1、深圳高级中学深圳高级中学 20202021 学年学年高三高三 10 月月考月月考数学试题数学试题 一、一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分。分。在在每小题给出的每小题给出的四个四个选项中，选项中， 只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求，选对得，选对得 5 分，选错得分，选错得 0 分。分。 1设集合 2 |0Mx xx， |2Nx x，则MN ( ) A | 0 x x B |12xx C | 0 x x 或12x D |01xx 2已知i为虚数单位，则复数 1 3 1 i i 的虚部为（ ） A2 B2i C2 D2i
2、3设aR，则“1a ”是“直线 10axy 与直线50 xay平行”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4设向量, a b满足(3,1)ab，1a b ，则|ab（ ） A2 B 6 C2 2 D10 5在 6 2 2 x x 的二项展开式中， 2 x的系数为（ ） A 15 4 B 15 4 C 3 8 D 3 8 6已知函数( )(1)f xx x，则不等式 2 ()(2)0f xf x的解集为（ ） A( 2,1) B( 1,2) C( , 1)(2,) D(, 2)(1,) 7如图，双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的
3、左，右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F 作直线与 C 及其渐近线分别交于 Q，P 两点，且 Q 为 2 PF的中点若等腰三角形 12 PFF的底边 2 PF的长等于 C 的半焦距则 C 的离心率为（ ） A 22 15 7 B 4 3 C 22 15 7 D 3 2 8将函数sin2y x的图象向右平移（0 2 ）个单位长度得到( )yf x的图象若 函数 ( )f x在区间0, 4 上单调递增， 且 ( )f x的最大负零点在区间 5 , 126 上， 则的取 值范围是（ ） A , 6 4 B, 6 2 C, 12 4 D, 12 2 二二、多多项选择题项选择题：本题共本题共 4
4、小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 20 分。分。在在每小题给出的每小题给出的四个四个选项中，选项中， 有多有多项符合题目要求项符合题目要求。全部选对得。全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计， 得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、 “90 后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中正确的是（ ） 注：“90 后”指 1990 年及以后出生的人，“80 后”指 1980-1989 年之间出生的人，“80 前”指 1979 年及以前出生的人 A互联网行业从业人员中“90 后”
5、占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C互联网行业中从事运营岗位的人数“90 后”比“80 前”多 D互联网行业中从事技术岗位的人数“90 后”比“80 后”多 10对于实数 a，b，m，下列说法正确的是（ ） A若 22 ambm，则ab B若ab，则a a b b C若0ba，0m ，则 ama bmb D若0ab且ln lnab，则23,ab 11 已知函数 1 2 2log x f xx ， 且实数, ,0a b c abc满足 0f a f b f c 若 实数 0 x是函数 yf x的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（ ） A 0 xa B 0 x
6、a C 0 xb D 0 xc 12 已知函数 lnf xxx， 若 f x在 1 xx和 212 xxxx处切线平行， 则 （ ） A 12 111 2xx B 12 128x x C 12 32xx D 22 12 512xx 三三、填空题：本题共、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，其中分，其中 16 题第一个空题第一个空 2 分，第二个空分，第二个空 3 分。分。 13已知 5 cos 5 ，且 , 2 ，则tan2_ 14一组数据的平均数是 8，方差是 16，若将这组数据中的每一个数据都减去 4，得到一组新 数据，则所得新数据的平均数与方差的和是
7、_ 15已知直线:2l yx b与抛物线 2 :20C ypx p相交于A、B两点，且5AB ， 直线l经过C的焦点则p _，若M为C上的一个动点，设点N的坐标为(3,0)，则 MN的最小值为_ 16 已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个定点60ABC，2AC ，P 为球 O 的球 面上的动点，记三棱锥ABC的体积为 1 V，三棱锥OABC的体积为 2 V若 1 2 V V 的最大值 为 3则球 O 的表面积为_ 四四、解答题：共、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (10 分)请从下面三个条件中任选一个,补
