1、 二次函数综合 第11讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.二次函数与三角形的面积 2.二次函数与线段和差 3.二次函数与直角三角形 教学目标 1.掌握解二次函数综合题的方法 2.掌握二次函数中的数学模型 教学重点 能熟练掌握二次函数综合问题 教学难点 能熟练掌握二次函数综合问题 【教学建议】【教学建议】 本节课的内容属于二次函数综合，是中考中的必考内容。在教学中教师要通过典型例题帮助学生整理、 归纳并反思这些问题的常用处理方法，学会怎么把非特殊问题转换成特殊问题的，形成有效的解题策略。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到
2、困难： 1. 非特殊三角形的面积问题； 2. 非竖直型线段的最值； 3.抛物线中直角三角形的存在性问题。 【知识导图】【知识导图】 二次函数综合 二次函数与三角形的面积 二次函数与线段和差 二次函数与直角三角形 概述 【教学建议】【教学建议】 本节所讲的三个问题：1.二次函数与三角形的面积；2.二次函数与线段和差；3.二次函数与直角三角形。 是二次函数考题中常出现的题型，而且常常是在二次函数的压轴题中出现。建议教师在教学中，可以采取 一题多解的方式，从多个角度切入问题，以期帮助孩子形成有效地解题策略，要把典例讲透，要让学生有 自己的反思，自己的总结，自己的收获。 1.常用面积的处理方法： 2.
3、坐标系中的铅锤法模型 教学过程 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 二次函数与三角形的面积 二次函数中的线段线段和差问题，常通过三角函数转移到竖直方向的和差或水平方向的和差，其中竖直方 向的和差最重要，可以用上面点的纵坐标减去下面的点的纵坐标，极易出现二次式，也就是二次函数模型。 为了便于学生记忆：我给它起了一个名字叫“定海神针”。 抛物线中出现直角三角形常见的处理方法： 已知:定点 A(2, 1) 、B(6, 4)和动点 M（m, 0）, 存在直角三角形 ABM,求点 M 的坐标. 1.两线一圆 在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题后,通常是以顶点作为分类标准,比如:当以点A为直角顶点
4、 时,过点 A 作 AB 的垂线交 x 轴的点即为所求； 当以点 B 为直角顶点时,过点 B 作 AB 的垂线交 x 轴的点即为 所求；当以点 M 为直角顶点时,只需要以 AB 为直径作辅助圆与 x 轴的交点即为所求. 提示:两直线垂直,则其 K 值得乘积为-1,通过求垂线的解析式再求其与 x 轴的交点即可.（请学生完成做题 过程） 2.“K 型相似” 知识点 2 二次函数与线段和差 知识点 3 二次函数与直角三角形 提示:竖直型,上减下；水平型,右减左.遇直角,构矩形,得相似,求结果.（请学生完成做题过程） 3.暴力法（两点间距离公式） 利用两点间距离公式.勾股定理及其逆定理的应用进行求解.
5、其基本解题思路是列点.列线.列式. 第一步,列出构建所求直角三角形的三个点,定点找到后,动点用参数表示其坐标； 第二步,采用分类讨论思想,列出构建所求直角三角形的三个边,并分类讨论两两垂直的三种可能性； 第三步,把定点坐标及参数点坐标代入两点间距离公式,利用勾股定理的逆定理列出等式求解.注意:解出点 的坐标应结合已知进行检验,若出现三点共线或出现不合题意得点均要舍去.（请学生完成做题过程） 注意:有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简单,在一些综合题中一般要结合“K 型 相似”去做更简单一些. 【题干】如图，在平面直角坐标系中，直线 1 1 2 yx与抛物线 yax 2bx3
6、交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为 3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上的一动点（不与点 A、B 重合），过点 P 作 x 轴 的垂线交直线 AB 于点 C，作 PDAB 于点 D （1）求 a、b 及 sinACP 的值； （2）设点 P 的横坐标为 m 用含 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值； 连结 PB，线段 PC 把PDB 分成两个三角形，是否存在适合的 m 的值，使这两个三角形的面积比为 9 10？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由 三、例题精析 例题 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】 解：（1）由
7、1 10,2,( 2,0) 2 xxA 得 1 13,4,(4,3) 2 xxB 由得 y=ax2+bx-3 经过 A、B 两点， 2 2 ( 2)230,11 , 22 4433 ab ab ab 设直线 AB 与 y 轴交于点 E，则 E（0,1） PCy 轴，ACP=AEO sinACP=sinAEO= 22 5 55 OA AE （2）由（1）知，抛物线的解析式为 2 11 3 22 yxx 2 111 ( ,3), ( ,1) 222 P mmmC mm B C D X O P A Y 22 1111 1 (3)4 2222 PCmmmmm 在 RtPCD 中，sinPDPCACP
