1、2020 年四川省达州市高考数学三诊试卷（文科）年四川省达州市高考数学三诊试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 Ax|1x1，Bx|lnx1，则 AB（ ） A（1，e B（0，1 C（0，e D（0，1） 2若复数为纯虚数，则 a 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 3已知命题 p：ab，命题 q：a2b2，p 是 q 的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 4函数 ysinx+cosx，xR 的单调递增区间是（ ） A B C D 5直线 l1：ax+2y+a0 与直线 l2：2x+aya0 互相平行，则实数 a（ ） A4
2、B4 C2 D2 6在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，E 是 AD 中点，在矩形 ABCD 内（包括边界）随机取一点 F，事件| |1 发生的概率为（ ） A B C D 7如图，S 是圆锥的顶点，AB 是底面圆的直径，ASBS，M 是线段 AS 上的点（不与端点 A，S 重合）， N 是底面圆周上的动点，则直线 BS 与 MN 不能（ ） A异面 B相交 C平行 D垂直 8若抛物线 x216y 的焦点到双曲线1（a0，b0）渐近线的距离是 2，则该双曲线的离心 率为（ ） A2 B C D 9在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，a2+bcb2+c2，asinB2csi
3、nA则 B（ ） A B C D 10 Sn是数列an的前 n 项和， an82n， 有且只有两个正整数 n 满足 Sn， 则实数 的取值范围是 （ ） A0，12） B（，12） C10，12） D8，10） 11SAB 是边长为 1 的正三角形，多边形 ABCDEF 是正六边形，平面 SAB平面 ABCDEF，若六棱锥 S ABCDEF 的所有顶点都在球 O 上，则球 O 的表面积为（ ） A B C5 D4 12如图，函数 f（x）sinx（0）的图象与它在原点 O 右侧的第二条对称轴 BC 相交于点 C，点 A 在 f（x）图象上，OBAC则 （ ） A B C D 二、填空题：本题共
4、 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13计算lg2lg5 14设 x，y 满足约束条件则 2x+y 的最大值是 15 2020 年 4 月 16 日， 某州所有 61 个社区都有新冠病毒感染确诊病例， 第二天该州新增这种病例 183 例 这 两天该州以社区为单位的这种病例数的中位数，平均数，众数，方差和极差 5 个特征数中，一定变化的 是 （写出所有的结果） 16已知 f（x）x3+ax+a+1 是奇函数，g（x），若 g（x）bx 恒成立，则实数 b 的取值范围是 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、
5、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17已知数列an的通项公式为 an （1）求写出数列an的前 6 项； （2）求数列an前 2n 项中所有奇数项和 S奇与所有偶数项和 S 偶 18设点 P，Q 的坐标分别为，直线 PM，QM 相交于点 M，且它们的斜率分别 是 k1，k2，k1k2 （1）求点 M 的轨迹 C 的方程； （2） 与圆 x2+y22 相切于点 （1， 1） 的直线 l 交 C 于点 A， B， 点 D 的坐标是 （2， 0） ， 求|AB|+|AD|+|BD| 19已知 M，N 是平面 ABC 两侧的点，三棱锥 MABC 所有棱长是 2，AN，NBN
6、C如图 （1）记过 A，M，N 的平面为 ，求证：平面 ABC； （2）求该几何体的体积 V 20某城市 9 年前分别同时开始建设物流城和湿地公园，物流城 3 年建设完成，建成后若年投入 x 亿元， 该年产生的经济净效益为（2lnx+5）亿元；湿地公园 4 年建设完成，建成后的 5 年每年投入见散点图公 园建成后若年投入 x 亿元，该年产生的经济净效益为（x+3）亿元 （1） 对湿地公园， 请在 xkn+b， xkn2+b 中选择一个合适模型， 求投入额 x 与投入年份 n 的回归方程； （2）从建设开始的第 10 年，若对物流城投入 0.25 亿元，预测这一年物流城和湿地公园哪个产生的年经
