1、12.2 三角形全等的判定,第一课时,第二课时,人教版 数学 八年级 上册,第三课时,第四课时,第一课时,“边边边”定理,为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗（如图），那么，老师应提供多少个数据，能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的边长和所有的角度吗？,3. 掌握用尺规作一个角等于已知角的作图法,1. 探索三角形全等条件，明确探索方向和过程.,2. 掌握“边边边”判定方法和应用.,1. 什么叫全等三角形？,能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.,2. 全等三角形有什么性质？,全等三角形的对应边相等，对应角相等.,三角形全等的判定“边边边”定理,3.已知ABC D
2、EF，找出其中相等的边与角.,AB=DE, CA=FD, BC=EF, A= D, B=E, C= F,即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等,【思考】如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证ABCDEF 吗?,只给一个条件,只给一条边时；,只给一个角时；,3cm,3cm,45,45,结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.,两边；,两角.,一边一角；,如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？,如果三角形的两边分别为3cm，4cm 时,4cm,4cm,3cm,3cm,结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.,三角形的一条边为4cm,一个内角为30时:,4c
3、m,4cm,30,30,结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.,如果三角形的两个内角分别是30，45时,结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.,根据三角形的内角和为180，则第三角一定确定，所以当三个内角对应相等时，两个三角形不一定全等.,两个条件 两角； 两边； 一边一角.,结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等.,一个条件 一角； 一边；,三角；,三边；,两边一角；,两角一边.,如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？,已知两个三角形的三个内角分别为30，60 ，90 它们一定全等吗？,这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等.,三个角,已
4、知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm .它们一定全等吗？,三条边,先任意画出一个ABC，再画出一个ABC,使AB= AB ,BC =BC, A C =AC.把画好的ABC剪下，放到ABC上，它们全等吗？,A ,B,C,作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？,作法： （1）画BC=BC； （2）分别以B,C为圆心，线段AB,AC长为半径画圆，两弧相交于点A； （3）连接线段AB, A C.,做一做,文字语言：三边对应相等的两个三角形全等. （简写为“边边边”或“SSS”）,在ABC和 DEF中，, ABC DEF（SSS）.,几何语言：,“边边边”判定方法,例1
5、 如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是连接点A与BC中点D的支架求证：（1）ABD ACD,解题思路：,先找隐含条件,公共边AD,再找现有条件,AB=AC,最后找准备条件,BD=CD,D是BC的中点,利用“边边边”定理判定三角形全等,证明： D 是BC中点， BD =DC 在ABD 与ACD 中，, ABD ACD （ SSS ）,准备条件,指明范围,摆齐根据,写出结论,(2)BAD = CAD.,由（1）得ABDACD ， BAD= CAD. （全等三角形对应角相等）,准备条件：证全等时要用的条件要先证好；,指明范围：写出在哪两个三角形中；,摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；
6、,写出结论：写出全等结论.,证明的书写步骤：,1. 如图, C是BF的中点，AB =DC,AC=DF. 求证:ABC DCF.,在ABC 和DCF中，,AB = DC，, ABC DCF,(已知),(已证),AC = DF，,BC = CF，,证明：C是BF中点，,BC=CF.,(已知),(SSS).,例2 已知：如图，ABAC，ADAE，BDCE. 求证：BACDAE.,利用三角形全等证明线段或角相等,分析：要证BACDAE，而这两个角所在 三角形显然不全等，我们可以利用等式的性质 将它转化为证BADCAE；由已知的三组相等线段可证明ABDACE，根据全等三角形的性质可得BADCAE.,证明
