1、 探索勾股定理 第 1 讲 适用学科 初中数学 适用年级 初二 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1、利用勾股定理求边长 2、勾股定理与面积关系 3、折叠问题 4、利用勾股定理解决实际 问题 5、验证勾股定理 教学目标 1、了解勾股定理的各种探究方法及内在联系 2、掌握勾股定理，能运用勾股定理. 教学重点 能运用勾股定理解决一些实际问题 教学难点 勾股定理的应用 【教学建议】【教学建议】 本节课的学习从探索发现开始， 要注重探索过程的循序渐进,注重理论与实际相结合,结合生活实例,深入 体会,认真观察与思考，并总结经验. 【知识导图】【知识导图】 探索勾股定理探索勾股定理
2、勾股定理的探索勾股定理的探索 勾股定理勾股定理 勾股定理的验证勾股定理的验证 教学过程 概 述 如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为 5cm、4cm、12cm，插吸管处的出口到相邻两边的 距离都是 1cm，为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在 3cm 至 5cm 间（包括 3cm 与 5cm，不计吸管粗细及出口的大小），则设计的吸管总长度 L 的范围是 _时才比较合适 探索活动一 特殊图形（等腰直角三角形） 在网格中建立等腰直角三角形，直接看出 A S 、 B S 、 C S (以小正方形的面积为单位 1) 问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗
3、？ A 的面积 B 的面积 C 的面积 A S + B S 的值 左 图 右 图 二、知识讲解 一、导入 考点 1 勾股定理的探索 学生通过观察，归纳发现： 结论结论 1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面 积积 意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边通过对特殊情形的探 究得到结论 1，为探究活动二作铺垫. 效果：1探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2通过探索发现， 让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望
4、. 探究活动二 内容：由结论 1 我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ 观察下面两幅图： （2）填表： A 的面积（单 位面积） B 的面积 （单位 面积） C 的面积 （单位 面积） A S + B S 的值 左图 右图 （3）你是怎样得到正方形 C 的面积的？与同伴交流（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯 定） 图 1 图 2 图 3 A B C C B A 学生的方法可能有： 方法一： 如图 1，将正方形 C 分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形， 13132 2 1 4 C S 方法二： 如图 2，在正方形 C 外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正
5、方形的面积减去四个直角三 角形的面积， 方法三： 如图 3，正方形 C 中除去中间 5 个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图 3 中两块红 色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法， A B C D （4）分析填表的数据，你发现了什么？ 学生通过分析数据，归纳出： 结论结论 2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积 意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质由于 正方形 C 的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流
6、环节. 效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形 C 的面积计算这一难点后得出结论 2. 议一议 内容：（1）你能用直角三角形的边长 AB C D EF ，b，c来表示上图中正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ （3）分别以 5 厘米、12 厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度2 中发现的规律对这 个三角形仍然成立吗？ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用用a，b，c分别表示分别表示直角三角形直角三角形的的两两 直角边直角边和和斜边，那么斜边，那么 222 cba 数学小史：
7、勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的 直角边称为勾， 较长的直角边称为股， 斜边称为弦， “勾股定理”因此而得名（在 西方文献中又称为毕达哥拉斯定理） 意图：议一议意在让学生在结论 2 的基础上，进一步发现直角三角形三边 关系，得到勾股定理. 效果：1让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力；2通过作图培养学生 弦 股 勾 考点 3 验证勾股定理 考点 2 勾股定理 的动手实践能力. 探索活动： 拼图验证. 准备的四个全等的直角三角形拼出正方形. 思考 1： 你能由图 1 表示大正方形的面积吗？ 能用两种方法吗？能由此得到勾股定理吗？ 2：你能由图 2 表示