7、济净效益高？请说明理由 参考数据及公式： 0.336，6.22， 当 tn2时； 11，979， 回归方程中的 29.7；回归方程 s+ 斜率与截距 ， 21已知函数 f（x）2x+cosxa（aR） （1）求证：f（x）是增函数； （2）讨论函数 g（x）x2ax+sinx 的零点个数 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选 修 4-4：坐标系与参数方程 22以直角坐标系 xOy 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 2 2cos22sin+10 （1）求曲线 C 直角坐标方程； （2）
8、射线 与曲线 C 相交于点 A，B，直线 l：（t 为参数）与曲线 C 相交于点 D，E， 求|AB| |DE| 选修 4-5：不等式选讲 23设 f（x）|x+1|x3| （1）对一切 xR，不等式 f（x）m 恒成立，求实数 m 的取值范围； （2）已知 a0，b0，f（x）最大值为 M，（2a+b）M2ab，且 4a2+b2128，求证：2a+b16 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合 Ax|1x1，Bx|lnx1，则 AB（ ） A（1，e B（0，1 C（0，e D（0，1） 【分析】
9、可以求出集合 B，然后进行交集的运算即可 解：Ax|1x1，Bx|0 xe， AB（0，1） 故选：D 2若复数为纯虚数，则 a 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解 解：为纯虚数， ，即 a1 故选：A 3已知命题 p：ab，命题 q：a2b2，p 是 q 的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断 解：当 a0，b1 时，满足 ab，但 a2b2不成立 若 a6，b1 时满足 a2b2，但 ab 不成立 故选
10、：D 4函数 ysinx+cosx，xR 的单调递增区间是（ ） A B C D 【分析】将函数解析式提取，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正 弦函数，由正弦函数的单调递增区间为2k，2k+，kZ，列出关于 x 的不等式，求出不等式 的解集即可得到函数的单调递增区间 解：ysinx+cosx（sinx+cosx）sin（x+）， 令 2kx+2k+，kZ，解得：6kx2k+，kZ， 故选：B 5直线 l1：ax+2y+a0 与直线 l2：2x+aya0 互相平行，则实数 a（ ） A4 B4 C2 D2 【分析】根据两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比
11、，求得 a 的值 解：直线 l1：ax+2y+a0 与直线 l2：2x+aya6 互相平行， a0，且， 故选：D 6在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，E 是 AD 中点，在矩形 ABCD 内（包括边界）随机取一点 F，事件| |1 发生的概率为（ ） A B C D 【分析】首先求出平面的各个面积，进一步求出概率 解：矩形 ABCD 中，AB1，AD2，E 是 AD 中点，在矩形 ABCD 内（包括边界）随机取一点 F，事件 |1 即：，如图所示： 所以 故选：A 7如图，S 是圆锥的顶点，AB 是底面圆的直径，ASBS，M 是线段 AS 上的点（不与端点 A，S 重合）， N 是底面圆
12、周上的动点，则直线 BS 与 MN 不能（ ） A异面 B相交 C平行 D垂直 【分析】由题意结合异面直线的定义判断 A；取 N 与 B 重合判断 B；取 N 与 A 重合判定 D，可知直线 BS 与 MN 不能平行 解：当 N 不与 A 或 B 重合时，SB 是平面 SAB 内的一条直线， MN 是平面 SAB 外的一条直线，且 M 不在 SB 上，可知 BS 与 MN 异面； 当 N 与 A 重合时，可知 SB 与 MN 垂直 故选：C 8若抛物线 x216y 的焦点到双曲线1（a0，b0）渐近线的距离是 2，则该双曲线的离心 率为（ ） A2 B C D 【分析】求出抛物线的焦点坐标，利