7、：在 ABD和 ACE中， ABAC， ADAE， BDCE， ABD ACE(SSS)， BADCAE. BADDACCAEDAC， 即BACDAE.,2. 已知：如图，AB=AD，BC=DC， 求证：ABCADC，,A,B,C,D,AC=AC ( 公共边),AB=AD ( ) BC=DC ( ), ABC ADC（SSS）,证明：在ABC和ADC中,已 知,已 知, BAC=DAC AC是BAD的角平分线.,AC是BAD的角平分线,已知：AOB求作： AOB=AOB,例3 用尺规作一个角等于已知角,O,D,B,C,A,O,C,A,B,D ,用尺规作一个角等于已知角,作法： （1）以点O 为
8、圆心，任意长为半径画弧，分别交OA， OB 于点C、D； （2）画一条射线OA，以点O为圆心，OC 长为半 径画弧，交OA于点C； （3）以点C为圆心，CD 长为半径画弧，与第（2）步中 所画的弧交于点D； （4）过点D画射线OB，则AOB=AOB,已知：AOB求作：AOB=AOB,用尺规作一个角等于已知角,依据是什么？,1.如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB求证F=C,证明：DA=BE，DE=AB， 在ABC和DEF中， AC=DF BC=EF， ABCDEF（SSS），C=F,AB=DE,2.已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AEB
9、F,证明：AD=BC，AC=BD， 在ACE和BDF中， ， ACEBDF（SSS） A=B， AEBF.,AC=BD AE=BF CE=DF,1. 如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE， 要使ABFECD ，还需要条件 _ (填一个条件即可）.,BF=CD,2.如图，ABCD，ADBC, 则下列结论： ABCCDB； ABCCDA； ABD CDB； BADC. 正确的个数是 ( ) A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个,C,1. 已知：如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE， 求证：ABC AED.,证明：BD=CE,BDCD=CECD .,BC=ED .,
10、=,=,在ABC和ADE中，,AC=AD（已知）， AB=AE（已知）， BC=ED（已证），,ABCAED（SSS）.,2. 已知：AOB求作：AOB，使AOB=AOB （1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D； （2）如图2，画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径作弧，交OA于点C； （3）以点C为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D； （4）过点D画射线OB，则AOB=AOB 根据以上作图步骤， 请你证明AOB=AOB,图1,图2,证明：由作法得OD=OC=OD=OC，CD=CD， 在OCD和OCD中 ， OCDOCD（SSS）， COD
11、=COD， 即AOB=AOB,OC=OC OD= O D CD= C D,3. 如图,ADBC,ACBD.求证:CD .(提示: 连结AB),证明：连结AB两点,ABDBAC(SSS),AD=BC， BD=AC， AB=BA，,在ABD和BAC中，,D=C.,如图，ABAC，BDCD，BHCH，图中有几组全 等的三角形？它们全等的条件是什么？,ABDACD(SSS),ABHACH(SSS),BDHCDH(SSS),边边边,内容,有三边对应相等的两个三角形全等（简写成 “SSS”),应 用,思路分析,书写步骤,结合图形找隐含条件和现有条件，找准备条件,注意,四步骤,1. 说明两三角形全等所需的条
12、件应按对应边的顺序书写. 2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.,第二课时,“边角边”定理,问题:如图有一池塘。要测池塘两端A、B的距离，可无法直接到达，因此这两点的距离无法直接量出。你能想出办法来吗？,A,B,A,B,C,E,D,在平地上取一个可直接到达A和B的点C，,连接AC并延长至D使CD=CA,连接BC并延长至E使CE=CB,连结ED，,那么量出DE的长，就是A、B的距离.为什么？,3. 了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件,1. 探索并正确理解三角形全等的判定定理“SAS”.,2. 会用“SAS”判定定理证明两个三角形全等并能应用其解决实际问题,1.回顾三角形全等的
13、判定方法 1 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.,三角形全等的判定“边角边”定理,当两个三角形满足六个条件中的3个时，有四种情况:,【思考】除了SSS外,还有其他情况吗？,能判定全等吗？,已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？,“两边及夹角”,“两边和其中一边的对角”,它们能判定两个三角形全等吗？,尺规作图画出一个ABC，使ABAB，ACAC，AA （即使两边和它们的夹角对应相等）. 把画好的ABC剪下，放到ABC上，它们全等吗？,两边及其夹角能否判定两个三角形全等?,做一做,作法： （1）画DAE=A； （2）在射线AD
