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    2020年浙教版九年级数学上册《第4章 相似三角形》单元培优测试卷(含答案)

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    2020年浙教版九年级数学上册《第4章 相似三角形》单元培优测试卷(含答案)

    1、 2020 年秋浙教版九年级数学上册第年秋浙教版九年级数学上册第 4 章相似三角形单元培优测试卷章相似三角形单元培优测试卷 一、一、选择题选择题(共(共 1010 题;共题;共 3 30 0 分)分) 1.已知 ,那么下列等式中,不一定正确的是( ) A. B. C. D. 2.如图,直线abc , 分别交直线m , n于点A , B , C , D , E , F , 若AB 2,BC4,DE3,则 EF 的长是( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3.如图,三角形ABC中,D,E分别为边AB,AC上的一点,且DE平行于BC,SADES四边形DECB , 则ABC 与ADE 相似比

    2、的值为( ) A. 2 B. 4 C. D. 4.如图,AB 为O 的直径,C 为O 上一点,弦 AD 平分BAC,交 BC 于点 E,AB6,AD5,则 DE 的长为( ) A. 2.2 B. 2.5 C. 2 D. 1.8 5.如图,等腰 与等腰 是以点 O 为位似中心的位似图形,位似比为 ,则点 D 的坐标是( ) A. B. C. D. 6.宽与长的比是 (约 0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值,给我们以协 调和匀称美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形:作正方形 ,分别取 的中点 , 连接 ,以点 F 为圆心,以 为半径画弧,交 的延长线于点 G;作 ,交

    3、的延长 线于点 H,则图中下列矩形是黄金矩形的是( ) A. 矩形 ABEF B. 矩形 EFCD C. 矩形 EFGH D. 矩形 ABGH 7.如图,在正三角形 中,分别在 , 上,且 , ,则有( ) A. B. C. D. 8.如图,AB 是 O 的直径,CD 是弦,AECD 于点 E,BFCD 于点 F.若 BF=FE=2,FC=1,则 AC 的长是( ) A. B. C. D. 9.如图,在 中, ,高 ,正方形 一边在 上,点 分别在 上, 交 于点 ,则 的长为( ) A. B. C. D. 10.如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高为

    4、6,绕底面 一棱长进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图 2 是此时的示意图,则图 2 中水面高度为( ) A. B. C. D. 二、填空题二、填空题(共(共 8 8 题;共题;共 2424 分)分) 11.如果两个相似三角形的对应边的比是 4:5,那么这两个三角形的面积比是_ 12.如果两个相似三角形的相似比为 23,两个三角形的周长的和是 100cm,那么较小的三角形的周长 为_cm. 13.如图, 内接于 于点 H,若 , 的半径为 7,则 _ 14.在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点,顶点都是格点的三角形称 为格点三角形,如图,已知RtABC是6

    5、6网格图形中的格点三角形,则该图中所有与RtABC相似 的格点三角形中,面积最大的三角形的斜边长是_. 15.如图,在 RtABC 中,AC6,BC8,点 P 是 AC 边的中点,点 D 和 E 分别是边 BC 和 AB 上的 任意一点,则 PD+DE 的最小值为_. 16.如图,在四边形 ABCD 中,ABC90,对角线 AC、BD 交于点 O , AOCO , CD BD , 如果 CD3,BC5,那么 AB_ 17.如图,把某矩形纸片ABCD沿EF , GH折叠 (点E , H在AD边上,点F , G在BC边上) , 使点 B 和点 C 落在 AD 边上同一点 P 处,A 点的对称点为

    6、A点,D 点的对称点为 D点,若 FPG=90,AEP 的面积为 4,DPH 的面积为 1,则矩形 ABCD 的面积等于_ 18.如图,在 中, ,点 E 是边 的中点,点 P 是边 上一动点, 设 图是y关于x的函数图象,其中H是图象上的最低点那么 的值为 _ 三、三、解答题解答题(共(共 7 7 题;共题;共 6666 分)分) 19.如图,在ABC 中,BD 是 AC 边上的高,点 E 在边 AB 上,联结 CE 交 BD 于点 O,且 ,AF 是BAC 的平分线,交 BC 于点 F,交 DE 于点 G. (1)求证:CEAB (2)求证: . 20.如图,抛物线 的图象经过点 ,交 x

