1、 1 第 21 讲 相似图形 【考点导引】 1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段； 2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、 对 应边成 比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利 用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题； 3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的 坐标的变化； 4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的 表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【难点突
2、破】 1比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比 例的内项 2对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a b=cd（即 ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段 3判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比 是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系 4相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的周长的比等于相似 比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、
3、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三 角形的面积的比等于相似比的平方由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推 出相似三角形面积的比等于相似比的平方 5相似三角形的判定：平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三 角形相似；三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两边及其夹角法：两组对应边的比相 等且夹角对应相等的两个三角形相似；两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似 6如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形是相似多边形 7相似多边形对应边的比叫做相似比 8多边形的相似比为 1 的相似多边形是全等形 9相似多边形的性质为
4、：对应角相等；对应边的比相等 10如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个 图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心 11位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图 形对应点的坐标的比等于 k 或k 【解题策略】 2 1. 判定两个三角形相似的常规思路：先找两对对应角相等；若只能找到一对对应角相等，则判断相等 的角的两边是否对应成比例；若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段 成比例定理及相似三角形的“传递性” 2. 几何图形 的证明与 计算 常见 问题 证明线段的数量关系，求
5、线段的长度，图形的面积大小等 相似三角 形在实际 生活中的 应用 建模 思想 建立相似三角形模型 常见 题目 类型 (1)利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解； (2)测量底部可以达到的物体的高度； (3)测量底部不可以到达的物体的高度； (4)测量不可以到达的河的宽度 3. 以坐标原 点为中心 的位似变换 在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为 k，那么 位似图形对应点的坐标的比等于_ 位似 作图 (1)确定位似中心 O； (2)连接图形各顶点与位似中心 O 的线段(或延长线)； (3)按照相似比取点； (4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形 3 【典例精析】 类
6、型一：相似三角形的性质与判定相似三角形的性质与判定 【例题【例题】 （2019西藏）如图，在ABC 中，D，E 分别为 AB、AC 边上的中点，则ADE 与 ABC 的面积之比是（ ） A1：4 B1：3 C1：2 D2：1 【对点导练】【对点导练】（2018重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5cm，6cm 和 9cm，另一个三角形的最短边长为 2.5cm，则它的最长边为（ ） A3cm B4cm C4.5cm D5cm 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得 【解答】解：设另一个三角形的最长边长为 xcm， 根据题意，得： =， 解得：x=4.5， 即
7、另一个三角形的最长边长为 4.5cm， 故选：C 类型二：图形的相似图形的相似 【例题】【例题】（2018临安区）如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC 相似 的是（ ） 4 A B C D 【分析】根据正方形的性质求出ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可 【解答】解：由正方形的性质可知，ACB=18045=135， A、C、D 图形中的钝角都不等于 135， 由勾股定理得，BC=，AC=2， 对应的图形 B 中的边长分别为 1 和， =， 图 B 中的三角形（阴影部分）与ABC 相似， 故选：B 【对点导练】【对点导练】（2018重庆）制作一块 3m2m 长
