1、苏州大学苏州大学 2020 届高考考前指导卷届高考考前指导卷 数学 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡 相应位置上 . 1.已知集合 | 12Axx ， |1Bx x，则AB . 2.已知纯虚数z满足(1 )2i zai ，则实数a等于 . 3.某高速公路移动雷达测速检测车在某时段对某段路过往的 400 辆汽车的车速进行检测， 根据检测的结果绘 制出如图所示的频率分布直方图， 根据直方图的数据估计 400 辆汽车中时速在区间90 110)，的约有 辆. 4.函数( )12lgf xxx 的定义域为 . 5.在直角坐标系
2、xOy 中，已知双曲线 2 2 1 (0) y x 的离心率为3，则的值为 . 6.执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为 . 7.展览会会务组安排了分别标有序号为“1 号” 、 “2 号” 、 “3 号”的三辆车，采用等可能随机的顺序前往酒 店接嘉宾.某与会嘉宾设计了两种乘车方案.方案一： 不乘坐第一辆车， 若第二辆车的车序号大于第一辆车 的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.则该嘉宾坐到“3 号”车的概 率是 . 8.已知函数( ) cosf xxx ，则( )f x在点( ) 22 f ，处的切线的斜率为 . 9.已知 n S是等比数列 n a前n项的和，
3、若公比2q ，则 135 6 aaa S 的值是 . 10.已知2sincos( ) 4 ，则tan() 4 的值是 . 11.九章算术是我国古代著名数学经典.里面对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题： “今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材， 埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？ 长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦 1AB 尺，弓形高1CD寸，估算该木材的体积约为 （立方寸）. （注：1 丈10尺10
4、0寸，3.14 ） 12.已知函数 2 |log2| 01 ( ) 31 xx f x x x ， ， ， 若存在互不相等的正实数 123 xxx， ，满足 123 xxx且 123 ( )()()f xf xf x，则 31 ( )x f x的最大值为 . 13.已知点 P 为正方形 ABCD 内部一点（包含边界） ，E F ，分别是线段BC CD， 中点.若 0CP DP ，且 APAEAF，则 的取值范围是 . 14.已知 D 是ABC边AC上一点，且 1 2 c3os 4 CDABBCDDA，则3AB BC的最大值为 . 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区
5、域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 15.（本小题满分 14 分） ABC的内角A B C ， ，的对边分别为a b c，且 1a ，3cossinCcA. （1）求C； （2）若3b，D是AB上的点，CD平分ACB，求ACD的面积. 16.（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是矩形，点 E 在棱 PC 上（异于点P C，） ，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F. （1）求证：ABEF； （2）若AFEF，求证：平面PAD 平面 ABCD. 17.（本小题满分 14 分） 如图，某公园内有一半圆形人工湖，O 为圆心，半径为 1 千米.为了
6、人民群众美好生活的需求，政府为 民办实事， 拟规划在OCD区域种荷花， 在OBD区域建小型水上项目.已知AOCCOD. （1）求四边形OCDB的面积（用表示） ； （2）当四边形OCDB的面积最大时，求 BD 的长（最终结果可保留根号）. 18.（本小题满分 16 分） 如图，已知椭圆 22 22 1 (0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，短轴长为 2，左、右顶点分别为A B，.设点 ( 2) (0)Mm m ，连接MA交椭圆于点C. （1）求该椭圆的标准方程； （2）若OCCM，求四边形OBMC的面积. 19.（本小题满分 16 分） 已知函数 2 ( )2lnf xxaxx（其中
