1、2019-2020 学年浙江省温州市瑞安市六校联盟九年级（上）期末数学试卷学年浙江省温州市瑞安市六校联盟九年级（上）期末数学试卷 一、选择题： （每题一、选择题： （每题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）若 3a5b，则 a：b（ ） A6：5 B5：3 C5：8 D8：5 2 （4 分）一个布袋里装有 2 个红球，3 个黑球，4 个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出 1 个球， 则下列事件中，发生可能性最大的是（ ） A摸出的是白球 B摸出的是黑球 C摸出的是红球 D摸出的是绿球 3 （4 分）已知O 的半径为 5若 OP6，则点 P 与O 的位置关系是（ ） A点 P
2、在O 内 B点 P 在O 上 C点 P 在O 外 D无法判断 4（4 分） 若将抛物线 y5x2先向右平移 2 个单位， 再向上平移 1 个单位， 得到的新抛物线的表达式为 （ ） Ay5（x2）2+1 By5（x+2）2+1 Cy5（x2）21 Dy5（x+2）21 5 （4 分）如图，在ABCD 中，F 为 BC 的中点，延长 AD 至 E，使 DE：AD1：3，连接 EF 交 DC 于点 G，则 DG：CG（ ） A1：2 B2：3 C3：4 D2：5 6 （4 分）点 A（3，y1） ，B（0，y2） ，C（3，y3）是二次函数 y（x+2）2+m 图象上的三点，则 y1， y2，y3
3、的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy1y3y2 7 （4 分）如图，O 过点 B、C，圆心 O 在等腰 RtABC 的内部，BAC90，OA1，BC6则O 的半径为（ ） A6 B13 C D 8 （4 分） 二次函数 yx2+2mx （m 为常数） ， 当 0 x1 时， 函数值 y 的最大值为 4， 则 m 的值是 （ ） A2 B2 C2.5 D2.5 9 （4 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8，将它绕着 BC 中点 D 顺时针旋转一定角度 （小于 90） 后得到ABC， 恰好使 BCAB， AC与 AB 交于点 E， 则 AE 的
4、长为 （ ） A3 B3.2 C3.5 D3.6 10 （4 分）如图，点 A，B 的坐标分别为（0，8） ， （10，0） ，动点 C，D 分别在 OA，OB 上且 CD8，以 CD为直径作P交AB于点E， F 动点C从点O向终点A的运动过程中， 线段EF长的变化情况为 （ ） A一直不变 B一直变大 C先变小再变大 D先变大再变小 二、填空题： （每题二、填空题： （每题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）有 6 张卡片，每张卡片上分别写有不同的从 1 到 6 的一个自然数从中任意抽出一张卡片，卡 片上的数是 3 的倍数的概率是 12 （5 分）已知扇形的面积为 3cm2，
5、半径为 3cm，则此扇形的圆心角为 度 13（5 分） 如图， 四边形 ABCD 内接于O， 连结 AC， 若BAC35， ACB40， 则ADC 14 （5 分）如图，在ABC 中，AC4，BC6，CD 平分ACB 交 AB 于 D，DEBC 交 AC 于 E，则 DE 的长为 15 （5 分）如图，C，D 是抛物线 y（x+1）25 上两点，抛物线的顶点为 E，CDx 轴，四边形 ABCD 为正方形，AB 边经过点 E，则正方形 ABCD 的边长为 16 （5 分）图甲是小张同学设计的带图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案设计拼接面成（不重 叠，无缝隙） 图乙中，点 E、F、G、H
6、分别为矩形 AB、BC、CD、DA 的中点，若 AB4，BC6，则 图乙中阴影部分的面积为 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，共小题，共 80 分）分） 17 （9 分）作图题：O 上有三个点 A，B，C，BAC70，请画出要求的角，并标注 （1）画一个 140的圆心角； （2）画一个 110的圆周角； （3）画一个 20的圆周角 18 （8 分）有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的 3 个扇形区，分别标有数字 1，2，3，另有一 个不透明的口袋中装有 4 个完全相同的小球，分别标有数字 1，2，3，4（如图所示） ，小颖和小亮想通 过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，