8、充在下面的问题中，并解决该问题. 22 52bc ;ABC 的面积为3 15, 2 6ABAB BC 在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c. 已知 2bc ，A 为钝角， 15 sin 4 A . (1)求边 a 的长 (2)求 sin(2) 6 C 的值 18. (12 分) 已知等差数列 n a 的公差 0d ，若 6 11a ，且 2 a ， 5 a ， 14 a 成等比数列 （1）求数列 n a 的通项公式； （2）设 1 1 n nn b aa ，求数列 n b 的前n项和 n S 19 (12 分)如图所示， 在三棱柱 111 ABCABC中， 侧面 11 AB
9、B A是矩形， 2AB ， 1 2 2AA ， D是 1 AA的中点，BD与 1 AB交于O，且CO面 11 ABB A. （1）求证： 1 BCAB； （2）若OCOA，求二面角DBCA的余弦值. 20(12 分)如图，设点 A，B 的坐标分别为(3,0)，( 3,0)，直线 AP，BP 相交于点 P， 且它们的斜率之积为 2 3 （1）求 P 的轨迹方程； （2）设点 P 的轨迹为 C，点 M、N 是轨迹为 C 上不同于 A，B 的两点，且 满足 APOM，BPON，求MON 的面积 21(12 分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品 作检验，如检验出
10、不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验， 再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 (01)pp，且各件产品是否为不合格品相互独立 （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为( )f p,求( )f p的最大值点 0 p； （2） 现对一箱产品检验了20件， 结果恰有2件不合格品， 以 （1） 中确定的 0 p作为p的值 已 知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25元的赔偿费用 （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX; （ii）以检验费用与赔偿
11、费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 22. (12 分)已知 0a ，函数 ( )ln(1), ( ) x f xxa xg xe . （1） 经过原点分别作曲线 ( ),( )yf xyg x 的切线 12 ll、 ， 若两切线的斜率互为倒数， 证明： 2 11ee a ee ； （2）设 ( )(1)( )h xf xg x ，当 0 x 时， ( )1h x 恒成立，试求实数a的取值范围. 参考答案参考答案 1C 【解析】 【分析】 首先求得集合 M，然后进行交集运算即可. 【详解】 求解二次不等式 2 0 xx可得 |10Mx xx或， 结合交集的定义可得：
12、|0MNx x或12x. 本题选择 C 选项. 【点睛】 本题主要考查集合的表示方法，交集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力. 2A 【解析】 【分析】 先化简复数 z，然后由虚部定义可求 【详解】 1 311 324 1112 iiii iii 12i， 复数 13 1 i i 的虚部是2， 故选 A 【点睛】 该题考查复数代数形式的运算、复数的基本概念，属基础题 3A 【解析】 【详解】 【分析】 试题分析：若1a，则直线10axy 与直线50 xay平行，充分性成立；若直线 10axy 与直线50 xay平行，则 1a 或，必要性不成立 考点：充分必要性 4B 【解
13、析】 【分析】 由题意结合向量的运算法则求解其模即可. 【详解】 由题意结合向量的运算法则可知： 2 22 4314 16ababa b . 本题选择 B 选项. 【点睛】 本题主要考查向量的运算法则，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力. 5C 【解析】 【分析】 【详解】 因为 1r T 6 6 2 ()() 2 rrr x C x ,可得1r 时， 2 x的系数为 3 8 ，C 正确. 6D 【解析】 【分析】 判断出 f x的奇偶性与单调性，然后将不等式转化为 2 2f xfx，通过单调性变成 自变量的比较，从而得到关于x的不等式，求得最终结果. 【详解】 1f
14、 xx x 11fxxxx xf x f x为奇函数 当0 x时， 2 1f xx，可知 f x在0,上单调递增 f x在,0上也单调递增，即 f x为R上的增函数 2 20f xf x 2 2fxfx 2 2fxfx 2 2xx，解得：2x或1x 本题正确选项：D 【点睛】 本题考查利用函数单调性与奇偶性求解函数不等式的问题，解题关键在于将不等式转化为符 合单调性定义的形式，利用单调性转变为自变量的比较. 7C 【解析】 【分析】 先根据等腰三角形的性质得 12 QFPF，再根据双曲线定义以及勾股定理列方程，解得离心 率. 【详解】 连接 1 QF，由 12 PFF为等腰三角形且 Q 为 2
