1、 第 1 页 / 共 18 页 考点考点 26 椭圆的基本量椭圆的基本量 1. 掌握椭圆定义和几何图形 . 2. 掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程 . 3. 掌握椭圆的简单几何性质,能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题 . 了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法 . 4. 会运用统一定义转化到椭圆上的点到焦点距离和到相应准线距离 . 高考在椭圆部分的考查主要体现在椭圆的标准方程与几何性质，主要考点椭圆的标准方 程、几何意义，特别是离心率的问题，考查的形式有填空题、选择题和解答题的第一问。 椭圆的试题,在填空题中主要考查椭圆的离心率、椭圆的定义及统一定义的应用,在解
2、答题 中,主要考查直线与椭圆的综合问题,这类问题的解法是:由直线方程与椭圆的方程联立成方程 组,求出交点后,再来进一步地研究问题,这类问题主要围绕着椭圆的方程、椭圆的几何性质以及 直线与椭圆相交时产生的弦长等研究来展开,一般来说,难度都不大,属于中档题 .在复习中也要 提别注意求椭圆的离心率等性质。 1、【2019 年高考北京卷理数】已知椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的离心率为 1 2 ，则 Aa2=2b2 B3a2=4b2 Ca=2b D3a=4b 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考考点总结点总结 第 2 页 / 共 18 页
3、【答案】B 【解析】椭圆的离心率 222 1 , 2 c ecab a ，化简得 22 34ab， 故选 B. 2、 【2017 年高考浙江卷】椭圆 22 1 94 xy 的离心率是 A 13 3 B 5 3 C 2 3 D 5 9 【答案】B 【解析】椭圆 22 1 94 xy 的离心率 945 33 e ，故选 B 3、 【2018 年高考全国理数】已知 1 F， 2 F是椭圆 22 22 1(0) xy Cab ab ：的左、右焦点，A是C的左顶 点，点P在过A且斜率为 3 6 的直线上， 12 PFF 为等腰三角形， 12 120FF P，则C的离心率为 A 2 3 B 1 2 C 1
4、 3 D 1 4 【答案】D 【解析】因为 12 PFF为等腰三角形， 12 120FF P，所以 212 |2|PFFFc， 由AP的斜率为 3 6 可得 2 3 tan 6 PAF， 所以 2 1 sin 13 PAF ， 2 12 cos 13 PAF， 由正弦定理得 22 22 sin sin PFPAF AFAPF ， 所以 2 11 22 1313 = 531211 sin() 3 221313 c ac PAF ， 第 3 页 / 共 18 页 所以4ac， 1 4 e ，故选 D 4、【2019 年高考全国卷理数】已知椭圆 C 的焦点为 12 1,01,0FF()， ()，过
5、F2的直线与 C 交于 A，B 两 点若 22 | 2|AFF B， 1 | |ABBF，则 C 的方程为 A 2 2 1 2 x y B 22 1 32 xy C 22 1 43 xy D 22 1 54 xy 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设 2 F Bn，则 21 2 ,3AFn BFABn， 由椭圆的定义有 1212 24 ,22aBFBFnAFaAFn 在 1 AFB中，由余弦定理推论得 222 1 4991 cos 2 233 nnn F AB nn 在 12 AFF 中，由余弦定理得 22 1 442 224 3 nnnn ，解得 3 2 n 222 242 3 ,3
6、,3 12,anabac 所求椭圆方程为 22 1 32 xy ，故选 B 法二：由已知可设 2 F Bn，则 21 2 ,3AFn BFABn， 由椭圆的定义有 1212 24 ,22aBFBFnAFaAFn 在 12 AFF 和 12 BFF中，由余弦定理得 22 21 22 21 442 22 cos4 422 cos9 nnAF Fn nnBF Fn ， 又 2121 ,AF FBF F互补， 2121 coscos0AF FBF F，两式消去 2121 coscosAF FBF F,，得 第 4 页 / 共 18 页 22 3611nn，解得 3 2 n 222 242 3 ,3 ,
7、3 12,anabac 所求椭圆方 程为 22 1 32 xy ，故选 B 5、 【2020 年山东卷】.已知曲线 22 :1C mxny.（ ） A. 若 mn0，则 C是椭圆，其焦点在 y轴上 B. 若 m=n0，则 C是圆，其半径为n C. 若 mn0，则 C是两条直线 【答案】ACD 【解析】对于 A，若0mn，则 22 1mxny可化为 22 1 11 xy mn ， 因为0mn，所以 11 mn ，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故 A 正确； 对于 B，若0mn，则 22 1mxny可化为 22 1 xy n ， 此时曲线C表示圆心在原点，半径为 n n 的圆，故 B 不正确；
