1、 第 1 页 / 共 10 页 第第 3 讲：不等式及性质讲：不等式及性质 一、课程标准 1、通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系， 2、了解不等式(组)的实际背景 3、掌握不等式的性质及应用 二、基础知识回顾 1、两个实数比较大小的依据 (1)ab0ab. (2)ab0ab. (3)ab0ab. 2、不等式的性质 (1)对称性：abbb，bcac； (3)可加性：abacbc；ab，cdacbd； (4)可乘性：ab，c0acbc; ab0，cd0acbd； cb0anbn(nN，n1)； (6)可开方性：ab0na n b(nN，n2) 3、常见的结论 (1)ab，
2、ab0 1 a 1 b. (2)a0b 1 ab0,0c b d. (4)0axb 或 axb0 1 b 1 xb0，m0，则 (1) b a bm am(bm0) 第 2 页 / 共 10 页 (2) a b am bm； a b0) 三、自主热身、归纳总结 1、若 a ln 2 2，b ln 3 3，则 a_b(填“”或“”) 【答案】 【解析】 ：易知 a，b 都是正数， b a 2ln 3 3ln 2log891，所以 ba. 2、已知1x4,2y3，则 xy 的取值范围是_，3x2y 的取值范围是_ 【答案】 ：(4,2) (1,18) 【解析】1x4,2y3，3y2， 4xy2.
3、由1x4,2y3，得33x12,42y6， 13x2yb，则 ac2bc2 B若 ab，cd，则 acbd C若 a|b|，则 a2b2 D若 ab，则 1 a1，31，而 23|b|知 a0，所以 a2b2，故选 C 4、设 ab1，c c b；a cloga(bc) 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D 第 3 页 / 共 10 页 【答案】D 【解析】由不等式性质及 ab1，知 1 a 1 b， 又 c c b，正确； 构造函数 yxc， cb1，acb1，cbc1， logb(ac)loga(ac)loga(bc)，正确 5、(多选)设 ba0，cR，则下列不等式中正确的是(
4、 ) Aa 1 2b 1 2 B. 1 ac 1 bc C. a2 b2 a b Dac2bc2 【答案】ABC 【解析】因为 yx 1 2在(0，)上是增函数，所以 a 1 2b 1 2.因为 y 1 xc 在(0，)上是减函数，所以 1 ac 1 bc.因为 a2 b2 a b 2ba b2b0，所以 a2 b2 a b.当 c0 时，ac 2bc2，所以 D 不成立故选 A、B、C. 四、例题选讲 考点 1、不等式的性质 例 1、若 1 a 1 b0，给出下列不等式： 1 ab 1 ab；|a|b0；a 1 ab 1 b；ln a 2ln b2.其中正确的 不等式是( ) A. B. C
5、. D. 【答案】 C 【解析】方法一 因为 1 a 1 b0，故可取 a1，b2. 显然|a|b1210，所以错误；因为 ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以错误. 综上所述，可排除 A，B，D. 方法二 由 1 a 1 b0，可知 ba0.中，因为 ab0，ab0，所以 1 ab0， 1 ab0.故有 1 ab 1 ab，即 正确； 第 4 页 / 共 10 页 中，因为 ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误； 中，因为 ba0，又 1 a 1 b0，则 1 a 1 b0， 所以 a 1 ab 1 b，故正确； 中，因为 ba0，根据 yx2在(
6、，0)上为减函数，可得 b2a20，而 yln x 在定义域(0，)上 为增函数，所以 ln b2ln a2，故错误.由以上分析，知正确. 变式 1、设, ,a b c为实数,且0ab,则下列不等式正确的是( ) A. 11 ab B. 22 acbc C. ba ab D. 22 aabb 【答案】D 【解析】对于 A，令 11 1 2,1,1 2 ab ab ，故 A 错误； 对于 B，当0c =时，则 22 0acbc，故 B 错误； 对于 C，则 11 ab ，1,2ba ，则 ba ab ，故 C 错误； 对于 D， 2 0,abaab 且 2 abb，故 D 正确，故选 D。 变式
7、 2、已知 x，yR，且 xy0，则( ) A 1 x 1 y0 Bsinxsiny0 C 1 2 x 1 2 y0 【答案】 C 【解析】 函数 y 1 2 x 在(0，)上为减函数，当 xy0 时， 1 2 x 1 2 y，即 1 2 x 1 2 yy0 1 x 1 y 1 x 1 yy0 时，不能比较 sinx 与 siny 的大小，故 B 错误；xy0 xy1ln (xy)0ln xln y0，故 D 错误 方法总结：判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式 的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：不等式两边都乘以一个代数式时，考察所
8、乘的代 数式是正数、 负数或 0； 不等式左边是正数， 右边是负数， 当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； 不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等. 考点 2、结合不等式比较大小 例 2、设 ab0，试比较 a2b2 a2b2与 ab ab的大小 第 5 页 / 共 10 页 解法一(作差法)： a2b2 a2b2 ab ab 2222 22 abababab abab 2 22 2222 2 ababab ab ab abababab 因为 ab0，所以 ab0，ab0，2ab0 所以 22 2ab ab abab 0，所以 a2b2 a2b2 ab ab 解
9、法二(作商法)： 因为 ab0，所以 a2b2 a2b20， ab ab0 所以 a2b2 a2b2 ab ab 2 22 ab ab a2b22ab a2b2 1 2ab a2b21 所以 a2b2 a2b2 ab ab 变式 1、已知等比数列an中，a10，q0，前 n 项和为 Sn，则 S3 a3与 S5 a5的大小关系为_ 【答案】 ： S3 a3 S5 a5 【解析】 ：当 q1 时， S3 a33， S5 a55，所以 S3 a3 S5 a5. 当 q0 且 q1 时， S3 a3 S5 a5 a11q3 a1q21q a11q5 a1q41q q21q31q5 q41q q1 q
