1、山东省实验中学山东省实验中学 202l202l 届高三第一次诊断考试届高三第一次诊断考试数学试题数学试题 202010 (本试卷共 6 页，22 题；全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟) 注意事项： 1答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题纸上 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 3非选择题的作答：用 0.5mm 黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效 第 I 卷(共 80 分) 一、单项选择题：本题包括 8 小题，每小题 5 分，
2、共 40 分，每小题只有一个选项符合题意 1已知全集UR，集合31 ,1MxxNx x，则阴影部分表示的集合是 A1,1 B3,1 C3, 1 D, 31, 2已知函数 log10,1 a f xxaaa 且，则“1a ”是“ 3f x在 ， 上是增函数”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五” 。 周髀算经中记录着商高同周公的一 段对话。商高说： “故折矩，勾广三，股修四，径隅五。 ”大意为“当直角三角形的两条直角边分别为 3(勾) 和 4(股)时，径隅(弦)则为 5” 。以后人们就把这个事实说
3、成“勾三股四弦五” ，根据该典故称勾股定理为商高 定理。勾股数组是满足 222 abc的正整数组 , ,a b c若在不超过 10 的正整数中，随机选取 3 个不同的 数，则能组成勾股数组的概率是 A 1 10 B 1 5 C 1 60 D 1 120 4已知函数 xx f xee (P 为自然对数的底数)，若 0.5 0.5 0.7,log0.7,ab 0.7 log5c ，则 A f bf af c B f cf bf a C f cf af b D f af bf c 5已知, 是两个不重合的平面，,m n是两条不重合的直线，则下列命题不正确的是 A若, / /mn mn，则 B若, /
4、 /mn，则mn C若/ / ,m，则/ /m D/ / ,/ /mn，则m与所成的角和n与所成的角相等 6.已知 3312 sin,sin 45413 ，则cos 4 A 5 13 B 12 65 C 16 65 D 56 65 7对于函数 f x，若在定义域内存在实数 0 x满足 00 fxf x，则称函数 f x为“倒戈函数” ， 设 31,0 x f xmmR m是定义在1,1上的“倒戈函数” ，则实数 m 的取值范围是 A. 2 ,0 3 B. 21 , 33 C. 2 ,0 3 D. ,0 8已知 22 111221212 ln20,262ln20=xxyxyMxxyy，记，则 A
5、M 的最小值为 2 5 BM 的最小值为 4 5 CM 的最小值为 8 5 DM 的最小值为16 5 二、多项选择题：本题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，每小题至少有两个选项符合题意，全对得 5 分， 漏选得 3 分，选错不得分 9新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试(以下称合格考)和选择性考试(以下称选择考)， 其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进 行排序，评定为 A，B，C，D，E 五个等级某试点高中 2019 年参加“选择考”的总人数是 2017 年参加“选 择考”的总人数的 2 倍，为了更好地分析该校学
6、生“选择考”的水平情况，现统计了该校 2017 年和 2019 年“选择考”的成绩等级结果，得到如下图表： 针对该校“选择考”情况，2019 年与 2017 年相比，下列说法正确的是 A获得 A 等级的人数减少了 B获得 B 等级的人数增加了 1.5 倍 C获得 D 等级的人数增加了了一半 D获得 E 等级的人数相同 10己知函数 2sin 20f xx，若将函数 f x的图象向右平移 6 个单位长度后，所得 图象关于原点对称，则下列结论中正确的是 A 6 B,0 6 是 f x图象的一个对称中心 C. 2f D 12 xf x 是图象的一条对称轴 11设函数 ln,0, 1 ,0, x xx
7、 f x exx 若函数 g xf xb有三个零点，则实数 b 可取的值可能是 A0 B 1 3 C 1 2 D1 12 已知边长为 2 的等边ABC， 点 D、 E 分别是边 AC、 AB 上的点， 满足 DEBC 且0,1 AD AC ， ADE将沿直线 DE 折到ADE的位置，在翻折过程中，下列结论成立 的是 A在边AE上存在点 F，使得在翻折过程中，满足 BF/平面ACD B 存在 1 0, 2 ， 使得在翻折过程中的某个位置， 满足平面ABC平 面 BCDE C若 1 2 ，当二面角ADEB 等于60时， 7 2 A B D在翻折过程中，四棱锥ABCDE 积的最大值记为 ,ff的最大
8、值为 2 3 9 第卷(非选择题，共 70 分) 三、填空题：本题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 2 sin2sin tan3, 1 cos2 则的值为_ 14一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，得 0 分的概率 , ,0,1c a b c，已 知他投篮一次得分的数学期望为 2，则 11 2ab 的最小值为_ 15已知定义在 R 上的函数 f x的周期为 4，当2,2x 时， 1 4 3 x f xx ， 则 33 log 6log 54ff_ 16 6 2 1 2x x 的展开式中，常数项是_；系数最大的项是_(本小题第一空 2 分，
9、 第二空 3 分) 四、解答题(本题包括 6 小题。共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17(10 分) 已知函数 1 1lnf xaxax x (1)当2a 时，求曲线 1yf xx在处的切线方程； (2)若0a，讨论函数 f x的单调性 18(12 分) 己知函数 sin0,0 2 f xxm 满足下列 4 个条件中的 3 个，4 个条件依次是： 3 2 ，周期T，过点0,0 3 32 f (1)写出所满足的 3 个条件的序号(不需要说明理由)，并求 f x的解析式 (2)求函数 f x的图像与直线1y 相邻两个交点间的最短距离 19(12 分) 近年来，国资委党委高度重