8、大正方形的面积吗？能用两种方法吗？ 能由此得到勾股定理吗？ 3、请利用图 3 验证勾股定理 （简单说明：1881 年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观明了 图1 图 2 a a a a b b b b c c c c 图 3 的证明，就把这一证法称为“总统证法”） 4、利用四个全等的直角三角形拼图验证勾股定理你还有哪些方法？ 类型一 勾股定理的探索 如图，RtABC 中，C=90，若 AB=15cm，则正方形 ADEC 和正方形 BCFG 的面积和为（ ） A150 2 cm B200 2 cm C225 2 cm D无法计算 【解析】C 【总结与反思】结合勾股
9、定理的探索过程可知,以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于 以斜边为边长的正方形的面积. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长 为 7cm，则所有正方形的面积的和是（ ） 2 cm A、28 B、49 C、98 D、147 【解析】D 【总结与反思】以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积. 类型二 利用勾股定理求边长 在 RtABC 中，C90，a12，b16，则 c 的长为（ ） 三 、例题精析 例题 1 例题 2 例题 1 A.26 B.18 C.20 D.21 【解析】C 【总结
10、与反思】 本题考查的是勾股定理. 如图， 在四边形ABCD中， BAD=DBC=90， 若AD=4cm， AB=3cm， BC=12cm， 则四边形ABCD的面积 【解析】在 RtABD 中，BD=AD+AB=25,BD=5cm 在 RtCBD 中，CD=BD+BC=169,CD=13cm 四边形 ABCD 的面积= CBDABD SS =6+30=36cm 所以,四边形 ABCD 的面积为 36cm 【总结与反思】 本题考查的是勾股定理. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=12，BC=5，点 E 在 AB 上，将DAE 沿 DE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的 点 A处，则 AE
11、 的长为（ ） A、 3 10 B、3 C、5 D、 3 8 【解析】解：四边形 ABCD 是矩形，AB=CD=12，BC=AD=5, 在 RtABD 中，BD=AD+AB=169,BD=13. 由折叠可知,AD= AD=5,所以 AB=13-5=8 设 AE= AE=x，则 BE=12x，由勾股定理，得： 222 )12(8xx， 解得, x= 3 10 ,即 AE= 3 10 ,故 A. 【总结与反思】 本题考查的是勾股定理和折叠的综合应用. 类型三 勾股定理的验证 例题 1 例题 2 例题 3 数学实验室： 实验材料：硬纸板、剪刀、三角板 实验方法：剪裁、拼图、探索 实验目的：验证勾股定
12、理，拼图填空： 操作：剪裁出若干个全等的直角三角形，三边长分别记为 a、b、c，如图。 （1）拼图一：分别用 4 张直角三角形纸片，拼成如图、图的形状，观察图、图可发现，图中两 个小正方形的面积之和 图中小正方形的面积，（填“大于”“小于”“等于”）用关系式可表示为 （2）拼图二：用 4 张直角三角形纸片拼成如图的形状，观察图形可以发现，图中共有 3 个正方形，它们 的面积按大小顺序分别记为 小中大 ，SSS ， 其关系是 ， 用a、 b、 c可表示为 。 （3）拼图三：用 8 张直角三角形纸片拼成如图的形状，图中 3 个正方形的面积按大小顺序分别记为 小中大 ，SSS ，其关系是 ，用 a、
13、b、c 可表示为 。 【解析】试题分析：（1）利用图形的面积的差可用 a、b、c 分别表示出图中两个小正方形的面积之和与 图中小正方形的面积，然后移项合并同类项即可得出结论；（2）猜想： 小中大 SSS，然后用 a、b、c 分别表示出图中 3 个正方形的面积，化简即可；（3）猜想： 小中中大 S-SSS，然后用 a、b、c 分别表 示出图中 3 个正方形的面积，化简即可 试题解析：（1）等于， 222 cba （2） 小中大 SSS ， 222 cba （3） 小中中大 S-SSS 中小大 或SSS2 ， 222 cba 【总结与反思】本题主要考察面积法验证勾股定理. 1.一座建筑物发生了火灾
14、，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端 5 米，消防车的云梯最大升 长为 13 米，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是（ ） A12 米 B13 米 C14 米 D15 米 四 、课堂运用 基础 2.把直角三角形的两直角边均扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的( ) A8 倍 B4 倍 C2 倍 D6 倍 3.一直角三角形的斜边比一直角边大 4，另一直角边长为 8，则斜边长为（ ） A6 B8 C10 D12 4.若一个直角三角形的三边长分别为 a，b，c，且 a2=9，b2=16，则 c2 为（ ） A25 B7 C7 或 25 D9 或 16 5.如图，将三个大小不同的正方形如图放