7、 a 为常数）. （1）求函数( )f x的单调区间； （2）设函数( )f x有两个极值点 1212 ()xx xx，若 12 ()f xmx恒成立，求实数m的取值范围. 20.（本小题满分 16 分） 对于数列 n a，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称 n a为P数列. （1）若 n a的前n项和32 n n S ，试判断 n a是否是P数列，并说明理由； （2）设数列 12310 aaaa， ， ， ，是首项为1 ，公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求d的取值 范围； （3）设无穷数列 n a是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列 nn bc，是从 n a中取出
8、部分项 按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为 12 TT，求 n a是P数列时a与q所满足的 条件，并证明命题“若0a且 12 TT，则 n a不是P数列”. 苏州大学苏州大学 2020 届高考考前指导卷届高考考前指导卷 数学（附加题） 21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题 ，并在相应的 答题区域 内作答 ，若多做，则按 作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修选修 4 2：矩阵与变换：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，设点(5)P x，在矩阵 M 12 34 对应的变换下得到点(2)Q yy，求 1 x
9、y M. B.选修选修 4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐 标方程为sin()2 4 ，曲线C的参数方程为 2cos 3 () sin22 x y ， ，求l与曲线C交 点的直角坐标. C.选修选修 4 5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知0,0 xy，且满足 22 1127 4 xy xy ，求 153 4xy 的最小值. 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字 说明、证明
10、过程或演算步骤. 22.（本小题满分 10 分） 在四棱锥PABCD中，AB/CD，2224ABCDBCAD，60DAB，AEBE， PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD. （1）求二面角PECD的余弦值； （2）线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为 6 8 ？若存在，指出 点M的位置；若不存在，请说明理由. 23.（本小题满分 10 分） 已知非空集合M满足0 1 2Mn， ， * (2)nnN ，.若存在非负整数 ()k kn ，使得当 aM时，均有2kaM ，则称集合M具有性质P.记具有性质P的集合M的个数为 ( )f n. （1）求(2)f的值； （
11、2）求( )f n的表达式. 苏州大学苏州大学 2020 届高考考前指导卷届高考考前指导卷 参考答案 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分. 1. |12xx 2.2 3.280 4. 1 (0 2 ， 5.2 6.52 7. 5 6 8. 2 9. 1 3 10. 1 2 11.53066 12.4 13. 24 1 33 ， 14.16 5 5 解答与提示： 1. |12ABxx. 2. 2(2)(1)22 1222 aiaiiaa zi i .因为z为纯虚数，所以 20 20 a a ， ， 解得2a. 3.由图可知， 时速在区间80 90) 110 120)
12、 ， 的频率为(0.010.02) 100.3， 所以时速在区间90 110)， 的频率为1 0.3，所以时速在区间90,110)的车辆约为400 0.7280辆. 4.由 1 20 0 x x ， ， 解得 1 0 2 x，即函数( )f x的定义域为 1 (0 2 ，. 5.离心率 1 3 1 c e a ，所以2 . 6.执行第一次循环 105Si， ；执行第二次循环207Si，； 执行第三次循环349Si，；执行第四次循环5211Si，终止循环. 所以52S . 7.记方案一与方案二坐到“3 号”车的概率分别为 P1，P2，三辆车的出车顺序可能为：123，132，213，231， 31