8、2 2 12 5 (4) 25 59 5 (1) 55 mm m ， 59 5 0,1 55 mPD 当时，有最大值 存在满足条件的 m 值 532 29 m 或 第（3）题的思路是：PCD 与PCB 是同底边 PC 的两个三角形，面积比等于对应高 DN 与 BM 的比 而 2 52 511 coscos(4)(2)(4) 5525 DNPDPDNPDACPmmmm ，BM4m 当 S PCD S PCB 910 时， 19 (2)(4)(4) 510 mmm 解得 5 2 m 当 S PCD S PCB 109 时， 110 (2)(4)(4) 59 mmm 解得 32 9 m 例题 2 【
9、题干】【题干】已知平面直角坐标系中两定点 A(1, 0)、B(4, 0)，抛物线 yax 2bx2（a0）过点 A、B， 顶点为 C，点 P(m, n)（n0）为抛物线上一点 （1）求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标； （2）当APB 为钝角时，求 m 的取值范围； （3）若 m，当APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移 t（0t）个单位，点 C、P 平 移后对应的点分别记为 C、P，是否存在 t，使得顺次首尾连接 A、B、P、C所构成的多边形的周长 最短？若存在，求 t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）因为抛物线 yax 2
10、bx2 与 x 轴交于 A(1, 0)、B(4, 0)两点， 所以 ya(x1)(x4)ax 23ax4a 所以4a2，b3a所以， 所以。 顶点为 （2）如图 1，设抛物线与 y 轴的交点为 D 由 A(1, 0)、B(4, 0)、D(0,2)，可知 所以AODDOB因此ADODBO 由于DBO 与BDO 互余，所以ADO 与BDO 也互余 图 1 于是可得ADB90因此以 AB 为直径的圆经过点 D 当点 P 在 x 轴下方圆的内部时，APB 为钝角，此时1m0，或 3m4 （3）若 m，当APB 为直角时，点 P 与点 D 关于抛物线的对称轴对称，因此点 P 的坐标为(3, 2) 如图
11、2，由于点 A、B、P、C 是确定的，BB、PC、PC 平行且相等，所以 A、B、P、C四点 所构成的四边形中，AB 和 PC的长是确定的 如图 3，以 PC、PB 为邻边构造平行四边形 CPBB，以直线为对称轴作点 B的 对称点 B，联结 AB，那么 ACPB 的长最小值就是线段 AB。 如图 4，线段 AB与直线的交点，就是四边形周长最小时点 C的位置 3 2 5 2 1 2 a 3 2 b 22 131325 2() 22228 yxxx 325 ( ,) 28 C OAOD ODOB 3 2 25 8 y 25 8 y 如图 2，点 P(3,2)先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点
12、， 如图 3，点 B(4, 0) 先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点 所以点 B的坐标为 如图 4，由，得解得 由于，所以抛物线向左平移了个单位 图 2 图 3 图 4 【题干】【题干】如图 1，二次函数 ya(x 22mx3m2)（其中 a、m 是常数，且 a0，m0）的图像与 x 轴分别 交于 A、B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C(0,3)，点 D 在二次函数的图像上，CD/AB，联结 AD过点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点 E，AB 平分DAE （1）用含 m 的式子表示 a； （2）求证：为定值； （3）设该二次函数的图像的顶点为 F探索：在 x
13、轴的负半轴上是否存在点 G，联结 GF，以线段 GF、 AD、 AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在， 只要找出一个满足要求的点 G 即可， 并用含 m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由 3 2 9 8 325 ( ,) 28 C 3 2 9 8 59 ( ,) 28 B 541 ( ,) 28 AEAF C EB F 2541 88 5 1 1 2 C x 93 82 C x 39315 28241 15 41 AD AE 例题 3 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）将 C(0,3)代入 ya(x 22mx3m2)，得33am2因此 （2）由 ya(
