1、2019-2020 学年浙江省宁波市北仑区七年级（下）期末数学试卷学年浙江省宁波市北仑区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，其质量仅有 0.000005 克，用科学记数 法表示 0.000005，正确的是（ ） A510 6 B510 5 C5106 D5105 2 （4 分）下列运算中，正确的是（ ） A （3cd）39c3d3 B （3a3）29a5 C（a）34a12 D （a） （a2）3a7 3 （4 分）下列多项式能用公式法分
2、解因式的是（ ） A4x2+（y）2 B4x2y2 Cx2+2xyy2 Dx+1+ 4 （4 分）若分式的值为 0，则 a 的值为（ ） A4 和4 B4 C4 D4 和 0 5 （4 分）若（x1） （x+3）x2+mx+n，那么 m，n 的值分别是（ ） Am1，n3 Bm4，n5 Cm2，n3 Dm2，n3 6 （4 分）我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知 1 匹大马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有 x 匹，小马有 y 匹，那么可列方程组为（ ） A B C D 7 （4 分）如图所示，
3、下列说法中，错误的是（ ） AA 与EDC 是同位角 BA 与C 是同旁内角 CA 与ADC 是同旁内角 DA 与ABF 是内错角 8 （4 分）当 a 为何值时，方程组的解，x、y 的值互为相反数（ ） Aa8 Ba8 Ca10 Da10 9 （4 分）把一张对边互相平行的纸条按如图所示折叠，EF 是折痕，若EFB34，则下列结论不正确 的是（ ） ACEF34 BAEC146 CBGE68 DBFD112 10 （4 分）任何一个正整数 n 都可以进行这样的分解：nst（s，t 是正整数，且 st） ，如果 pq 在 n 的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 pq 是 n 的最优分
4、解，并规定：F（n）例如 24 可以分解成 124，212，38，46 这四种，这时就有 F（24）给出下列关于 F（n） 的说法：F（6）；F（16）1；F（n2n）1；若 n 是一个完全平方数，F（n） 1其中说法正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11 （4 分） （2）0（） 1 12 （4 分）如图所示，直线 ab，如果145，那么2 的度数是 13 （4 分）已知 3x2y30，求 23x22y 14 （4 分）若分式方程4无解，则 a 的值为 15 （4 分）多项式是完全
5、平方式，则 m 16 （4 分） 若方程组的解是， 请求出方程组中 m， n 的值， m ，n 17 （4 分）若|a1|+（ab2）20，则+ 18 （4 分）如图，把四张大小相同的长方形卡片（如图）按图 2、图两种方式放在一个底面为长方形 （长比宽多 5cm）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图中阴影部分的周长为 C1， 图 3 中阴影部分的周长为 C2，那么 C1比 C2大 cm 三、解答题三、解答题(本题共本题共 8 小题，小题，19、20.、21、22、23 年题年题 8 分，分，24、25 题题 12 分，分，26 题题 14 分，共分，共 78 分分) 19 （8
6、分） （1）计算： （3x2）3 （2x4）（9x7） ； （2）因式分解：2m3+24m272m 20 （8 分）先化简，然后从2x2 的范围内选取一个合适的整数作为 x 的值代 入求值 21 （8 分）解方程或方程组： （1）； （2）+ 22 （8 分）某社区积极响应正在开展的“文明城市创建工作” ，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区 域进行绿化改造已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的 2 倍， 并且甲工程队完成 300m2的绿化面积比乙工程队完成 200m2的绿化面积少用 2h 求乙工程队每小时能完 成多少平方米的绿化面积？ 23（8 分） 对于二次
7、三项式 a2+6a+9， 可以用公式法将它分解成 （a+3） 2 的形式， 但对于二次三项式 a2+6a+8， 就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项 9，使其成为完全平方式，再减去 9 这项，使整个式子的值保持不变，于是有： a2+6a+8a2+6a+99+8（a+3）21（a+3）+1（a+3）1（a+4） （a+2） 请仿照上面的做法，将下列各式因式分解： （1）x26x16； （2）x2+2ax3a2 24 （12 分）两个边长分别为 a 和 b 的正方形如图放置（图 1） ，其未叠合部分（阴影）面积为 S1；若再在 图 1 中大正方形的右下角摆放一个边长为 b
