1、一比较法,第二讲证明不等式的基本方法,学习目标 1.理解比较法证明不等式的理论依据. 2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤. 3.体会比较法所体现的转化与化归的数学思想方法.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一作差比较法,思考比差法的理论依据是什么？,答案abab0；abab0；abab0.,梳理作差比较法 (1)作差比较法的理论依据：ab0ab；ab0 ；ab0ab. (2)作差比较法解题的一般步骤：作差；变形整理；判定符号； 得出结论. 其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定_ _，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等.,ab,
2、与0的,大小关系,知识点一作差比较法,思考2类比作差比较法，请谈谈作商比较法.,(3)作商比较法解题的一般步骤：判定a，b符号；作商；变形整理；判定与 ；得出结论.,1的大小关系,题型探究,类型一作差比较法证明不等式,例1已知正数a，b，c成等比数列，求证：a2b2c2(abc)2.,证明因为正数a，b，c成等比数列，,又(a2b2c2)(abc)2 a2b2c2a2b2c22ab2ac2bc 2ab4b22bc2b(a2bc),所以a2b2c2(abc)2.,证明,反思与感悟作差比较法的关键是作差后的变形，一般通过分解因式或将差式转化为积商式，以便与0比较大小.,证明,类型二作商比较法证明不
3、等式,例2已知a0，b0，求证：aabb .,证明,当ab时，显然有 1；,所以由指数函数的单调性可知， 1；,所以由指数函数的单调性可知， 1.,综上可知，对任意实数a，b，都有aabb .,引申探究,1.若a0，b0，求证： abba.,证明,证明因为abba0， 0，,所以当ab时，显然有,由指数函数的单调性，,由指数函数的单调性，,综上可知，对任意a0，b0，都有abba .,2.当a0，b0时，比较aabb与abba的大小.,解由例2和探究1知，aabb abba.,解答,反思与感悟作商比较法证明不等式的一般步骤 (1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商. (2)变形：化简商式到最
4、简形式. (3)判断：判断商与1的大小关系，也就是判断商大于1或小于1或等于1. (4)得出结论.,又a2b22ab，,当且仅当ab0时取等号，,证明,类型三比较法的应用,a，b，m都是正数，且ab， ba0，b(bm)0，,证明,反思与感悟比较法理论上便于理解，实用时便于操作，故应用比较广泛.,跟踪训练3甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走.如果mn，问甲、乙二人谁先到达指定地点？,解答,解设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有,其中s，m
5、，n都是正数，且mn， t1t20，即t1t2.从而知甲比乙先到达指定地点.,达标检测,1.已知不等式：x232x(xR)；a5b5a3b2a2b3(a，bR)；a2b22(ab1).其中正确的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3,1,2,3,4,解析x232x(x1)220，故正确； 取ab1，则a5b52，a3b2a2b32，故不正确； a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，故正确.,解析,答案,5,2. 1成立的充要条件是 A.a1 B.a0 C.a0 D.a1或a0,答案,1,2,3,4,5,解析,3.若x，yR，记wx23xy，u4xyy2，则 A.wu B.wu C.wu
6、D.无法确定,1,2,3,4,5,答案,wu.,解析,1,2,3,4,5,答案,解析a，b都是正数， P0，Q0，,P2Q20，PQ.,解析,原不等式成立.,方法二ab0，a2b20. 左边0，右边0.,1,2,3,4,5,证明,1.作差比较法证明不等式的技巧 (1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少. (2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法. (3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号.,规律与方法,2.适用作商比较法证明的不等式的特点 适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等式或某些不同底数对数值的大小比较.,
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