1、第第 1 章章 勾股定理勾股定理 单元测试卷单元测试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是 A3，4，5 B2，2， C2，5，6 D5，12，13 2在中，若 ，则 A B C D 3勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书 周髀算经中早有记载 如图， 分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，若， 则 A25 B36 C40 D49 4的三边分别为 、，满足，则这个三角形有一个 角的度数为 A B C D 5如图，每个小正方形的边长为 1，四边形的顶点，都在格点上，则下面 4 条线段长度为的是 A B C D 6两个边长
2、分别为， ， 的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图 所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为 A B C D 7为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一 架高为 2.5 米的木梯，准备把拉花挂到 2.4 米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为 1.5 米，但 高度不够要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计） A0.7 米 B0.8 米 C0.9 米 D1.0 米 8如图，在行距、列距都是 1 的的方格网中，将任意连接两个格点的线段称作“格点 线”，则“格点线”的长度不可能等于 A B C D 9“赵爽弦图”巧妙地
3、利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示 的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三 角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，小正方形的面积为 9，则大正方形 的边长为 A9 B6 C5 D4 10如图，一根长 5 米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为 4 米，若竹竿的顶端沿 墙下滑 2 米至处，则竹竿底端外移的距离 A小于 2 米 B等于 2 米 C大于 2 米 D以上都不对 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11在中， ，若，则的长是 12有一个三角形的两边长是 9 和 12，要使这个三角形成为直角三角形，则第三条边长的 平方是
4、 13如图，阴影部分是一个正方形，则这个正方形的面积为 14两人从同一地点同时出发，一人以的速度向北直行，一人以的速度 向东直行，后他们相距 15 如图，中，是边上一点， ， 则的长为 16 对角线互相垂直的四边形叫做 “垂美” 四边形， 现有如图所示的 “垂美” 四边形， 对角线、交于点若，则 17如图，圆柱的底面半径为 24，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点的最短 路程是 18 “赵爽弦图” 巧妙的利用面积关系证明了勾股定理 如图所示的 “赵爽弦图” ， ， ，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形， 若，则 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 19如图，已知， ，试求阴
5、影部分的面 积 20老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积老李测量了草坪各边得 知：米，米，米，米，且请同学们帮老李家计算 一下这块草坪的面积 21如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗 杆底端 9 米处，发现此时绳子底端距离打结处约 3 米，请算出旗杆的高度 22如图，某电信公司计划在，两乡镇间的处修建一座信号塔，且使，两个 村庄到的距离相等 已知于点，于点， ，求信号塔应该建在离乡镇多少千米的地方？ 23某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行 驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了，小汽车到达处，此时测得
6、小 汽车与车速检测仪间的距离为，这辆小汽车超速了吗？ 24 已知： 整式， 整式 尝试化简整式 发现 求整式 联想由上可知，当时，为直角三角形的三边长， 如图，填写下表中的值； 直角三角形三边 勾股数组 8 勾股数组 35 25 如图， 将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形， 直角三角形中， ，正方形中， （1）小明发明了求正方形边长的方法： 由题意可得， 因为，所以，解得 （2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法： 利用可以得到与、的关系，请根据小亮的思路完成他的 求解过程： （3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 10 小题
7、）小题） 1下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是 A3，4，5 B2，2， C2，5，6 D5，12，13 解：，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； ，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； ，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形； 、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形 故选： 2在中，若 ，则 A B C D 解：在中，若， ， ， 故选： 3勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书 周髀算经中早有记载 如图， 分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，若， 则 A25 B36 C40 D49 解：在中， 又由正方形面积公式得， 故选： 4的三边分别为 、，满足，则这
8、个三角形有一个 角的度数为 A B C D 解：的三边分别为、，满足， 为直角三角形，且， ， ， ， ， ， 又， 故选： 5如图，每个小正方形的边长为 1，四边形的顶点，都在格点上，则下面 4 条线段长度为的是 A B C D 解：， 故长度为的线段是， 故选： 6两个边长分别为， ， 的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图 所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为 A B C D 解：根据题意得：， ，即， 整理得： 故选： 7为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一 架高为 2.5 米的木梯，准备把拉花挂到 2.