15、 PF的中点，得 12 QFPF，由 2 PFc知 2 2 c QF 由双曲线的定义知 1 2 2 c QFa， 在 12 Rt FQF中， 22 2 22 22 cc ac ， 222 84708470aaccee 22 15 7 e （负值舍去） 故选：C 【点睛】 本题考查双曲线的定义、双曲线的离心率，考查基本分析求解能力，属基础题. 8C 【解析】 【分析】 利用函数 sin()yAx 的图象变换规律，求得 ( )f x的解析式，再利用正弦函数的性质求得 的取值范围 【详解】 将函数sin2yx的图象向右平移（0 2 ）个单位长度得到( )sin(22 )yf xx 的图象 若函数 (
16、 )f x在区间0, 4 上单调递增，则2 2 ，且2 22 ， 求得0 4 令22xk，求得 2 k x ，Zk，故函数的零点为 2 k x ，kZ ( )f x的最大负零点在区间 5 , 126 上， 5 1226 k ， 5 12262 kk 由令1k ，可得 124 ， 故选：C 【点睛】 本题主要考查函数 sin()yAx 的图象变换规律， 正弦函数的性质综合应用， 属于中档题 9ABC 【解析】 【分析】 根据饼状图确定互联网行业从业人员中“90 后”占总人数比例，即可判断 A; 根据条形图确定互联网行业从业人员中“90 后”从事技术岗位的人数占总人数比例，即可判断 B; 根据条形
17、图确定互联网行业从业人员中“90 后”从事运营岗位的人数占总人数比例，根据饼状 图确定“80 前”的人数占总人数的比例,两者比较可判断 C; 根据条形图确定互联网行业从业人员中“90 后”从事技术岗位的人数占总人数的比例， 但“80 后” 中从事技术岗位的比例不可确定，即可判断 D. 【详解】 由题图可知，互联网行业从业人员中“90 后”占总人数的 56%，超过一半，A 正确； 互联网行业从业人员中“90 后”从事技术岗位的人数占总人数的56% 39.6%22.176%，超 过 20%，所以互联网行业从业人员（包括“90 后”“80 后”“80 前”）从事技术岗位的人数超过总 人数的 20%，
18、B 正确； 互联网行业从业人员中“90 后”从事运营岗位的人数占总人数的56% 17%9.52%， 超过“80 前”的人数占总人数的比例，且“80 前”中从事运营岗位的比例未知，C 正确； 互联网行业从业人员中“90 后”从事技术岗位的人数占总人数的56% 39.6%22.176%，小 于“80 后”的人数占总人数的比例，但“80 后”中从事技术岗位的比例未知，D 不一定正确 故选：ABC 【点睛】 本题考查饼状图与条形图，考查数据分析与判断能力，属基础题. 10ABCD 【解析】 【分析】 根据不等式性质可判断 A；分类讨论，并结合不等式性质判断 B;作差法判断 C;先根据对数性 质得 1
19、a b ， 再利用导数研究函数 1 21f aaa a 单调性， 最后根据单调性确定函数值 域，即可判断 D. 【详解】 对实数 a，b，m 222 0ambmmQ ，ab ，A 正确； ab，分三种情况，当0ab时，0a ab b； 当0ab时， 22 a aabb b= - -=； 当0ab时， 22 a aabb b=， a ab b成立，B 正确； 0ba，0m， 0 () am ba bmba mamaabbmabam bmbb bmb bmb bm ，C 正确； 若0ab，且lnlnab， 1 a b ，且1a 1 22aba a ， 设 1 21f aaa a ， 2 1 20
20、a fa ， f a在区间1,上单调递增， (1)3f af，即23,ab ，D 正确 故选：ABCD 【点睛】 本题考查根据不等式性质判断大小、利用作差法比较大小、利用单调性研究取值范围，考查 基本分析判断能力，属中档题. 11ABC 【解析】 【分析】 先判断 f x单调性，再根据积的符号分类讨论，结合示意图确定选择. 【详解】 由 12 2 2log2log xx f xxx ，可知函数 f x在区间0,上单调递增 因为实数 a，b，0c abc满足 0f a f b f c ， 则 f a， ( ) f b， f c可能都小于 0 或有 1 个小于 0，2 个大于 0， 如图则 A，B
21、，C 可能成立， 0 xc，D 不可能成立 【点睛】 本题考查函数单调性、函数零点，考查基本分析判断能力，属基础题. 12AD 【解析】 【分析】 先求导数，再根据导数几何意义得等量关系，即可判断 A；利用基本不等式可判断 BCD. 【详解】 由题意知 11 0 2 fxx xx ，因为 f x在 1 xx和 212 xxxx处切线平行，所 以 12 fxfx，即 12 12 1111 22xxxx ，化简得 12 111 2xx ，A 正确； 由基本不等式及 12 xx，可得 1212 11 2 11 2xxx x ，即 12 256x x ，B 错误； 1212 232xxx x，C 错误
22、； 22 1212 2512xxx x，D 正确 故选：AD 【点睛】 本题考查导数几何意义、基本不等式应用，考查基本分析求解与判断能力，属中档题. 13 4 3 【解析】 分析：根据cos的值得到tan的值，再根据二倍角公式得到tan2的值 详解：因此 5 cos 5 且 , 2 ，故tan2， 所以 2 224 tan2 3 12 ，故填 4 3 点睛：三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析： （1）看函数名的差异； （2） 看结构的差异； （3）看角的差异； （4）看次数的差异对应的方法是：弦切互化法、辅 助角公式（或公式的逆用） 、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角） 、升幂