14、上截取AB=AB,在射线AE上截取AC=AC； （3）连接BC .,思考 A B C 与 ABC 全等吗？如何验证？,这两个三角形全等是满足哪三个条件？,在ABC 和 DEF中，,ABC DEF（SAS）,文字语言： 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. （简写成“边角边”或“SAS ”）,“边角边”判定方法,几何语言：,必须是两边“夹角”,例1 如果AB=CB ， ABD= CBD，那么 ABD 和 CBD 全等吗？,分析:, ABD CBD.,AB=CB(已知)，,ABD= CBD(已知)，,BD=BD(公共边)，,证明：,在ABD 和 CBD中，,AB=CB(已知)，,ABD= C
15、BD(已知)，, ABDCBD ( SAS).,BD=BD(公共边)，,利用“边角边”定理证明三角形全等,1.已知:如图, AB=DB,CB=EB,12，求证:A=D.,证明: 12(已知)， 1+DBC 2+ DBC(等式的性质)， 即ABCDBE. 在ABC和DBE中, ABDB(已知)， ABCDBE(已证)， CBEB(已知)， ABCDBE（SAS）. A=D(全等三角形的对应角相等).,例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CDCA，连接BC并延长到点E，使CECB连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距
16、离，为什么?,A,证明：在ABC 和DEC 中，,ABC DEC（SAS）， AB =DE ，（全等三角形的对应边相等）.,利用全等三角形测距离,2. 如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地.此时C，D到B的距离相等吗？为什么？,提示：相等. 根据边角边定理， BADBAC， BD = BC.,如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到ABD.这个实验说明了什么？,B,A,C,D,ABC和ABD满足AB=AB ,AC=AD, B=B,但ABC与ABD不全等.,SSA能否判定两个三角形全等？,画ABC 和
17、ABD，使A =A =30， AB =AB=5 cm ，BC =BD =3 cm 观察所得的两个三角形是否全等？,A,B,M,C,D,例3 下列条件中，不能证明ABCDEF的是(),AABDE，BE，BCEF BABDE，AD，ACDF CBCEF，BE，ACDF DBCEF，CF，ACDF,解析：要判断能不能使ABCDEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.,C,易错点拨：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等只有两边及夹角对应相等时，才能判定三角形全等,三角形全等条件的识别,3如图，ABCD，ABCD，E，F是BD上两点
18、且BEDF，则图中全等的三角形有 ( ) A1对 B2对 C3对 D4对,C,C,1.如图，已知AB=AD，AC=AE，BAE=DAC 求证：C=E,解：BAE=DAC，BAECAE=DACCAE，即 BAC=DAE，在ABC和ADE中， ， ABCADE（SAS），C=E,AB=AD BAC=DAE AC=AE,2.如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE （1）求证：ABEDCE； （2）当AB=5时，求CD的长,（1）证明：在AEB和DEC中， AE=DE AEB=DEC BE=EC ， AEBDEC（SAS） （2）解：AEBDEC，AB=CD， AB=5，CD=5,
19、1.在下列图中找出全等三角形进行连线.,2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证ABEDBC，则需要增加的条件是 ( ) A.AD B.EC C.A=C D.ABDEBC,D,证明：AC平分BAD， BAC=DAC， 在ABC和ADC中， ABCADC（SAS）,AD=AB,BAC=DAC,AC=AC,(已知），,(公共边），,(已证），,3.如图，已知AC平分BAD, AB=AD 求证：ABCADC,已知：如图，AB=AC, BD=CD，E为AD上一点. 求证： BE=CE.,证明：, BAD=CAD，,在ABD和ACD中，, BE=CE.,在ABE和ACE中，,ABDACD（SSS）.,AB
20、EACE（SAS）.,如图，已知CA=CB , AD=BD, M，N分别是CA，CB的中点，求证：DM=DN.,在ABD与CBD中,证明:,ACDBCD（SSS）,连接CD，如图所示；,A=B,又M，N分别是CA，CB的中点，, AM=BN,在AMD与BND中,AMDBND（SAS）,DM=DN.,边角边,内容,有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”),应用,为证明线段和角相等提供了新的证法,注意,1.已知两边，必须找“夹角” 2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边,第三课时,“角边角”“角角边” 定理,一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原