14、x 22mx3m2)a(xm)(x3m)a(xm)24axm2a(xm)24， 得 A(m, 0)，B(3m, 0)，F(m, 4)，对称轴为直线 xm 所以点 D 的坐标为(2m,3) 设点 E 的坐标为(x, a(xm)(x3m) 如图 2，过点 D、E 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E 由于EAEDAD，所以因此 所以 am(x3m)1结合，于是得到 x4m 当 x4m 时，ya(xm)(x3m)5am 25所以点 E 的坐标为(4m, 5) 所以 图 2 图 3 （3）如图 3，由 E(4m, 5)、D(2m,3)、F(m,4)， 可知点 E、D、F 到 x 轴的距离分别为 5
15、、4、3 那么过点 F 作 AD 的平行线与 x 轴的负半轴的交点，就是符合条件的点 G 2 1 a m EEDD AEAD ()(3 )3 3 a xm xm xmm 2 1 a m 3 5 ADDD AEEE 证明如下：作 FFx 轴于 F，那么 因此所以线段 GF、AD、AE 的长围成一个直角三角形 此时 GF4m所以 GO3m，点 G 的坐标为(3m, 0) 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，先把例题讲解清晰，注意总结相应测处理方法，形成有用的解 题模型，再给学生做针对性的练习。 1.如图 1，边长为 8 的正方形 ABCD 的两边在坐标轴上，以点 C 为
16、顶点的抛物线经过点 A，点 P 是抛物线 上 A、C 两点间的一个动点（含端点），过点 P 作 PFBC 于点 F点 D、E 的坐标分别为(0, 6)、(4, 0)， 联结 PD、PE、DE （1）直接写出抛物线的解析式； （2）小明探究点 P 的位置发现：当点 P 与点 A 或点 C 重合时，PD 与 PF 的差为定值进而猜想：对 于任意一点 P，PD 与 PF 的差为定值请你判断该猜想是否正确，并说明理由； （3）小明进一步探究得出结论：若将“使PDE 的面积为整数” 的点 P 记作“好点”，则存在多个 “好点”，且使PDE 的周长最小的点 P 也是一个“好点” 请直接写出所有“好点”的个
17、数，并求出PDE 周长最小时“好点”的坐标 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）抛物线的解析式为 （2）小明的判断正确，对于任意一点 P，PDPF2说理如下： 设点 P 的坐标为，那么 PFyFyP 4 3 GFFF ADDD 534 AEADGF 2 1 8 8 yx 2 1 ( ,8) 8 xx 2 1 8 x 四 、课堂运用 基础 而 FD 2 ，所以 FD 因此 PDPF2 为定值 （3）“好点”共有 11 个 在PDE 中，DE 为定值，因此周长的最小值取决于 FDPE 的最小值 而 PDPE(PF2)PE(PFPE)2，因此当 P、E、F 三点共线时，PDE 的周长最小（
18、如图 2） 此时 EFx 轴，点 P 的横坐标为4 所以PDE 周长最小时，“好点”P 的坐标为(4, 6) 图 2 图 3 2.如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2bxc 经过 A(2, 4 )、O(0, 0)、 B(2, 0)三点 （1）求抛物线 yax 2bxc 的解析式； （2）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求 AMOM 的最小值 图 1 【答案】【答案】（1）。 （2）AMOM 的最小值为 【解析】【解析】根据下面的图 2 与图 3 提示，易得（1） ； （2）AMOM 的最小值为 22222222 111 +(86)+(2)(2) 888 xxxxx 2 1 2
19、8 x 2 1 2 yxx 4 2 2 1 2 yxx 4 2 3.如图 1，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 B 在点 A 的右侧），与 y 轴交于点 C，连结 BC，以 BC 为一边，点 O 为对称中心作菱形 BDEC，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为(m, 0)， 过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q （1）求点 A、B、C 的坐标； （2） 当点 P 在线段 OB 上运动时， 直线 l 分别交 BD、 BC 于点 M、 N 试探究 m 为何值时， 四边形 CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由； （3）当点 P 在线
20、段 EB 上运动时，是否存在点 Q，使BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）由，得 A(2,0)，B(8,0)，C(0,4) （2）直线 DB 的解析式为 由点 P 的坐标为(m, 0)，可得， 所以 MQ 当 MQDC8 时，四边形 CQMD 是平行四边形 解方程，得 m4，或 m0（舍去） 此时点 P 是 OB 的中点，N 是 BC 的中点，N(4,2)，Q(4,6) 2 13 4 42 yxx 2 131 4(2)(8) 424 yxxxx 1 4 2 yx 1 ( ,4) 2 M mm 2 1