23、降幂法 1420 【解析】 【分析】 根据新数据与原数据平均数与方差的关系直接求解,即得结果. 【详解】 因为原数据平均数是 8，方差为 16，将这组数据中的每一个数据都减去 4，所以新数据的平均 数为8 44 ，方差不变仍为 16，所以新数据的方差与平均数的和为 20 故答案为：20 【点睛】 本题考查新数据与原数据平均数与方差的关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 152 2 2 【解析】 【分析】 将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得p 的值，设点 00 ,M xy，可得 2 000 40yxx，利用两点间的距离公式结合二次函数的基 本性质可
24、求得MN的最小值. 【详解】 由题意知，直线:2l yxb，即2 2 b yx 直线l经过抛物线 2 :20C ypx p的焦点， 22 bp ，即bp 直线l的方程为2yxp 设 11 ,A x y、 22 ,B x y，联立 2 2 2 yxp ypx ，消去y整理可得 22 460 xpxp， 由韦达定理得 12 3 2 p xx， 又5AB ， 12 5 5 2 xppx，则2p ，抛物线 2 :4C yx 设 000 ,0M x yx ，由题意知 2 00 4yx， 则 2222 2 00000 334188xyxxMNx， 当 0 1x 时， 2 MN取得最小值8，MN的最小值为2
25、 2 故答案为：2；2 2. 【点睛】 本题考查利用抛物线的焦点弦长求参数，同时也考查了抛物线上的点到定点距离最值的求解， 考查了抛物线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.16 64 9 【解析】 【分析】 先求出ABC的外接圆半径，根据题意确定 1 2 V V 的最大值取法，再根据 1 2 V V 的最大值为 3，解 得球半径，最后根据球的表面积公式得结果. 【详解】 如图所示，设ABC的外接圆圆心为 1 O，半径为 r，则 1 OO 平面 ABC 设球 O 的半径为 R， 1 OOd，则 24 3 2 sinsin603 AC r ABC ，即 2 3 3 r 1 2 1 3 1 3 P
26、 ABCABC P ABC ABC hS hV Vd d S V V Q 所以当 P，O， 1 O三点共线时， 1 2 max 3 VRd Vd ，即2Rd 由 222 Rdr ，得 2 16 9 R ，所以球 O 的表面积 2 64 4 9 SR 故答案为： 64 9 【点睛】 本题考查三棱锥及其外接球的体积，考查空间想象能力以及基本分析求解能力，属中档题. 18 【解析】 （1）法法 1： 6 11a ， 1 511ad ， .1 分 2 a ， 5 a ， 14 a 成等比数列， 2 111 (4 )()(13 )adad ad ， 化简得 2 1 2da d ，.3 分 又因为 0d
27、.4 分【注：无此步骤，本得分点不得分【注：无此步骤，本得分点不得分】 且由可得， 1 1a ， 2d .5 分【注：只要算出【注：只要算出 2d 即可给分即可给分】 数列的通项公式是 21 n an .6 分 法法 2： 6 11a ， 2 a ， 5 a ， 14 a 成等比数列， 2 666 ()(4 )(8 )adad ad ， . 1 分 2 (11)(114 )(11 8 )ddd ，化简得 2 3366dd ， .3 分 又因为 0d .4 分【注：无此步骤，本得分点不得分【注：无此步骤，本得分点不得分】 得 2d .5 分 6 6 n aand1126n 数列的通项公式是 21
28、 n an .6 分 （2）由（1）得 1 11111 () (21)(21)2 2121 n nn b a annnn ， .9 分 12 111111 (1) 23352121 nn Sbbb nn 11 (1) 221n .11 分 21 n n 所以 21 n n S n .12 分 19 （1）详见解析； （2） 10 5 . 【解析】 【分析】 （1）推导出 DBAB1， 1 COAB，从而 AB1平面 BDC，由此能证明 AB1BC， （2）以 O 为坐标原点，OA，O 1 B，OC 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐 标系，利用向量法能求出二面角DBCA的余
29、弦值 【详解】 解： （1）由于侧面 11 ABB A是矩形，D是中点， 故 1 2 tan 2 AB B， 2 tan 2 ABD， 所以 1 AB BABD，又 11 90BABAB B， 于是 1 90BABABD， 1 BDAB，而CO面 1 ABB A，所以 1 COAB 1 AB 面BCD，得到 1 BCAB .4 分 （2）如图，建立空间直角坐标系，则 2 0,3,0 3 A ， 2 6,0,0 3 B ， 2 0,0,3 3 C ， 6 ,0,0 3 D .6 分 可以计算出面ABC的一个法向量的坐标为 1 1, 2,2n .9 分 而平面BCD的一个法向量为 2 0,1,0n