21、来同样大小的新教具？能恢复三角形的原貌吗？,怎么办？可以帮帮我吗？,1. 探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”,2. 会用三角形全等的判定方法“ASA” 和“AAS”证明两个三角形全等,三角形全等的判定（“角边角”定理）,如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？,图一,图二,“两角及夹边”,“两角和其中一角的对边”,它们能判定两个三角形全等吗？,先任意画出一个ABC，再画一个A B C ， 使A B =AB， A =A， B =B (即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的A B C 剪下，放到ABC上，它们全等吗？,A,B,C,E,D,作法： （1）画AB
22、=AB; （2）在AB的同旁画DAB =A，EBA =B，AD，BE相交于点C.,从中你能发现什么规律？,“角边角”判定方法,文字语言： 有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.,几何语言：,例1 已知：ABCDCB，ACB DBC， 求证：ABCDCB,ABCDCB(已知）， BCCB（公共边）， ACBDBC（已知），,证明：,在ABC和DCB中，,ABCDCB（ASA ）.,判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等,利用“角边角”定理证明三角形全等,1. 如图，已知点E，C在线段BF上，BECF，ABDE，ACBF.求证：ABCDEF.,证明：A
23、BDE， BDEF， BECF， BCEF. ACBF， ABCDEF（ASA）,例2 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC, B=C,求证：AD=AE.,分析：证明ACDABE，就可以得出AD=AE.,证明：在ACD和ABE中，,A=A（公共角 ）， AC=AB（已知）， C=B （已知 ），, ACDABE（ASA），,AD=AE.,2. 如图，AD=AE,B=C，那么BE和CD相等么？为什么？,证明:在ABE与ACD中 B=C （已知） A= A （公共角） AE=AD （已知） ABE ACD（AAS） BE=CD （全等三角形对应边相等）,BE =CD,若三角形的两个内角分别
24、是60和45，且45所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?,用“角角边”判定三角形全等,思考：,这里的条件与探究1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为探究1中的条件吗？,归纳总结,两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.,例3 在ABC和DEF中，AD，B E，BC=EF. 求证：ABCDEF,证明：,在ABC中，A+B+C180.,ABCDEF（ASA ）.,BE， BCEF， CF., C180AB.,同理 F180DE.,又 AD，B E, CF.,在ABC和DEF中，,利用“角角边”定理证明三角形全等,例4 如图，已知：在ABC中，BAC9
25、0，ABAC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E. 求证：(1)BDAAEC；,证明：(1)BDm，CEm，ADBCEA90， ABDBAD90. ABAC， BADCAE90， ABDCAE. 在BDA和AEC中，,ADB=CEA=90， ABDCAE, ABAC,BDAAEC(AAS).,例4 如图，已知：在ABC中，BAC90，ABAC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E. 求证：(2)DEBDCE.,BDAE，ADCE， DEDAAEBDCE.,证明：BDAAEC,方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关
26、系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化,3.如图，已知：AD为ABC的中线，且CFAD于点F，BEAD交AD的延长线于点E.求证：BECF.,证明：AD为ABC的中线， BDCD. BEAD，CFAD， BEDCFD90. 在BED与CFD中,BED=CFD 1=2 BD=CD,BEDCFD(AAS)BECF.,解析：AB=AC，A为公共角， 如添加B=C，利用ASA即可证明ABEACD； 如添AD=AE，利用SAS即可证明ABEACD； 如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明ABEACD； 如添BE=CD，因为SSA，不能证明ABEACD，,1
27、.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定ABEACD（） AB=C BAD=AECBD=CEDBE=CD,D,2.如图，已知1=2，B=D， 求证：CB=CD,证明：如图，1=2， ACB=ACD 在ABC与ADC中， B=D ACB=ACD AC=AC ， ABCADC（AAS）， CB=CD,1. 下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧ABC全等的是（） A甲和乙 B乙和丙 C甲和丙 D只有丙,B,2. 在ABC与ABC中，已知A44，B67，C69 ，A44，且ACAC，那么这两个三角形（ ）
