1、1 烟台 2019-2020 学年度第一学期期中学业水平诊断 高一数学高一数学 注意事项： 1.本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟。 2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3.使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰。超出 答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本大题共 13 小题，每小题 4 分，共 52 分。在每小题给出的四个选项中，第 1 10 题只有一项符合题目要求；第 1113 题有多项符合题目要求，全部选对的得 4 分， 选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。 1.已知集合1,2,3,4,5U
2、 ，=1,3,4A，=4,5B，则 ()= U AB A.3B.1,3C.3,4D.1,3,4 2.命题“x R， 2 1x ”的否定是 A.x R， 2 1x B.x R， 2 1x C.x R， 2 1x D.x R， 2 1x 3.设aR，则“0a ”是“ 2 0a ”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card( )A表示有限集合A中元素的个数.例 如， , , Ax y z，则card( )=3A.若非空集合,M N满足card()M card()N，且 MN，则下列说法错误 的是 A.MNMB.M
3、NNC.MNND.MN 5.设 1 0 2 x，则(1 2 )xx的最大值为 A. 1 9 B. 2 9 C. 1 8 D. 1 4 6.下面各组函数中表示同一个函数的是 A.( )f xx， 2 ( )()g xxB.( )f xx， 2 ( )g xx C. 2 1 ( ) 1 x f x x ，( )1g xxD.( ) x f x x ， 1,0, ( ) 1,0. x g x x 7.已知 2 31,0, ( ) 21,0, xx f x xx 若( )( 1)8f af，则实数a的值为 A.2B.2C.2D.3 8.若不等式 2 220mxmx 对一切实数x都成立，则实数m的取值范
4、围为 A.( 2,0) B.( 2,0C.(,0)D.(,0 9.某容器如右图所示，现从容器顶部将水匀速注入其中，注满为止. 记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为( )hf t，则( )hf t 2 的图象可能是 A.B.C.D. 10.已知函数( )f x是定义在R上的单调函数，(0,1)A，(2, 1)B是其图象上的两点，则不 等式(1)1f x的解集为 A.( 1,1)B.(, 1)(1,) C.(1,3)D.(,1)(3,) 11.下列结论正确的有 A.函数 0 ( )(1)1f xxx的定义域为( 1,1)(1,) B.函数( )yf x， 1,1x 的图象与y轴有且只有一个交点
5、 C.“1k ”是“函数( )(1) +f xkx k（k R）为增函数”的充要条件 D.若奇函数( )yf x在0 x 处有定义，则(0)=0f 12.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“=”作为等号使用，后来 英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不 等式的发展影响深远.若, ,a b c R，则下列命题正确的是 A.若0ab 且ab，则 11 ab B.若01a，则 3 aa C.若0ab，则 1 1 bb aa D.若cba且0ac ，则 22 cbab 13.我们把定义域为0,)且同时满足以下两个条件的函数 ( )f x称为“函数
6、”： （1）对任意的0,)x，总有( )0f x ； （2）若0 x ，0y ，则有()( )( )f xyf xf y成立，下列判断正确的是 A.若 ( )f x为“函数”，则(0)0f B.若 ( )f x为“函数”，则( )f x在0,)上为增函数 C.函数 0, ( ) 1, x g x x Q Q 在0,)上是“函数” D.函数 2 g( )+xxx在0, )上是“函数” 二、填空题：本大题共有 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分。 14.若函数 32 ( )(1)f xxbxx是定义在2 ,1aa上的奇函数，则ab. 15.设p：2x ，q：xa，若p是q的必要不充分条件，则