7、 游戏规则为： 一个人转动圆盘， 另一人从口袋中摸出一个小球， 如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于 4，那么小颖去；否则小亮去 （1）用画树状图或列表的方法求出小颖参加比赛的概率； （2）你认为该游戏公平吗？请说明理由 19 （10 分）已知二次函数 y2x2+bx+c 的图象经过点（0，6）和（1，8） （1）求这个二次函数的解析式； （2）当 x 在什么范围内时，y 随 x 的增大而增大？ 当 x 在什么范围内时，y0？ 20 （7 分） “今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 这段话摘自九章算术 ，意思是说：如图，矩形城池 ABCD
8、，东边城墙 AB 长 9 里，南边城墙 AD 长 7 里，东门点 E，南门点 F 分别是 AB、AD 的中点，EGAB，FHAD，EG15 里，HG 经过点 A，问 FH 多少里？ 21 （10 分）如图，抛物线 yx22x3 与 x 轴分别交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 D （1）如图 1，求BCD 的面积； （2）如图 2，P 是抛物线 BD 段上一动点，连接 CP 并延长交 x 轴于 E，连接 BD 交 PC 于 F，当CDF 的面积与BEF 的面积相等时，求点 E 和点 P 的坐标 22 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB
9、 为直径的O 分别交 AC，BC 于点 D，E，过点 B 作 AB 的垂线交 AC 的延长线于点 F （1）求证：； （2）过点 C 作 CGBF 于 G，若 AB5，BC2，求 CG，FG 的长 23 （12 分）如图，一面利用墙，用篱笆围成的矩形花圃 ABCD 的面积为 Sm2，垂直于墙的 AB 边长为 xm （1）若墙可利用的最大长度为 8m，篱笆长为 18m，花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形 求 S 与 x 之间的函数关系式； 如何围矩形花圃 ABCD 的面积会最大，并求最大面积 （2）若墙可利用最大长度为 50m，篱笆长 99m，中间用 n 道篱笆隔成（n+1）小矩形，当这些小矩形都
10、 是正方形且 x 为正整数时，请直接写出所有满足条件的 x、n 的值 24 （14 分）如图，在ABCD 中，AB4，BC8，ABC60点 P 是边 BC 上一动点，作PAB 的外 接圆O 交 BD 于 E （1）如图 1，当 PB3 时，求 PA 的长以及O 的半径； （2）如图 2，当APB2PBE 时，求证：AE 平分PAD； （3）当 AE 与ABD 的某一条边垂直时，求所有满足条件的O 的半径 2019-2020 学年浙江省温州市瑞安市六校联盟九年级（上）期末数学试卷学年浙江省温州市瑞安市六校联盟九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （每题一、
11、选择题： （每题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）若 3a5b，则 a：b（ ） A6：5 B5：3 C5：8 D8：5 【分析】由比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积即可得出结果 【解答】解：3a5b， ， 故选：B 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键 2 （4 分）一个布袋里装有 2 个红球，3 个黑球，4 个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出 1 个球， 则下列事件中，发生可能性最大的是（ ） A摸出的是白球 B摸出的是黑球 C摸出的是红球 D摸出的是绿球 【分析】个数最多的就是可能性最大的 【解答】解：因为白球最多， 所以被摸到的可能
12、性最大 故选：A 【点评】本题主要考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就 大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等 3 （4 分）已知O 的半径为 5若 OP6，则点 P 与O 的位置关系是（ ） A点 P 在O 内 B点 P 在O 上 C点 P 在O 外 D无法判断 【分析】点在圆上，则 dr；点在圆外，dr；点在圆内，dr（d 即点到圆心的距离，r 即圆的半径） 【解答】解：OP65， 点 P 与O 的位置关系是点在圆外 故选：C 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关 键 4（4 分）