28、A一定不全等 B一定全等 C不一定全等 D以上都不对,B,3. 如图，已知ACB=DBC，ABC=CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.,不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.,4.如图，ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得ADCBEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是_,AC=BC,1.已知：如图， ABBC，ADDC，1=2, 求证：AB=AD.,证明： ABBC，ADDC，, B=D=90 .,在ABC和ADC中，, ABCADC (AAS)，,AB=AD.,2. 如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去
29、,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?,答：带1去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等.,已知：如图，ABC ABC ，AD、A D 分别是ABC 和ABC的高.试说明AD AD ，并用一句话说出你的发现.,解：因为ABC ABC ，所以AB=AB（全等三角形对应边相等）， ABD=ABD（全等三角形对应角相等）.因为ADBC，ADBC， 所以ADB=ADB.在ABD和ABD中， ADB=ADB（已证），ABD=ABD（已证）， AB=AB（已证），所以ABDABD.所以AD=AD.,全等三角形对应边上的高也相等.,角边角 角角边,内容,有两角及
30、夹边对应相等的两个三角形全等（简写成 “ASA”),应用,为证明线段和角相等提供了新的证法,注意,注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别,第四课时,“斜边、直角边”定理,舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量.,(1)你能帮他想个办法吗？,根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角.,根据ASA,AAS可测量对应一边和一锐角.,工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等。于是，他就肯定“两个直角三角形是全等的”.,你相信这个结论吗？,（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗?,让我们来探
31、究一下吧！,斜边和一条直角边对应相等两个直角三角形全等.,2. 能运用三角形全等的判定方法判断两个直角三角形全等.,1. 探究直角三角形全等的判定方法.,SSS,SAS,ASA,AAS,旧知回顾 我们学过的判定三角形全等的方法.,三角形全等的判定“HL”定理,如图，RtABC中，C =90，直角边是_、_，斜边是_.,AC,BC,AB,思考,前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？,A,B,C,B,C,1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？,2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？,3.两个直
32、角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？,问题,A,如图，已知AC=DF，BC=EF，B=E，ABCDEF 吗？ 我们知道，证明三角形全等 不存在SSA定理.,如果这两个三角形都是直 角三角形，即B=E=90， 且AC=DF，BC=EF，现在能 判定ABCDEF吗？,任意画出一个RtABC ，使C=90.再画一个RtA B C ，使C=90 ， BC=BC ， A B =AB ，把画好的RtAB C 剪下来，放到RtABC上，它们能重合吗？,画图思路,（1）先画M C N=90.,（2）在射线CM上截取BC=BC.,N,B,画图思路,（3）以点B为圆心，AB为半径画弧，交
33、射线CN于A.,N,B,A,画图思路,（4）连接AB.,N,B,A,思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？,画图思路,“斜边、直角边”判定方法,文字语言： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.,几何语言：,在RtABC和Rt ABC 中，,RtABC Rt ABC (HL).,判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“”，全等的注明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等； （ ） （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等； （ ） （3）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （4）两直角边对应相等； （ ） （5）一条直角边和斜边对应相