8、方形广告牌的成本是 120 元，在每平方米制作成本相同的 情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ） A360 元 B720 元 C1080 元 D2160 元 【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的 面积，计算即可 类型三：相似在生活中的应用相似在生活中的应用 【例题】【例题】（2018临沂） 如图 利用标杆 BE 测量建筑物的高度 已知标杆 BE 高 1.2m， 测得 AB=1.6m BC=12.4m 则 建筑物 CD 的高是（ ） A9.3m B10.5m C12.4m D14m 5 【分析
9、】先证明ABEACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出 CD 即可 【解答】解：EBCD， ABEACD， =，即=， CD=10.5（米） 故选：B 【对点导练】【对点导练】（2018长春）孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首 歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有 一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五 寸（提示：1 丈=10 尺，1 尺=10 寸），则竹竿的长为（ ） A五丈 B四丈五尺 C一丈 D五尺 类型四：相似与其它几何图形的应用相
10、似与其它几何图形的应用 【例题】【例题】（2018孝感）如图，ABC 是等边三角形，ABD 是等腰直角三角形，BAD=90，AEBD 于点 E，连 CD 分别交 AE，AB 于点 F，G，过点 A 作 AHCD 交 BD 于点 H则下列结论：ADC=15；AF=AG； AH=DF；AFGCBG；AF=（1）EF其中正确结论的个数为（ ） 6 A5 B4 C3 D2 AGF=75， 由AFGAGF 知 AFAG，故错误； 记 AH 与 CD 的交 点为 P， 7 整理，得：2x 2=（ 1）ax， 由 x0 得 2x=（1）a，即 AF=（1）EF，故正确； 故选：B 【对点导练】【对点导练】（
11、2018南充）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，P 为 CD 的中点，连结 AP，过点 B 作 BEAP 于点 E，延长 CE 交 AD 于点 F，过点 C 作 CHBE 于点 G，交 AB 于点 H，连接 HF下列结论正确的是（ ） 8 ACE= BEF= CcosCEP= DHF 2=EFCF 【分析】首先证明 BH=AH，推出 EG=BG，推出 CE=CB，再证明CEHCBH，RtHFERtHFA，利用全等 三角形的性质即可一一判断 【解答】解：连接 EH CB=CE=2，故选项 A 错误， CH=CH，CB=CE，HB=HE， ABCCEH， CBH=CEH=90， HF=HF，H
12、E=HA， RtHFERtHFA， AF=EF，设 EF=AF=x， 在 RtCDF 中，有 2 2+（2x）2=（2+x）2， 9 x=， EF=，故 B 错误， PACH， CEP=ECH=BCH， cosCEP=cosBCH=，故 C 错误 HF=，EF=，FC= HF 2=EFFC，故 D 正确， 故选：D 【真题检测】 1.1. （2018内江）已知ABC 与A1B1C1相似，且相似比为 1：3，则ABC 与A1B1C1的面积比为（ ） A1：1 B1：3 C1：6 D1：9 2.2. （2018广东）在ABC 中，点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，则ADE 与AB C 的面
13、积之比为（ ） A B C D 3.3. （2018随州）如图，平行于 BC 的直线 DE 把ABC 分成面积相等的两部分，则的值为（ ） A1 B C 1 D 4.4. （2018绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转到 AC 位置，已知 ABBD，CD BD，垂足分别为 B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆 C 端应下降的垂直距离 CD 为（ ） A0.2m B0.3m C0.4m D0.5m 5.5. （2018北京）如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F，若 AB=4，AD=3， 则 CF
14、的长为 10 6.6. （2018包头）如图，在ABCD 中，AC 是一条对角线，EFBC，且 EF 与 AB 相交于点 E，与 AC 相交于点 F，3AE=2EB，连接 DF若 SAEF=1，则 SADF的值为 7.7. （2018十堰）如图，ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，过点 D 作 FG AC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G （1）求证：FG 是O 的切线； （2）若 tanC=2，求的值 8.8. （2018烟台）如图，已知 D，E 分别为ABC 的边 AB，BC 上两点，点 A，C，E 在D 上，点 B，D 在E 上F 为
15、上一点，连接 FE 并延长交 AC 的延长线于点 N，交 AB 于点 M （1）若EBD 为 ，请将CAD 用含 的代数式表示； （2）若 EM=MB，请说明当CAD 为多少度时，直线 EF 为D 的切线； （3）在（2）的条件下，若 AD=，求的值 11 【参考答案】【参考答案】 1.1. （2018内江）已知ABC 与A1B1C1相似，且相似比为 1：3，则ABC 与A1B1C1的面积比为（ ） A1：1 B1：3 C1：6 D1：9 2.2. （2018广东）在ABC 中，点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，则ADE 与ABC 的面积之比为（ ） A B C D 【分析】由点 D、
16、E 分别为边 AB、AC 的中点，可得出 DE 为ABC 的中位线，进而可得出 DEBC 及ADE ABC，再利用相似三角形的性质即可求出ADE 与ABC 的面积之比 【解答】解：点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点， DE 为ABC 的中位线， DEBC， ADEABC， =（） 2= 故选：C 12 3.3. （2018随州）如图，平行于 BC 的直线 DE 把ABC 分成面积相等的两部分，则的值为（ ） A1 B C 1 D 【分析】由 DEBC 可得出ADEABC，利用相似三角形的性质结合 SADE=S四边形 BCED，可得出=，结 合 BD=ABAD 即可求出的值，此题得解 4.