    7、 轴于点 、 (点 A 在点 B 左侧),连 接 直线 与 轴交于点 D,与 上方的抛物线交于点 E,与 交于点 F (1)求抛物线的解析式及点 、 的坐标; (2) 是否存在最大值?若存在,请求出其最大值及此时点 E 的坐标;若不存在,请说明理由 21.如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,点 E 为对角线 AC 上一动点(点 E 与点 A,C 不重合),连 接 DE,作 EFDE 交射线 BA 于点 F,过点 E 作 MNBC 分别交 CD,AB 于点 M、N,作射线 DF 交 射线 CA 于点 G. (1)求证:EFDE; (2)当 AF2 时,求 GE 的长. 22.如图,在 R

    8、tABC 中,AC4,BAC90,B30,D 是 BC 上一点,AEAD , ADE30,连接 CE (1)求证:ADEABC; (2)求证:ACEABD; (3)设 CEx , 当 CD2CE 时,求 x 的值 23.如图 1,在矩形 ABCO 中,OA8,OC6,D , E 分别是 AB , BC 上一点,AD2,CE 3,OE 与 CD 相交于点 F (1)求证:OECD; (2)如图 2,点 G 是 CD 的中点,延长 OG 交 BC 于 H , 求 CH 的长 24.如图,在 的正方形方格中,每个小正方形的边长都为 1,顶点都在网格线交点处的三角形, 是一个格点三角形 (1)在图 中

    9、,请判断 与 是否相似,并说明理由; (2)在图 中,以 O 为位似中心,再画一个格点三角形,使它与 的位似比为 2:1 (3) 在图 中,请画出所有满足条件的格点三角形,它与 相似,且有一条公共边和一个公共角 25.在平面直角坐标系 中,把与 x 轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”.如图,抛物线 的顶点为 D,交 x 轴于点 A、B(点 A 在点 B 左侧),交 y 轴于点 C.抛物线 与 是“共根抛物线”,其顶点为 P. (1)若抛物线 经过点 ,求 对应的函数表达式; (2)当 的值最大时,求点 P 的坐标; (3)设点 Q 是抛物线 上的一个动点,且位于其对称轴的右侧.若 与

    10、相似,求其“共 根抛物线” 的顶点 P 的坐标. 答案答案 一、选择题 1.A、由比例的性质得到 3y=5x,故本选项不符合题意 B、根据比例的性质得到 x+y=8k(k 是正整数),故本选项符合题意 C、根据合比性质得到 ,故本选项不符合题意 D、根据等比性质得到 ,故本选项不符合题意 故答案为:B 2.直线 abc , ,即 , EF6 故答案为:B 3.解:SADES四边形 DECB , SABC2SADE , DEBC, ADEABC, , 即 , 即ABC 与ADE 相似比的值是 , 故答案为:C. 4.解:如图 1,连接 BD、CD, AB 为O 的直径, ADB90, BD ,

    11、弦 AD 平分BAC, CDBD , CBDDAB, 在ABD 和BED 中, ABDBED, ,即 , 解得 DE . 故答案为:A. 5.解:等腰 与等腰 是以点 O 为位似中心的位似图形,位似比为 , ,即:DE=3BC=12, CE=DE=12, ,解得:OC=6, OE=6+12=18, 点 的坐标是: 故答案为:A 6.解:设正方形的边长为 2,则 CD2,CF1 在直角三角形 DCF 中,DF FG CG 1 矩形 DCGH 为黄金矩形 故答案为:D. 7.由已知中正三角形 ABC 中,D、E 分别在 AC、AB 上, ,AEBE, 易判断出:AED 为一个锐角三角形,BED 为

    12、一个钝角三角形,故 A 不符合题意; ABD 也是一个钝角三角形,故 C 也不符合题意; 但BCD 为一个锐角三角形,故 D 也不符合题意; 故答案为:B 8.解:连接 BC, AB 是 O 的直径, ACB=90, ACE+BCF=90, BFCD, CFB=90, CBF+BC=90, ACE=CBF, AECD, AEC=CFB=90, , , FB=FE=2,FC=1, CE=CF+EF=3, , , , 故答案为:B. 9.解:四边形 EFGH 是正方形, EFBC, AEFABC, . 设 AN=x,则 EF=FG=DN=60-x, 解得:x=20 所以,AN=20. 故答案为:B