8、的小正方形（如图 2） ，两个小正方形叠合部分（阴影）面积 为 S2 （1）用含 a，b 的代数式分别表示 S1、S2； （2）若 a+b10，ab20，求 S1+S2的值； （3）当 S1+S230 时，求出图 3 中阴影部分的面积 S3 25 （12 分）阅读下列材料，然后解答后面的问题 我们知道方程 2x+3y12 有无数组解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解 例：由 2x+3y12 得 y4x（x，y 为正整数） 则有 0 x6， 又y4x 为正整数， x 为正整数 由 2 与 3 互质，可知 x 为 3 的倍数，从而 x3，代入 y4x2 2x+3y12 的正整数解为 问题：
9、 （1）请你写出方程 3x+y7 的一组正整数解： （2）若为自然数，则满足条件的 x 值有 A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 （3）为了开展“阳光体育”活动，某班计划购买甲、乙两种体育用品（每种体育用品至少购买 1 件） ， 其中甲种体育用品每件 20 元，乙种体育用品每件 30 元，共用去 180 元，问有几种购买方案 26 （14 分）宁波正着力打造“三江六岸”景观带，计划在甬江两岸设置两座可以旋转的射灯如图 1，灯 A 射线从 AM 开始顺时针旋转至 AN 便立即回转，灯 B 射线从 BP 开始顺时针旋转至 BQ 便立即回转，两 灯不停交叉照射若灯 A 转动的速度是 2
10、度/秒，灯 B 转动的速度是 1 度/秒，假定甬江两岸是平行的， 即 PQMN，且BAM：BAN2：1 （1）填空：BAN ； （2）若灯 B 射线先转动 30s，灯 A 射线才开始转动，在灯 B 射线到达 BQ 之前，灯 A 转动几秒，两灯的 光束互相平行？ （3）如图 2，若两灯同时转动，在灯 A 射线到达 AN 之前，假设射出的光束交于点 C，过点 C 作ACD 交 PQ 于点 D，且ACD120，请探究：在转动过程中，BAC 与BCD 之间的数量关系是否发生 变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由 2019-2020 学年浙江省宁波市北仑区七年级（下）期末数学试卷学年浙江省
11、宁波市北仑区七年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，其质量仅有 0.000005 克，用科学记数 法表示 0.000005，正确的是（ ） A510 6 B510 5 C5106 D5105 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.0000
12、05510 6， 故选：A 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10，n 为由原数左边 起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 2 （4 分）下列运算中，正确的是（ ） A （3cd）39c3d3 B （3a3）29a5 C（a）34a12 D （a） （a2）3a7 【分析】选项 A、B、C 根据积的乘方运算法则计算即可判断，选项 D 根据同底数幂的乘法法则以及幂 的乘方运算法则计算即可判断积的乘方，等于每个因式乘方的积，即（ab）nanbn；同底数幂相乘， 底数不变，指数相加，即 amanam+n；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（am）n
13、amn 【解答】解：A （3cd）327c3d3，故本选项不合题意； B （3a3）29a6，故本选项不合题意； C（a）34a12，故本选项不合题意； D （a） （a2）3（a） a6a7，故本选项符合题意 故选：D 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关 键 3 （4 分）下列多项式能用公式法分解因式的是（ ） A4x2+（y）2 B4x2y2 Cx2+2xyy2 Dx+1+ 【分析】利用平方差公式及完全平方公式判断即可 【解答】解：多项式能用公式法分解因式的是 x+1+（1+）2， 故选：D 【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练
14、掌握因式分解的方法是解本题的关键 4 （4 分）若分式的值为 0，则 a 的值为（ ） A4 和4 B4 C4 D4 和 0 【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零 【解答】解：分式的值为 0， ， 解得， a 的值为4， 故选：C 【点评】本题主要考查了分式的值为零的条件，注意： “分母不为零”这个条件不能少 5 （4 分）若（x1） （x+3）x2+mx+n，那么 m，n 的值分别是（ ） Am1，n3 Bm4，n5 Cm2，n3 Dm2，n3 【分析】运用多项式与多项式相乘的法则将等式左边展开，通过比较左右两边的对应项系数，将问题转 化为关于 m，n 的方程来确定 m，n 的