21、3 ( ,4) 42 Q mmm 22 1131 (4)(4)8 2424 mmmmm 2 1 88 4 mm 所以 MNNQ4所以 BC 与 MQ 互相平分 所以四边形 CQBM 是平行四边形 图 2 图 3 （3）存在两个符合题意的点 Q，分别是(2,0)，(6,4) 1.如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2bx3（a0）与 x 轴交于 A(2, 0)、B(4, 0)两点，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 从点 A 出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向点 B 运动，同时点 Q 从点 B 出发， 在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的
22、速度向点 C 运动其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动当 PBQ 存在时，求运动多少秒时PBQ 的面积最大，最大面积是多少？ （3）当PBQ 的面积最大时，在 BC 下方的抛物线上存在点 K，使 SCBKSPBQ52，求点 K 的坐 标 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(2, 0)、B(4, 0)两点，所以 ya(x2)(x4) 所以8a3解得 3 8 a 巩固 所以抛物线的解析式为 （2）如图 2，过点 Q 作 QHx 轴，垂足为 H 在 RtBCO 中，OB4，OC3，所以 BC5，sinB 在 RtBQH 中，BQt，所以 QHBQs
23、inBt 所以 SPBQ 因为 0t2，所以当 t1 时，PBQ 的面积最大，最大面积是。 （3）当PBQ 的面积最大时，t1，此时 P 是 AB 的中点，P(1, 0)，BQ1。 如图 3，因为PBC 与PBQ 是同高三角形，SPBCSPBQBCBQ51。 当 SCBKSPBQ52 时，SPBCSCBK21。 因为PBC 与CBK 是同底三角形，所以对应高的比为 21。 如图 4，过 x 轴上的点 D 画 CB 的平行线交抛物线于 K，那么 PBDB21。 因为点 K 在 BC 的下方，所以点 D 在点 B 的右侧，点 D 的坐标为 过点 K 作 KEx 轴于 E设点 K 的坐标为 由，得整
24、理，得 x 24x30 解得 x1，或 x3所以点 K 的坐标为或 图 2 图 3 图 4 2.已知平面直角坐标系中两定点 A(1, 0)、B(4, 0)，抛物线 yax 2bx2（a0）过点 A、B，顶点为 C，点 P(m, n)（n0）为抛物线上一点 （1）求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标； （2）当APB 为钝角时，求 m 的取值范围； 3 (2)(4) 8 yxx 2 33 3 84 xx 3 5 3 5 2 11399 (63 )(1) 2251010 BP QHttt 9 10 11 (,0) 2 3 ( ,(2)(4) 8 xxx KECO DEBO 3 (2)(4) 3 8
25、9 4 2 xx x 27 (1,) 8 15 (3,) 8 （3）若 m，当APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移 t（0t）个单位，点 C、P 平 移后对应的点分别记为 C、P，是否存在 t，使得顺次首尾连接 A、B、P、C所构成的多边形的周长 最短？若存在，求 t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）因为抛物线 yax 2bx2 与 x 轴交于 A(1, 0)、B(4, 0)两点， 所以 ya(x1)(x4)ax 23ax4a 所以4a2，b3a所以， 所以。 顶点为 （2）如图 1，设抛物线与 y 轴的交点为 D 由 A(
26、1, 0)、B(4, 0)、D(0,2)，可知 所以AODDOB因此ADODBO 由于DBO 与BDO 互余，所以ADO 与BDO 也互余 图 1 于是可得ADB90因此以 AB 为直径的圆经过点 D 当点 P 在 x 轴下方圆的内部时，APB 为钝角，此时1m0，或 3m4 （3）若 m，当APB 为直角时，点 P 与点 D 关于抛物线的对称轴对称，因此点 P 的坐标为(3, 2) 如图 2，由于点 A、B、P、C 是确定的，BB、PC、PC 平行且相等，所以 A、B、P、C四点 所构成的四边形中，AB 和 PC的长是确定的 如图 3，以 PC、PB 为邻边构造平行四边形 CPBB，以直线为