13、用已知条件列出方程，求解双曲线的离心率即可 解：抛物线 x216y 的焦点（0，4）到双曲线 1（a0，b0）的一条渐近线 bx+ay5 的距离 是 2， 可得：， 故选：B 9在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，a2+bcb2+c2，asinB2csinA则 B（ ） A B C D 【分析】化简已知等式可得 b2+c2a2bc，由余弦定理可得 cosA，结合范围 A（0，），可求 A ， 由正弦定理可得 b2c， 进而由已知可求 ac， 利用余弦定理可求 cosB0， 结合范围 B （0， ），可求 B 的值 解：在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，
14、a2+bcb2+c2， b4+c2a2bc， A（0，）， asinB2csinA， 由 b2+c2a6bc，可得 4c2+c2a32c2，可得 a c， B（0，）， 故选：D 10 Sn是数列an的前 n 项和， an82n， 有且只有两个正整数 n 满足 Sn， 则实数 的取值范围是 （ ） A0，12） B（，12） C10，12） D8，10） 【分析】由题意可得数列an为首项为 6，公差为2 的等差数列，运用等差数列的求和公式，以及不等 式成立的条件，讨论 的取值范围，可得所求结论 解：由 an82n，可得数列an为首项为 6，公差为2 的等差数列， 则 Snn（6+82n）n（7
15、n）， 若 0 时，Sn8 的正整数有 6 个；若 8 时，Sn8 的正整数有 4 个； 若 10 时，Sn10 的正整数有 6 个； 故选：C 11SAB 是边长为 1 的正三角形，多边形 ABCDEF 是正六边形，平面 SAB平面 ABCDEF，若六棱锥 S ABCDEF 的所有顶点都在球 O 上，则球 O 的表面积为（ ） A B C5 D4 【分析】 利用球的截面的性质： 球心在截面圆中的射影是截面的外心， 求得球心的位置， 利用线面垂直、 面面垂直的性质作出有关线段关系的判定， 进而计算得到球的半径， 然后利用球的表面积公式计算即可 解：如图所示，外接球的球心 O 在底面内的射影为
16、O1，在面 SAB 内的射影为中心 O2， 连接 OO1，OO2，SO8交 AB 于 M，则 M 为 AB 的中点， 因为平面 SAB平面 ABCDEF，平面 SAB平面 ABCDEFAB，SMAB， 又因为 OO1平面 ABCDEF，所以 SMOO1， 外接球的半径 R 满足 R272+， 故选：B 12如图，函数 f（x）sinx（0）的图象与它在原点 O 右侧的第二条对称轴 BC 相交于点 C，点 A 在 f（x）图象上，OBAC则 （ ） A B C D 【分析】根据正弦函数的周期性，可得点 C 的坐标，设点 B 的坐标为（，yB），由可得 点 A 坐标，代入函数 f（x）的解析式，求
17、出 yB的值，然后根据0，代入所得数据，即可得 的 值 解：函数 f（x）sinx（0）的最小正周期 T，点 C（，）， BCx 轴，可设点 B 的坐标为（，yB）， 将其代入 f（x）sinx，有yBsin（），yB 故选：B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13计算lg2lg5 0 【分析】根据分数指数幂的运算性质及对数运算性质及对数恒等式进行化简即可求解 解：lg2lg52lg（25）3210 故答案为：0 14设 x，y 满足约束条件则 2x+y 的最大值是 10 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到 z 的最大值 解：作出 x，y 满足