8、对于 C，若0mn，则 22 1mxny可化为 22 1 11 xy mn ， 此时曲线C表示双曲线，由 22 0mxny可得 m yx n ，故 C正确； 对于 D，若0,0mn，则 22 1mxny可化为 2 1 y n ， n y n ，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故 D 正确； 故选：ACD. 第 5 页 / 共 18 页 6、 【2019 年高考浙江卷】 已知椭圆 22 1 95 xy 的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方， 若线段PF 的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_ 【答案】15 【解析】方法 1：如图，设 F1为椭圆右焦点.由题意可知|
9、=|2OFOM |=c=， 由中位线定理可得 1 2| 4PFOM，设( , )P x y，可得 22 (2)16xy， 与方程 22 1 95 xy 联立，可解得 321 , 22 xx （舍） ， 又点P在椭圆上且在x轴的上方，求得 315 , 22 P ，所以 15 2 15 1 2 PF k. 方法 2： （焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c=， 由中位线定理可得 1 2| 4PFOM，即 3 4 2 pp aexx ， 从而可求得 315 , 22 P ，所以 15 2 15 1 2 PF k. 7、 【2019 年高考全国卷理数】设 12 FF，为椭圆 C: 2
10、2 +1 3620 xy 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限. 若 12 MFF为等腰三角形，则 M 的坐标为_. 第 6 页 / 共 18 页 【答案】3, 15 【解析】由已知可得 22222 36,20,16,4abcabc ， 112 28MFFFc， 2 4MF 设点M的坐标为 0000 ,0,0 xyxy，则 1 2 1200 1 4 2 MF F SFFyy ， 又 1 2 22 0 1 4824 15 ,44 15 2 MF F Sy ，解得 0 15y ， 2 2 0 15 1 3620 x ，解得 0 3x （ 0 3x 舍去） ， M的坐标为3, 15 8、 【2
11、020 年全国 3 卷】.已知椭圆 22 2 :1(05) 25 xy Cm m 的离心率为 15 4 ，A，B分别为C的左、右顶 点 （1）求C的方程； （2）若点P在C上，点Q在直线6x上，且| | |BPBQ ，BPBQ，求APQ的面积 【答案】 （1） 22 16 1 2525 xy ； （2） 5 2 . 【解析】 （1） 22 2 :1(05) 25 xy Cm m 5a，bm， 根据离心率 22 15 4 11 5 cbm e aa ， 解得 5 4 m 或 5 4 m (舍)， C的方程为： 22 2 1 4 25 5 xy ，即 22 16 1 2525 xy ； （2）不妨
12、设P,Q在 x轴上方 点P在C上，点Q在直线6x上，且| | |BPBQ ，BPBQ， 过点P作x轴垂线，交点为M，设6x与x轴交点为N 根据题意画出图形，如图 第 7 页 / 共 18 页 | |BPBQ ，BPBQ，90PMBQNB ， 又90PBMQBN，90BQNQBN， PBMBQN ，根据三角形全等条件“AAS”， 可得：PMBBNQ， 22 16 1 2525 xy ， (5,0)B ，6 51PMBN ， 设P点为(,) PP xy，可得P点纵坐标为1 P y ，将其代入 22 16 1 2525 xy ， 可得： 2 16 1 2525 P x ， 解得：3 P x 或3 P
13、 x ，P点为(3,1)或( 3,1)， 当P点为(3,1)时， 故5 32MB ，PMBBNQ，| | 2MBNQ， 可得：Q点为(6,2)， 画出图象，如图 ( 5,0)A ,(6,2)Q ， 第 8 页 / 共 18 页 可求得直线AQ的直线方程为：211100 xy， 根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为： 22 2 3 11 1 1055 5125 211 d ， 根据两点间距离公式可得： 22 65205 5AQ ， APQ面积为： 155 5 5 252 ； 当P点为( 3,1)时，故5+38MB ， PMBBNQ，| | 8MBNQ，可得：Q点为(6,8)， 画出图象，