27、对称轴作点 B的 对称点 B，联结 AB，那么 ACPB 的长最小值就是线段 AB。 如图 4，线段 AB与直线的交点，就是四边形周长最小时点 C的位置 如图 2，点 P(3,2)先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点， 如图 3，点 B(4, 0) 先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点 3 2 5 2 1 2 a 3 2 b 22 131325 2() 22228 yxxx 325 ( ,) 28 C OAOD ODOB 3 2 25 8 y 25 8 y 3 2 9 8 325 ( ,) 28 C 3 2 9 8 59 ( ,) 28 B 所以点 B的坐标为 如图 4，由，得解得 由
28、于，所以抛物线向左平移了个单位 图 2 图 3 图 4 3.如图 1，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C （1）求点 A、B 的坐标； （2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，求点 D 的坐 标； （3）若直线 l 过点 E(4, 0)，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有 三个时，求直线 l 的解析式 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）由， 得抛物线与 x 轴的交点坐标为 A(4, 0)、B(2, 0)对称轴是直线 x1 541 ( ,)
29、28 AEAF C EB F 2541 88 5 1 1 2 C x 93 82 C x 39315 28241 15 41 2 33 3 84 yxx 2 333 3(4)(2) 848 yxxxx （2）ACD 与ACB 有公共的底边 AC，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，点 B、D 到直线 AC 的距离相等 过点 B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点 D，在 AC 的另一侧有对应的点 D 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G，与 AC 交于点 H 由 BD/AC，得DBGCAO所以 所以，点 D 的坐标为 因为 AC/BD，AGBG，所以 HGDG 而 DHDH，所以 DG
30、3DG所以 D的坐标为 图 2 图 3 （3）过点 A、B 分别作 x 轴的垂线，这两条垂线与直线 l 总是有交点的，即 2 个点 M 以 AB 为直径的G 如果与直线 l 相交， 那么就有 2 个点 M； 如果圆与直线 l 相切， 就只有 1 个点 M 了 联结 GM，那么 GMl 在 RtEGM 中，GM3，GE5，所以 EM4 在 RtEM1A 中，AE8，所以 M1A6 所以点 M1的坐标为(4, 6)，过 M1、E 的直线 l 为 根据对称性，直线 l 还可以是 1.如图 1，已知抛物线（b、c 是常数，且 c0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左 侧），与 y 轴
31、的负半轴交于点 C，点 A 的坐标为(1,0) （1）b_，点 B 的横坐标为_（上述结果均用含 c 的代数式表示）； 3 4 DGCO BGAO 39 44 DGBG 9 (1,) 4 27 4 27 (1,) 4 1 1 3 tan 4 M A M EA AE 3 3 4 yx 3 3 4 yx 2 1 2 yxbxc 拔高 （2）连结 BC，过点 A 作直线 AE/BC，与抛物线交于点 E点 D 是 x 轴上一点，坐标为(2,0)，当 C、 D、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点，连结 PB、PC设PBC 的面积为
32、 S 求 S 的取值范围； 若PBC 的面积 S 为正整数，则这样的PBC 共有_个 图 1 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）b，点 B 的横坐标为2c （2）由，设 E 过点 E 作 EHx 轴于 H 由于 OB2OC，当 AE/BC 时，AH2EH 所以因此所以 当 C、D、E 三点在同一直线上时，所以 整理，得 2c 23c20解得 c2 或 （舍去） 所以抛物线的解析式为 1 2 c 2 111 ()(1)(2 ) 222 yxcxcxxc 1 ( ,(1)(2 ) 2 xxxc 1(1)(2 )xxxc 1 2xc (1 2 ,1)Ecc EHCO DHDO 1 212
33、 cc c 1 2 c 2 13 2 22 yxx （3）当 P 在 BC 下方时，过点 P 作 x 轴的垂线交 BC 于 F 直线 BC 的解析式为 设，那么， 所以 SPBCSPBFSPCF 因此当 P 在 BC 下方时，PBC 的最大值为 4 当 P 在 BC 上方时，因为 SABC5，所以 SPBC5 综上所述，0S5 若PBC 的面积 S 为正整数，则这样的PBC 共有 11 个 2.如图，抛物线 y=ax 2+bx 经过OAB 的三个顶点，其中点 A（1， ），点 B（3，），O 为坐标原点 （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）若 P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的