10、视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县 全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块 土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示： 并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示： (1)求 y 关于 x 的线性回归方程，(计算结果保留两位小数) (2)是否有 99.9的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性? 参考公式： 1 2 1 1 n ii i n i xxyy baybx xx ， 2 2 n adbc knabcd abcdacbd ，其中 临界值表： 20(12
11、 分) 如图四棱锥PABCD， 底面ABCD是等腰梯形， CDAB， AC平分BAD 且,ACBC PC平面 ABCD，平面 PAB 与平面 ABCD 所成角为 60 (1)求证：PABC (2)求二面角 DPAC 的余弦值 21(12 分) 公元 2020 年春， 我国湖北武汉出现了新型冠状病毒， 人感染后会出现发热、 咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员， 在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验为了研究小白鼠连续接种该疫苗后出 现 Z 症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验该试验的设计为： 参加试验的每只小白鼠每天接
12、种一次；连续接种三天为一个接种周期； 试验共进行 3 个周期 已知每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率均为 1 4 ，假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无 关 (1)若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率； (2)若某只小自鼠在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验设 一只小白鼠参加的接种周期数为 X，求 X 的分布列及数学期望 22(12 分) 已知函数 2 21 4ln3,4ln x f xxag xx x (1)求证： 2 1 1f xa x ； (2)用max, p q表示,
13、p q中的最大值，记 max,h xf x g x，讨论函数 h x零点的个数。 高三一诊数学试题参考答案 选择题答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C D A D A D BC ABC BCD CD 三、三、 填空题填空题 13. 1 3 ； 14.14. 9 2 15. 3 2 16. 60 ； 6 240 x 四四、解答题解答题 17.解(1)当 a2 时,f(x)2x1 xln x,f(x)2 1 x2 1 x,又 f(1)0,f(1)3, 所以曲线 f(x)在 x1 处的切线方程为 y3.4 分 (2)f(x)a1 x2 1a x ax
14、21ax1 x2 2 (1)(1)xax x (x0), 6 分 当 a0 时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增； 当1a0 时,f(x)在(0,1)和 1 a， 上单调递减,在 1，1 a 上单调递增； 当 a1 时,f(x)在(0,)上单调递减； 当 a1 时,f(x)在 0，1 a 和(1,)上单调递减,在 1 a，1 上单调递增.10 分 19.解：依题意： 123458 10 132524 3,16 55 xy 2 分 故 5 1 ()()( 2) ( 8)( 1) ( 6) 1 92 847 i xxyy 55 22 11 ()4 1 1410,()643698
15、1 64254 ii xxyy 4 分 则 1 2 1 47 0.19 254 n ii i n i i xxyy b xx 15.44 aybx y 关于x的回归方程为：y=0.19x+15.44 8 分 （2）依题意，女性不愿意参与管理的人数为 50 人9 分 计算得 2 k的观测值为 2 2 300 (150 5050 50)300 5000 5000 18.7510.828 200 100 200 100200 100 200 100 k 故有 99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性。 12 分 20.解 （1）证明：因为PC平面ABCD，所以PCBC. 又因为BCA
16、C，所以BC平面PCA， PA平面PCA,所以BCPA.4 分 （2）证明：等腰梯形ABCD中，设=BC. 因为BCAC且AC平分BAD， 所以 o 2=60CBA=CAB， 所以2AB=,3AC=. VDCA中CDAD, o =30DAC=DCA， 所以1CD.5 分 以C为原点， 以CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.(0,0,0)C, (1,0,0)B,(0, 3,0)A，(,0) D，(0,0, )Pa， 平面ABCD法向量 0= n（），设平面PAB法向量为 1= n （）x y z 有 1 1 =0 =0 n n uuu v uuu v PB AB ，
17、所以 1= n33 （）a a， o 12 2 31 cos60 =|cos|= 2 4+3 n n, a ， 所以 3 2 a（几何法求出也对应给分）8 分 平面PAC法向量 2= 1,0,0n（），平面PAD法向量 3= , ,n（）x y z， 3 3 =0 =0 n n uuu v uuu v PD PA ，所以 3= -3, 3,2n（）.10 分 23 33 |cos|= 4 9+3+4 n n,， 所以二面角DPAC的余弦值为 3 4 .12 分 21.解（1）已知每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率均为 1 , 4 每次试验间相互独立 ， 所以，一只小白鼠第一天出现 Z 症状的概率为 1 1 4 p 第二天出现 Z 症状的概率为 2 133 4416 p 22. 2 分 7 分 9 分 12 分
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