15、值 【解答】解：（x1） （x+3）x2+2x3x2+mx+n， m2，n3 故选：C 【点评】 本题考查了多项式乘多项式， 运算法则需要熟练掌握， 利用对应项系数相等求解是解题的关键 6 （4 分）我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知 1 匹大马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有 x 匹，小马有 y 匹，那么可列方程组为（ ） A B C D 【分析】设大马有 x 匹，小马有 y 匹，根据题意可得等量关系：大马数+小马数100；大马拉瓦数 +小马拉瓦数100，根据等量关系列出方程组即可 【解答】
16、解：设大马有 x 匹，小马有 y 匹，由题意得： ， 故选：C 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量 关系，列出方程组 7 （4 分）如图所示，下列说法中，错误的是（ ） AA 与EDC 是同位角 BA 与C 是同旁内角 CA 与ADC 是同旁内角 DA 与ABF 是内错角 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截 线）的同旁，则这样一对角叫做同位角两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线 的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角两条直线被第三条直线所截形
17、 成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内 角 【解答】解：AA 与EDC 是同位角，本选项正确； BA 与C 不是同旁内角，本选项错误； CA 与ADC 是同旁内角，本选项正确； DA 与ABF 是内错角，本选项正确； 故选：B 【点评】 本题主要考查了同位角、 内错角和同旁内角， 同位角的边构成 “F “形， 内错角的边构成 “Z “形， 同旁内角的边构成“U”形 8 （4 分）当 a 为何值时，方程组的解，x、y 的值互为相反数（ ） Aa8 Ba8 Ca10 Da10 【分析】2 得出x19y36，得出方程组，求出 x、y 的值，再把
18、x2，y2 代入求出 a 即可 【解答】解：当 x、y 互为相反数时，x+y0， ， 2 得：x19y36， 解方程组得：， 把 x2，y2 代入得：6+102a， 解得：a8， 故选：B 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点，能求出 x、y 的值是解此题的关键 9 （4 分）把一张对边互相平行的纸条按如图所示折叠，EF 是折痕，若EFB34，则下列结论不正确 的是（ ） ACEF34 BAEC146 CBGE68 DBFD112 【分析】根据平行线的性质以及翻折不变性，分别求出CEF；AEC；BGE；BFD 即可判断 【解答】解：A、EFB34，AC
19、BD， EFBFECFEG34，故正确，不符合题意； B、由折叠可得CEG68， 则AEC180CEG112，故错误，符合题意； C、BGECEG68，故正确，不符合题意； D、ECDF， BFDBGCAEC112，故正确，不符合题意 故选：B 【点评】 本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质， 熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键 10 （4 分）任何一个正整数 n 都可以进行这样的分解：nst（s，t 是正整数，且 st） ，如果 pq 在 n 的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 pq 是 n 的最优分解，并规定：F（n）例如 24 可以分解成 124，212，38，46
20、这四种，这时就有 F（24）给出下列关于 F（n） 的说法：F（6）；F（16）1；F（n2n）1；若 n 是一个完全平方数，F（n） 1其中说法正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据最优分解的定义，分别求出 6、16、n2n 以及完全平方数 n，然后对各小题求解即可作出 判断 【解答】解：61623， F（6），故本小题正确； 161162844， F（16）1，故本小题正确； n2nn（n1） ， F（n2n）1，故本小题正确； n 是一个完全平方数， n 分解成两个完全相同的数时，差的绝对值最小， F（n）1，故本小题正确 综上所述，说法正确的个数是 4 故选：D 【点