13、 若将抛物线 y5x2先向右平移 2 个单位， 再向上平移 1 个单位， 得到的新抛物线的表达式为 （ ） Ay5（x2）2+1 By5（x+2）2+1 Cy5（x2）21 Dy5（x+2）21 【分析】根据平移规律，可得答案 【解答】解：y5x2先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位， 得到的新抛物线的表达式为 y5（x2）2+1， 故选：A 【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律 求函数解析式 5 （4 分）如图，在ABCD 中，F 为 BC 的中点，延长 AD 至 E，使 DE：AD1：3，连接 EF 交 DC 于点 G，则 DG
14、：CG（ ） A1：2 B2：3 C3：4 D2：5 【分析】由平行四边形的性质可得 ADBC，ADBC，可证DEGCFG，可得 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， F 为 BC 的中点， CFBFBCAD， DE：AD1：3， DE：CF2：3， ADBC， DEGCFG， ， 故选：B 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质， 6 （4 分）点 A（3，y1） ，B（0，y2） ，C（3，y3）是二次函数 y（x+2）2+m 图象上的三点，则 y1， y2，y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy1y3
15、y2 【分析】先确定抛物线的对称轴，然后比较三个点到对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应的 函数值的大小 【解答】解：二次函数 y（x+2）2+m 图象的对称轴为直线 x2， 而点 A（3，y1）到直线 x2 的距离最小，点 C（3，y3）到直线 x2 的距离最大， 所以 y3y2y1 故选：C 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式也考查了 二次函数的性质 7 （4 分）如图，O 过点 B、C，圆心 O 在等腰 RtABC 的内部，BAC90，OA1，BC6则O 的半径为（ ） A6 B13 C D 【分析】延长 AO 交 BC 于 D，接 O
16、B，根据 ABAC，O 是等腰 RtABC 的内心，推出 ADBC，BD DC3，AO 平分BAC，求出BADABD45，ADBD3，由勾股定理求出 OB 即可 【解答】解：过点 A 作等腰直角三角形 BC 边上的高 AD，垂足为 D， 所以点 D 也为 BC 的中点 根据垂径定理可知 OD 垂直于 BC所以点 A、O、D 共线 O 过 B、C， O 在 BC 的垂直平分线上， ABAC，圆心 O 在等腰 RtABC 的内部， ADBC，BDDC3，AO 平分BAC， BAC90， ADB90，BAD45， BADABD45， ADBD3， OD312， 由勾股定理得：OB 故选：C 【点评】
17、本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾 股定理，垂线，垂径定理等知识点的理解和掌握，求出 OD、BD 的长是解此题的关键 8 （4 分） 二次函数 yx2+2mx （m 为常数） ， 当 0 x1 时， 函数值 y 的最大值为 4， 则 m 的值是 （ ） A2 B2 C2.5 D2.5 【分析】分 m0、m1 和 0m1 三种情况，根据 y 的最大值为 4，结合二次函数的性质求解可得 【解答】解：yx2+2mx（xm）2+m2（m 为常数） ， 若 m0，当 x0 时，y（0m）2+m24， m 不存在， 若 m1，当 x1 时，y（1m）2+m2
18、4， 解得：m2.5； 若 0m1，当 xm 时，ym24， 即：m24， 解得：m2 或 m2， 0m1， m2 或 2 都舍去， 故选：D 【点评】本题主要考查二次函数的最值，能根据二次函数的顶点式确定最值是解答本题的关键 9 （4 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8，将它绕着 BC 中点 D 顺时针旋转一定角度 （小于 90） 后得到ABC， 恰好使 BCAB， AC与 AB 交于点 E， 则 AE 的长为 （ ） A3 B3.2 C3.5 D3.6 【分析】 如图， 过点 D 作 DFAB， 可证四边形 EFDC是矩形， 可得 CEDF， 通过证明BDFBAC， 可得
