1、 1 第 12 讲 二次函数 【考点导引】 1.理解二次函数的有关概念 2会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质 3会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题 4熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题 5会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【难点突破】 1. 二次函数 2 yaxbxc，配方为 2 2 4 24 bacb ya x aa ，顶点坐标是( 2 b a ， 2 4 4 acb a )，对称 轴是a 2 b a ，与y轴交点坐标是(0，c)，与x轴交点的横坐标是 2 0axbxc的根，当a0时，抛物线开
2、 口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a0时，抛物线开 口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小 2. 解答有关二次函数图象问题时，要抓住抛物线与 x 轴、y 轴的交点、对称轴、顶点坐标、特殊点，解决此 类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发，通常采用把已知点坐标代入解析式中找出 a、b、c 关系， 再结合对称轴 x a b 2 ，确定 a、b 之间等量关系，判断与 x 轴交点情况则利用判别式 b24ac 3. 抛物线的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，具体为： （1）上下平移：抛物线 y=a(xh)2
3、+k 向上平移 m（m0）个单位，所得抛物线的解析式为 y=a(xh)2+k+m； 抛物线 y=a(xh)2+k 向下平移 m（m0）个单位，所得抛物线的解析式为 y=a(xh)2+km （2）左右平移：抛物线 y=a(xh)2+k 向左平移 n（n0）个单位，所得抛物线的解析式为 y=a(xh+n)2+k； 抛物线 y=a(xh)2+k 向右平移 n（n0）个单位，所得的抛物线的解析式为 y=a(xhn)2+k. 特别地，要 注意其中的符号处理 【解题策略】 1. （1）二次函数y 2 axbxc（0）的图象与其表达式中各项系数的符号有着十分密切的关系： ， ， 的代数式 决定图象特征 说明
4、 决定抛物线的开口方向 0 开口向上 0 开口向下 决定抛物线与y轴交点 0 与y轴交点在轴上方 2 的位置，交点坐标为 （0， ） 0 抛物线过原点 0 与y轴交点在轴下方 2 b a 决定对称轴的位置，对 称轴为直线 2 b a ab0 对称轴在y轴左侧 ab0 对称轴在y轴右侧 0 对称轴是y轴 2 4bac 决定抛物线与轴交点的 个数 2 4bac0 与轴有两个交点 2 4bac0 与轴有一个交点 2 4bac0 与轴没有交点 （2）二次函数y 2 axbxc（0）的图象与轴两个交点的横坐标就是一元二次方程 2 axbxc0（0） 的两个根 2. 在探讨动态问题时，首先要对运动过程做一
5、个全面、全程的分析，弄清楚运动过程中的变量和常量，其 次，要分清运动过程中不同的位置关系，找到相邻两种状态的分界点，例如这道题的分界点是 x=2，根据不 同的情况分类讨论，画出图形，然后把图中的线段用含有运动时间 t 或者自变量 x 的代数式表示出来，然后 考虑构建方程、不等式或函数关系式； 3. 解答有关二次函数图象问题时，要抓住抛物线与 x 轴、y 轴的交点、对称轴、顶点坐标、特殊点，解决此 类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发，通常采用把已知点坐标代入解析式中找出 a、b、c 关系， 再结合对称轴 x a b 2 ，确定 a、b 之间等量关系，判断与 x 轴交点情况则利用判别式 b
6、24ac 4. 抛物线上点的纵坐标比较大小的基本方法有以下三种： （1）把各点利用抛物线上的对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性 进行比较大小； （2）当已知具体的抛物线的解析式及相应点的横坐标确定时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小； （3）利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对 称轴越近，点的纵坐标越大”也可以比较大小. 【典例精析】 类型一：二次函数的图象及性质 【例 1】( 2019 甘肃省兰州市) （5 分）已知，点 A（1，y1） ，B（2，y2）在抛物线 y（x+1）2 +2 上， 则下列结论正
7、确的是（ ） A. 2 y1 y2 B. 2 y2 y1 C. y1 y22 D. y2 y12 类型二：利用二次函数图象判断 a，b，c 的符号 3 【例 2】(2019，四川成都，3 分）如图，二次函数cbxaxy 2 的图象经过点 A（1，0） ，B（5，0） ，下 列说法正确的是（ ） A.0c B.04 2 acb C.0cba D.图象的对称轴是直线3x 类型三：二次函数图象的平移 【例 3】 （2019黑龙江哈尔滨3 分）将抛物线 y2x2向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，所 得到的抛物线为（ ） Ay2（x+2）2+3 By2（x2）2+3 Cy2（x2）2
8、3 Dy2（x+2）23 类型四：确定二次函数的解析式 【例 4】.(2019，山西，3 分）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图 1） ，它由五个高度不同，跨径 也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图 2 所示，此钢拱（近似看成二次函数 的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于 A，B 两点，拱高为 78 米（即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米） ， 跨径为 90 米 （即 AB=90 米） ， 以最高点 O 为坐标原点， 以平行于 AB 的直线为x轴 简历平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ） A. 2 675 26 xy B
