1、 第 1 页 / 共 23 页 考点考点 28 双曲线及双曲线及其其性质性质 1. 了解双曲线的实际背景、定义和几何图形 . 2. 了解双曲的的标准方程,会求双曲线的标准方程; 3. 了解双曲线的简单几何性质 . 近三年主要考察了以下几点： 1、双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，解题时要注意a、b、c的关系，即 222 cab，以及当 焦点在x轴时，哪些量表示 22 ,a b，否则很容易出现错误最后根据离心率的公式计算即可. 2、求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值 不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力 3、双
2、曲线与抛物线或者椭圆等圆锥曲线的结合 1、在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线： （1）掌握方程； （2）掌握其倾斜角、斜率的求法； （3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数. 2、求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都与椭圆的有关问题相类似.因此，双曲线 与椭圆的标准方程可统一为1 22 ByAx的形式，当0A，0B，BA 时为椭圆，当0AB时为双 曲线. 3、凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理 4、利用待定系数法求圆锥曲线的方程是高考的常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件 列出关于
3、, ,a b c的方程（组） ，解方程（组）求出, a b的值另外要注意巧设双曲线方程的技巧：双曲线 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 23 页 过两点可设为 22 1(0)mxnymn，与 22 22 1 xy ab 共渐近线的双曲线可设为 22 22 xy ab (0) ， 等轴双曲线可设为 22 (0)xy 1、 【2020 年北京卷】已知双曲线 22 :1 63 xy C，则 C的右焦点的坐标为_；C 的焦点到其渐近线 的距离是_ 【答案】 (1). 3,0 (2). 3 【解析】在双曲线C中，6a ， 3b ，则 22 3c
4、ab ，则双曲线C的右焦点坐标为3,0， 双曲线C的渐近线方程为 2 2 yx ，即20 xy， 所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为 2 3 3 12 . 故答案为：3,0；3. 2、 【2020 年江苏卷】.在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2 2 x a 2 5 y =1(a0)的一条渐近线方程为 y= 5 2 x， 则该双曲线的离心率是_. 【答案】 3 2 【解析】双曲线 22 2 1 5 xy a ，故5b .由于双曲线的一条渐近线方程为 5 2 yx，即 5 2 2 b a a ， 所以 22 4 53cab ，所以双曲线的离心率为 3 2 c a . 故答案为： 3 2
5、 3、 【2020 年全国 1 卷】.已知 F 为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，A为 C 的右顶点，B为 C上的 点，且 BF垂直于 x轴.若 AB 的斜率为 3，则 C的离心率为_. 三年高考真题三年高考真题 第 3 页 / 共 23 页 【答案】2 【解析】联立 22 22 222 1 xc xy ab abc ，解得 2 xc b y a ，所以 2 b BF a . 依题可得， 3 BF AF ，AFca ，即 2 22 3 b ca a caa ca ，变形得3caa，2ca, 因此，双曲线C的离心率为2. 故答案为：2 4、 【2020 年全国
6、3 卷】设双曲线 C： 22 22 1 xy ab （a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为5P 是 C 上一点，且 F1PF2P若PF1F2的面积为 4，则 a=（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】5 c a ， 5ca ，根据双曲线的定义可得 12 2PFPFa ， 1 2 12 1 |4 2 PF F PFFSP ，即 12 |8PFPF， 12 FPF P， 22 2 12 |2PFPFc， 2 2 1212 24PFPFPFPFc，即 22 540aa ，解得1a ， 故选：A. 5、 【2020 年天津卷】设双曲线C的方程为 22 22