19、，可求 DF2.4CE，即可求解 【解答】解：如图，过点 D 作 DFAB， C90，AC6，BC8， AB10， 将 RtABC 绕着 BC 中点 D 顺时针旋转一定角度（小于 90）后得到ABC， ACAC6，CC90，CDBD4， ABCB AEBACB90，且 DFAB， 四边形 EFDC是矩形， CEDF， BB，DFBACB90， BDFBAC ， DF2.4CE， AEACCE62.43.6， 故选：D 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，添 加恰当辅助线是本题的关键 10 （4 分）如图，点 A，B 的坐标分别为（0，8） ，
20、 （10，0） ，动点 C，D 分别在 OA，OB 上且 CD8，以 CD为直径作P交AB于点E， F 动点C从点O向终点A的运动过程中， 线段EF长的变化情况为 （ ） A一直不变 B一直变大 C先变小再变大 D先变大再变小 【分析】如图，连接 OP，PF，作 PHAB 于 H点 P 的运动轨迹是以 O 为圆心、OP 为半径的O，易 知 EF2FH2，观察图形可知 PH 的值由大变小再变大，推出 EF 的值由小变 大再变小 【解答】解：如图，连接 OP，PF，作 PHAB 于 H CD8，COD90， OPCD4， 点 P 的运动轨迹是以 O 为圆心 OP 为半径的O， PHEF， EHFH
21、， EF2FH2， 观察图形可知 PH 的值由大变小再变大， EF 的值由小变大再变小， 故选：D 【点评】本题考查轨迹，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问 题，属于中考选择题中的压轴题 二、填空题： （每题二、填空题： （每题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）有 6 张卡片，每张卡片上分别写有不同的从 1 到 6 的一个自然数从中任意抽出一张卡片，卡 片上的数是 3 的倍数的概率是 【分析】分别求出从 1 到 6 的数中 3 的倍数的个数，再根据概率公式解答即可 【解答】解：从 1 到 6 的数中 3 的倍数有 3，6，共 2 个， 从中任
22、取一张卡片，P（卡片上的数是 3 的倍数） 故答案为： 【点评】考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 12 （5 分）已知扇形的面积为 3cm2，半径为 3cm，则此扇形的圆心角为 120 度 【分析】利用扇形的面积公式：S计算即可 【解答】解：设扇形的圆心角为 n 则有 3， 解得 n120， 故答案为 120 【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型 13（5 分） 如图， 四边形 ABCD 内接于O， 连结 AC， 若BAC35， ACB40， 则ADC 75 【分析】根据三角形内角和定理求出ABC，根据圆内接四边形的性质计算，
23、得到答案 【解答】解：ABC180BACACB105， 四边形 ABCD 内接于O， ADC180ABC75， 故答案为：75 【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键 14 （5 分）如图，在ABC 中，AC4，BC6，CD 平分ACB 交 AB 于 D，DEBC 交 AC 于 E，则 DE 的长为 2.4 【分析】由条件可证出 DEEC，证明AEDACB，利用对应边成比例的知识，可求出 DE 长 【解答】解：CD 平分ACB 交 AB 于 D， ACDDCB， 又DEBC， EDCDCB， ACDEDC， DEEC， 设 DEx，则 AE4x
24、， DEBC， AEDACB， ， 即， x2.4 故答案为：2.4 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质及相似三角形的性 质：对应边成比例 15 （5 分）如图，C，D 是抛物线 y（x+1）25 上两点，抛物线的顶点为 E，CDx 轴，四边形 ABCD 为正方形，AB 边经过点 E，则正方形 ABCD 的边长为 【分析】首先设 ABCDADBCa，再根据抛物线解析式可得 E 点坐标，表示出 C 点横坐标和纵坐 标，进而可得方程5a5，再解即可 【解答】解：设 ABCDADBCa， 抛物线 y（x+1）25， 顶点 E（1，5） ，对称轴为直线 x1，
25、C 的横坐标为1，D 的横坐标为1， 点 C 在抛物线 y（x+1）25 上， C 点纵坐标为（1+1）255， E 点坐标为（1，5） ， B 点纵坐标为5， BCa， 5a5， 解得：a1，a20（不合题意，舍去） ， 故答案为： 【点评】 此题主要考查了二次函数的性质和正方形的性质， 解决问题的关键是表示出 B、 C 点的纵坐标 16 （5 分）图甲是小张同学设计的带图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案设计拼接面成（不重 叠，无缝隙） 图乙中，点 E、F、G、H 分别为矩形 AB、BC、CD、DA 的中点，若 AB4，BC6，则 图乙中阴影部分的面积为 【分析】因为 S阴S菱形PH
