1、20212021 届届山东省济南市历下区山东省济南市历下区高三上学期第一次高三上学期第一次月月考数学试题考数学试题 （满分：150 分 考试时间：120 分钟） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知复数z满足 2 2 i zii ，则z在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合|21Ax yx，集合 2 |By yx，则集合AB （ ） A. 1,1 B. 0, C. 1,1 D. 0, 3. 已知,0,x y， 4 1 2 4 y x ，则
2、xy的最大值为（ ） A. 2 B. 9 8 C. 3 2 D. 9 4 4. 若不等式 2 0axbxc的解集为| 12xx ，则不等式 2 112a xb xcax的解集为 （ ） A. | 21xx B. |21x xx或 C. |03x xx或 D. |03xx 5. 设 1 sinfxx， 21 fxfx， 32 fxfx， ， 1nn fxfx ，nN， 则 2020 fx （ ） A. sinx B. sinx C. cosx D. cosx 6. 某医院拟派 2 名内科医生、3 名外科医生和 3 名护士共 8 人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村 进行义务巡诊，其中每个分队
3、都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（ ） A. 18 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 72 种 7. 若幂函数 f x的图象过点 2 1 , 22 ，则函数 x f x g x e 的递增区间为（ ） A. 0,2 B. ,02, C. 2,0 D. , 20, 8. 设函数 2 1f xmxmx，若对于1,3x， 2f xm恒成立，则实数m的取值范围（ ） A. 3, B. 3 , 7 C. ,3 D. 3 , 7 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 5 分；部分选对的得 3
4、分；有选错的得 0 分. 9. 若复数 2 1 z i ，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. z的虚部为-1 B. 2z C. 2 z为纯虚数 D. z的共轭复数为1 i 10. 下列命题正确的是（ ） A. “1a ”是“ 1 1 a ”的必要不充分条件 B. 命题“ 0 0,x， 00 ln1xx”的否定是“0,x ，ln1xx” C. 若, a bR，则22 bab a aba b D. 设aR， “1a ” ，是“函数 1 x x ae f x ae 在定义域上是奇函数”的充分不必要条件 11. 关于 11 ab的说法，正确的是（ ） A. 展开式中的二项式系数之和为 2
5、048 B. 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大 C. 展开式中第 6 项和第 7 项的二项式系数最大 D. 展开式中第 6 项的系数最小 12. 如图直角梯形ABCD，/ABCD，ABBC， 1 2 2 BCCDAB，E为AB中点，以DE为折 痕把ADE折起，使点A到达点P的位置，且2 3PC ，则（ ） A. 平面PDE 平面EBCD B. PCED C. 二面角PDCB的大小为 4 D. PC与平面PED所成角的正切值为2 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 从某班 6 名学生（其中男生 4 人，女生 2 人）中任选 3 人参加学校组织的社会实践活动
6、，设所选三人中 男生人数为，则数学期望 E_. 14. 如图，在正方体ABCDA B C D中，BB的中点为M，CD的中点为N，异面直线AM与D N 所成的角是_. 15. 在 5 122xx展开式中， 4 x的系数为_. 16. 关于x的方程 ln 10 x kx x 在0,e上有两个不相等的实根，则实数k的取值范围_. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 据某市地产数据研究显示，2019 年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3 月至 7 月房价上涨过快，为 抑制房价过快上涨，政府从 8 月开始采用宏观调控措施，10 月份开始房价得到
7、很好的控制. （1） 地产数据研究发现， 3 月至 7 月的各月均价y（万元/平方米） 与月份x之间具有较强的线性相关关系， 试建立y关于x的回归方程； （2）若政府不调控，依此相关关系预测 12 月份该市新建住宅销售均价. 参考数据及公式： 5 1 25 i i x ， 5 1 5.36 i i y ， 5 1 0.64 ii i xxyy ， 回归方程ybxa中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ，aybx. 18. 如图， 在多面体ABCDEF中， 四边形ABCD是矩形， 四边形ABEF为等腰梯形， 且/ABEF，2AF ， 24
8、4 2EFABAD，平面ABCD平面ABEF. （1）求证：BEDF； （2）求三棱锥CABE的体积V. 19. 某新建公司规定，招聘的职工须参加不少于 80 小时的某种技能培训才能上班，公司人事部门在招聘的 职工中随机抽取 200 名参加这种技能培训的数据，按时间段75,80，80,85，85,90，90,95， 95,100， （单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示. （1）求抽取的 200 名职工中，参加这种技能培训时间不少于 90 小时的人数，并估计从招聘职工中任意选 取一人，其参加这种技能培训时间不少于 90 小时的概率； （2）从招聘职工（人数很多）中任意选取 3 人，记
