1、3 3. .3.23.2 从函数观点看一元二次不等式从函数观点看一元二次不等式 第第 1 1 课时课时 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 学习目标 1.从函数观点看一元二次方程了解二次函数的零点与方程根的关系.2.从函数观 点看一元二次不等式经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等 式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 知识点一 一元二次不等式的概念 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式不等式，叫作一元二次不等式 知识点二 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 b24ac 0 0 0
2、)的图象 一元二次方程 ax2 bxc0(a0)的根 有两个不相等的实数 根 x1，x2(x10(a0) 的解集 (，x1)(x2，) ， b 2a b 2a， R ax2bxc0) 的解集 (x1，x2) 思考 一元二次不等式与一元二次函数有什么关系？ 答案 一元二次不等式 ax2bxc0(a0)的解集就是一元二次函数 yax2bxc(a0)的图 象在 x 轴上方的点的横坐标 x 的集合；ax2bxc0)的解集就是一元二次函数 yax2 bxc(a0)的图象在 x 轴下方的点的横坐标 x 的集合 1不等式 x22 的解集是_ 答案 x| 2x 2 解析 由 x22 可得 x220， 即(x
3、2)(x 2)0， 所以 2x 2， 则不等式 x22 的解集是x| 2x0 的解集是_ 答案 x x1 解析 2x2x1(2x1)(x1)， 由 2x2x10 得(2x1)(x1)0， 解得 x1， 不等式的解集为 x x1 . 3不等式3x25x40 的解集为_ 答案 解析 原不等式变形为 3x25x40. 因为 (5)2434230， 所以 3x25x40 无解 由函数 y3x25x4 的图象可知， 3x25x40 的解集为x|2x0 的解集为x|2x3， 所以方程 ax2bxc0 的两根分别2,3. 一、一元二次不等式的解法 例 1 解下列不等式： (1)2x2x60. 解 (1)原不
4、等式可化为 2x2x60. 因为方程 2x2x60 的判别式 (1)24260， 所以函数 y2x2x6 的图象开口 向上，与 x 轴无交点(如图所示)观察图象可得，原不等式的解集为 R. (2)原不等式可化为 x26x90，即(x3)20，函数 y(x3)2的图象如图所示， 根据图象可得，原不等式的解集为x|x3 (3)方程 x22x30 的两根是 x11，x23. 函数yx22x3的图象是开口向上的抛物线， 与x轴有两个交点(1,0)和(3,0)， 如图所示 观 察图象可得不等式的解集为x|x3 反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤 第一步，将一元二次不等式化为一端为 0 的形式(习惯上二
5、次项系数大于 0) 第二步，求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根 第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中 第四步，观察图象中位于 x 轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集 跟踪训练 1 解下列不等式： (1)x25x60； (2)(2x)(x3)0. 解 (1)方程 x25x60 的两根为 x11，x26. 结合二次函数 yx25x6 的图象(图略)知，原不等式的解集为x|x6 (2)原不等式可化为(x2)(x3)0. 方程(x2)(x3)0 的两根为 x12，x23. 结合二次函数 y(x2)(x3)的图象(图略)知，原不等式的解集为x|x2 二
6、、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 例2 已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为x|2x3， 求关于x的不等式cx2bxa0 的解集为x|2x3可知 a0， 且 2 和 3 是方程 ax2bxc0 的两根， 由根与系数的关系可知b a5， c a6. 由 a0 知 c0，b c 5 6， 故不等式 cx2bxa0，即 x 25 6x 1 60， 解得 x 1 2， 所以不等式 cx2bxa0 的解集为 x x 1 2 . 延伸探究 1若本例中条件不变，求关于 x 的不等式 cx2bxa0 的解集 解 由根与系数的关系知b a5， c a6 且 a0. c0， 即 x2b cx a
7、 c0，即 x 25 6x 1 60. 解得1 2x 1 3， 故原不等式的解集为 x 1 2x0 的解集为x|2x3”变为“关于 x 的 不等式 ax2bxc0 的解集是 x 1 3x2 ”求不等式 cx2bxa0 的解集 解 由 ax2bxc0 的解集为 x 1 3x2 知 a0. 又 1 3 2c a0. 又1 3，2 为方程 ax 2bxc0 的两个根， b a 5 3， b a 5 3. 又c a 2 3，b 5 3a，c 2 3a， 不等式 cx2bxa0 变为 2 3 a x 2 5 3a xa0. 又a0，2x25x30， 故所求不等式的解集为 x 3x0)的解集，求解其他不等
8、式的解 集时，一般遵循： (1)根据解集来判断二次项系数的符号； (2)根据根与系数的关系把 b，c 用 a 表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解 跟踪训练 2 已知关于 x 的不等式 x2axb0 的解集为x|1x0 的解集 解 x2axb0 的解集为x|1x0. 解得 x1. bx2ax10 的解集为 x x1 . 1不等式 3x22x10 的解集为( ) A. x 1x1 3 B. x 1 3x1 C DR 答案 D 解析 因为 (2)243141280 的解集为 R. 2不等式 35x2x20 的解集为( ) A. x x3或x1 2 B
9、. x 1 2x3 C. x x3或x1 2 DR 答案 C 解析 35x2x202x25x30 (x3)(2x1)0 x3 或 x1 2. 3若 0m1，则不等式(xm) x1 m 0 的解集为( ) A. x 1 mx1 m或xm或x1 m D. x mx1 m 答案 D 解析 0m1m， 故原不等式的解集为 x mx1 m . 4已知集合 Ax|x2x20，RA 等于( ) A(1,2) B1,2 C(，1)(2，) D(12，) 答案 C 解析 x2x20，(x2)(x1)0， 1x2，即 A1,2 在数轴上表示出集合 A，如图所示 由图可得RA(，1)(2，) 5设集合 Mx|x2x0，Nx|x24，则 M 与 N 的关系为_ 答案 MN 解析 因为 Mx|x2x0 x|0x1， Nx|x24x|2x0 时，忽略 a 的正负导致出错
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