7、 1(0,0) xy ab ab ，过抛物线 2 4yx的焦点和点(0, ) b的直 线为l若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ） A. 22 1 44 xy B. 2 2 1 4 y x C. 2 2 1 4 x y D. 22 1xy 【答案】D 【解析】由题可知，抛物线的焦点为1,0，所以直线l的方程为1 y x b ，即直线的斜率为b， 又双曲线的渐近线的方程为 b yx a ，所以 b b a ，1 b b a ，因为0,0ab，解得1,1ab 第 4 页 / 共 23 页 故选：D 6、 【2020 年浙江卷】 已知点 O （0， 0） ， A （
8、2， 0） ， B （2， 0） 设点 P满足|PA|PB|=2， 且 P 为函数 y= 2 3 4x 图像上的点，则|OP|=（ ） A. 22 2 B. 4 10 5 C. 7 D. 10 【答案】D 【解析】因为| 24PAPB，所以点P在以,A B为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上， 由2,1ca可得， 222 413bca，即双曲线的右支方程为 2 2 10 3 y xx，而点P还在函数 2 3 4yx 的图象上，所以， 由 2 2 2 10 3 3 4 y xx yx ，解得 13 2 3 3 2 x y ，即 1327 10 44 OP 故选：D. 7、 【2020 年
9、全国 2 卷】设O为坐标原点，直线x a 与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线分别 交于,D E两点，若ODE的面积为 8，则C的焦距的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 双曲线的渐近线方程是 b yx a 直线xa与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的两条渐近线分别交于D，E两点 不妨设D为在第一象限，E在第四象限 联立 xa b yx a ，解得 xa yb 故( , )D a b 第 5 页 / 共 23 页 联立 xa b yx a ，解
10、得 xa yb 故( ,)E ab | 2EDb ODE面积为： 1 28 2 ODE Sabab 双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 其焦距为 22 222 22 168cabab 当且仅当 2 2ab 取等号 C的焦距的最小值：8 故选：B. 8、 【2019 年高考全国卷理数】 设 F 为双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点，O为坐标原点， 以OF 为直径的圆与圆 222 xya交于 P，Q 两点若PQOF，则 C 的离心率为 A 2 B 3 C2 D 5 【答案】A 【解析】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQx轴， 又|PQOFc，
11、|, 2 c PAPA为以OF为直径的圆的半径， | 2 c OA ，, 2 2 c c P ， 又P点在圆 222 xya上， 22 2 44 cc a，即 22 22 2 ,2 2 cc ae a 2e ，故选 A 第 6 页 / 共 23 页 9、【2019 年高考全国卷理数】双曲线 C： 22 42 xy =1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为 坐标原点，若=POPF，则PFO 的面积为 A 3 2 4 B 3 2 2 C2 2 D3 2 【答案】A 【解析】由 22 2,2 ,6 ,abcab 6 , 2 P POPFx， 又 P 在 C 的一条渐近线上，不妨设
12、为在 b yx a 上，则 263 222 PP b yx a ， 1133 2 6 2224 PFOP SOFy ，故选 A 10、【2019 年高考浙江卷】渐近线方程为 x y=0 的双曲线的离心率是 A 2 2 B1 C2 D2 【答案】C 【解析】因为双曲线的渐近线方程为0 xy，所以ab，则 22 2caba ，所以双曲线的离 心率2 c e a .故选C. 第 7 页 / 共 23 页 11、 【2018 年高考浙江卷】双曲线 2 2 1 3 x y的焦点坐标是 A( 2，0)，(2，0) B(2，0)，(2，0) C(0， 2)，(0，2) D(0，2)，(0，2) 【答案】B