    13、. 10.解:过点 C 作 CFBG 于 F,如图所示: 设 DE=x,则 AD=8-x, 根据题意得: (8-x+8)33=336, 解得:x=4, DE=4, E=90, 由勾股定理得:CD= , BCE=DCF=90, DCE=BCF, DEC=BFC=90, CDEBCF, , 即 , CF= 故答案为:A 二、填空题 11.解:两个相似三角形的相似比为: , 这两个三角形的面积比 ; 故答案为:1625. 12.设两个三角形的周长分别为 由已知,得 解得 较小的三角形的周长为 40 cm. 13.解:作直径 AD,连接 BD, AD 为直径, ABD90,又 AHBC, ABDAHC

    14、, 由圆周角定理得,DC, ABDAHC, ,即 , 解得,AB , 故答案为: 14.解: 在 中, , , , , 与 相似的格点三角形的两直角边的比值为 , 若该三角形最短边长为 4,则另一直角边长为 8,但在 网格图形中,最长线段为 ,但此时画 出的直角三角形为等腰直角三角形,从而画不出端点都在格点且长为 8 的线段,故最短直角边长应小于 4, 在图中尝试,可画出 , , 的三角形, , , , 此时 的面积为: , 为面积最大的三角形,其斜边长为: . 故答案为: . 15.解:作点 P 关于 BC 的对称点 F,过 F 作 FEAB 于 E 交 BC 于 D, 则此时,PD+DE

    15、的值最小,且 PD+DE 的最小值EF, CFCP, 点 P 是 AC 边的中点, APPC3, AF9, 在 RtABC 中,AC6,BC8, AB10, AEFACB90, A+BA+F, BF, ABCAFE, , , EF , PD+DE 的最小值为 , 答案为: . 16.过点 A 作 AEBD , CDBD , AEBD , CDBAED90,COAO , CODAOE , AOECOD(AAS) CDAE3, CDB90,BC5,CD3, DB 4, ABCAEB90, ABE+EAB90,CBD+ABE90, EABCBD , 又CDBAEB90, ABEBCD , , , A

    16、B 故答案为: 17.解:四边形 ABCD 是矩形, AB=CD, 由折叠可知 :PA=AB,PD=CD, PD=PA, FPG=90,EPF=DPH,GPH=APE, APE+DPH=EPF+GPH=90, AEP+APE=90, AEP=DPH, AEPDPH, AEP 的面积为 4,DPH 的面积为 1, , 设 DH=k,则 AP=PD=2k,AE=4k, SDPH= PDDH= k2k=1, k=1, PH= , PE= , AD=AE+EP+PH+HP=4+2 + +1=5+3 , AB=2k=2, S矩形 ABCD=ABAD=2(5+3 )=10+6 . 故答案为:10+6 .

    17、18.解:如图,过 B 作 AC 的平行线,过 C 作 AB 的平行线,交于点 D, 可得四边形 ABCD 为平行四边形,又 AB=AC, 四边形 ABCD 为菱形,点 A 和点 D 关于 BC 对称, PA+PE=PD+PE, 当 P,D,E 共线时,PA+PE 最小,即 DE 的长, 观察图像可知:当点 P 与点 B 重合时,PD+PE= , 点 E 是 AB 中点, BE+BD=3BE= , BE= ,AB=BD= , BAC=120, ABD=(180-120)22=60, ABD 为等边三角形, DEAB,BDE=30, DE=3,即 PA+PE 的最小值为 3, 即点 H 的纵坐标

    18、为 a=3, 当点 P 为 DE 和 BC 交点时, ABCD, PBEPCD, , 菱形 ABCD 中,ADBC, BC=2 =6, , 解得:PC=4, 即点 H 的横坐标为 b=4, a+b=3+4=7, 故答案为:7. 三、解答题 19.(1)证明: , . BD 是 AC 边上的高, BDC = 90,ADB 和ODC 是直角三角形. RtADBRtODC. ABD =OCD. 又EOB=DOC,DOC+OCD+ODC=180, EOB +ABD+OEB =180. OEB = 90. CEAB. (2)证明:在ADB 和AEC 中, BAD=CAE,ABD =OCD, ADBAEC