21、评】本题考查了完全平方数，读懂题目信息，理解“最优分解”的定义是解题的关键 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11 （4 分） （2）0（） 1 2 【分析】利用零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则计算即可 【解答】解： （2）0（） 1122 故答案为：2 【点评】此题考查了零指数幂的运算、负整数指数幂的运算正确掌握相关运算法则是解题的关键 12 （4 分）如图所示，直线 ab，如果145，那么2 的度数是 45 【分析】要求2 的度数，只需根据平行线的性质求得其对顶角的度数 【解答】解：ab， 3145 2345 故
22、答案为：45 【点评】本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等 13 （4 分）已知 3x2y30，求 23x22y 8 【分析】把 3x2y30 变形为 3x2y3，再根据同底数幂的除法法则计算即可 【解答】解：由 3x2y30 得 3x2y3， 23x22y23x 2y238 故答案为：8 【点评】 本题主要考查了同底数幂的除法， 熟记运算法则是解答本题的关键 同底数幂相除， 底数不变， 指数相减 14 （4 分）若分式方程4无解，则 a 的值为 2 【分析】根据题意得出方程无解时 x 的值，代入得出 a 的值 【解答】解：去分母得：a4（x+2）2， 整理得：x， 分式方程无解，
23、则2， 则 a2 故答案为：2 【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是明确什么时候分式方程无解 15 （4 分）多项式是完全平方式，则 m 1 【分析】根据完全平方公式得到（x1）2，然后再根据完全平方公式把右边展开即可得 到 m 的值 【解答】解：根据题意得（x1）2， 而（x1）2x2x+1， 所以 m1 故答案为1 【点评】本题考查了完全平方公式： （ab）2a22ab+b2也考查了代数式的变形能力 16 （4 分） 若方程组的解是， 请求出方程组中 m， n 的值， m 6.5 ，n 1 【分析】我们可以把 m+5，n+3 看成一个整体，设 m+5x，n+3y，很快可以得到，进而可
24、 得答案 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：6.5；1 【点评】本题主要考查解二元一次方程组，关键是掌握整体思想及换元法的应用 17 （4 分）若|a1|+（ab2）20，则+ 【分析】先由|a1|+（ab2）20，利用非负数的性质得出 a、b 的值，代入原式后，再利用 裂项求和可得 【解答】解：|a1|+（ab2）20， a10 且 ab20， 解得 a1，b2， 则原式+ 1+ 1 ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查分式的化简求值， 解题的关键是掌握非负数的性质和的规律 18 （4 分）如图，把四张大小相同的长方形卡片（如图）按图 2、图两种方式放在一个底面为长方形 （长比
25、宽多 5cm）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图中阴影部分的周长为 C1， 图 3 中阴影部分的周长为 C2，那么 C1比 C2大 10 cm 【分析】此题要先设小长方形的长为 acm，宽为 bcm，再结合图形分别得出图形的阴影周长和图形 的阴影周长，比较后即可求出答案 【解答】解：设小长方形的长为 acm，宽为 bcm，大长方形的宽为 xcm，长为（x+5）cm， 阴影周长为：2（x+5+x）4x+10， 下面的周长为：2（x2b+x+52b） ， 上面的总周长为：2（x+5a+xa） ， 总周长为：2（x2b+x+52b）+2（x+5a+xa）4（x+5）+4x4（a+2b
26、） ， 又a+2bx+5， 4（x+5）+4x4（a+2b）4x， C2C34x+104x10（cm） ， 故答案为 10 【点评】 此题主要考查整式的加减的运用， 做此类题要善于观察， 在第个图形中利用割补法进行计算， 很容易计算得出结果 三、解答题三、解答题(本题共本题共 8 小题，小题，19、20.、21、22、23 年题年题 8 分，分，24、25 题题 12 分，分，26 题题 14 分，共分，共 78 分分) 19 （8 分） （1）计算： （3x2）3 （2x4）（9x7） ； （2）因式分解：2m3+24m272m 【分析】 （1）根据幂的运算性质进行计算便可； （2）先提取公
27、因式，再按照完全平方公式分解 【解答】解： （1）原式27x6 （2x4）（9x7）54x10（9x7）6x3； （2）原式2m（m212m+36）2m（m6）2 【点评】本题主要考查了幂的运算法则，分解因式的方法，关键是熟记幂的运算法则和提取公因式的方 法和运用完全平方公式分解因式的方法 20 （8 分）先化简，然后从2x2 的范围内选取一个合适的整数作为 x 的值代 入求值 【分析】首先对分式进行化简、把除法转化为乘法、在进行混合运算，把分式转化为最简分式，然后确 定 x 的整数值，把合适的值代入求值，x 的值不可使分式的分母为零 【解答】原式 x 满足2x2 且为整数，若使分式有意义，x