17、4. （2018绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转到 AC 位置，已知 ABBD，CD BD，垂足分别为 B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆 C 端应下降的垂直距离 CD 为（ ） A0.2m B0.3m C0.4m D0.5m 【分析】由ABO=CDO=90、AOB=COD 知ABOCDO，据此得=，将已知数据代入即可得 13 【解答】解：ABBD，CDBD， ABO=CDO=90， 又AOB=COD， ABOCDO， 则=， AO=4m，AB=1.6m，CO=1m， =， 解得：CD=0.4， 故选：C 5.5. （2018北京）如图，在
18、矩形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F，若 AB=4，AD=3， 则 CF 的长为 【分析】根据矩形的性质可得出 ABCD，进而可得出FAE=FCD，结合AFE=CFD（对顶角相等）可得 出AFECFD，利用相似三角形的性质可得出=2，利用勾股定理可求出 AC 的长度，再结合 CF=AC，即可求出 CF 的长 14 6.6. （2018包头）如图，在ABCD 中，AC 是一条对角线，EFBC，且 EF 与 AB 相交于点 E，与 AC 相交于点 F，3AE=2EB，连接 DF若 SAEF=1，则 SADF的值为 【分析】 由 3AE=2EB 可设 AE
19、=2a、 BE=3a， 根据 EFBC 得= （） 2= ， 结合 SAEF=1 知 SADC=SABC=， 再由=知=，继而根据 SADF=SADC可得答案 15 7.7. （2018十堰）如图，ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，过点 D 作 FG AC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G （1）求证：FG 是O 的切线； （2）若 tanC=2，求的值 【分析】（1）欲证明 FG 是O 的切线，只要证明 ODFG； （2）由GDBGAD，设 BG=a可得=，推出 DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题； 16 OA=OD， OAD=O
20、DA， GDB=GAD， G=G， GDBGAD，设 BG=a =， DG=2a，AG=4a， BG：GA=1：4 8.8. （2018烟台）如图，已知 D，E 分别为ABC 的边 AB，BC 上两点，点 A，C，E 在D 上，点 B，D 在E 上F 为上一点，连接 FE 并延长交 AC 的延长线于点 N，交 AB 于点 M （1）若EBD 为 ，请将CAD 用含 的代数式表示； 17 （2）若 EM=MB，请说明当CAD 为多少度时，直线 EF 为D 的切线； （3）在（2）的条件下，若 AD=，求的值 【解答】解：（1）连接 CD、DE，E 中，ED=EB， EDB=EBD=， CED=E
21、DB+EBD=2， D 中，DC=DE=AD， CAD=ACD，DCE=DEC=2， ACB 中，CAD+ACD+DCE+EBD=180， CAD=； （2）设MBE=x， EM=MB， EMB=MBE=x， 当 EF 为D 的切线时，DEF=90， CED+MEB=90， CED=DCE=90 x， 18 9 9. . （2018遵义）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，AB=5，BC=10，连接 AC、BD，以 BD 为直径 的圆交 AC 于点 E若 DE=3，则 AD 的长为（ ） A5 B4 C3 D2 【分析】先求出 AC，进而判断出ADFCAB，即可设 DF=x，AD=x，利用勾股定理求出 BD，再判断出 19 DEFDBA，得出比例式建立方程即可得出 结论 1010. . （2018哈尔滨）如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线段 AD 上，GEBD，且交 AB 于点 E，GFAC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是（ ） 20 A = B = C = D = 【分析】由 GEBD、GFAC 可得出AEGABD、DFGDCA，根据相似三角形的性质即可找出 =，此题得解 【解答】解：GEBD，GFAC， AEGABD，DFGDCA， =， =， = 故选：D
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