18、约束条件对应的平面区域，如图： 由 z2x+y 得 y2x+z， 由，解得 A（3，2） 故答案为：10 15 2020 年 4 月 16 日， 某州所有 61 个社区都有新冠病毒感染确诊病例， 第二天该州新增这种病例 183 例 这 两天该州以社区为单位的这种病例数的中位数，平均数，众数，方差和极差 5 个特征数中，一定变化的 是 平均数 （写出所有的结果） 【分析】由题意结合中位数、平均数、方差、众数和极差的概念，逐个检验即可得解 解： 中位数表示将一组数据有序排列， 处于中间位置的那个数或两个数的平均数， 该州新增这种病例 183 例，但各社区的数据变化不明确，所以中位数不一定发生变化；
19、 平均数是一组数据中所有数据之和除以数据个数，该州新增这种病例 183 例，数据之和增加，但数据个 数依然为 61，所有平均数一定发生变化； 方差是各个数据与其平均数的差的平方和的平均数，该州新增这种病例 183 例，但各社区的数据变化不 明确，所以方差不一定发生变化； 故答案为：平均数 16已知 f（x）x3+ax+a+1 是奇函数，g（x），若 g（x）bx 恒成立，则实数 b 的取值范围是 1，0 【分析】由 f（x）为奇函数，可得 a1，求得 g（x）的解析式，分别考虑 x0，x0，x0，由 g（x） bx 恒成立，运用参数分离和构造函数，由二次函数的性质和导数判断单调性，可得所求范围
20、 解：f（x）x3+ax+a+1 是奇函数，可得 f（x）+f（x）0， 即为 x2ax+a+1x3+ax+a+40， 则 f（x）x3x， 当 x0 时，g（0）0，g（x）bx 成立； 由x211，可得 b1； 设 h（x），h（x）， 可得 m（x）在（0，+）递减，即有 m（x）m（8）0， 当 x+，h（x）0，且 h（x）0，可得 b0， 故答案为：1，0 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17已知数列an的通项公式为 an （1）求
21、写出数列an的前 6 项； （2）求数列an前 2n 项中所有奇数项和 S奇与所有偶数项和 S 偶 【分析】（1）直接由数列的通项公式求解数列的前 6 项； （2） 由数列通项公式可得， a2n2n+6， 可得a2n1是首项为， 公比为的等比数列， a2n是首项为 4，公差为2 的等差数列，再由等差数列与等比数列的前 n 项和公式求解 解：（1）由， 知：，a24，a42，a60； 得，a2n2n+6， ， 18设点 P，Q 的坐标分别为，直线 PM，QM 相交于点 M，且它们的斜率分别 是 k1，k2，k1k2 （1）求点 M 的轨迹 C 的方程； （2） 与圆 x2+y22 相切于点 （1
22、， 1） 的直线 l 交 C 于点 A， B， 点 D 的坐标是 （2， 0） ， 求|AB|+|AD|+|BD| 【分析】（1）表示 k1k2，整理即可得到 C 的方程； （2）作出图象，得到切线 l 的方程，可得|AB|+|AD|+|BD|4a 解：（1）设点 M 的坐标为（x，y）， 由题意得，k1k2 ， 即 切线 l 斜率为 1， l 与 x 轴的交点坐标是（2，6），是轨迹 C 的左焦点 所以，根据椭圆的性质，|AB|+|AD+|BD|2a+2a4a8 19已知 M，N 是平面 ABC 两侧的点，三棱锥 MABC 所有棱长是 2，AN，NBNC如图 （1）记过 A，M，N 的平面为
23、 ，求证：平面 ABC； （2）求该几何体的体积 V 【分析】（1）取 BC 中点 D，连接 MD，AD，ND，证明 BC平面 AMD，得 BCAM，同理证明 BC AN，可得 BC，进一步得到平面 平面 ABC； （2）由三棱锥 MABC 的所有棱长为 2，分别求出三角形 AMD 与三角形 AND 的面积，再由棱锥体积 公式求解 【解答】（1）证明：取 BC 中点 D，连接 MD，AD，ND， MBMC，MDBC， 又 ADMDD，BC平面 AMD，则 BCAM， AM、AN 确定平面 ，BC， （2）解：三棱锥 MABC 的所有棱长为 2， 在NBC 中，NBNC，BC2，ND 该几何体的
24、体积 V 20某城市 9 年前分别同时开始建设物流城和湿地公园，物流城 3 年建设完成，建成后若年投入 x 亿元， 该年产生的经济净效益为（2lnx+5）亿元；湿地公园 4 年建设完成，建成后的 5 年每年投入见散点图公 园建成后若年投入 x 亿元，该年产生的经济净效益为（x+3）亿元 （1） 对湿地公园， 请在 xkn+b， xkn2+b 中选择一个合适模型， 求投入额 x 与投入年份 n 的回归方程； （2）从建设开始的第 10 年，若对物流城投入 0.25 亿元，预测这一年物流城和湿地公园哪个产生的年经 济净效益高？请说明理由 参考数据及公式： 0.336，6.22， 当 tn2时； 1