13、【解析】设 2 2 1 3 x y的焦点坐标为( ,0)c ，因为 222 3 14cab ，2c ， 所以焦点坐标为( 2,0)，故选 B 12、 【2017 年高考天津卷理数】已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点为F，离心率为 2若经 过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 A 22 1 44 xy B 22 1 88 xy C 22 1 48 xy D 22 1 84 xy 【答案】B 【解析】由题意得 22 40 ,14,2 21 0()88 xy abcab c ， 故选 B 13、 【2018 年高考全国理数】双曲线 22
14、 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为3，则其渐近线方程为 A2yx B3yx C 2 2 yx D 3 2 yx 【答案】A 【解析】因为3 c e a ，所以 222 2 22 13 12 bca e aa ，所以2 b a ， 因为渐近线方程为 b yx a ，所以渐近线方程为2yx ，故选 A 第 8 页 / 共 23 页 14、 【2017 年高考全国理数】 若双曲线:C 22 22 1 xy ab （0a，0b） 的一条渐近线被圆 2 2 24xy 所截得的弦长为 2，则C的离心率为 A2 B3 C2 D 2 3 3 【答案】A 【解析】由几何关系可得，双曲线 22 2
15、2 10,0 xy ab ab 的渐近线方程为0bxay， 圆心2,0到渐近线的距离为 22 213d ， 则点2,0到直线0bxay的距离为 22 202 3 bab d c ab ，即 22 2 4() 3 ca c ， 整理可得 22 4ca，则双曲线的离心率 2 2 42 c e a 故选 A 15、【2017 年高考全国 III 理数】已知双曲线 C： 22 22 1 xy ab (a0，b0)的一条渐近线方程为 5 2 yx， 且与椭圆 22 1 123 xy 有公共焦点，则 C 的方程为 A 22 1 810 xy B 22 1 45 xy C 22 1 54 xy D 22 1
16、 43 xy 【答案】B 【解析】双曲线 C： 22 22 1 xy ab (a0，b0)的渐近线方程为 b yx a ， 在椭圆中： 22 12,3ab， 222 9,3cabc，故双曲线 C 的焦点坐标为( 3,0)， 据此可得双曲线中的方程组： 222 5 ,3, 2 b ccab a ，解得 22 4,5ab， 第 9 页 / 共 23 页 则双曲线C的方程为 2 1 45 xy 故选 B 16、 【2018 年高考全国 III 理数】设 1 F， 2 F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，O是坐标 原点过 2 F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P若
17、1 |6 |PFOP，则C的离心率为 A5 B2 C3 D 2 【答案】C 【解析】由题可知 2 PFb， 2 OFc，POa， 在 2 RtPOF中， 2 2 2 cos PFb PF O OFc ， 在 12 RtPFF中， 222 2121 2 212 cos 2 PFFFPFb PF O PFFFc ， 222 4( 6 ) 22 bcab bcc ，即 22 3ca， 3e ，故选 C 17、 【2018 年高考全国 I 理数】已知双曲线 2 2 :1 3 x Cy，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直 线与C的两条渐近线的交点分别为M，N若OMN为直角三角形，则|MN A 3 2
18、 B3 C2 3 D4 【答案】B 【解析】由题可知双曲线C的渐近线的斜率为 3 3 ，且右焦点为 (2,0)F ，从而可得30FON， 所以直线MN的倾斜角为60或120，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60，可以得出直线MN的 方程为3(2)yx， 分别与两条渐近线 3 3 yx和 3 3 yx 联立， 求得(3, 3)M， 33 ( ,) 22 N， 所以 22 33 |(3)( 3)3 22 MN ，故选 B 第 10 页 / 共 23 页 18、 【2018 年高考天津卷理数】已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲
