1、 北京市丰台区北京市丰台区 2020-2021 学年度第一学期期中考试高二数学试卷学年度第一学期期中考试高二数学试卷 一、选择题（(本大题共 10 小题)） 1. 直线3 + 1 = 0的倾斜角为( ) A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 2. 以下现象是随机事件的是( ) A. 标准大气压下，水加热到100，必会沸腾 B. 长和宽分别为 a，b 的矩形，其面积为 C. 走到十字路口，遇到红灯 D. 三角形内角和为180 3. 从甲乙丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 1 4. 已知向量 = (1,2，3)， = (1,0，
2、1)，则 + 2 = ( ) A. (1,2，5) B. (1,4，5) C. (1,2，5) D. (1,4，5) 5. 已知直线 l经过点(0,4)，且与直线2 3 = 0垂直，则直线 l的方程是( ) A. + 2 8 = 0 B. + 2 + 8 = 0 C. 2 4 = 0 D. 2 + 4 = 0 6. 如图，在平行六面体 1111中，M 为 11与11的交点，若 = ， = ， 1 = ，则下列向量中与 相等的向量是( ) A. 1 2 + 1 2 + B. 1 2 + 1 2 + C. 1 2 1 2 + D. 1 2 1 2 + 7. 甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站
3、、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中 两站恰有一次准确预报的概率为( ) A. 0.8 B. 0.7 C. 0.56 D. 0.38 8. 若平面的一个法向量为 = (1,2，1)，(1,0，1)，(0,1,1)， ， ，则点 A到平面的距 离为( ) A. 1 B. 6 6 C. 3 3 D. 1 3 9. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为0.4.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮中至多两次 命中的概率：先由计算器算出 0 到 9之间取整数值的随机数，指定 1，2，3，4 表示命中，5，6，7，8， 9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随
4、机模拟产生了 20 组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989.据此估计，该 运动员三次投篮中至多两次命中的概率为( ) A. 0.25 B. 0.35 C. 0.60 D. 0.90 10. 已知一个古典概型的样本空间和事件 A， B如图所示 其中() = 12， () = 6，() = 4，( ) = 8，则事件 A与事件 ( ) A. 是互斥事件，不是独立事件 B. 不是互斥事件，是独立事件 C. 既是互斥事件，也是独立事件 D. 既不是互斥事件，也不是独立事件
5、 二、填空题（(本大题共 6 小题)） 11. 经统计，在银行一个营业窗口每天上午 9 点钟排队等候的人数及相应概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则该营业窗口上午 9 点钟时，至少有 2人排队的概率是_ 12. 已知向量 = (1,2，1)， = (3,x，)，且 / ，则 + =_ 13. 已知点 B 是点(3,4，5)在坐标平面 Oxy内的射影，则| | =_ 14. 已知过点(0,2)的直线 l的方向向量为(1,6)，点(,)在直线 l上，则满足条件的一组 a，b的值依次为 _ 15. 若直线 l经过点(2,3)且在两
6、坐标轴上的截距相等，则直线 l的方程为_ 16. 在长方体 1111中， 1= = 2， = 1， 点 P 在侧面11 上，若点 P到直线1和 CD的距离相等，则1的最小值为_ 三、解答题（(本大题共 4 小题)） 17. 从两名男生(记为1和2)和两名女生(记为1和2)这四人中依次选取两名学生 ()请分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样的样本空间； ()求利用有放回简单随机抽样选到一名男生和一名女生的概率 18. 如图， 在四棱锥 中， 底面 ABCD 是正方形， 侧棱 底面 ABCD， = = 2 ()求证： ； ()求平面 PBC与平面 PBD 的夹角 19. 甲、乙两人组成“