26、QF2SHTN，想办法求出菱形 PHQF 的面积，HTN 的面积即可解决问题 【解答】解：如图，设 FMHNa 由题意点 E、F、G、H 分别为矩形 AB、BC、CD、DA 的中点，可得四边形 HQFP 是菱形，它的面积 S矩形ABCD466， FMBJ，CFFB， CMMJ， BJ2FM2a， EJAN，AEEB， BJJN2a， SHBC6412，HJBH， SHCJ12， TNCJ， HTNHCJ， （）2， SHTN， S阴S菱形PHQF2SHTN6， 故答案为 【点评】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学 会利用参数解决问题，属于中考填空
27、题中的压轴题 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 小题，共小题，共 80 分）分） 17 （9 分）作图题：O 上有三个点 A，B，C，BAC70，请画出要求的角，并标注 （1）画一个 140的圆心角； （2）画一个 110的圆周角； （3）画一个 20的圆周角 【分析】 （1）根据BAC70，画一个 140的圆心角，与BAC 同弧即可； （2）在劣弧 BC 上任意取一点 P 画一个BPC 即可得 110的圆周角； （3）过点 C 画一条直径 CD，连接 AD 即可画一个 20的圆周角 【解答】解： （1）如图 1 所示： BOC 即为 140的圆心角； （2）如图 2 所示： BP
28、C 即为 110的圆周角； （3）连接 CO 并延长交圆于点 D，连接 AD， 则BAD 即为 20的圆周角 【点评】本题考查了复杂作图、圆周角定理、圆内接四边形性质，解决本题的关键是利用直径所对圆周 角是直角 18 （8 分）有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的 3 个扇形区，分别标有数字 1，2，3，另有一 个不透明的口袋中装有 4 个完全相同的小球，分别标有数字 1，2，3，4（如图所示） ，小颖和小亮想通 过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛， 游戏规则为： 一个人转动圆盘， 另一人从口袋中摸出一个小球， 如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于 4，那么小颖去；否则小亮去 （1
29、）用画树状图或列表的方法求出小颖参加比赛的概率； （2）你认为该游戏公平吗？请说明理由 【分析】 （1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两指针所指数字之和和小于 4 的情况，则可求得小颖参加比赛的概率； （2）根据小颖获胜与小亮获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平 【解答】解： （1）画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，所指数字之和小于 4 的有 3 种情况， P（和小于 4）， 小颖参加比赛的概率为：； （2）不公平， P（小颖）， P（小亮） P（和小于 4）P（和大于等于 4） ， 游戏不公平 【点评】 本题考查的是游戏公平性的判断 判断游戏公平
30、性就要计算每个事件的概率， 概率相等就公平， 否则就不公平 19 （10 分）已知二次函数 y2x2+bx+c 的图象经过点（0，6）和（1，8） （1）求这个二次函数的解析式； （2）当 x 在什么范围内时，y 随 x 的增大而增大？ 当 x 在什么范围内时，y0？ 【分析】 （1）根据二次函数 y2x2+bx+c 的图象经过点（0，6）和（1，8） ，可以求得该抛物线的解析 式； （2）根据（1）求得函数解析式，将其化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到 x 在什么范围 内时，y 随 x 的增大而增大； 根据（1）中的函数解析式可以得到 x 在什么范围内时，y0 【解答】解： （1）二
31、次函数 y2x2+bx+c 的图象经过点（0，6）和（1，8） ， ，得， 即该二次函数的解析式为 y2x2+4x+6； （2）y2x2+4x+62（x1）2+8， 该函数的对称轴是 x1，函数图象开口向下， 当 x1 时，y 随 x 的增大而增大； 当 y0 时，02x2+4x+62（x3） （x+1） ， 解得，x13，x21， 当1x3 时，y0 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的 关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 20 （7 分） “今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 这