19、线交于 A，B 两点. 设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 1 d和 2 d，且 12 6dd，则双曲线的方程为 A 22 1 412 xy B 22 1 124 xy C 22 1 39 xy D 22 1 93 xy 【答案】C 【解析】设双曲线的右焦点坐标为,0F c（c0） ，则 AB xxc， 由 22 22 1 cy ab 可得： 2 b y a ， 不妨设： 22 , bb A cB c aa ， 双曲线的一条渐近线方程为：0bxay， 据此可得： 2 2 1 22 bcb bcb d c ab ， 2 2 2 22 bcb bcb d c ab ， 则 12 2 2
20、6 bc ddb c ，则 2 3,9bb， 双曲线的离心率： 2 22 9 112 cb e aaa ， 据此可得： 2 3a ，则双曲线的方程为 22 1 39 xy . 本题选择 C 选项. 19、【2019 年高考全国卷理数】已知双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若 1 FAAB， 12 0FB F B，则 C 的离心率为 _ 【答案】2 第 11 页 / 共 23 页 【解析】如图， 由 1 ,FAAB得 1 .F AAB又 12, OFOF得 OA 是三角形 12 FF
21、B的中位线，即 22 ,2.BFOA BFOA 由 12 0FB F B，得 121 ,FBF BOAF A 1 OBOF， 1 AOBAOF， 又 OA 与 OB 都是渐近线， 21, BOFAOF 又 21 BOFAOBAOF， 21 60 ,BOFAOFBOA 又渐近线 OB 的斜率为tan603 b a ， 该双曲线的离心率为 22 1 ( )1 ( 3)2 cb e aa 20、【2019 年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 2 2 2 1(0) y xb b 经过点（3，4)，则该 双曲线的渐近线方程是 . 【答案】2yx 【解析】由已知得 2 2 2 4 31 b
22、，解得 2b 或 2b ， 因为0b，所以 2b . 因为1a ，所以双曲线的渐近线方程为2yx . 21、【2017 年高考北京卷理数】若双曲线 2 2 1 y x m 的离心率为3，则实数 m=_ 【答案】2 【解析】 22 1,abm，所以 1 3 1 cm a ，解得2m 22、 【2018 年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点 ( ,0)F c 第 12 页 / 共 23 页 到一条渐近线的距离为 3 2 c，则其离心率的值是_ 【答案】2 【解析】因为双曲线的焦点( ,0)F c到渐近线 b yx a ，即0bxay
23、的距离为 22 0bcbc b c ab ， 所以 3 2 bc，因此 222222 31 44 acbccc， 1 2 ac，2e 23、 【2018 年高考北京卷理数】 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Mab ab ， 双曲线 22 22 :1 xy N mn 若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心 率为_；双曲线N的离心率为_ 【答案】31 2 【解析】 由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3cc， 再根据椭圆定义得32cca， 所以椭圆M的离心率为 2 31 13 c a 双曲线N的渐近线方程为 n yx m
24、，由题意得双曲线 N的一条渐近线的倾斜角为 3 ，所以 2 2 2 tan3 3 n m ，所以 2222 2 22 3 4 mnmm e mm ，所以 2e 24、【2017 年高考山东卷理数】在平面直角坐标系xOy中，双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右支与焦点 为F的抛物线 2 20 xpx p交于, A B两点，若4AFBFOF，则该双曲线的渐近线方程为 _ 【答案】 2 2 yx 【解析】由抛物线定义可得：|=4 222 ABAB ppp AFBFyyyyp, 因为 22 22222 22 2 1 20 2 xy a ypb ya b ab xpy ,所以 2 2
25、 2 2 AB pb yypab a 渐近线方程 为 2 2 yx . 第 13 页 / 共 23 页 题型一、双曲线的标准方程与几何性质 1、 （2020 届山东省烟台市高三上期末）若双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的离心率为 5 2 ，则其渐近线方 程为（ ） A2 30 xy B320 xy C20 xy D230 xy 【答案】C 【解析】由题,离心率 2 2 5 1 2 cb e aa ,解得 1 2 b a , 因为焦点在x轴上,则渐近线方程为 1 2 yx ,即20 xy 故选：C 2、 （2020 届浙江省嘉兴市高三 5 月模拟）双曲线 22 1 24 xy 的