28、 只能取 0，2 当 x0 时，原式（或：当 x2 时，原式） 【点评】本题主要考查分式的化简、分式的性质，解题的关键在于找到 x 的合适的整数值，x 的取值不 可是分式的分母为零 21 （8 分）解方程或方程组： （1）； （2）+ 【分析】 （1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 【解答】解： （1）方程组整理得：， 2+得：11x22， 解得：x2， 把 x2 代入得：y3， 则方程组的解为； （2）去分母得：3x+34xx1， 解得：x2， 经检验 x2 是分式方程的解 【点评】此题
29、考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键 22 （8 分）某社区积极响应正在开展的“文明城市创建工作” ，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区 域进行绿化改造已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的 2 倍， 并且甲工程队完成 300m2的绿化面积比乙工程队完成 200m2的绿化面积少用 2h 求乙工程队每小时能完 成多少平方米的绿化面积？ 【分析】 设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积， 则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积， 根据工作时间总工作量工作效率结合甲工程队完成 300 平方米的绿化面积比乙工程队完成 200
30、平方 米的绿化面积少用 2h，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论 【解答】解：设乙工程队每小时能完成 x 平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成 2x 平方米的绿化 面积， 根据题意得：2， 解得：x25， 经检验，x25 是分式方程的解 答：乙工程队每小时能完成 25 平方米的绿化面积 【点评】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 23（8 分） 对于二次三项式 a2+6a+9， 可以用公式法将它分解成 （a+3） 2 的形式， 但对于二次三项式 a2+6a+8， 就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项 9，使其
31、成为完全平方式，再减去 9 这项，使整个式子的值保持不变，于是有： a2+6a+8a2+6a+99+8（a+3）21（a+3）+1（a+3）1（a+4） （a+2） 请仿照上面的做法，将下列各式因式分解： （1）x26x16； （2）x2+2ax3a2 【分析】根据完全平方公式的结构特征是两数的平方和加上或减去它们乘积的 2 倍，因此对一些不完全 符合完全平方公式的代数式，可在保证代数式不变的情况下通过加项或减项的方法配成完全平方公式， 据此解答即可 【解答】解： （1）x26x16 x26x+9916 （x3）225 （x3+5） （x35） （x+2） （x8） ； （2）x2+2ax3a
32、2 x2+2ax+a2a23a2 （x+a）2（2a）2 （x+a+2a） （x+a2a） （x+3a） （xa） 【点评】 本题考查了公式法因式分解， 熟记完全平方公式和平方差公式， 并能灵活运用是解题的关键 因 此要牢记完全平方公式和平方差公式的结构特征 24 （12 分）两个边长分别为 a 和 b 的正方形如图放置（图 1） ，其未叠合部分（阴影）面积为 S1；若再在 图 1 中大正方形的右下角摆放一个边长为 b 的小正方形（如图 2） ，两个小正方形叠合部分（阴影）面积 为 S2 （1）用含 a，b 的代数式分别表示 S1、S2； （2）若 a+b10，ab20，求 S1+S2的值；
33、（3）当 S1+S230 时，求出图 3 中阴影部分的面积 S3 【分析】 （1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含 a、b 的代数式分别表示 S1、S2； （2）根据 S1+S2a2b2+2b2aba2+b2ab，将 a+b10，ab20 代入进行计算即可； （3）根据 S3（a2+b2ab） ，S1+S2a2+b2ab30，即可得到阴影部分的面积 S3 【解答】解： （1）由图可得，S1a2b2， S2a2a（ab）b（ab）b（ab）2b2ab； （2）S1+S2a2b2+2b2aba2+b2ab， a+b10，ab20， S1+S2a2+b2ab（a+b）23ab10032040；
34、（3）由图可得，S3a2+b2b（a+b）a2（a2+b2ab） ， S1+S2a2+b2ab30， S33015 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，能够运用数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的 关键 25 （12 分）阅读下列材料，然后解答后面的问题 我们知道方程 2x+3y12 有无数组解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解 例：由 2x+3y12 得 y4x（x，y 为正整数） 则有 0 x6， 又y4x 为正整数， x 为正整数 由 2 与 3 互质，可知 x 为 3 的倍数，从而 x3，代入 y4x2 2x+3y12 的正整数解为 问题： （1）请你写出方程 3x+