13、2，321.方案一坐“3 号”车可能：132，213，231，所以 1 3 6 P ；方案二坐“3 号”车可能：312，321， 所以 2 2 6 P .则该嘉宾坐到“3 号”车的概率 12 5 6 PPP. 8.( )cossinfxxxx ，所以在 2 x 处的切线的斜率为( ) 22 k f . 9. 2 3 1 2 135 6 16 1 () 111 (1)13 1 aq aaaq aqSq q . 10.因为2sincos( ) 4 ，解得 1 tan 3 ，所以 1 1 1 3 tan() 1 42 1 3 . 11.如图，10AB（寸） ，则5AD（寸） ，1CD（寸） ，设圆
14、O 的半径为 x（寸） ，则 (1 )ODx （寸）. 在RtADO，由勾股定理可得 222 5(1)xx，解得13x （寸） ，则该木材的体积约为 22 1001316900 x （立方寸）. 12.函数 ( )f x的图象如右图所示，由题意， 3 0()2f x，即 3 19x，因为 123 ( )()()f xf xf x，所 以 3133 ( )(3)x f xxx，令 3 (1,3)tx，构造函数 32 ( )3g ttt ， 2 ( )36g ttt ，所以当 2t 时， max ( )(2)4g tg，所以 31 ( )x f x的最大值为 4. 13.设正方形 ABCD 的边长
15、为 a，以 A 为原点，AB AD ， 所在直线为分别为x y ， 轴建立平面直角坐标系，则 (0 0)(0)()(0)AB aC a aDa， ， ， ，. 设()P xy，因为 0CP DP ，所以 () ()0 xa yax ya， ，即 2 22 ()() 24 aa xya， 设 cos 22 sin 2 aa x a ya ， 又 因 为()() 22 aa E aFa， ，APAEAF， 所 以()()() 22 aa x yaa， 即 2 2 a xa a ya ， ， 所以 22 32 ()(sincos )1sin() 332234 aa xy aa ， 由 P 为正 方
16、形 ABCD内 部 一 点 （ 包 含 边 界 ）， 可 得2 ， ， 所 以 444 ， 所 以 224 1s i n ()1 3433 ， . 14.法一：设ADt，则3CDt，4ACt ， 在ABD中， 222 ( 2) cos 2 2 tc ADB t ， 在BDC中， 222 (3 )( 2) cos 2 2 3 ta BDC t ， 又coscosADBBDC， 所以 222222 ( 2)(3 )( 2) 2 22 2 3 tcta tt ，解得 222 1238tca， 在ABC中， 2222 (4 )2cosACtacacB，即 222 1 16 2 tacac， 由可得 2
17、2 3 932 2 acac. 所以 2222 3335 32(3 )(3 )(3 )()(3 ) 2228 ac acacacac ， 即 2 8 32 (3 ) 5 ac ，所以 16 5 3 5 ac， 当且仅当3ac，即 8 58 5 , 515 ac时等号成立， 所以3ABBC的最大值为16 5 5 . 法二：因为3CDAD，所以 3CDDA ，即3()BDBCBABD， 整理得到 31 44 BDBABC，两边平方后有 222913 16168 BDBABCBA BC， 所以 22913 2 16168 BABCBA BC即 229131 2| | 161684 BABCBABC，
18、 整理得到 22 3 329| | 2 BABCBABC， 设|cBAaBC，所以 222 39 329(3) 22 caaccaac， 因为 2 93 33 3 () 2222 aca cca ， 所以 2222 935 32(3)(3)(3)(3) 288 caaccacaca， 8 3216 5 3 55 ca ，当且仅当 8 58 5 515 ac，时等号成立， 所以3ABBC的最大值为16 5 5 . 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分. 15.（本小题满分 14 分） 解： （1）因为1a 且 3cossinCcA ，所以 3 cossinaCcA ， 2 分 在ABC
19、中，由正弦定理 sinsin ac AC ，所以sinsinaCcA， 所以3sincossinsinACCA. 4 分 因为(0)A，所以sin0A，所以3cossinCC， 因为(0)C，所以sin0C ，所以cos0C ，所以tan3C ， 6 分 因为(0)C，所以 3 C . 8 分 （2）由（1）知， 3 ACB ，因为1a ，3b， 所以ABC的面积 133 3 sinsin 2234 ABC SabACB ， 10 分 因为D是AB上的点，CD平分ACB， 所以 1 sin 1 26 1 3 sin 26 BCD ACD a CD Sa Sb b CD ， 12 分 因为 AB