9、. 2 675 26 xy C. 2 1350 13 xy D. 2 1350 13 xy 图 1 图 2 类型五：二次函数的实际应用 4 【例 5】 （2019贵州毕节 12 分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康， 某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入已知某种士特产每袋成本 10 元试销阶段每袋 的销售价 x（元）与该士特产的日销售量 y（袋）之间的关系如表： x（元） 15 20 30 y（袋） 25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，试求： （1）日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式； （2）假设后续销售情况与
10、试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为 多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 类型六：二次函数与几何图形的综合应用 【例 6】 （2019山东省滨州市 14 分）如图，抛物线 yx2+x+4 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B， C，将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90 ，所得直线与 x 轴交于点 D （1）求直线 AD 的函数解析式； （2）如图，若点 P 是直线 AD 上方抛物线上的一个动点 当点 P 到直线 AD 的距离最大时，求点 P 的坐标和最大距离； 当点 P 到直线 AD 的距离为时，求 sinPAD 的值 5 【真题检测】 1. （2
11、019浙江衢州3 分）二次函数 y=（x-1）2+3 图象的顶点坐标是（ ） A. (1，3) B. （1，-3) C. （-1，3） D. （-1，-3） 2. （2019山东省济宁市 3 分） 将抛物线 yx26x+5 向上平移两个单位长度， 再向右平移一个单位长度后， 得到的抛物线解析式是（ ） Ay（x4）26 By（x1）23 Cy（x2）22 Dy（x4）22 3. （2019广西河池3 分） 如图， 抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1， 则下列结论中， 错误的是 （ ） Aac0 Bb24ac0 C2ab0 Dab+c0 4. （2019山东省德州市 4 分） 在下
12、列函数图象上任取不同两点 P1（x1， y1） 、 P2（x2， y2） ， 一定能使 21 21 yy xx 0 成立的是（ ） Ay3x1（x0） Byx2+2x1（x0） Cy 3 x （x0） Dyx24x1（x0） 5. （2019江苏连云港3 分）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD，其中C120 若新 建墙 BC 与 CD 总长为 12m，则该梯形储料场 ABCD 的最大面积是（ ） A18m2 B18 3m2 C24 3m2 D 45 3 2 m2 6 6. （2019甘肃武威4 分）将二次函数 yx24x+5 化成 ya（xh）2+k 的形式为 7. （2019
13、湖北天门3 分）矩形的周长等于 40，则此矩形面积的最大值是 8. （2019四川省凉山州5 分）当 0 x3 时，直线 ya 与抛物线 y（x1）23 有交点，则 a 的取值范围 是 9. 在平面直角坐标系中，抛物线 yx2的图象如图所示已知 A 点坐标为（1，1） ，过点 A 作 AA1x 轴交 抛物线于点 A1，过点 A1作 A1A2OA 交抛物线于点 A2，过点 A2作 A2A3x 轴交抛物线于点 A3，过点 A3作 A3A4OA 交抛物线于点 A4，依次进行下去，则点 A2019的坐标为 10. （2019湖北省鄂州市10 分）“互联网+”时代上购物备受消费者青睐某网店专售一款休闲裤
14、，其成本 为每条 40 元，当售价为每条 80 元时，每月可销售 100 条为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施据 市场调查反映：销售单价每降 1 元，则每月可多销售 5 条设每条裤子的售价为 x 元（x 为正整数） ，每月 的销售量为 y 条 （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2） 设该网店每月获得的利润为 w 元， 当销售单价降低多少元时， 每月获得的利润最大， 最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出 200 元资助贫困学生为了保证捐款后每月利润不 低于 4220 元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 7 11. （2019湖北省咸宁市12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yx+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交 于点 B，抛物线 yx2+bx+c 经过 A，B 两点且与 x 轴的负半轴交于点 C （1）求该抛物线的解析式； （2）若点 D 为直线 AB 上方抛物线上的一个动点，当ABD2BAC 时，求点 D 的坐标； （3）已知 E，F 分别是直线 AB 和抛物线上的动点，当 B，O，E，F 为顶点的四边形是平行四边形时，直 接写出所有符合条件的 E 点的坐标
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