小题中 2 月份支付最 多数量 A 型汽油的费用相同，则 m= 【答案】37 【分析】 （1）先根据 1 月份的 A 型数量表示 B 型汽油的数量，由多支付的费用不超过 4200
39、元，列不等式可 得 x 的取值，可得结果； （2）根据（1）的数据表示出 3 月份的购买量和价格，算出总费用列出方程解答即可 【解答】解： （1）设 1 月份可购买 A 型汽油 x 升，则 1 月份购买 B 型汽油的升数为：（408005.7x） （68000.95）升， 由题意得，0.6x+0.6（68000.95x）4200， 解得，x4000， 答：该公司 1 月或 2 月最多可购买 A 型汽油 4000 升 （2）由题意可列方程， 4000（1m%）（5.7+0.6+）4000（5.7+0.6） ， 即 4000（1m%）（6.3+）40006.3， 解得 m137，m20（舍去） ，
40、 m 的值为 37 答：m 的值为 37 21 8.（2019 山东济南中考模拟）已知关于 x、y 的二元一次方程组的解满足 x+y2求 k 的取 值范围 【答案】k3 【分析】+求出 3x+3y3k3，根据已知得出不等式 k12，求出即可 【解答】解：， +得：3x+3y3k3， x+yk1， 关于 x、y 的二元一次方程组的解满足 x+y2， k12， k 的取值范围是 k3 （三）（三）解答题解答题 1.（2019南通）解不等式x1，并在数轴上表示解集 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项可得 【解答】解：4x13x3， 4x3x3+1， x4， 将不等式的解集
41、表示在数轴上如下： 2.（2019济南）解不等式组，并写出它的所有整数解 【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案 【解答】解： 解得：x4； 解得：x2； 原不等式组的解集为 2x10； 22 原不等式组的所有整数解为 3、4、5、6、7、8、9、10 3.（2019 辽宁大连中考）如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，已知铁环粗 0.5 厘 米，每个铁环长 4.6 厘米，设铁环间处于最大限度的拉伸状态 （1）填表： 铁环个数 1 2 3 4 链条长（cm） 4.6 8.2 11.8 15.4 （2）设 n 个铁环长为 y 厘米，请用含 n 的式子表示
42、y； （3）若要组成 2.17 米长的链条，至少需要多少个铁环？ 【分析】 （1）根据铁环粗 0.5 厘米，每个铁环长 4.6 厘米，进而得出 3 个/4 个铁环组成的链条长； （2）根据铁环与环长之间的关系进而得出 y 与 n 的关系式； （3）由（2）得，3.6n+1217，进而求出即可 【解答】解： （1）由题意可得：34.640.511.8（cm） ， 故 3 个铁环组成的链条长为 11.8cm 44.660.515.4（cm） ， 故 4 个铁环组成的链条长为 15.4cm 故答案为：11.8；15.4； （2）由题意得：y4.6n2（n1）0.5， 即 y3.6n+1； （3）据题
43、意有：3.6n+1217， 解得：n60， 答：至少需要 60 个铁环 4.（2019 河北沧州中考模拟）为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标 准见表： 一户居民一个月 用电量的范围 电费价格 (单位：元/千瓦时) 不超过 160 千瓦时的部分 x 超过 160 千瓦时的部分 x0.15 23 某居民五月份用电 190 千瓦时，缴纳电费 90 元 (1)求 x 和超出部分电费单价； (2)若该户居民六月份所缴电费不低于 75 元且不超过 84 元，求该户居民六月份的用电量范围 【分析】先列方程求出不超过 160 千瓦时的部分的电费价格，然后列不等式求出该户居民六月
44、份的用电量 的范围。 【解答】 ：(1)根据题意，得 160 x(190160)(x0.15)90， 解得 x0.45， 则超出部分的电费单价为 x0.150.6 元/千瓦时； (2)设该户居民六月份的用电量为 a 千瓦时 则 751600.450.6(a160)84， 解得 165a180. 则该户居民六月份的用电量范围为 165 千瓦时到 180 千瓦时 5.（2019宁夏）解不等式组： 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式1，得：x4， 解不等式x+2，得：x7， 则不等式组的解集为 x
45、4 6.（2019青海）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共 30 辆调拨不超过 190 吨蔬菜和 162 吨肉制品补充当地市场已知一辆大型车可运蔬菜 8 吨和肉制品 5 吨；一辆中型车可运蔬菜 3 吨和肉制品 6 吨 （1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来； （2）若一辆大型车的运费是 900 元，一辆中型车的运费为 600 元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？ 最低费用是多少元？ 【分析】 （1）设安排 x 辆大型车，则安排（30 x）辆中型车，根据 30 辆车调拨不超过 190 吨蔬菜和 162 吨肉制品补充当地市场，即可得出关于 x 的一元一次不等式组，解之即
46、可得出 x 的取值范围，结合 x 为整数 24 即可得出各运输方案； （2）根据总运费单辆车所需费用租车辆车可分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论 【解答】解： （1）设安排 x 辆大型车，则安排（30 x）辆中型车， 依题意，得：， 解得：18x20 x 为整数， x18，19，20 符合题意的运输方案有 3 种，方案 1：安排 18 辆大型车，12 辆中型车；方案 2：安排 19 辆大型车，11 辆中型车；方案 3：安排 20 辆大型车，10 辆中型车 （2）方案 1 所需费用为：90018+6001223400（元） ， 方案 2 所需费用为：90019+6001123700
47、（元） ， 方案 3 所需费用为：90020+6001024000（元） 234002370024000， 方案 1 安排 18 辆大型车，12 辆中型车所需费用最低，最低费用是 23400 元 7.（2019 河南中考）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品已知购买 3 个 A 奖品和 2 个 B 奖品 共需 120 元；购买 5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元 （1）求 A，B 两种奖品的单价； （2）学校准备购买 A，B 两种奖品共 30 个，且 A 奖品的数量不少于 B 奖品数量的请设计出最省钱的 购买方案，并说明理由 【分析】 （1）设 A 的单价为 x 元，B 的单价为 y 元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）设购买 A 奖品 z 个，则购买 B 奖品为（30z）个，购买奖品的花费为 W 元，根据题意得到由题意可 知，z（30z） ，W30z+15（30z）450+15z，根据一次函数的性质，即可求解
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