7、实数a的取值范围是 . 16.已知函数( )f x与( )g x的定义域相同，值域也相同，但不是同一个函数，则满足上述条 件的一组( )f x与( )g x的解析式可以为. 17.定义 max , ,0, ( , ) max , ,+0, aba bab f a b a ba b 其中max , a b表示, a b中较大的数.对 3 x R，设 2 ax， 2 2bxx ，函数( )( , )g xf a b，则 （1）( 1)=g ； （2）若 2 ( )()g xg x，则实数x的取值范围是. 三、解答题：本大题共有6个小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.（本
8、小题满分 13 分） 已知集合 | 42Axx ， 2 |450Bx xx， |11Cx mxm . （1）求AB； （2）若BC ，求实数m的取值范围. 19.（本小题满分 13 分） 已知函数 2 22 ( +1) 1 xx f x x . （1）求函数( )f x的解析式； （2）根据函数单调性的定义证明( )f x在(0,1)上单调递减. 20.（本小题满分 13 分） 某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动，经过调研得知：2019年9月份第x （130 x，x N）天的单件销售价格（单位：元） 20, 115, ( ) 50,1530, xx f x xx 第x天的销售量（单位：件
9、）( )g xmx（m为常数） ，且第20天该商品的销售收入 为600元（销售收入=销售价格销售量）. （1）求m的值； （2）该月第几天的销售收入最高？最高为多少？ 4 21.（本小题满分 13 分） 为打赢打好脱贫攻坚战， 实现建档立卡贫困人员稳定增收， 某地区把特色养殖确定为脱 贫特色主导产业， 助力乡村振兴.现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大 棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池， 其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养 殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为x米，如图所 示. （1）将两个养殖池的总面积y表示为x的函数，并
10、写出定义域； （2）当温室的边长x取何值时，总面积y最大？最大值是多少？ 22.（本小题满分 15 分） 已知二次函数 2 ( )f xaxbxc的图象过点(0,3)， 且不等式 2 0axbxc的解集 为 |13xx. （1）求( )f x的解析式； （2）若( )( )(24)g xf xtx在区间 1,2上有最小值2，求实数t的值； （3）设 2 ( )4h xmxxm，若当 1,2x 时，函数( )yh x的图象恒在( )yf x 图象的上方，求实数 m 的取值范围. 23.（本小题满分 15 分） 经过函数性质的学习，我们知道： “函数( )yf x的图象关于y轴成轴对称图形” 的充
11、要条件是“( )yf x为偶函数”. （1）若( )f x为偶函数，且当0 x 时，( )21f xx，求( )f x的解析式，并求 不等式( )(21)f xfx的解集； （2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题： “函数( )yf x 的图象关于直线xa成轴对称图形”的充要条件是“( + )yf x a为偶函数”.若函 数( )g x的图象关于直线1x 对称，且当1x 时， 2 1 ( )g xx x . （i）求( )g x的解析式； （ii）求不等式( )(31)g xgx的解集. 5 2019-20202019-2020 学年度第一学期期中学业水平诊断 高一数学参考答
12、案高一数学参考答案 一、选择题 1.B2.A3.A4.D5.C6. B7.C8.B9.D10.D11.BCD12.BC13.AD 二、填空题 14.015.2a 16.答案不唯一：如( )f xx，( )g xx ，xR 17.3,(0,1) 三、解答题 18.解： （1）由 2 450 xx，得5x 或1x .3 分 所以 |5Bx x 或1x . 所以 |5ABx x 或4x .6 分 （2）若BC ，则需 11 51 m m ，10 分 解得 4 0 m m ，12 分 故实数m的取值范围为0 , 4.13 分 19.解： （1）因为 22 22(1)1 (1) 11 xxx f x x