32、段话摘自九章算术 ，意思是说：如图，矩形城池 ABCD，东边城墙 AB 长 9 里，南边城墙 AD 长 7 里，东门点 E，南门点 F 分别是 AB、AD 的中点，EGAB，FHAD，EG15 里，HG 经过点 A，问 FH 多少里？ 【分析】首先根据题意得到GEAAFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答 案即可 【解答】解：EGAB，FHAD，HG 经过点 A， FAEG，EAFH， AEGHFA90，EAGFHA， GEAAFH， AB9 里，AD7 里，EG15 里， AF3.5 里，AE4.5 里， ， FH1.05 里 【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质
33、，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形， 难度不大 21 （10 分）如图，抛物线 yx22x3 与 x 轴分别交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 D （1）如图 1，求BCD 的面积； （2）如图 2，P 是抛物线 BD 段上一动点，连接 CP 并延长交 x 轴于 E，连接 BD 交 PC 于 F，当CDF 的面积与BEF 的面积相等时，求点 E 和点 P 的坐标 【分析】 （1）分别求出点 C，顶点 D，点 A，B 的坐标，如图 1，连接 BC，过点 D 作 DMy 轴于点 M， 作点 D 作 DNx 轴于点 N，证明BCD 是直角三角形，即
34、可由三角形的面积公式求出其面积； （2）先求出直线 BD 的解析式，设 P（a，a22a3） ，用含 a 的代数式表示出直线 PC 的解析式，联立 两解析式求出含 a 的代数式的点 F 的坐标，过点 C 作 x 轴的平行线，交 BD 于点 H，则 yH3，由 CDF 与BEF 的面积相等，列出方程，求出 a 的值，即可写出 E，P 的坐标 【解答】解： （1）在 yx22x3 中， 当 x0 时，y3， C（0，3） ， 当 x1 时，y4， 顶点 D（1，4） ， 当 y0 时， x11，x23， A（1，0） ，B（3，0） ， 如图 1，连接 BC，过点 D 作 DMy 轴于点 M，作点
35、 D 作 DNx 轴于点 N， DC2DM2+CM22，BC2OC2+OB218，DB2DN2+BN220， DC2+BC2DB2， BCD 是直角三角形， SBCDDCBC33； （2）设直线 BD 的解析式为 ykx+b， 将 B（3，0） ，D（1，4）代入， 得， 解得，k2，b6， yBD2x6， 设 P（a，a22a3） ，直线 PC 的解析式为 ymx3， 将 P（a，a22a3）代入， 得 ama22a3， a0， 解得，ma2， yPC（a2）x3， 当 y0 时，x， E（，0） ， 联立， 解得， F（，） ， 过点 C 作 x 轴的平行线，交 BD 于点 H，则 yH3
36、， H（，3） ， SCDFCH （yFyD） ，SBEFBE （yF） ， 当CDF 与BEF 的面积相等时， CH （yFyD）BE （yF） ， 即（+4）（3） （） ， 解得，a14（舍去） ，a2， E（5，0） ，P（，） 【点评】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉 函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征 22 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别交 AC，BC 于点 D，E，过点 B 作 AB 的垂线交 AC 的延长线于点 F （1）求证：； （2）过点 C 作 CGB
37、F 于 G，若 AB5，BC2，求 CG，FG 的长 【分析】 （1）连接 AE，利用等腰三角形的三线合一的性质证明EABEAC 即可解决问题 （2）证明BCGABE，可得，由此求出 CG，再利用平行线分线段成比例定理求出 CF，利 用勾股定理即可求出 FG 【解答】 （1）证明：连接 AE AB 是直径， AEB90， AEBC， ABAC， EABEAC， （2）解：BFAB，CGBF，AEBC CGBAEBABF90， CBG+ABC90，ABC+BAE90， CBGBAE， BCGABE， ， ， CG2， CGAB， ， ， CF， FG 【点评】本题属于相似形综合题，考查了圆周角定