7、明日之星队”参加“疫情防控与生命健康”趣味知识竞赛每轮竞赛由甲、乙各答 一道题目，已知甲每轮答对的概率为3 4，乙每轮答对的概率为 4 5.在每轮答题中，甲和乙答对与否互不影 响，各轮结果也互不影响 ()求甲在两轮答题中，答对一道题目的概率； ()求“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的概率 20. 如图， 在直三棱柱 111中， = 90， = = 2， 1= 3.是 AB 的中点， N是11的中点， 点 P 在线段1上， 且1 = 2 31 ， Q是1与1 的交点 ()求证：/平面1； ()在线段1上是否存在点 S，使得直线 CS与平面1所成角的正弦值为 2 14？ 请说明理由 答案和
8、解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：直线3 + 1 = 0即 = 3 + 1，故直线的斜率等于3，设直线的倾斜角等于， 则0 ，且 = 3，故 = 60， 故选：B 把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小 本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小求出直线的 斜率是解题的关键 2.【答案】C 【解析】解：在 A 中，标准大气压下，水加热到100，必会沸腾是必然事件，故 A 错误； 在 B 中，长和宽分别为 a，b的矩形，其面积为 是必然事件，故 B错误； 在 C 中，走到十字路口，遇到红灯是随机事件
9、，故 C正确； 在 D 中，三角形内角和为180是必然事件，故 D 正确 故选：C 利用必然事件、随机事件的定义直接求解 本题考查命题真假的判断，考查必然事件、随机事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 3.【答案】C 【解析】解：从 3个人中选出 2 个人当代表，则所有的选法共有 3 种，即：甲乙、甲丙、乙丙， 其中含有甲的选法有两种，故甲被选中的概率是2 3， 故选：C 从 3个人中选出 2 个人，则每个人被选中的概率都是2 3 本题考查等可能事件的概率的求法，得到所有的选法共有 3种，其中含有甲的选法有两种，是解题的关键 4.【答案】A 【解析】解：向量 = (1,2，3)，
10、= (1,0，1)，则 + 2 = (1,2，3) + 2(1，0，1) = (1，2，5) 故选：A 直接利用空间向量的坐标运算法则求解即可 本题考查空间向量的坐标运算，是基础题 5.【答案】A 【解析】解：直线 l与直线2 3 = 0垂直， 直线 l的斜率为 1 2， 则 4 = 1 2， 即 + 2 8 = 0 故选：A 由题意可求出直线 l的斜率，由点斜式写出直线方程化简即可 本题考查了直线方程的求法，属于基础题 6.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查了空间向量的加法，三角形法则，属较易题 利用空间向量的三角形法则，结合平行六面体的性质分析解答 【解答】 解：由题意， = + 1
11、 + 1 = + 1 + 1 2 11 = + 1 1 2 ( + ) = 1 2 + 1 2 + 1 = 1 2 + 1 2 + 1 = 1 2 + 1 2 + 故选 A 7.【答案】D 【解析】解：甲、乙两个气象站同时作气象预报， 甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7， 则在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为： = 0.8 (1 0.7) + (1 0.8) 0.7 = 0.38 故选：D 利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出在一次预报中两站恰有一次准确预报的概 率 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求
12、解能力，是基础题 8.【答案】B 【解析】解： = (1,1,2)故点 A到平面的距离为| | | | = 6 6 ， 故选：B 直接由点面距离的向量公式就可求出 本题考查了利用空间向量解立体几何的基本公式，属于基础题 9.【答案】D 【解析】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下 20组随机数， 在 20 组随机数中表示三次投篮有三次全命中的有：431 113 共 2 组随机数， 则运动员三次投篮中至多两次命中的概率为1 2 20 = 0.9， 故选：D 由题意知模拟三次投篮的结果， 经随机模拟产生了如下 20组随机数， 在 20 组随机数中表示三次投篮有三次 全命中的有：43