26、渐近线方程为（ ） A 2yx B 2yx C 1 2 yx D 2 2 yx 【答案】B 【解析】双曲线为 22 1 24 xy ， 2a ，2b，渐近线方程为： b yx a ， 其渐近线方程为： 2 2 2 yxx ， 故选：B. 3、 （2020 届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）双曲线 22 21yx的一个顶点坐标是（ ） A( 2，0) B( 2 2 ，0) C(0， 2) D(0 ， 2 2 ) 【答案】D 二年模拟试题二年模拟试题 第 14 页 / 共 23 页 【解析】双曲线 22 21yx化为标准方程为： 2 2 1 1 2 y x ， 2 a= 1 2 ，且实轴在 y 轴上
27、， 顶点坐标是（ 2 0 2 ，） ，故选 D. 4、 （2020 浙江镇海中学高三 3 月模拟）双曲线y2=1 的渐近线方程是（ ） Ax 2y=0 B2x y=0 C4x y=0 Dx 4y=0 【答案】A 【解析】双曲线 其渐近线方程是y2=0 整理得 x 2y=0 故选 A 5、 （2020 浙江高三）若双曲线 2 2 1 x y m 的焦距为 4，则其渐近线方程为（ ） A 3 3 yx B3yx C 5 5 yx D5yx 【答案】A 【解析】双曲线 2 2 1 x y m 的焦距为 4，可得 m+14，所以 m3， 由题设，双曲线的焦点在 x 轴上，故渐近线方程为： b yx a
28、 所以双曲线的渐近线方程为：y 3 3 x 故选：A 6、 （2020 浙江温州中月高考模拟）在平面直角坐标系中，经过点(2 2,2)P，渐近线方程为2yx 的双曲线的标准方程为（ ） A 22 1 42 xy B 22 1 714 xy C 22 1 36 xy D 22 1 147 yx 【答案】B 第 15 页 / 共 23 页 【解析】 双曲线的渐近线方程为y2x, 设所求双曲线的标准方程为 22 2xyk 又2 2 ,2 在 双曲线上，则 k=16-2=14,即双曲线的方程为 22 2xy14，双曲线的标准方程为 22 xy 1 714 故选：B 7、 （2020 届浙江省高中发展共
29、同体高三上期末）双曲线 22 1 49 xy 的渐近线方程为 ( ) A4 90 xy B940 xy C230 xy D320 xy 【答案】D 【解析】双曲线 22 1 49 xy 的渐近线方程为： 3 2 b yxx a 双曲线 22 1 49 xy 的渐近线方程为：3 20 xy 。 故选：D. 8、 （2020 届山东省济宁市高三上期末） 已知 12 ,F F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点， 若点 2 F关 于双曲线渐近线的对称点A满足 11 F AOAOF（O为坐标原点） ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A 2yx B 3yx C2yx Dy
30、x 【答案】B 【解析】 如图所示： 由对称性可得：M为 2 AF的中点，且 2 AFOM， 所以 12 F AAF， 因为 11 F AOAOF，所以 11 AFFOc， 第 16 页 / 共 23 页 故而由几何性质可得 1 60AFO，即 2 60MOF， 故渐近线方程为3yx ， 故选 B. 9、 （2020 届山东省滨州市高三上期末） 已知双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点分别为 1( 5,0) F ， 2(5,0) F ，则能使双曲线 C 的方程为 22 1 169 xy 的是( ) A离心率为 5 4 B双曲线过点 9 5, 4 C渐近线方程
31、为3 40 xy D实轴长为 4 【答案】ABC 【解析】由题意，可得：焦点在x轴上，且5c ； A 选项，若离心率为 5 4 ，则4a，所以 222 9bca，此时双曲线的方程为： 22 1 169 xy ，故 A 正确； B 选项， 若双曲线过点 9 5, 4 ， 则 22 222 81 25 16 1 25 ab abc ， 解得： 2 2 16 9 a b ； 此时双曲线的方程为： 22 1 169 xy ， 故 B 正确； C 选项，若双曲线的渐近线方程为3 40 xy ，可设双曲线的方程为： 22 (0) 169 xy m m， 所以 2 16925cmm，解得：1m，所以此时双曲