30、 .10 分 设二面角DBCA的大小为，则 12 12 10 cos 5 n n n n .12 分 【点睛】 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方 程思想，是中档题 20 （1） 22 13 32 xy x （2） 6 2 【解析】 【分析】 （1）直接法求动点轨迹方程：先设动点坐标，根据条件斜率之积为 2 3 列方程： 2 3 333 APBP yy kkx xx ，化简整理得标准方程 22 13 32 xy x ， 注意变形过程中的等价性，即纯粹性（2）解决解析几
31、何中定值问题，一般方法为以算代证， 即计算出MON的面积，由平行条件得斜率关系：由 2 3 APBP kk 得 2 3 OMON kk ，即得 坐标关系 12 12 2 3 y y x x ；设直线MN的方程x myt ，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得 2 1212 22 426 , 3232 mtt yyy y mm ，代入 12 12 2 3 y y x x 可得 22 223tm，而三角形面积可 表 示 为 22 12 2 24487211 2232 MON tm St yy m ， 将 22 223tm代 入 化 简 得 2 2 2 66 42 MON tt S t 【详解】 （1）
32、由已知设点P的坐标为, x y，由题意知 2 3 333 APBP yy kkx xx ， 化简得P的轨迹方程为 22 13 32 xy x .4 分 （2）证明：由题意MN、是椭圆C上非顶点的两点，且/ /,/ /APOM BPON， 则直线,AP BP斜率必存在且不为 0，又由已知 2 3 APBP kk 因为/ /,/ /APOM BPON，所以 2 3 OMON kk .5 分 设直线MN的方程为x myt ，代入椭圆方程 22 1 32 xy ，得 222 324260mymtyt ， 设,M N的坐标分别为 1122 ,x yx y，则 2 1212 22 426 , 3232 m
33、tt yyy y mm .7 分 又 2 1212 2222 121212 26 36 OMON y yy yt kk x xm y ymt yyttm ， 所以 2 22 262 363 t tm ，得 22 223tm .9 分 又 22 12 2 24487211 2232 MON ttm St yy m ， 所以 2 2 2 66 42 MON tt S t ，即MON的面积为定值 6 2 .12 分 考点：直接法求动点轨迹方程，圆锥曲线中定值问题 【思路点睛】 定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该 问题涉及的几何式转化为代数式或三角问
34、题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题 类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定 参数统消，定点、定值显现. 21 （1）0.1； （2） （i）490； （ii）应该对余下的产品作检验. 【解析】 【分析】 （1） 利用独立重复实验成功次数对应的概率， 求得 18 22 20 C1fppp， 之后对其求导， 利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意0 1p 的 条件； （2）先根据第一问的条件，确定出0.1p ，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应 用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时
35、候，就通过比较两个期望的大小， 得到结果. 【详解】 （1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为 18 22 20 C1fppp. 因此 181717 222 2020 C211812C11 10fpppppppp . 令 0fp ，得0.1p .当0,0.1p时， 0fp ；当0.1,1p时， 0fp . 所以 fp的最大值点为 0 0.1p ； （2）由（1）知，0.1p . （i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知180,0.1YB， 20 2 25XY ，即4025XY. 所以40254025490EXEYEY. （ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元. 由于400EX ，故应该对余下的产品作检验. 【点睛】 该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数 对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二 问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再 有就是通过期望的大小关系得到结论. 22
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