1、15.3 分式方程,第一课时,第二课时,第一课时,分式方程,一艘轮船在静水中的最大航速为20 km/h,它沿江以最大航速顺流航行100 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等,江水的流速为多少?,解:设江水的流速为 v km/h， 根据题意，得,这样的方程与以前学过的方程一样吗？,1.了解分式方程的概念,2.会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想,3.了解解分式方程根需要进行检验的原因,为要解决导入中的问题，我们得到了方程 仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？,分式方程的概念,分母中都含有未知数,分式方程的概念： 分母中含有未知数
2、的方程叫做分式方程 分式方程的特征：分母中含有未知数.,注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中,1.下列式子中，属于分式方程的是 ，属于整式方程的是 （填序号）,（2）,（1）,（3）,总结： 这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程,你能试着解分式方程 吗？,解分式方程,问题1：,（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？ （4）这样做的依据是什么？,（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了 （2）利用等式的性质，可以在方程两边都乘同一个式子各分母的最
3、简公分母,例解分式方程,即,解得,则得到，,方程两边同乘各分母的最简公分母,检验：把v=6代入分式方程得： 左边= 右边= 左边=右边，所以v=6是原方程的解.,追问：,解分式方程：,是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解,问题3：,追问2：,原因： 在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0,检验的方法主要有两种： （1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等； （2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0,问题4：,基本思路：将分式方程化为整式方程. 一般步骤： （1）去分母；（2）解整式方程
4、；（3）检验,注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验,2.指出下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后得到的整式方程.,解：最简公分母2x(x+3)，去分母得x+3=4x；,最简公分母x21，去分母得2(x+1)=4；,例1解下列方程：,解分式方程,解：方程的两边同乘以x(x2)， 得2x=3x6 解得：x=6 检验：当x=6时，x（x2）0. 所以，原方程的解是x=6.,3.解下列方程：,解：方程的两边同乘以2x(x+3)， 得(x+3)=4x 解得：x= 1 检验：当x=1时，2x（x+3）0. 所以，原方程的解是x=1.,例2 解方程,解：方程两边同乘
5、 得 =3. 化简，得 =3. 解得 =1. 检验：当 =1时， =0， 因此x =1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解.,解含有整式项的分式方程,解分式方程的一般步骤:,1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4.写出原方程的解.,解分式方程的思路：,分式方程,整式方程,去分母,一化二解三检验,解分式方程的一般步骤：,分式方程,整式方程,x=a,x=a是分式方程的解,x=a不是分式方程的解,最简公分母不为0,最简公
6、分母为0,去分母,解整式方程,检验,4.解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ）,A. 2(x8)+5x=16(x7) B. 2(x8)+5x=8 C. 2(x8)5x=16(x7) D. 2(x8)5x=8,解析：原方程可以变形为 ，两边都乘以2（x7）得2(x8)+5x=82(x7),即2(x8)+5x=16(x7).,A,易错易混点拨：,(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘,(2)约去分母后，分子是多项式时， 没有添括号(因分数线有括号的作用）,(3)把整式方程的解代入最简公分母后的值为0，不舍掉.,方法点拨,1.分式方程 + + =1的解是（） Ax=1Bx=1Cx=3Dx=3,
7、A,2.关于x的分式方程 + = 解为x=4，则常数a的值为（ ） Aa=1Ba=2Ca=4Da=10,D,1.若关于x的分式方程 = 的解为x=2，则m的值为（） A5 B4 C3 D2,B,2.方程 = + 的解为（） Ax=1 Bx=0 Cx= Dx=1,D,已知关于x的方程 有增根，求该方程的增根和k的值.,解：去分母，得3x+3（x1）=x2+kx， 整理，得x2+（k2）x4=0. 因为有增根，所以增根为x=0或x=1. 当x=0时，代入方程得4=0，所以x=0不是方程的增根； 当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时,方程有增根x=1.,解方程:,解：方程可化为：,得,解得x
8、=3， 经检验：x=3是原方程的根.,解分式方程,整式方程,x=a,x=a是分式方程的解,x=a不是分式方程的解,最简公分母不为0,最简公分母为0,去分母,解整式方程,检验,分式方程,定义,分母中含有未知数的方程叫做分式方程.,第二课时,列分式方程解应用题,1.解分式方程的一般步骤.,(1) 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. (2)解这个整式方程. (3) 把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去. (4)写出原方程的根.,利用分式方程可以解决生活中的实际问题吗？,1.能找出实际问题中的等量关系，熟练地列出相应的方程.,
9、2.会解含有字母系数的分式方程.,3.知道列方程解应用题为什么必须验根，掌握解题的基本步骤和要求.,甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？,请审题分析题意设元,列分式方程解应用题的步骤,解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x6）个零件，依题意得：,经检验,x=18是原分式方程的解,且符合题意.,答：甲每小时做18个，乙每小时做12个.,由x18,得x6=12,解得,列分式方程解应用题的一般步骤：,1. 审:分析题意,找出数量关系和相等关系. 2. 设:选择恰当的未知数,注意单位统一. 3.