14、如图 ( 5,0)A ,(6,8)Q ， 可求得直线AQ的直线方程为：811400 xy， 根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为： 22 8311 1 405 5 185185 811 d ， 根据两点间距离公式可得： 22 6580185AQ ， APQ面积为： 155 185 22185 ， 综上所述，APQ面积为： 5 2 . 二年模拟试题二年模拟试题 第 9 页 / 共 18 页 题型一题型一 椭圆的方程与离心率椭圆的方程与离心率 1、（北京师范大学附属实验中学 2019-2020 学年高三第一学期 12 月月考） ABC 的两个顶点坐标 A （-4， 0） ， B（4，0）
15、，它的周长是 18，则顶点 C 的轨迹方程是 ( ) A B（y0） C D（y0） 【答案】D 【解析】 所以定点 的轨迹为以 A,B 为焦点的椭圆，去掉 A,B,C 共线的情况，即 ，选 D. 2、 （2020 届浙江省嘉兴市 3 月模拟）已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别是 1 F， 2 F，点A 是椭圆上位于x轴上方的一点，若直线 1 AF的斜率为 4 2 7 ，且 11 2 AFFF，则椭圆的离心率为_ 【答案】 3 5 【解析】设 12 AFF，由直线 1 AF的斜率为 4 2 7 ，知 sin4 2 tan cos7 ，且 22 sincos1， 即得
16、 7 cos 9 ， 由 112 2AFFFc及椭圆定义知 21 222AFaAFac， 由余弦定理即可得， 222 2112112 2cosAFAFFFAF FF，即 2227 22222 22 9 accccc，化简得 2 2 4 9 acc， 故 222222 53 22051890 95 4 9 aacccacecaee或 3（舍） 即 3 5 e 第 10 页 / 共 18 页 故答案为： 3 5 3、 （2020 浙江高三）如图，过椭圆 22 22 1 xy C ab ：的左、右焦点 F1，F2分别作斜率为2 2的直线交椭圆 C 上半部分于 A，B 两点，记AOF1，BOF2的面积
17、分别为 S1，S2，若 S1：S27：5，则椭圆 C 离心率为_ 【答案】 1 2 【解析】作点 B 关于原点的对称点 B1，可得 S 21 BOFB OF S ，则有 1 1 2 7 5 A B yS Sy ， 所以 1 7 5 AB yy 将直线 AB1方程 2 4 y xc，代入椭圆方程后， 22 22 2 4 1 xyc xy ab ， 整理可得： （b2+8a2）y24 2b 2cy+8b40， 第 11 页 / 共 18 页 由韦达定理解得 1 2 22 4 2 8 AB b c yy ba ， 1 4 22 8 8 AB b y y ba ， 三式联立，可解得离心率 1 2 c
18、e a 故答案为： 1 2 .4、 （江苏省南通市通州区 2019-2020 学年高三第一次调研抽测）设 A，B 分别为椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab 0)的右顶点和上顶点，已知椭圆 C 过点 P(2，1)，当线段 AB 长最小时椭圆 C 的离心率为_. 【答案】 2 2 【解析】因为 A，B 分别为椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的右顶点和上顶点， 所以 ( ,0)A a ，(0, )Bb， 又椭圆 C 过点 (2,1)P ， 所以 22 41 1 ab ， 所以 22 2222 2222 414 ()4193 ab ABabab abba ， 当且仅当 2
19、2 22 4ab ba ，即 22 2ab时，取等号， 此时 22 2ac，所以离心率为 12 22 c e a . 故答案为 2 2 5、 （2020 年 1 月北京中学生标准学术能力诊断性测试）已知 F 是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个焦 点，P 是 C 上的任意一点，则FP称为椭圆 C 的焦半径.设 C 的左顶点与上顶点分别为 A，B，若存在以 A 为圆心，FP为半径长的圆经过点 B，则椭圆 C 的离心率的最小值为_. 【答案】 31 2 第 12 页 / 共 18 页 【解析】根据题意，存在以 A 为圆心，FP为半径长的圆经过点 B，即FP的最大值应该不小于线
20、段AB 的长，可得 22 acab ，化简得 22 220acac，即 2 2210ee ，且01e ，解得 31 1 2 e ，所以椭圆 C 的离心率的最小值为 31 2 6、 （2020 届浙江省高中发展共同体高三上期末） 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的内接ABC的顶点B为 短轴的一个端点， 右焦点F， 线段AB中点为K， 且 2C FF K ， 则椭圆离心率的取值范围是_. 【答案】 3 0, 3 【解析】由题意可设0,Bb，,0F c，线段AB中点为K，且 2CFFK ， 可得F为ABC的重心，设 11 ,A x y， 22 ,C x y， 由重心坐标公式可得， 12