34、等 （ ）,HL,AAS或ASA,SAS,AAS,AAS,判一判,探究新知,例1 如图，ACBC， BDAD， ACBD. 求证：BCAD.,证明： ACBC， BDAD， C与D 都是直角.,在 RtABC 和RtBAD 中，, RtABCRtBAD (HL). BCAD.,利用“HL”定理判定直角三角形全等,如图， ACB =ADB=90 ，要证明ABC BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ）,AD=BC, DAB= CBA,BD=AC, DBA= CAB,HL,HL,AAS,
35、AAS,如图，AC、BD相交于点P ， ACBC，BDAD，垂足分别为C、D ， AD=BC. 求证：AC=BD.,HL,AC=BD,RtABDRtBAC,如图：ABAD，CDBC ， AB=CD ，判断AD和BC的位置关系.,HL,ADB=CBD,RtABDRtCDB,ADBC,1.如图，在ABC中，ABCB，ABC90，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AECF.求证：RtABERtCBF.,证明：在RtABE和RtCBF中，ABECBF90， ABCB，AECF， RtABERtCBF(HL),例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角ABC和ABE的高，如果ADAF，ACAE. 求证
36、：BCBE.,证明：AD，AF分别是两个钝角ABC和ABE的高，且ADAF，ACAE， RtADCRtAFE(HL) CDEF. ADAF，ABAB， RtABDRtABF(HL) BDBF. BDCDBFEF. 即BCBE.,证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件,2.如图，已知AEBC，DFBC，E，F是垂足，AEDF，ABDC，求证：ACDB.,证明：AEBC，DFBC， AEBDFC90. 在RtABE和RtDCF中，RtABERtDCF(HL)， ABCDCB. 在ABC
37、和DCB中， ABCDCB(SAS)， ACDB,例3 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角B和F的大小有什么关系？,解：在RtABC和RtDEF中, RtABCRtDEF (HL).,B=DEF (全等三角形对应角相等)., DEF+F=90,B+F=90.,利用直角三角形全等解决实际问题,3. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。,所以RtABDRtACD(HL) 所以BD=CD,解：BD=CD 因为ADB=ADC=90 在RtABD和RtA
38、CD中, AB=AC AD=AD,1.如图，A=D=90，AC=DB，AC、DB相交于点O 求证：OB=OC,证明：在RtABC和RtDCB中， = = RtABCRtDCB（HL）， OBC=OCB， BO=CO,证明：DEAB，DFBC，垂足分别为点E，F， AED=CFD=90， D为AC的中点，AD=DC， 在RtADE和RtCDF中， = = ， RtADERtCDF， A=C，BA=BC，AB=AC， AB=BC=AC， ABC是等边三角形,2.已知：在ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DEAB，DFBC，垂足分别为点E，F，且DE=DF求证：ABC是等边三角形,D,1. 判断
39、两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等,3.如图，ABC中，AB=AC，AD是高，则ADB与ADC （填“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）.,全等,HL,A,2. 如图，在ABC中，ADBC于点D，CEAB于点 E ，AD、CE交于点H，已知EHEB3，AE4， 则 CH的长为（ ） A1 B2 C3 D4,4. 如图，在ABC中，已知BDAC，CE AB，BD=CE.求证：EBCDCB.,证明： BDAC，CEAB， BEC=BDC=90 .,在 RtEBC 和RtDCB 中，,
40、RtEBCRtDCB (HL).,如图，AB=CD, BFAC,DEAC, AE=CF.求证：BF=DE.,证明: BFAC,DEAC, BFA=DEC=90 . AE=CF， AE+EF=CF+EF. 即AF=CE. 在RtABF和RtCDE中，, RtABFRtCDE(HL).,BF=DE.,如图，有一直角三角形ABC，C90，AC10cm，BC5cm，一条线段PQAB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时ABC才能和APQ全等？,(2)当P运动到与C点重合时，APAC. 在RtABC与RtQPA中， PQAB，APAC， RtQAPRtBCA(HL)， APAC10cm， 当AP5cm或10cm时，ABC才能和APQ全等,解：(1)当P运动到APBC时， CQAP90. 在RtABC与RtQPA中， PQAB，APBC， RtABCRtQPA(HL)， APBC5cm；,“斜边、直角边”,内容,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.,前提条件,在直角三角形中,使用方法,只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）,
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