10、4 0， 所以 S3 a3 S5 a5.综上可知 S3 a3 S5 a5. 变式 2、设 0x0 且 a1，比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小 解法一：当 a1 时，由 0x1 知， loga(1x)0， |loga(1x)|loga(1x)| loga(1x)loga(1x)loga(1x2)， 01x21， 第 6 页 / 共 10 页 loga(1x2)0， 故|loga(1x)|loga(1x)| 当 0a|loga(1x)| 解法二(平方作差)： |loga(1x)|2|loga(1x)|2 loga(1x)2loga(1x)2 loga(1x2) loga 1x
11、1x loga(1x2) loga 1 2x 1x0 |loga(1x)|2|loga(1x)|2， 故|loga(1x)|loga(1x)| 变式 3、已知奇函数在上是增函数，若，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据题意，为奇函数，则， 又由， 又由在上是增函数， 则有，故选 D。 方法总结：比较大小的方法 (1)作差法，其步骤：作差变形判断差与 0 的大小得出结论 (2)作商法，其步骤：作商变形判断商与 1 的大小得出结论 (3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小 考点 3、运用不等式求代数式的取值范围 例 3、设 f(x)ax2bx，若 1f
12、(1)2，2f(1)4，则 f(2)的取值范围是_. 【答案】5，10 第 7 页 / 共 10 页 【解析】方法一 设 f(2)mf(1)nf(1)(m，n 为待定系数)，则 4a2bm(ab)n(ab)， 即 4a2b(mn)a(nm)b. 于是得 mn4， nm2，解得 m3， n1. f(2)3f(1)f(1). 又1f(1)2，2f(1)4. 53f(1)f(1)10， 故 5f(2)10. 变式、若 2 2，则 的取值范围是_ 【答案】(，0) 【解析】由 2 2， 2 2，得0. 方法总结：利用不等式性质求某些代数式的范围时，一般式利用整体的思想，通过一次性不等式的关系运 算求得
13、整体范围。 五、优化提升与真题演练 1、a，bR，ab 和 1 a 1 b同时成立的条件是_ 【答案】a0b 【解析】若 ab0，由 ab 两边同除以 ab 得， 1 b 1 a，即 1 a 1 b；若 ab0，则 1 a 1 b. 所以 ab 和 1 a 1 b同时成立的条件是 a0b. 2、已知1 1xy ，13xy，则 1 8 2 y x 的取值范围是 【答案】 7 2,2 【解析】令3xys xyt xyst xst y 则 3 1 st st ， 1 2 s t ， 第 8 页 / 共 10 页 又11xy ， 13xy， 226xy 得137xy 则 37 1 822,2 2 y
14、xx y 3、若 1 a 1 b0，则下列结论不正确的是( ) Aa2b2 Babb2 Cab|ab| 【答案】D 【解析】 1 a 1 b0，baa2，abb2，ab0，A，B，C 均正确bab1，则下列不等式成立的是( ) Aaln bbln a Baln bbln a Caebbea 【答案】 C 【解析】 观察 A，B 两项，实际上是在比较 ln b b和 ln a a的大小，引入函数 y ln x x，x1则 y 1ln x x2 ，可 见函数 y ln x x在(1，e)上单调递增，在(e，)上单调递减函数 y ln x x在(1，)上不单调，所以函数在 xa和xb处的函数值无法比
15、较大小 对于C， D两项， 引入函数f(x) ex x， x1， 则f(x) xexex x2 2 1 x xe x 0， 所以函数 f(x) ex x在(1，)上单调递增，又因为 ab1，所以 f(a)f(b)，即 ea a eb b，所以 ae bbea故选 C 5、(2018 全国卷)设 alog0.20.3，blog20.3，则( ) Aabab0 Babab0 Cab0ab Dab0ab 【答案】B 【解析】解法一：alog0.20.3log0.210，blog20.3log210，ab0，排除 C. 第 9 页 / 共 10 页 0log0.20.3log0.20.21，log20
16、.3log20.51，即 0a1，b1，ab0，排除 D. b a log20.3 log0.20.3 lg0.2 lg2log20.2， b b alog20.3log20.2log2 3 21， b1 b aabab，排除 A.故选 B. 解法二：易知 0a1，b1，ab0，ab0， 1 a 1 blog0.30.2log0.32log0.30.41，即 ab ab1， abab，abab0，故选 B. 6、(2017 山东卷)若 ab0，且 ab1，则下列不等式成立的是( ) Aa 1 b b 2alog2(ab) B. b 2alog2(ab)a 1 b Ca 1 blog2(ab)
17、b 2a Dlog2(ab)a 1 b b 2a 【答案】B 【解析】特值法：令 a2，b 1 2，可排除 A，C，D.故选 B. 7、(2016 北京卷)已知 x，yR，且 xy0，则( ) A. 1 x 1 y0 Bsinxsiny0 C. 1 2 x 1 2 y0 Dlnxlny0 【答案】C 【解析】函数 y 1 2 x在(0，)上为减函数，当 xy0 时， 1 2 x 1 2 y，即 1 2 x 1 2 y0，故 C 正确； 函数 y 1 x在(0，)上为减函数， 由 xy0 1 x 1 y 1 x 1 y0，故 A 错误； 函数 ysinx 在(0，)上不单调， 当 xy0 时，不能比较 sinx 与 siny 的大小，故 B 错误； 当 x0 且 y0 时，lnxlny0lnxy0 xy1，而 xy0A/xy1，故 D 错误 第 10 页 / 共 10 页
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