32、线的方程为： 22 1 169 xy ，故 C 正确； D 选项，若实轴长为 4，则2a，所以 222 21bca，此时双曲线的方程为： 22 4 1 21 xy ，故 D 错误； 故选：ABC. 题型二、双曲线的离心率 1、 （2020 届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线为 1 2 yx，则离心率为（ ） A 5 2 B 5 C 5 2 或5 D3 【答案】A 第 17 页 / 共 23 页 【解析】双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线为 1 2 yx， 2 115 ,1 ( )1 242 bb e aa
33、 . 故选:A. 2、 （2020 届浙江省杭州市第二中学高三 3 月月考）设双曲线 22 2 10 9 xy a a -（）的两焦点之间的距离为 10， 则双曲线的离心率为 （） A 3 5 B 4 5 C 5 4 D 5 3 【答案】C 【解析】因为双曲线 22 2 10 9 xy a a -（）的两焦点之间的距离为 10，所以2 10c ，5c ，所以 22 916ac，所以4a .所以离心率 5 4 e .故选 C. 3、 （2020 届山东省德州市高三上期末）双曲线 22 22 1 xy ab （0a，0b）的右焦点为 1 2 2,0F，点A 的坐标为0,1，点P为双曲线左支上的动点
34、，且 1 APF周长的最小值为 8，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B3 C2 D2 2 【答案】D 【解析】如下图所示： 第 18 页 / 共 23 页 设该双曲线的左焦点为点F，由双曲线的定义可得 1 2PFPFa， 所以， 1 APF的周长为 111 23262APAFPFAFAPPFaAFaa ， 当且仅当A、P、F三点共线时， 1 APF的周长取得最小值，即628a，解得1a . 因此，该双曲线的离心率为 2 2 2 2e a . 故选：D. 4、 （2020 届浙江省台州市温岭中月模拟）双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的一条渐近线的倾斜角为 110，则C的离心
35、率为（ ） A2sin20 B2cos20 C 1 sin20 D 1 cos20 【答案】C 【解析】双曲线C的一条渐近线的倾斜角为110，所以tan70 b a ， C的离心率 22 2 2 1 1tan 70 sin20 cab e aa . 故选：C. 5、 （2020 浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知双曲线 22 2 1 2 xy a 的一条渐近线的倾斜角为 6 ，则双 曲线的离心率为（ ） A 2 3 3 B 2 6 3 C 3 D2 【答案】A 【解析】双曲线 22 2 1 2 xy a 的一条渐近线的倾斜角为 6 ， 则 3 tan 63 ，所以该条渐近线方程为 3 3
36、yx； 所以 23 3a ，解得6a ；所以 22 622 2cab ， 第 19 页 / 共 23 页 所以双曲线的离心率为 2 22 3 36 c e a 故选：A 6、 （2020 届山东省潍坊市高三上期末） 已知点P为双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 右支上一点， 12 ,F F 分别为C的左，右焦点，直线 1 PF与C的一条渐近线垂直，垂足为H，若 11 4PFHF，则该双曲线的离 心率为（ ） A 15 3 B 21 3 C 5 3 D 7 3 【答案】C 【解析】取 1 PF的中点M，连接 2 MF ,由条件可知 111 11 42 HFPFMF， O是 12
37、FF的中点， 2 / /OHMF 又 1 OHPF， 21 MFPF 122 2FFPFc, 根据双曲线的定义可知 1 22PFac， 1 2 ac HF ， 直线 1 PF的方程是： a yxc b ，即0axbyac ， 原点到直线的距离 22 ac OHa ab ， 1 OHF中， 2 22 2 ac ac ， 整理为： 22 3250caca ， 即 2 3250ee ，解得： 5 3 e ，或1e（舍） 故选：C 第 20 页 / 共 23 页 7、 （2020 山东省淄博实验中学高三上期末）双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 2,0F 、 2
38、 2,0F ，M是C右支上的一点， 1 MF 与 y 轴交于点P， 2 MPF 的内切圆在边 2 PF 上的切 点为Q，若 2PQ ，则C的离心率为_. 【答案】 2 【解析】设MPF2的内切圆与 MF1，MF2的切点分别为 A，B， 由切线长定理可知 MAMB，PAPQ，BF2QF2， 又 PF1PF2， MF1MF2（MA+AP+PF1）（MB+BF2）PQ+PF2QF22PQ， 由双曲线的定义可知 MF1MF22a， 故而 aPQ 2 ，又 c2， 双曲线的离心率为 e2 c a 故答案为： 2 第 21 页 / 共 23 页 8、 （2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知 F