21、 03xxc， 12 0yyb， 即有AC的中点,M x y，可得 12 3 22 xxc x ， 12 22 yyb y ， 由题意可得点M在椭圆内，可得 2 2 91 1 44 c a ， 由 c e a ，可得 2 1 3 e ，即有 3 0 3 e . 故答案为： 3 0, 3 . 7、 （2020 届浙江省杭州市建人高复高三 4 月模拟）已知方程 22 (1)(9)1kxk y，若该方程表示椭圆 方程，则k的取值范围是_； 【答案】15k或59k 【解析】 因为方程 22 (1)(9)1kxk y， 第 13 页 / 共 18 页 所以 22 1 11 (1)(9) xy kk ，
22、所以有 1 0 (1) 1 0 (9) 11 (1)(9) k k kk 即15k或59k 故答案为：15k或59k 8、（2020 浙江温州中月高考模拟） 已知直线 : l ykxm 与椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 恰有一个公共点P， l与圆 222 xya相交于 ,A B两点. （I）求k与m的关系式； （II）点Q与点P关于坐标原点O对称.若当 1 2 k 时，QAB的面积取到最大值 2 a，求椭圆的离心率. 【答案】 （） 2222 ma kb（II） 10 4 e 【解析】 （I）由 22 22 , 1 ykxm xy ab ，得 22222222 20a kbxa
23、kmxamb ， 则 2 2222222 240a kma kbamb 化简整理，得 2222 ma kb； （）因点Q与点P关于坐标原点O对称，故QAB的面积是OAB的面积的两倍. 第 14 页 / 共 18 页 所以当 1 2 k 时，OAB的面积取到最大值 2 2 a ，此时OAOB， 从而原点O到直线l的距离 2 a d ， 又 2 1 m d k ，故 22 2 12 ma k . 再由（I） ，得 2222 2 12 a kba k ，则 2 2 2 2 1 b k a . 又 1 2 k ，故 2 2 2 21 1 4 b k a ，即 2 2 3 8 b a ， 从而 22 2
24、 22 5 1 8 cb e aa ，即 10 4 e . 题型二、椭圆中的点坐标 1、（2020 届浙江省杭州市高三 3 月模拟） 设 12 ,F F是椭圆 22 2 :1(02) 4 xy Cm m 的两个焦点， 00 (,)P xy 是 C 上一点，且满足 12 PFF的面积为 3,则 0 |x的取值范围是_. 【答案】0,1 【解析】 依题意， 2 12 24FFm ，所以 1 2 2 0 1 243 2 PF F Smy ，则 0 2 3 4 y m ，而 22 00 2 1 4 xy m ，所以 2 2 0 0 224 12 4 14 4 y x mmm .由于02m， 2 04m
25、，根据二次函数的性质 可知： 2 242 4240,4mmm ，所以 24 12 3 4mm ，所以 2 0 24 12 41 4 x mm ，解得 0 0,1x . 故答案为：0,1 2、(2019 泰州期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左顶点为 A，点 B 是椭 圆 C 上异于左、右顶点的任一点，P 是 AB 的中点，过点 B 且与 AB 垂直的直线与直线 OP 交于点 Q.已知椭 圆 C 的离心率为1 2，点 A 到右准线的距离为 6. 第 15 页 / 共 18 页 (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 设点 Q 的横坐标为
26、x0，求 x0的取值范围 思路分析 (1)根据题意，建立关于 a，c 的方程组，求出 a，c 的值，进而确定 b 的值，得到椭圆的 s 标 准方程 (2)设出点 B 的坐标为(m，n)，用 m，n 表示 x0，然后再减元转化为关于 m 的一元函数求求其值域也 可以设出直线 AB 的方程，并与椭圆方程联立，结合根与系数的关系，得到点 B 和 P 的坐标，进而求得直线 BQ 和 PQ 的方程，由两直线方程联立求得交点 Q 的横坐标 x0，根据函数的值域求得 x0的取值范围 规范解答 (1) 由题意得c a 1 2， a2 c a6，解得 a2，c1，所以 b a2c2 3，所以椭圆 C 的标准方程
27、 为x 2 4 y2 3 1.(4 分) (2) 解法 1 设 B(m，n)，则m 2 4 n 2 3 1. 因为 A(2，0)，ABBQ，所以直线 BQ 的方程为 ym2 n (xm)n，因为 P 是 AB 的中点，所以 P(m2 2 ，n 2)，所以直线 OP 的方程为 y n m2x，联立直线 BQ，OP 的方程得 m2 n (xm)n n m2x，(8 分) 解得 x0（m2）（m 22mn2） m24n2 ， 由m 2 4 n 2 3 1 得 n23 4(m 24)，代入上式化简得 x 0m6，(14 分) 因为2m2，所以 4x03，所以 0 12 4k234，44 12 4k23