34、两点，且 nm，求 t 的取值范围； （3）若 C 为线段 AB 上的一个动点，当点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大时，求BOC 的大小及点 C 的坐标 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解：（1）把点 A（1，），点 B（3，）分别代入 y=ax 2+bx 得 解得 1 2 2 yx 2 13 ( ,2) 22 P mmm 1 ( ,2) 2 F mm 2 1 2 2 FPmm 22 1 ()24(2)4 2 BC FP xxFPmmm y= （2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线 x= 当 x时，y 随 x 的增大而减小 当 t4 时，nm （3）如图，设抛物线交 x
35、轴于点 F 分别过点 A、B 作 ADOC 于点 D，BEOC 于点 E ACAD，BCBE AD+BEAC+BE=AB 当 OCAB 时，点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大 A（1，），点 B（3，） AOF=60，BOF=30 AOB=90 ABO=30 当 OCAB 时，BOC=60 点 C 坐标为（，） 3.在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数 yk(x 2x1)的图象交于点 A(1,k)和点 B(1,k) （1）当 k2 时，求反比例函数的解析式； （2）要使反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围； （3）设二次函数的
36、图象的顶点为 Q，当ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求 k 的值 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）因为反比例函数的图象过点 A(1,k)，所以反比例函数的解析式是 当 k2 时，反比例函数的解析式是 （2）在反比例函数中，如果 y 随 x 增大而增大，那么 k0 当 k0 时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随 x 增大而增 大 抛 物 线 y k(x 2 x 1) 的 对 称 轴 是 直 线 图 1 所以当 k0 且时，反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大 （3）抛物线的顶点 Q 的坐标是，A、B 关于原点 O 中心对称， 当 OQOAOB 时，ABQ
37、 是以 AB 为直径的直角三角形 由 OQ 2OA2，得 解得（如图 2），（如图 3） 图 2 图 3 1.二次函数与三角形的面积的常见处理方法 k y x 2 y x k y x 2 15 () 24 k xk 1 2 x 1 2 x 15 (,) 24 k 2222 15 ()()1 24 kk 1 2 3 3 k 2 2 3 3 k 课堂小结 2.二次函数与线段和差的常见处理方法 3.二次函数与直角三角形的常见处理方法 1. 如图，抛物线 yax 24xc(a0)经过点 A(1，0)，点 E(4，5)，与 y 轴交于点 B，连接 AB （1）求该抛物线的解析式； （2）将ABO 绕点
38、O 旋转，点 B 的对应点为点 F 当点 F 落在直线 AE 上时，求点 F 的坐标和ABF 的面积； 当点 F 到直线 AE 的距离为2时，过点 F 作直线 AE 的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）把 A(1，0)，点 E(4，5 代入 yax 24xc 得 0-4, 51616, ac ac 解得 1, 5, a c 抛物线的解析式为 yx 24x5 （2） 当点 F 落在直线 AE 上时，点 F 的坐标为(x，y) 根据题意，得 x 2(x1)225 整理，得 x2x120解得 x 13，x24 点 F1的坐标为(3，4) ，点 F
39、2的坐标为(4， 3) SABF1 1 2 4510 直线 y2x5 与 x 轴的交点坐标是( 5 2 ，0)， x y -1 E B A O x y -1 E B A O 拓展延伸 基础 SABF2 1 2 3 2 86 符合题意的交点坐标为( 3+ 17 2 ， 9+ 17 2 )； ( 317 2 ， 917 2 )； ( 3+ 33 2 ， 1+ 33 2 )； ( 333 2 ， 133 2 ) 理由：由题意得，直线 AE 的解析式 yx1当点 F 到直线 AE 的距离为2时，则过点 F 与直线 AE 平行 的直线有两条分别是 yx3，yx1 把直线 AE 的解析式与抛物线联立，得