39、为双曲线 22 22 :1 xy C ab (0,0)ab 的右焦点，过 F 作 C 的渐近线的垂线 FD，D 为垂足，且 3 | 2 FDOF（O 为坐标原点） ，则 C 的离心率为_. 【答案】2 【解析】由题意(c,0)F，一条渐近线方程为 b yx a ，即0bxay， 22 bc FDb ba ，由 3 | 2 FDOF得 3 2 bc， 2222 3 4 bcca， 22 4ca ，2 c e a 故答案为：2. 9、(2019 苏锡常镇调研）已知双曲线 C 的方程为 2 2 1 4 x y，则其离心率为 【答案】 2 5 ， 【解析】因为4 2 a，1 2 b，所以5 222 b
40、ac，故离心率为. 2 5 a c e 题型三、双曲线与其它知识点的结合 1、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）已知圆 22 :10210C xyy与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的 渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ） A 2 B 5 3 C 5 2 D 5 【答案】C 【解析】由双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab ，可得其一条渐近线的方程为 b yx a ，即0bxay， 又由圆 22 :10210C xyy，可得圆心为 (0,5)C ，半径2r =， 则圆心到直线的距离为 22 55 () aa d c ba ，则 5 2 a c ，可得 5
41、 2 c e a ， 故选 C. 第 22 页 / 共 23 页 2、 （2020 届山东省九校高三上学期联考）已知直线 1 l， 2 l为双曲线M： 22 22 10,0 xy ab ab 的两条 渐近线，若 1 l， 2 l与圆N：( ) 2 2 21xy-+=相切，双曲线M离心率的值为（ ） A 3 3 B 2 3 3 C3 D 4 3 3 【答案】B 【解析】设渐近线方程 b yx a ，即0 b xy a ，与圆N：( ) 2 2 21xy-+=相切， 圆心到直线的距离 2 2 1 ( )1 b a d b a ， 2222222 2 ()( )1,3,3() bb bacaa aa
42、 ， 所以 222 42 3 34,1, 33 ca eee . 故选：B 3、 （2019 北京八十中高二期中）已知椭圆 22 22 1(0) xy Mab ab ：，双曲线 22 22 1 xy N mn ：若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 则椭圆 M 的离心率为 _；双曲线 N 的离心率为_ 【答案】31 2 【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3cc，再根据椭圆定义得32cca，所 以椭圆 M 的离心率为 2 31. 13 c a 双曲线 N 的渐近线方程为 n yx m ，由题意得双曲线 N 的一条渐近线的
43、倾斜角为 2 2 2 tan3 33 n m ， ， 2222 2 22 3 42. mnmm ee mm ， 第 23 页 / 共 23 页 4、 （2020 届山东省临沂市高三上期末）已知 P 为双曲线 C： 2 2 1 4 y x 右支上一点， 1 F， 2 F分别为 C 的 左、右焦点，且线段 12 A A， 12 B B分别为 C 的实轴与虚轴.若 12 A A， 12 B B， 1 PF成等比数列，则 2 PF _. 【答案】6 【解析】 2 2 1 4 y x 12 22AAa， 12 24BBb， 12 AA， 12 B B， 1 PF成等比数列 2 12112 A APFB
44、B， 解得 1 8PF ， 2 8 26PFa 故答案为：6 5、 （2020 届浙江省嘉兴市 3 月模拟） 设双曲线 E： 22 22 1(0,0) xy ab ab ， 命题 p： 双曲线 E 离心率 2e ， 命题 q：双曲线 E 的渐近线互相垂直，则 p 是 q 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的渐近线方程为 b yx a ，离心率为 c e a ， 由 2e ，可得 2ca ，即有 2222 2caab，可得ab， 即得渐近线方程为y x ，可得两渐近线垂直； 若两渐近线垂直，可得ab，可得 2e ， 即有p是q的充要条件， 故选：C
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