13、1 113 共 2 组随机数，根据概率公式，得到结果 本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在 本题的应用 10.【答案】D 【解析】解：一个古典概型的样本空间和事件 A，B如图所示 其中() = 12，() = 6，() = 4，( ) = 8， ，且 ， 事件 A与事件 既不是互斥事件，也不是独立事件 故选：D 推导出 ，且 ，由此得到事件 A 与事件 既不是互斥事件，也不是独立事件 本题考查事件 A与事件 的关系的判断，考查集合的交集、并集、韦恩图的性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 11.【答案】0.74 【解析】解：由表格
14、可得至少有 2人排队的概率 = 0.3 + 0.3 + 0.1 + 0.04 = 0.74 故答案为：0.74 由互斥事件的概率公式可得 本题考查互斥事件的概率公式，属基础题 12.【答案】9 【解析】解：因为向量 = (1,2，1)， = (3,x，)，且 / ， 所以： 1 3 = 2 = 1 ，解得 = 6， = 3 故 + = 9 故答案为：9 根据向量共线的充要条件，即可列出关于 x，y 的方程，问题可解 本题考查空间向量共线的充要条件以及学生的运算能力，属于基础题 13.【答案】5 【解析】解：点 B 是点(3,4，5)在坐标平面 Oxy内的射影， (3,4，0)， 则| | =
15、33+ 42+ 02= 5 故答案为：5 先求出(3,4，0)，由此能求出| | 本题考查点到原点的距离的求法，考查射影、空间中两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题 14.【答案】1，8 【解析】解：过点(0,2)的直线 l的方向向量为(1,6)， 故直线 l的斜率为 6，方程为 2 = 6( 0)，即 = 6 + 2 点(,)在直线 l上， = 6 + 2， 则满足条件的一组 a，b的值依次为 1，8 由题意根据查直线的方向向量，求出直线的斜率，用点斜式求直线的方程，把点(,)代入直线 l的方程， 可得一组 a，b 的值 本题主要考查直线的方向向量，用点斜式求直线的方程，属
16、于基础题 15.【答案】 = 3 2或 + 5 = 0 【解析】解：当直线 l经过原点时，直线 l的方程为 = 3 2 当直线 l不经过原点时，设直线 l的方程为 + = ，把点(2,3)代入可得2 + 3 = ， 直线 l的方程为 + 5 = 0 综上可得直线 l的方程为： = 3 2或 + 5 = 0 故答案为： = 3 2或 + 5 = 0 分类讨论： 当直线l经过原点时， 直线l的方程直接求出； 当直线l不经过原点时， 设直线l的方程为 + = ， 把点(2,3)代入即可得出 本题考查了直线的截距式方程、分类讨论的思想方法，属于基础题 16.【答案】 3 【解析】 解： 过P分别作AB
17、， 1的垂线， 垂足分别为M， N， 过M作 于Q， 连 接 PQ，1， ， 平面11平面 ABCD， 平面11平面 = ， 平 面11， 平面 ABCD， ， 又 ， = ， 平面 PMQ， ， 在平面11上，以 AB，1为坐标轴建立平面直角坐标系 ， 设(,)(0 2,0 2)，则 = ， = ， = 2+ 2= 2+ 1， 若点 P到直线1和 CD的距离相等，则 = 2+ 1，即2= 2+ 1， 1 = 12+ 2= 2+ (2 )2= 22 4 + 5 = 2( 1)2+ 3， 当 = 1， = 2时，1取得最小值 3 故答案为： 3 以 A 为原点，在平面11上建立平面坐标系，设(,
18、)，根据条件列方程得出 x，y 满足的关系，代入距 离公式得出1关于(或)的函数，根据(或)的范围得出最小值 本题考查了线面垂直的判定，空间距离的计算，属于基础题 17.【答案】解：()从两名男生(记为1和2)和两名女生(记为1和2)这四人中依次选取两名学生， 有放回简单随机抽样时，样本空间为： 1= *(1,1)，(1,2)，(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,1)，(2,2)， (1,1)，(1,2)，(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,1)，(2,2)+ 不放回简单随机抽样的样本空间为： 2= *(1,2)，(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,1
19、)，(2,2)， (1,1)，(1,2)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,1)+ ()利用有放回简单随机抽样，样本空间为： 1= *(1,1)，(1,2)，(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,1)，(2,2)， (1,1)，(1,2)，(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,1)，(2,2)+ 共包含 16 个基本事件， 其中，选到一名男生和一名女生包含的基本事件有 8 个，分别为： (1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)， 选到一名男生和一名女生的概率 = 8 16 = 1 2 【解析】()利用