28、8，即 4x0b0)，半焦距为 c， 因为椭圆的离心率为1 2，所以 c a 1 2，即 a2c， 又因为 A 到右准线的距离为 6，所以 aa 2 c 3a6，(2 分) 解得 a2，c1，(4 分) 所以 b2a2c23，所以椭圆 E 的标准方程为x 2 4 y2 3 1.(6 分) (2) 直线 AB 的方程为 y3 2(x2)， 由 y 3 2（x2）， x2 4 y 2 3 1， 得 x23x20，解得 x2 或 x1. 则 B 点的坐标为 1，3 2 .(9 分) 由题意，右焦点 F(1，0)，所以直线 BF 方程为 y3 4(x1)，(11 分) 第 17 页 / 共 18 页
29、由 y 3 2（x2）， x2 4 y 2 3 1， 得 7x26x130，解得 x1 或 x13 7 ，(13 分) 所以，点 M 坐标为 13 7 ， 9 14 .(14 分) 4、(2016 徐州、连云港、宿迁三检）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 1，3 2 在椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0) 上，P 到椭圆 C 的两个焦点的距离之和为 4. (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 若点 M，N 是椭圆 C 上的两点，且四边形 POMN 是平行四边形，求点 M，N 的坐标 . 规范解答 (1)由题意知， 1 a2 9 4b21,2a4. (2 分) 解得 a24，b
30、23，所以椭圆的方程为x 2 4 y 2 31. (4 分) (2) 解法 1 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 ON 的中点坐标为 x2 2， y2 2 ，PM 的中点坐标为 1x1 2 ， 3 2y1 2 . 因为四边形 POMN 是平行四边形，所以 1x1 2 x2 2 ， 3 2y1 2 y2 2. )即 x1x21， y1y23 2. )(6 分) 由点 M，N 是椭圆 C 上的两点， 所以 3x224y2212， 3x2124 y23 2 212. )(8 分) 解得 x22， y20 )或 x21， y23 2. ) (12 分) 由 x22， y20， )得 x11，
31、 y13 2. )由 x21， y23 2， )得 x12， y10. ) 所以点 M 1，3 2 ，点 N(2,0)；或点 M(2,0)， 点 N 1，3 2 .(14 分) 解法 2 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为四边形 POMN 是平行四边形，所以ON OP OM ， 所以(x2，y2) 1，3 2 (x1，y1)，即 x21x1， y23 2y1， (6 分) 由点 M，N 是椭圆 C 上的两点， 所以(8 分) 用得 x12y120，即 x122y1， 第 18 页 / 共 18 页 代入(1)中得 3(22y1)24y2112，整理得 2y213y10，所以 y10
32、或 y13 2，于是 x12， y10 或 x11， y13 2， (12 分) 由 x12， y10， 得 x21， y23 2. 由 x11， y13 2， 得 x22， y20. ) 所以点 M 1，3 2 ，点 N(2,0)；或点 M(2,0)， 点 N 1，3 2 .(14 分) 解法 3 因为四边形 POMN 是平行四边形，所以OP MN ， 因为点 P 1，3 2 ，所以|MN|OP|19 4 13 2 ，且 kMNkOP3 2，(6 分) 设直线 MN 方程为 y3 2xm(m0)， 联立 y3 2xm， x2 4 y 2 3 1， )得 3x23mxm230，(*) 所以 (
33、3m)243(m23)0，即 m2120，从而 m(2 3，0)(0,2 3)， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2m，x1x2m 23 3 ，(8 分) 且|MN| 1k2|x1x2| 13 2 x1x224x1x2 13 2 m24m 23 3 13 2 41 3m 2， 又知|MN| 13 2 ，所以 13 2 41 3m 2 13 2 ， 整理得 m290，所以 m3 或 m3.(12 分) 当 m3 时，(*)可化为 3x29x60，即 x23x20，故 x1 或 x2， 代入直线 MN：y3 2x3 得两交点 M(2,0)，N 1，3 2 ； 当 m3 时，(*)可化为 3x29x60，即 x23x20，故 x1 或 x2， 代入直线 MN：y3 2x3 得两交点 M 1，3 2 ，N(2,0)， 所以点 M 1，3 2 ，点 N(2,0)；或点 M(2,0)， 点 N 1，3 2 .(14 分)
浙公网安备33030202001339号