15、置，顶点处两两相接，若正方形 A 的边长为 4，C 的边长为 3，则 B 的边长为 答案与解析答案与解析 1.【答案】A 【解析】勾股定理的应用 2【答案】C 【解析】本题主要考查勾股定理 3.答案】C 【解析】利用勾股定理求边长 4. C 【解析】本题主要考查勾股定理及分类讨论思想. 5. 【答案】5 【解析】勾股定理的探索 1.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为 800 cm2，则斜边长为 2.已知三角形 ABC 中C=90，AC=3，BC=4，则斜边 AB 上的高为 . 3.练习直角三角形的斜边为 20cm，两条直角边之比为 34，那么这个直角三角形的周长为（ ） A . 27cm
16、B. 30cm C. 40cm D. 48cm 答案与解析答案与解析 1.【答案】20cm 【解析】本题主要考查勾股定理的灵活应用 2.【答案】 5 12 【解析】本题主要考查勾股定理及直角三角形的面积. 3.D 【解析】本题在常规几何体的基础上增加了一些变化，主要考查勾股定理. 巩固 1.在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1，2，3，正放 置的四个正方形的面积依次是 1 S 2 S, 3 S, 4 S，则 4321 SSSS 2.已知 RtABC 中，C=90，a+b=14，c=10，则 RtABC 的面积是（ ） A、24 B、36 C、48
17、 D、60 3.如图，矩形 ABCD 中，AB12cm，BC24cm，如果将该矩形沿对角线 BD 折叠，那么图中阴影部分BDE 的 面积 cm2 答案与解析答案与解析 1.【答案】4 【解析】勾股定理探索的应用 2.【答案】A. 【解析】本题主要考查勾股定理及面积的综合应用 3.【答案】90 【解析】四边形 ABCD 是矩形，AB=CD=12CM，BC=AD=24CM，ADBC，A=90， EDB=CBDCBD 与CBD 关于 BD 对称，CBDCBD，EBD=CBD， EBD=EDB，BE=DE 设 DE 为 x，则 AE=24x，BE=x，由勾股定理，得： 222 2412xx）（，15x
18、，DE=15cm， SBDE=90 2 125 cm2故答案为：90 本节讲了 3 个重要内容： 探索勾股定理 五 、课堂小结 拔高 勾股定理 验证勾股定理. 本节课与生活实际联系紧密，需要教师授课过程中多结合生活实际，用循序渐进的方法，让学生有一个清 晰的认识. 1如图：一个长、宽、高分别为 4cm、3cm、12cm 的长方体盒子能容下的最长木棒长为（ ） A11cm B12cm C13cm D14cm 2.如图，有两棵树，一棵高 10m，另一棵高 4m，两树相距 8m一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树 尖，那么这只小鸟至少要飞行 m 3.已知直角三角形斜边长为 12 ，周长为 30 ，
19、则此三角形的面积为 . 答案与解析答案与解析 1.【答案】C 【解析】本题主要考查勾股定理的应用. 2.【答案】10 米 【解析】本题主要考查勾股定理的应用. 3.【答案】45 2 cm. 【解析】本题主要考查勾股定理及面积. 六 、课后作业 基础 巩固 六 、课后作业 1.已知ABC 中，ABAC，CDAB 于 D. （1）若A38，求DCB 的度数； （2）若 AB5，CD3，求 BC的长. 2.如图， 以等腰三角形 AOB 的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形 1 ABA， 再以等腰直角三角形 1 ABA 的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三角形 11BB A，如此作下去，若
20、 OA=OB=1，则第 n 个等腰直角三 角形的面积 n S = 3.如图所示， 直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为 1 S、 2 S、 3 S， 则 1 S、 2 S、 3 S的关系是 （ ） A、 1 S+ 2 S= 3 S B、 222 123 SSS C、 222 123 SSS D、 222 123 SSS 答案与解析答案与解析 1.【答案】（1）19; （2）10. B A C D 【解析】ABAC，A38，ACBB= 71 2 38180 ,又CDAB，A+ACD=90， ACD=52DCB=ACB-ACD=71-52=19； （2） ABAC， AB5， AC =5，
21、在 RtACD 中，435 2222 CDACAD,BD=AB-AD=5-4=1， 在 RtBCD 中，1031 22222 CDBDBC. 3.【答案】Sn=2n-1 【解析】本题主要考查勾股定理及类比探究. 4. 【答案】A 【解析】本题主要考查勾股定理. 1. 如图， 1.如图， 折叠长方形的一边AD使点D落在BC边的点F处， 已知AB = 8cm， BC = 10 cm， 则EC的长为 cm 2.等腰三角形的腰长是 10，一腰上的高为 6，则底边的平方为（ ） A40 B80 C40 或 360 D80 或 360 3.如图，在ABC 中，ABAC5，BC6，若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值是 答案与解析答案与解析 1. 【答案】3 【解析】本题主要考查勾股定理在折叠中的应用. 2.C 【解析】本题主要考查勾股定理及分类讨论思想. 3.答案】4.8 【解析】本题主要考查勾股定理及最值. 七 、教学反思 拔高
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