10、列:根据数量和相等关系,正确列出方程. 4. 解:解这个分式方程. 5. 验:检验.既要检验所求的解是不是分式方程的解，又要检验是否符 合实际意义. 6. 答:注意单位和语言完整.,例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快?,分析:,甲队1个月完成总工程的 ,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 ,那么甲队半个月完成总工程的_,乙队半个月完成总工程的_,两队半个月完成总工程的_ .,利用分式方程解答工程问题,解:,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 .依题意得,方程两边同乘6x,得
11、2x+x+3=6x， 解得 x=1.,检验:x=1时，6x0,x=1是原分式方程的解.,答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务, 而甲队1个月完成总工程的 ,可知乙队施工速度快.,1. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1 200件新产品进行精加工后再投放市场，现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍. 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？,解：设甲工厂每天加工x件产
12、品，则乙工厂每天加工 1.5x件产品，依题意得 ， 解得：x=40. 经检验x=40是原方程的解，所以1.5x=60. 答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品.,s km所用的时间为 h；提速后列车的平均速度为 km/h，提速后列车运行 km，所用时间为 h. 根据行驶时间的等量关系可以列出方程:,例2 某列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？,解：设提速前列车的平均速度为x km/h，则提速前列车行驶,（s+50）,利用分式方程解答行程问题,（x+v）,去分母得：s(x+v)=x (s+50
13、) 去括号，得sx+sv=sx+50 x. 移项、合并同类项，得 50 x=xv. 解得 检验：由于v，s都是正数， 时，x（x+v）0， 是原分式方程的解. 答：提速前列车的平均速度为 km/h.,2.八年级学生去距学校s km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了t h后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达已知汽车的速度是学生骑车速度的2倍，求学生骑车的速度,解：设学生骑车的速度是x km/h，由题意得，,方程两边同乘2x，得 2s s =2tx.,解得 x = ,检验：由于s，t 都是正数， x = 时，2x0，,所以，x = 是原分式方程的解，且符合题意.,答：学生骑车的速度是
14、km/h,例3 关于x的方程 无解,求k的值.,利用分式方程的根求字母的值或取值范围,解：方程的两边同时乘(x+3)(x3)得x+3+kx3k=k+3 整理得:(k+1)x=4k ,因为方程无解,则x=3或x = 3 当x=3时,(k+1) 3=4k,k=3, 当x= 3时,(k+1)(3)=4k, 所以当k=3或 时,原分式方程无解.,3.如果关于x的方程 无解,则m的值等于（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 3,B,解析:方程的两边都乘x3,得2=x3m,移项并合并同类项得,x=5+m，由于方程无解,此时x=3,即5+m=3, m = 2.,甲、乙两船从相距300km的A、B两地同
15、时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（） A + = B = + C + = D = ,A,1. 下列方程中属于分式方程的有（ ）; 属于一元分式方程的有（ ）. x2 +2x1=0,2.解方程：,得： （x1）+2（x+1）=4,原方程无解.,x=1,检验：当x=1时，（x+1）（x1）=0，,所以x=1不是原方程的根.,解：方程两边都乘以最简公分母,某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的
16、条数与用4200元购买B型芯片的条数相等 （1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？ （2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？,解：（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x9）元/条，根 据题意得： = ， 解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解， x9=26 答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条 （2）设购买a条A型芯片，则购买（200a）条B型芯片， 根据题意得：26a+35（200a）=6280， 解得：a=80 答：购买了80条A型芯片,某镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合作20天可完成.
17、甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程. (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)若甲工程队单独做a天后,再由甲、乙两工程队合作_天(用含a的代数式表示)可完成此项工程; (3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元,乙工程队施工每天需付施工费2.5万元,甲工程队至少要单独施工多少天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元?,解:(1)设乙单独做x天完成此项工程,则甲单独做(x+30)天完成此项工程. 由题意得:20( )=1 整理得x210 x600=0，解得x1=30,x2= 20. 经检验:x1=30,x2=20都是分式方程的解, 但x2=20不符合题意舍去. x+30=60. 答:甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天.,(2)设甲单独做a天后,甲、乙再合作(20 )天,可以完成此项 工程. (3)由题意得1a+(1+2.5)(20 )64 解得a36 答:甲工程队至少要单独做36天后,再由甲、乙两队合作完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元.,步骤,1.审；2.设；3.列； 4.解；5.验； 6.答.,应用,工程问题：工作量=工作效率工作时间,行程问题：路程=速度时间,列分式方程解应用题,
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