13、x ，2 分 所以 2 11 ( ) x f xx xx .4 分 （2）证明： 12 ,x x(0,1)，且 12 xx，6 分 有 1212 121212 121212 ()(1)111 ()()()()(1)= xxx x f xf xxxxx xxx xx x 9 分 因为 12 ,(0,1)x x ，所以 12 01x x， 12 10 x x ， 又由 12 xx，得 12 0 xx， 于是 1212 12 ()(1) 0 xxx x x x ，11 分 即 12 ()()0f xf x，所以 12 ( )()f xf x. 6 所以，函数 1 ( )=f xx x 在(0,1)上
14、单调递减.13 分 20.解:（1）当20 x 时，由(20) (20)(5020)(20)600fgm，2 分 解得40m .4 分 （2）当115x时，(20)(40)yxx.6 分 2 20800 xx 2 (10)900 x ， 故当10 x 时， max=900 y，8 分 当1530 x时，5040yxx10 分 2 902000 xx 2 (45)25x， 故当15x 时， max 875y.12 分 因为875900，故当第10天时，该商品销售收入最高为900元. 13 分 21.解:（1）依题意得温室的另一边长为 1500 x 米. 因此养殖池的总面积 1500 (3)(5)
15、yx x ，3 分 因为30 x ， 1500 50 x ，所以3300 x. 所以定义域为 |3300 xx.5 分 （2） 15004500 (3)(5)1515(+5 )yxx xx , 4500 151525x x ，7 分 1515300 1215，9 分 当且仅当 4500 5x x ，即30 x 时上式等号成立， 12 分 当温室的边长x为 30 米时，总面积y取最大值为1215平方米. 13 分 7 22.解： （1）由(0)3f，得3c ，1 分 又1和3是方程 2 =0axbxc 的两根， 所以3 c a ，4 b a . 解得1,4ab .3 分 因此 2 ( )43f
16、xxx.4 分 （2） 2 ( )( )(24)23g xf xtxxtx， 1,2x . 对称轴为xt，分情况讨论： 当1t 时，( )g x在1,2上为增函数， min 1242( )()g xgt， 解得1t ，符合题意；6 分 当12t 时，( )g x在 1, t上为减函数，( )g x在,2t上为增函数， 2 min 3()2)(g xg tt ， 解得1t ，其中1t 舍去；8 分 当2t时，( )g x在1,2上为减函数， min ( )2742g xgt, 解得 5 4 t ，不符合题意.9 分 综上可得，1t 或1t .10 分 （3）由题意，当 1,2x 时，( )( )
17、0h xf x恒成立.11 分 即 2 2 3 1 x m x ， 1,2x . 设 2 2 3 1 x y x ， 1,2x ，则 max my.12 分 令 2 xt，于是上述函数转化为 32 1 11 t y tt .13 分 因为 1,2x ，所以0,4t， 又 2 =1 1 y t 在0,4上单调递减，所以当0t 时， max 3y.14 分 于是实数m的取值范围是3m .15 分 23. 解： （1）设0 x ，则0 x ，则()=2 () 121fxxx ， 2 分 又( )f x为偶函数，所以( )= ()21f xfxx .3 分 8 所以 21,0, ( ) 21,0. x
18、x f x xx 4 分 因为( )f x为偶函数，且( )f x在0 +，上是减函数， 所以( )(21)f xfx等价于21xx，6 分 即 2 2 21xx，解得 1 3 x 或1x .7 分 所以不等式的解集是 1 | 3 x x 或1x .8 分 （2）因为g( ) x的图象关于直线1x 对称，所以( +1)yg x为偶函数， 所以(1)(1)gxgx，即( )(2)g xgx对任意xR恒成立.9 分 又当1x 时，21x， 所以 22 11 ( )(2)(2)4 +4+ 22 g xgxxxx xx .11 分 所以 2 2 1 ,1, ( ) 1 44,1. 2 xx x g x
19、 xxx x 12 分 任取 12 ,1,)x x ，且 12 xx，则 22 12121212 1212 111 ()()()()0g xg xxxxxxx xxx x ， 因为 12 xx，所以 12 0 xx，又 12 0 xx， 12 1 0 x x ， 所以 1212 12 1 ()0 xxxx x x ，即 12 ()()g xg x. 所以函数( )yg x在1,)上是增函数，13 分 又因为函数( )g x的图象关于直线1x 对称， 所以( )(31)g xgx等价于132xx，14 分 即 22 132xx，解得 13 24 x. 所以不等式的解集为 13 | 24 xx.15 分
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