35、y7 的一组正整数解： 或（只要写出其中的一组即可） （2）若为自然数，则满足条件的 x 值有 B A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 （3）为了开展“阳光体育”活动，某班计划购买甲、乙两种体育用品（每种体育用品至少购买 1 件） ， 其中甲种体育用品每件 20 元，乙种体育用品每件 30 元，共用去 180 元，问有几种购买方案 【分析】 （1）求方程 3x+y7 的正整数解，可给定 x 一个正整数值，计算 y 的值，如果 y 的值也是正整 数，那么就是原方程的一组正整数解 （2）参照例题的解题思路进行解答； （3）设购买甲种体育用品 x 件，购买乙种体育用品 y 件，根据“甲种
36、体育用品每件 20 元，乙种体育用 品每件 30 元，共用去 180 元”列出方程，并解答 【解答】解： （1）由 3x+y7，得 y73x（x、y 为正整数） 则当 x1 时，y4； 当 x2 时，y1 故方程的正整数解是或（只要写出其中的一组即可） ； （2）同样，若为自然数， 则有：0 x29，即 2x11 当 x3 时，9； 当 x5 时，3； 当 x11 时，1 即满足条件 x 的值有 3 个， 故选：B （3）设购买甲种体育用品 x 件，购买乙种体育用品 y 件， 依题意得：20 x+30y180， 2x+3y18， y6x， x，y 是正整数， 当 x3 时，y4 当 x6 时，
37、y2 故有两种购买方案：购买甲种体育用品 3 件，购买乙种体育用品 4 件；购买甲种体育用品 6 件，购 买乙种体育用品 2 件 故答案为：或（只要写出其中的一组即可） ；B 【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键 26 （14 分）宁波正着力打造“三江六岸”景观带，计划在甬江两岸设置两座可以旋转的射灯如图 1，灯 A 射线从 AM 开始顺时针旋转至 AN 便立即回转，灯 B 射线从 BP 开始顺时针旋转至 BQ 便立即回转，两 灯不停交叉照射若灯 A 转动的速度是 2 度/秒，灯 B 转动的速度是 1 度/秒，假定甬江两岸是平行的， 即 PQMN，且B
38、AM：BAN2：1 （1）填空：BAN 60 ； （2）若灯 B 射线先转动 30s，灯 A 射线才开始转动，在灯 B 射线到达 BQ 之前，灯 A 转动几秒，两灯的 光束互相平行？ （3）如图 2，若两灯同时转动，在灯 A 射线到达 AN 之前，假设射出的光束交于点 C，过点 C 作ACD 交 PQ 于点 D，且ACD120，请探究：在转动过程中，BAC 与BCD 之间的数量关系是否发生 变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由 【分析】 （1）根据BAM+BAN180，BAM：BAN2：1，即可得到BAN 的度数； （2） 设 A 灯转动 t 秒， 两灯的光束互相平行， 分两种情
39、况进行讨论： 当 0t90 时， 根据 2t1 （30+t） ， 可得 t30；当 90t150 时，根据 1 （30+t）+（2t180）180，可得 t110； （3）设灯 A 射线转动时间为 t 秒，根据BAC2t120，BCD120BCDt60，即可得 出BAC：BCD2：1，据此可得BAC 和BCD 关系不会变化 【解答】解： （1）BAM+BAN180，BAM：BAN2：1， BAN18060， 故答案为：60； （2）设 A 灯转动 t 秒，两灯的光束互相平行， 当 0t90 时，如图 1， PQMN， PBDBDA， ACBD， CAMBDA， CAMPBD 2t1 （30+t
40、） ， 解得 t30； 当 90t150 时，如图 2， PQMN， PBD+BDA180， ACBD， CANBDA PBD+CAN180 1 （30+t）+（2t180）180， 解得 t110， 综上所述，当 t30 秒或 110 秒时，两灯的光束互相平行； （3）BAC 和BCD 关系不会变化 理由：设灯 A 射线转动时间为 t 秒， CAN1802t， BAC60（1802t）2t120， 又ABC120t， BCA180ABCBAC180t，而ACD120， BCD120BCA120（180t）t60， BAC：BCD2：1， 即BAC2BCD， BAC 和BCD 关系不会变化 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行 求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
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