38、理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质， 平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型 23 （12 分）如图，一面利用墙，用篱笆围成的矩形花圃 ABCD 的面积为 Sm2，垂直于墙的 AB 边长为 xm （1）若墙可利用的最大长度为 8m，篱笆长为 18m，花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形 求 S 与 x 之间的函数关系式； 如何围矩形花圃 ABCD 的面积会最大，并求最大面积 （2）若墙可利用最大长度为 50m，篱笆长 99m，中间用 n 道篱笆隔成（n+1）小矩形，当这些小矩形都 是正方形且 x 为正整数时，请直接写出所有满足条件的 x、n
39、 的值 【分析】 （1）根据等量关系“花圃的面积花圃的长花圃的宽”列出函数关系式，并确定自变量的 取值范围； 通过函数关系式求得 S 的最大值； （2）根据等量关系“花圃的长（n+1）花圃的宽”写出符合题中条件的 x，n 【解答】解： （1）由题意得： Sx（183x）3x2+18x（x6） ； 由 S3x2+18x3（x3）2+27， 当 x米时，S 最大，为平方米； （2）根据题意可得： （n+2）x+（n+1）x99， 则 n3，x11；或 n4，x9，或 n15，x3，或 n48，x1 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后 根据题意
40、列出方程即可解决问题 24 （14 分）如图，在ABCD 中，AB4，BC8，ABC60点 P 是边 BC 上一动点，作PAB 的外 接圆O 交 BD 于 E （1）如图 1，当 PB3 时，求 PA 的长以及O 的半径； （2）如图 2，当APB2PBE 时，求证：AE 平分PAD； （3）当 AE 与ABD 的某一条边垂直时，求所有满足条件的O 的半径 【分析】 （1）过点 A 作 BP 的垂线，作直径 AM，先在 RtABH 中求出 BH，AH 的长，再在 RtAHP 中 用勾股定理求出 AP 的长，在 RtAMP 中通过锐角三角函数求出直径 AM 的长，即求出半径的值； （2）证APB
41、PAD2PAE，即可推出结论； （3）分三种情况：当 AEBD 时，AB 是O 的直径，可直接求出半径；当 AEAD 时，连接 OB，OE， 延长 AE 交 BC 于 F，通过证BFEDAE，求出 BE 的长，再证OBE 是等边三角形，即得到半径的 值；当 AEAB 时，过点 D 作 BC 的垂线，通过证BPEBND，求出 PE，AE 的长，再利用勾股定 理求出直径 BE 的长，即可得到半径的值 【解答】解： （1）如图 1，过点 A 作 BP 的垂线，垂足为 H，作直径 AM，连接 MP， 在 RtABH 中，ABH60， BAH30， BHAB2，AHABsin602， HPBPBH1，
42、在 RtAHP 中， AP， AB 是直径， APM90， 在 RtAMP 中，MABP60， AM， O 的半径为， 即 PA 的长为，O 的半径为； （2）当APB2PBE 时， PBEPAE， APB2PAE， 在平行四边形 ABCD 中，ADBC， APBPAD， PAD2PAE， PAEDAE， AE 平分PAD； （3）如图 31，当 AEBD 时，AEB90， AB 是O 的直径， rAB2； 如图 32，当 AEAD 时，连接 OB，OE，延长 AE 交 BC 于 F， ADBC， AFBC，BFEDAE， ， 在 RtABF 中，ABF60， AFABsin602，BFAB2
43、， ， EF， 在 RtBFE 中， BE， BOE2BAE60，OBOE， OBE 是等边三角形， r； 当 AEAB 时，BAE90， AE 为O 的直径， BPE90， 如图 33，过点 D 作 BC 的垂线，交 BC 的延长线于点 N，延长 PE 交 AD 于点 Q， 在 RtDCN 中，DCN60，DC4， DNDCsin602，CNCD2， PQDN2， 设 QEx，则 PE2x， 在 RtAEQ 中，QAEBADBAE30， AE2QE2x， PEDN， BPEBND， ， ， BP10 x， 在 RtABE 与 RtBPE 中， AB2+AE2BP2+PE2， 16+4x2（10 x）2+（2x）2， 解得，x16（舍） ，x2， AE2， BE2， r， O 的半径为 2 或或 【点评】本题考查了圆的有关性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角 三角形等，综合性质强，难度大，解题关键是具有扎实的数学功底，熟练掌握各相关知识点
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