1、 第 1 页 / 共 5 页 第第 46 讲讲 直线的方程直线的方程 一、课程标准 1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素； 2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一 次函数的关系. 二、基础知识回顾 1. 当直线 l 与 x 轴相交时，把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正 角称为这条直线 l 的倾斜角，并规定：直线 l 与 x 轴平行或重合时倾斜角为 0 ，因此倾斜角 的范围是 0 180 2. 当倾斜角 90时
2、，tan 表示直线 l 的斜率，常用 k 表示，即 ktan.当 90 时，斜率不存在当直线 过 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且 x1x2时，ky2y1 x2x1 3. 直线方程的几种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 yy0k(xx0) 不含垂直于 x 轴的直线 斜截式 ykxb 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 yy1 y2y1 xx1 x2x1 不含垂直于坐标轴的直线 截距式 x a y b1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 AxByC0(A2B20) 平面直角坐标系内的直线都适用 三、自主热身、归纳总结 1、 如果 A C0 且 B C0，那么直线 AxByC0 不通
3、过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2、 若过点 M(2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( ) A. 1 B. 4 C. 1 或 3 D. 1 或 4 3、 直线 x(a21)y10 的倾斜角的取值范围是( ) A. 0， 4 B. 3 4 ， 第 2 页 / 共 5 页 C. 0， 4 2， D. 4， 2 3 4 ， 4、过直线 l：yx 上的点 P(2,2)作直线 m，若直线 l，m 与 x 轴围成的三角形的面积为 2，则直线 m 的方程 为_ 5、过点 A(1,3)，斜率是直线 y4x 的斜率的1 3的直线方程为_ 6、过点
4、 P(6，2)，且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线方程为_ 四、例题选讲 考点一 直线的斜率与倾斜角 例 1、（徐州一中模拟）(1)直线 2xcos y30 6， 3 的倾斜角的取值范围是( ) A. 6， 3 B. 4， 3 C. 4， 2 D. 4， 2 3 (2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围是 _ 变式： （1）若图中的直线 l1，l2，l3的斜率分别为 k1，k2，k3，则( ) Ak1k2k3 Bk3k1k2 Ck3k2k1 Dk1k3k2 （2）若点 A(4,3)，B(5，a)
5、，C(6,5)三点共线，则 a 的值为_ （3）已知点(1,2)和 3 3 ，0 在直线 l：axy10(a0)的同侧，则直线 l 倾斜角的取值范围是_ 方法总结：1. 倾斜角 与斜率 k 的关系 当 0， 2 且由 0 增大到 2 2 时，k 的值由 0 增大到； 当 2， 时，k 也是关于 的单调函数，当 在此区间内由 2 2 增大到 ()时，k 的值由 增大到趋近于 0(k0) 2. 斜率的两种求法 (1) 定义法：若已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数值，一般根据 ktan 2 求斜率 (2) 公式法：若已知直线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式 ky2y1
6、x2x1(x1x2)求斜率 第 3 页 / 共 5 页 考点二 直线方程的求法 例 2、根据所给条件求直线的方程 (1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为 10 10 ； (2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为 5. 变式 1、(1)若直线经过点 A(5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍，则该直线的方程为 _ (2)若直线经过点 A( 3，3)，且倾斜角为直线 3xy10 的倾斜角的一半，则该直线的方程为 _ (3)在ABC 中，已知 A(5，2)，B(7,3)，且 AC 的中点 M 在 y 轴上，
7、BC 的中点 N 在 x 轴上，则直线 MN 的方程为_ 变式 2、根据所给条件求直线的方程： (1)过点 P(2，4)且斜率 k3； (2)直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12. 方法总结：本题考查直线方程的几种形式，要注意选择性过定点，且斜率已知，用直线的点斜式方程； 在两坐标轴上的截距已知，一般用截距式，再将点的坐标代入得出直线方程在求直线方程时，最后结果 要化为一般式与斜截式，要当心斜率不存在、截距不存在的特殊情况 考点三 直线方程的综合应用 例 3、 （辽宁阜新实验中学 2019 届模拟）(1)已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a 2 时
8、，直线 l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数 a 的值 (2)已知直线 l 过点 P(3,2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，如图所示，求ABO 的面积的最 小值及此时直线 l 的方程 第 4 页 / 共 5 页 变式 1、过点 P(4，1)作直线 l 分别交 x 轴，y 轴正半轴于 A，B 两点，O 为坐标原点 (1)当AOB 面积最小时，求直线 l 的方程； (2)当|OA|OB|取最小值时，求直线 l 的方程 变式 2、已知直线 l：kxy12k0(kR) (1)证明：直线 l 过定点； (2)若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范
9、围； (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，设AOB 的面积为 S，求 S 的 最小值及此时直线 l 的方程 第 5 页 / 共 5 页 方法总结： (1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程， 这时要能够整理成过定点的直线系， 即能够看出“动 中有定” (2)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等 式求解最值 五、优化提升与真题演练 1、（黑龙江哈尔滨市第六中学 2019 届质检） 若 是直线 l 的倾斜角， 且 sin cos 5 5 ， 则 l 的斜率为( ) A1 2 B. 1 2或2 C.
10、 1 2或 2 D2 2、(多选)若直线过点 A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线 l 方程可能为( ) Axy10 Bxy30 C2xy0 Dxy10 3、(多选)经过点 B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为( ) Axy10 Bxy70 C2xy20 D2xy100 4、（江苏扬州中学 2019 届模拟）已知直线 l：kxy12k0(kR) (1)证明：直线 l 过定点； (2)若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围； (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，O 为坐标原点，设AOB 的面积为 S，求 S 的 最小值及此时直线 l 的方程
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