40、2 45 3 yxx yx ， ， 或 2 45 1 yxx yx ， ， 解得 1 1 317 , 2 917 ; 2 x y 2 2 317 , 2 917 ; 2 x y 3 3 333 , 2 133 ; 2 x y 4 4 333 , 2 133 . 2 x y 交点坐标为( 3+ 17 2 ， 9+ 17 2 )；( 317 2 ， 917 2 )；( 3+ 33 2 ， 1+ 33 2 )；( 333 2 ，1 33 2 ) 2. 如图,已知二次函数1 2 axy为实数）aa, 0( 的图象过点)2 , 2(A,一次函数bkxy 为实数）bkk, 0( 的图象l经过点)2 , 0
41、(B. x y G F E B A O x y N M C D H E B A O F (1) 求a值并写出二次函数表达式； (2) 求b值； (3) 设直线l与二次函数图象交于NM、两点,过M作MC垂直x轴于点C, 试证明:MCMB； (4) 在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系,并说明理由. 【答案答案】见解析 【解析解析】（1）1)2(2 2 a ， 4 1 a 1 4 1 2 xy （2）bk02 2b （3）过点 M 作yME 轴于点 E， 设) 1 4 1 ,( 2 xxM 1 4 1 2 xMC xME 1 4 1 21 4 1 22 xxEB 22 EB
42、MEMB 222 ) 1 4 1 (xx 1 2 1 16 1 242 xxx 1 2 1 16 1 24 xx 1 4 1 2 x MCMB （4） 相切 过点 N 作xND轴于 D， 取 MN 的中点为 P， 过点 P 作xPF 轴于点 F,过点 N 作MCNH 于点 H，交 PF 于点 P. 由（3）知NDNB MBNBMNMCND MHPG 2 1 又HCGFND GFPGPF GFPGPF222 HCNDMH MCND MNPF 2 1 以 MN 为直径的圆与x轴相切 3.如图，已知抛物线 2 13 (0) 22 yxxn n与 x 轴交于 A，B 两点（A 点在 B 点的左边），与
43、 y 轴交于 点 C如图 1，若ABC 为直角三角形，求 n 的值。 【答案答案】2 【解析解析】若ABC 为直角三角形，则 OC 2=OAOB 由抛物线 2 13 (0) 22 yxxn n，可得 OC=n，OAOB=2n n 2=2n，解得：n 1=2，n2=0（舍去）,n=2 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 5yaxbx交y轴于点A，交x轴于点( 5,0)B 和点(1,0)C， 过点A作 ADx 轴交抛物线于点 D. （1）求此抛物线的表达式； （2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求EAD的面积； （3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动
44、到某一位置时，ABP的面积最大，求出此时 点P的坐标和ABP的最大面积 【答案答案】见解析 【解析】（1）方法 1：把( 5,0)B 和(1,0)C代入 2 5yaxbx，得 02555 05 ab ab ， ， 解得 1 4. a b ， 抛物线的表达式为 y=x 2+4x5 方法 2：抛物线与 x 轴交于( 5,0)B 和(1,0)C， 设抛物线的表达式为 y=a(x+5)(x1)， 又抛物线与 y 轴交于 A 点，A(0，5)， 把 A(0，5)代入 y=a(x+5)(x1)，得 5=5a， a=1， 抛物线的表达式为 y=(x+5)(x1)=x 2+4x5 （2）A(0，5)，ADx
45、轴，点 E 关于 x 轴的对称点在直线 AD 上， 点 E 的纵坐标为 5，点 E 到直线 AD 的距离为 10 巩固 把 y=5 代入 y=x 2+4x5，得 5=x 2+4x5， 解得 x1=4，x2=0， D(4，5)，AD=5 SEAD= 1 2 410=20 （3）设直线 AB 的表达式为 y=kx+b， 把( 5,0)B 和 A(0，5)代入，得 50 5 kb b ， ， 解得 1 5 k b ， . 直线 AB 的表达式为 y=x5 设点 P 的坐标为(m，m 2+4m5)， 作 PQy 轴，交直线 AB 于点 Q，Q(m，m5) 点P是直线AB下方的抛物线上一动点， PQ=m
46、5(m 2+4m5)=m25m 设ABP的面积为 S， S=SAPQ+SBPQ= 1 2 (m 25m)(m)+1 2 (m 25m)(m+5)=5 2 (m+ 5 2 ) 2+125 8 ， 当 m= 5 2 时，S 最大， 即当点 P( 5 2 ， 35 4 )时，ABP面积最大，最大面积为125 8 2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数4 3 2 xy的图像与 x 轴和 y 轴分别相交于 A、B 两点。动 点 P 从点 A 出发，在线段 AO 上以每秒 3 个单位长度的速度向点 O 作匀速运动，到达点 O 停止运动。 点 A 关于点 P 的对称点为点 Q,以线段 PQ 为边向上作正方形 PQMN。设运动时间为 x 秒。 (1) 当 3 1 t秒
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