9、X为这 3 名职工中参加这种技能培训时间不少于 90 小 时的人数，试求X的分布列和数学期望E X和方差D X. 20. 设 3 lnf xaxxx. （1）求函数 f x g x x 的单调区间； （2）若 12 ,0,x x，且 12 xx， 12 12 1 f xf x xx ，求实数a的取值范围. 21. 如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 CC 平面ABC，ACBC，2ACBC， 1 3CC ，点D， E分别在棱 1 AA和棱 1 CC上，且1AD ，2CE ，M为棱 11 AB的中点. （）求证： 11 C MB D； （）求二面角 1 BBED的正弦值； （）求直线AB
10、与平面 1 DB E所成角的正弦值. 22. 已知函数 ln x f xexaxab（e为自然对数的底数） ，, a bR，直线 2 e yx是曲线 yf x在1x 处的切线. （1）求a，b的值； （2）是否存在kZ，使得 yf x在,1k k 上有唯一零点？若存在，求出k的值；若不存在，请说 明理由. 参考参考答案答案 一、单项选择题 1-5：CBACD 6-8：CAA 二、多项选择题 9. ABC 10. BD 11. ACD 12. AC 三、填空题 13. 2 14. 90 15. 80 16. 2 1,1e e 四、解答题 17. 解析： （1） 25 5 5 x ， 5.36 1
11、.072 5 y ， 5 2 1 10 i i xx ， 所以 0.64 0.064 10 b ，1.072 0.064 50.752aybx . 所以从 3 月份至 7 月份y关于x的线性回归方程为 0.0640.752yx. （2）将12x 代入回归方程得0.064 120.7521.52y ， 所以预测 12 月份该市新建住宅的销售均价为 1.52 万元/平方米. 18.（1）ADAB，平面ABCD 平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB， AD 平面ABEF，ADBE， 取EF的中点记为G，连接AG，/BAEG，BAEG，四边形ABEG为平行四边形， 即/BEAG，在三角形AGF中
12、，2AGAF，2 2GF ， 222 AFAGGF，所以AGAF. 即BEAF. ADAFA，BE 平面ADF，DF 平面ADF，BEDF. （2） 12 2 33 CABEABE VSBC . 19. 解析： （1）依题意，培训时间在90,95小时的人数为200 0.06 560 ， 在95,100小时的人数为200 0.02 520 ，故满足题意的概率估计为 60202 2005 P . （2）依题意，随机变量X的可能取值为 0，1，2，3， 3 0 3 327 (0) 5125 P XC ， 2 1 3 2354 (1) 55125 P XC ， 2 2 3 2336 (2) 55125
13、 P XC ， 3 3 3 28 (3) 5125 P XC ， 则随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 2 3, 5 XB ， 26 ()3 55 E X ， 2318 ()3 5525 D X . 20. 解析： （1） 2 ln0g xaxx x， 2 121 20 ax axx x gx x ， 当0a时， 0gx ， g x在0,上单调递增； 当0a时，若 1 0, 2 x a ，则 0gx ，若 1 , 2 x a ，则 0gx ， 所以 g x在 1 0, 2a 上单调递增，在 1 , 2a 上单调递减. 综上，当0a
14、时，函数 g x在0,上单调递增 当0a时，函数 g x在 1 0, 2a 上单调递增，在 1 , 2a 上单调递减. （2）因为 12 0 xx，所以 1212 f xf xxx，即 1122 f xxf xx恒成立， 设 F xf xx在0,上为减函数，即 0Fx 恒成立. 所以 2 3ln0Fxaxx，即 2 ln 3 x a x ，设 2 ln ( ) 3 x h x x ， 3 36ln ( )(0) 9 x h xx x ， 当 0,xe， 0h x ， h x单减，当 ,xe， 0h x ， h x单增， 1 6 h xhe e ，所以 1 6 a e . 21.【详解】依题意，
15、以C为原点，分别以CA、CB、 1 CC的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间 直角坐标系（如图） ，可得0,0,0C、2,0,0A、0,2,0B、 1 0,0,3C、 1 2,0,3A、 1 0,2,3B、 2,0,1D、0,0,2E、1,1,3M. （）依题意， 1 1,1,0C M ， 1 2, 2, 2B D ， 从而 11 2200C M BD ，所以 11 C MB D； （）依题意，2,0,0CA是平面 1 BB E的一个法向量， 1 0,2,1EB ，2,0, 1ED .设, ,nx y z为平面 1 DB E的法向量， 则 1 0 0 n EB n ED ，即 20 20
16、yz xz ，不妨设1x ，可得1, 1,2n . 26 cos, 626 CA n CA n CA n ， 2 30 sin,1 cos, 6 CA nCA n. 所以，二面角 1 BBED的正弦值为 30 6 ； （）依题意，2,2,0AB .由（）知1, 1,2n 为平面 1 DB E的一个法向量， 于是 43 cos, 32 26 AB n AB n ABn . 所以，直线AB与平面 1 DB E所成角的正弦值为 3 3 . 22. 解： （1） ln x f xexaxab的导数为 1 ln x fxexaxb x ， 由已知可得 1 2 e feb， 11 2 e fe ba， 解
17、得1a ， 1 2 b ； （2）由（1）可知， 3 ( )ln 2 x f xexx ， 则 11 ( )ln 2 x fxexx x ， 令 11 ( )ln 2 g xxx x ， 则 2 2 1 ( )0 xx g x x 恒成立， g x在0,上单调递减， 又 1 10 2 g， 2ln2 10g ， 存在唯一的 0 1,2x ，使得 0 0g x， 且当 0 0,xx时， 0g x ， 即 0fx ， f x在 0 0,x上单调递增，在 0, x 上单调递减， 又当0 x时， 0f x ， 10 2 e f， 2 1 (2)ln20 2 fe ， 5 0 2 e f eee ， 存在0k 或 2， yf x在,1k k 上有唯零点.
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