    19、. , 即 . 在DAE 和BAC 中 DAE =BAC, . DAEBAC. AF 是BAC 的平分线, ,即 . 20. (1)解:把 代入 ,即 ,解得 抛物线的解析式为 令 可得: ; (2)解:存在, 如图,由题意,点 E 在 y 轴的右侧,作 轴,交 于点 G 直线 与 轴交于点 , 设 所在直线的解析式为 , 将 代入上述解析式得: 解得: 的解析式为 设 则 ,其中 . 抛物线开口方向朝下 当 时,有最大值,最大值为 . 将 t=2 代入 =-2+3+2=3 点 的坐标为 21. (1)证明:四边形 ABCD 是正方形,AC 是对角线, ECM45, MNBC,BCM90, N

    20、MC+BCM180,MNB+B180, NMC90,MNB90, MECMCE45,DMEENF90, MCME, CDMN, DMEN, DEEF,EDM+DEM90, DEF90, DEM+FEN90, EDMFEN, 在DME 和ENF 中, , DMEENF(ASA), EFDE; (2)解:由(1)知,DMEENF, MENF, 四边形 MNBC 是矩形, MCBN, 又MEMC,AB4,AF2, BNMCNF1, EMC90, CE , AFCD, DGCFGA, , , ABBC4,B90, AC4 , ACAG+GC, AG ,CG , GEGCCE . 22. (1)AEAD

    21、,BAC=90, EAD=CAB=90, B=30,ADE=30, B=ADE, ADEABC; (2)EAD=CAB=90, EAC=DAB=90CAD, ADEABC, , , EAC=DAB, ACEABD; (3)在 RtABC 中,CAB=90,AC=4,B=30, BC=2AC=8,AB= =4 , CE=x,CD=2CE, CD=2x, ACEABD, , , BD= x, BC=CD+BD=2x+ x=8, 解得:x=168 23.(1)四边形 ABCO 是矩形, OA=BC=8,OC=AB=6, 在 RtOCE 中,CE=3, OE= , ABOC,即 ADOC,且 AD=2

    22、, , , PA=4, PO=PA+OA=12, 在 RtOPC 中,OC=6, CP= , OABC,即 OPCE, , , EF= OE= , CF= CP= , ( )2+( )2= =9, EF2+CF2=CE2 , CEF 是直角三角形, CFE=90, OECD; (2)在 RtCBD 中,CB=8,BD=ABAD=62=4, 根据勾股定理,得 CD= , 点 G 是 CD 的中点, CG=DG=2 , 由(1)知:CP=6 , DP=CPCD=2 , 点 G 是 CP 的三等分点, OABC,即 OPCH, , , CH=6 答:CH 的长为 6 24. (1)解:如图 所示:

    23、与 相似, 理由: , , ; , , , , 与 相似; (2)解:如图 所示: 即为所求; (3)解:如图 所示: 和 即为所求 25. (1)解:当 时, ,解得 , . 、 、 . 由题意得,设 对应的函数表达式为 , 又 经过点 , , . 对应的函数表达式为 . (2)解: 、 与 轴交点均为 、 , 、 的对称轴都是直线 . 点 在直线 上. . 如图 1,当 A、C、P 三点共线时, 的值最大, 此时点 P 为直线 与直线 的交点. 由 、 可求得,直线 对应的函数表达式为 . 点 . (3)解: 由题意可得, , , , 因为在 中, ,故 . 由 ,得顶点 . 因为 的顶点 P 在直线 上,点 Q 在 上, 不可能是直角. 第一种情况:当 时, 如图 2,当 时,则得 . 设 ,则 , . 由 得 ,解得 . 时,点 Q 与点 P 重合,不符合题意, 舍去,此时 . 如图 3,当 时,则得 . 设 ,则 . . 由 得 ,解得 (舍),此时 . 第二种情况:当 时, 如图 4,当 时,则得 . 过 Q 作 交对称轴于点 M, . .由图 2 可知 , . ,又 ,代入得 . 点 , 点 . 如图 5,当 时,则 . 过 Q 作 交对称轴于点 M, ,则 . 由图 3 可知 , , , , . 又 ,代入得 . 点 , 点 , 综上所述, 或 或 或 .


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