9、4 米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为 1.5 米，但 高度不够要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计） A0.7 米 B0.8 米 C0.9 米 D1.0 米 解：梯脚与墙角距离：（米 ， 开始梯脚与墙角的距离为 1.5 米， 要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动：（米 故选： 8如图，在行距、列距都是 1 的的方格网中，将任意连接两个格点的线段称作“格点 线”，则“格点线”的长度不可能等于 A B C D 解：，故可能是“格点线”的长度，故选项不符合题意； ，故可能是“格点线”的长度，故选项不符合题意； ，故不可能是“格点线”的长度，故选项符合题意； ，故可能是“格点线”的长度，故选
10、项不符合题意； 故选： 9“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示 的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三 角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，小正方形的面积为 9，则大正方形 的边长为 A9 B6 C5 D4 解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， 大正方形的面积为：， 大正方形的边长为 5 故选： 10如图，一根长 5 米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为 4 米，若竹竿的顶端沿 墙下滑 2 米至处，则竹竿底端外移的距离 A小于 2 米 B等于 2 米 C大于 2 米 D以上都不对
11、 解：由题意得：在中，米，米， 米， 在中，米，米， 米， （米 故选： 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 11在中， ，若，则的长是 17 解：在中， ， 即， 解得 故答案为：17 12有一个三角形的两边长是 9 和 12，要使这个三角形成为直角三角形，则第三条边长的 平方是 225 或 63 解：当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：； 当第三边是直角边时，第三边长的平方是：； 故答案是：225 或 63 13如图，阴影部分是一个正方形，则这个正方形的面积为 36 解：由图可知直角三角形的一个直角边长为，斜边长为， 正方形的边长， 这个正方形的面积为： 故答案为：36 14两人
12、从同一地点同时出发，一人以的速度向北直行，一人以的速度 向东直行，后他们相距 解：设后， 甲乙两人相距 答：后，甲乙两人相距， 故答案为： 15 如图，中，是边上一点， ， 则的长为 解：中， ， ， 故答案为： 16 对角线互相垂直的四边形叫做 “垂美” 四边形， 现有如图所示的 “垂美” 四边形， 对角线、交于点若，则 20 解：， ， 由勾股定理得， ， ， ， 故答案为：20 17如图，圆柱的底面半径为 24，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点的最短 路程是 解：如图所示：沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接， 则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程， ， 由勾股定理得： 故答
13、案为： 18 “赵爽弦图” 巧妙的利用面积关系证明了勾股定理 如图所示的 “赵爽弦图” ， ， ，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形， 若，则 6 解：， 大正方形的面积是 100，小正方形的面积是 4， 四个直角三角形面积和为，设为，为，即， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：6 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 19如图，已知， ，试求阴影部分的面 积 解：由勾股定理可知： ， 又， 是直角三角形 故所求面积， 答：阴影部分的面积为 24 20老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积老李测量了草坪各边得 知：米，米，米，米，且请同学们帮老李家计算 一
14、下这块草坪的面积 解：连接，如图， ， ， 米，米， 米， 米，米， ， 为直角三角形， 这块草坪的面积（米 21如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗 杆底端 9 米处，发现此时绳子底端距离打结处约 3 米，请算出旗杆的高度 解：设旗杆的高度为米， 根据勾股定理，得， 解得：； 答：旗杆的高度为 12 米 22如图，某电信公司计划在，两乡镇间的处修建一座信号塔，且使，两个 村庄到的距离相等 已知于点，于点， ，求信号塔应该建在离乡镇多少千米的地方？ 解：设，则， ， 和都是直角三角形， ， 又， ， 解得 答：信号塔应该建在离乡镇 30 千米的地方 23
15、某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行 驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了，小汽车到达处，此时测得小 汽车与车速检测仪间的距离为，这辆小汽车超速了吗？ 解：在中，； 据勾股定理可得： 小汽车的速度为； ； 这辆小汽车超速行驶 答：这辆小汽车超速了 24 已知： 整式， 整式 尝试化简整式 发现 求整式 联想由上可知，当时，为直角三角形的三边长， 如图，填写下表中的值； 直角三角形三边 勾股数组 15 8 勾股数组 35 解：， ， ， 当时，； 当时，（负值舍去）， 直角三角形三边 勾股数组 15 8 17 勾股数组 35 12 37 故答案为：15，17；12，37 25 如图， 将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形， 直角三角形中， ，正方形中， （1）小明发明了求正方形边长的方法： 由题意可得， 因为，所以，解得 （2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法： 利用可以得到与、的关系，请根据小亮的思路完成他的 求解过程： （3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理 解：（2）因为 所以 答：与、的关系为 （3）根据（1）和（2）得： 即 化简得
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