20、列举法能求出有放回简单随机抽样时，样本空间和不放回简单随机抽样的样本空间 ()利用有放回简单随机抽样，利用列举法求出样本空间共包含 16 个基本事件，其中，选到一名男生和一 名女生包含的基本事件有 8 个，由此能求出选到一名男生和一名女生的概率 本题考查样本空间、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 18.【答案】证明：() 侧棱 底面 ABCD，且 底面 ABCD， ； 解：() 侧棱 底面 ABCD， ， ， 又 ABCD为正方形， ，可得 DA，DC，DP 两两互相垂直， 以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为 x，y，z 轴建立空 间直
21、角坐标系， = = 2， (0,0，0)，(2,2，0)，(0,2，0)，(0,0，2)， = (2,2，0)， = (0,0，2)， = (2,0,0)， = (2,2,2)， 设平面 PBD 的一个法向量为 = (1,1,1)， 由 = 21+ 21= 0 = 21= 0 ，取1= 1，得 = (1,1,0)； 设平面 PBC 的一个法向量为 = (2,2,2)， 由 = 22= 0 = 22 22+ 22= 0，取2 = 1，得 = (0,1,1) cos = | | | = 1 22 = 1 2， 由图可知，平面 PBC 与平面 PBD 的夹角为锐角， 平面 PBC与平面 PBD的夹角
22、为 3 【解析】()直接由直线与平面垂直的性质证明； ()由已知可得 DA，DC，DP 两两互相垂直，以 D为坐标原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 PBD与平面 PBC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平 面 PBC 与平面 PBD的夹角 本题考查直线与平面垂直的性质，训练了利用空间向量求解空间角，考查运算求解能力，是中档题 19.【答案】解：()每轮竞赛由甲、乙各答一道题目，已知甲每轮答对的概率为3 4，乙每轮答对的概率为 4 5 在每轮答题中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响 甲在两轮答题中，答对一道题目的概率为：
23、1= 3 4 1 4 + 1 4 3 4 = 3 8 ()“明日之星队”在两轮答题中，答对三道题目的概率为： 2= 3 4 4 5 3 4 1 5 + 3 4 4 5 1 4 4 5 + 3 4 1 5 3 4 4 5 + 1 4 4 5 3 4 4 5 = 21 50 【解析】()利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，能求出甲在两轮答题中，答对一道 题目的概率 ()利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式， 能求出“明日之星队”在两轮答题中， 答对 三道题目的概率 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求 解能力，是
24、基础题 20.【答案】()证明：以 A为原点，以 AC，AB，1为坐标轴建立空间直角坐 标系 ， 则1(0,0，3)，(2,0，0)，(0,1，0)，(1,1，3)，(1,1，3 2)， 1 = (1,1，0)，1 = (1,1， 3 2 )， = (2,1，0)，1 = (2,0，3)， 1 = 2 31 = (2 3, 2 3,0)， = 1 1 = (1 3, 1 3, 3 2)， 设平面1的法向量为 = (,y，)，则 1 = 0 = 0 ，即2 + 3 = 0 2 + = 0 ， 令 = 2可得 = (3,6，2)， = 3 1 3 + 6 1 3 2 3 2 = 0， ， 又 平面1， /平面1 ()假设线段1存在点 S，使得直线 CS 与平面1所成角的正弦值为 2 14， 不妨设 = (0 3)，则(0,0，)， = (2,0，)， cos = | | | = 6+2 4+27， 62 74+2 = 2 14，解得 = 2， 为线段1靠近1的三等分点时，直线 CS 与平面1所成角的正弦值为 2 14 【解析】()建立空间坐标系，求出平面1的法向量 ，证明 即可得出/平面1； ()假设存在符合条件的点 S，设 = ，令|cos | = 2 14，根据方程解的情况作出判断 本题考查了线面平行的判定，考查空间向量在线面位置关系的证明和线面角计算中的应用，属于中档题
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