25、1，979， 回归方程中的 29.7；回归方程 s+ 斜率与截距 ， 【分析】 （1）根据散点图，应该选择模型 xkn2+b 模型，利用公式求出 ， s再代入模型可得投入额 x 与投入年份 n 的回归方程； （2）根据题意可得第 10 年的年经济净效益为 2ln0.25+554ln2 亿元；与回归方程的第 10 年的投入估 计值 0.0362+0.0061.086 亿元比较， 因为 4.08654ln2， 可得该年湿地公园产生的年经济净效益高 解：（1）根据散点图，应该选择模型 xkn2+b 令 tn2，则 ， 所以，所求回归方程是，即 即物流城第 10 年的年经济净效益为 2ln4.25+5
26、54ln2 亿元； 该年的经济效益为 1.086+37.086 亿元 所以，该年湿地公园产生的年经济净效益高 21已知函数 f（x）2x+cosxa（aR） （1）求证：f（x）是增函数； （2）讨论函数 g（x）x2ax+sinx 的零点个数 【分析】（1）根据导数符号判断单调性； （2）计算 g（x）的最小值 g（x0），讨论 g（x0）的符号，利用函数零点的存在性定理判断零点个数 【解答】（1）证明：f（x）2sinx0， f（x）是增函数 当 x时，g（x）g（）1+cosx0，当 x时，g（x）g（）1+cosx 0， 故当 xx0时，g（x）8，当 xx0时，g（x）0， gmin
27、（x）g（x0）x42ax0+sinx0 x02x2cosx 0+sinx0， 当 x0 时，h（x）0，当 x0 时，h（x）5， hmax（x）h（0）0， 当 x05 即 a1 时，gmin（x）0， 当 x或 x时，g（x）x2ax+sinx1+sinx0， 综上，当 a8 时，g（x）有 1 个零点， 当 a1 时，g（x）有 2 个零点 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选 修 4-4：坐标系与参数方程 22以直角坐标系 xOy 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 2 2c
28、os22sin+10 （1）求曲线 C 直角坐标方程； （2）射线 与曲线 C 相交于点 A，B，直线 l：（t 为参数）与曲线 C 相交于点 D，E， 求|AB| |DE| 【分析】（1）将 cosx，siny 代入曲线 C 的极坐标方程，即可得到曲线 C 的直角坐标方程； （2）把 代入曲线 C 的极坐标方程， 得到关于 的一元二次方程， 利用根与系数的关系求解|AB|， 把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，得到关于 t 的一元二次方程，再由根与系数的关系及 此时 t 的几何意义求解|DE|，则|AB| |DE|可求 解：（1）将 cosx，siny 代入方程 22cos2
29、2sin+60，得 2x28y+10 曲线 C 的直线坐标方程是 2x22y+10，即； 在方程 22cos22sin+12 中，令，得， ，1 82， 设点 D，E 在直线 l 中对应该的参数分别是 t1，t2， ，t1t26 |AB| |DE|12 选修 4-5：不等式选讲 23设 f（x）|x+1|x3| （1）对一切 xR，不等式 f（x）m 恒成立，求实数 m 的取值范围； （2）已知 a0，b0，f（x）最大值为 M，（2a+b）M2ab，且 4a2+b2128，求证：2a+b16 【分析】（1）取得绝对值符号，化简函数的解析式，结合函数的图象，求解函数的最小值，然后求解 m 的范围即可 （2）求出函数的最大值，得到 M，利用基本不等式求解 4a2+b2128 时，求出 a、b 值，然后证明结果 解：（1）函数的图象如图： 函数的最小值为：4， （2）证明：由（1）知，M4 ，等号在 b2a，且， ，等号在 b2a，且， 综上所述，2a+b16
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