20、CACDBCD SSS ，所以 333 39 3 44416 ACDABC SS . 14 分 16.（本小题满分 14 分） 证： （1）因为四边形 ABCD 是矩形，所以ABCD. 2 分 又AB平面 PDC，CD平面 PDC， 所以AB平面 PDC， 5 分 又因为AB 平面 ABE，平面ABE 平面PDCEF， 所以ABEF. 7 分 （2）因为四边形 ABCD 是矩形，所以ABAD. 因为AFEF， （1）中已证ABEF， 所以ABAF， 9 分 因为ABAD，由点 E 在棱 PC 上（异于点 C） ， 所以 F 点异于点 D，所以AFADA， 又AFAD， 平面 PAD，所以AB
21、平面 PAD， 12 分 又AB 平面 ABCD，所以平面PAD 平面 ABCD. 14 分 17.（本小题满分 14 分） 解： （1）由题意AOCCOD，设四边形OCDB的面积为( )S， 因为四边形OCDB可以分为OCD和OBD两部分， 所以 11 ( )sinsin(2 ) 22 OCDOBD SSSOC ODOB OD ， 3 分 因为1OBOCOD，所以 1 ( )(sinsin2 ) 2 S. 因为020，所以0 2 . 所以四边形OCDB的面积 1 ( )(sinsin2 )(0) 22 S ，. 6 分 （2）由（1） 1 ( )(sinsin2 )(0) 22 S ， 所以
22、 22 11 ( )( sin )(sincos )coscossin 22 S 2 1 (4coscos2) 2 ， 令( )0S ，即 2 4coscos20，解得 133 cos 8 或 133 cos 8 ， 因为0 2 ，所以存在唯一的 0 ，使得 0 133 cos 8 . 10 分 当 0 0时，( )0S，( )S在 0 (0)，单调递增； 当 0 2 时，( )0S ，( )S在 0 () 2 ，单调递减， 所以 0 时， max0 ( )()SS， 12 分 此时 222 0 2cos(2)BDOBODOB OD 22 000 1 12cos222(2cos1)4cos ，
23、 从而 0 133 2cos 4 BD （千米）. 答：当四边形OCDB的面积最大时，BD 的长为 133 4 千米. 14 分 18.（本小题满分 16 分） 解： （1）因为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，短轴长为 2， 所以 222 22 2 2 b abc c a ， ， ，解得 21ab， 所以该椭圆的标准方程为 2 2 1 2 x y. 4 分 （2）因为点( 2) (0)(2 0)Mm mA， 所以直线AM的方程为 (2) 2 2 m yx ，即 2 (2) 4 m yx . 由 2 2 1 2 2 (2) 4 x y m yx ， ， 消去y
24、得 2222 (4)2 2280mxm xm. 7 分 设 00 ()C xy，则 2 0 2 28 2 4 m x m ，所以 2 0 2 24 2 4 m x m ，所以 0 2 4 4 m y m . 连接OM，取OM的中点R，则 2 () 22 m R， 10 分 连接CR，因为OCCM，所以CROM. 又 3 0 2 0 4 2 224 23 2 2 OMCR m y mmm kk m x ， ， 所以 3 2 4 1 2 4 23 2 mmm m ，即 42 280mm， 因为0m，所以 2m ， 13 分 所以四边形OBMC的面积 2 114 24 2 222 223( 2)4
25、ABMAOC SSS . 16 分 19.（本小题满分 16 分） 解： （1）因为 2 ( )2lnf xxaxx，所以 2 22 ( )0() xax fxx x . 2 分 令 2 22( )pxaxx， 2 16a ， 当0即44a 时，( )0p x ，即( )0fx ， 所以函数( ) fx单调递增区间为(0)，. 当0 即4a或4a时， 22 12 1616 44 aaaa xx ， . 若4a，则 12 0 xx，所以0( )px，即( )0fx ， 所以函数( ) fx的单调递增区间为0() ，. 若4a，则 21 0 xx，由( )0fx 即 0( )px ，得 1 0 x
26、x或 2 xx； 由 ( )0fx ，即 0( )px 得 12 xxx. 所以函数( ) fx的单调递增区间为 12 0() ()xx， ， ，；单调递减区间为 12 ()xx，. 综上，当4a时，函数( ) fx的单调递增区间为(0)， ，无减区间；当4a 时，函数( ) fx的单调 递增区间为 12 0() ()xx， ， ，单调递减区间为 12 ()xx，. 6 分 （2）由（1）得 2 22 ( )0() xax fxx x ， 若( ) fx有两个极值点 12 xx，则 12 xx，是方程 2 220 xax的两个不等正实根， 由（1）知4a .则 121 2 21 2 a xxx
27、 x，故 12 01xx， 8 分 要使 12 ( )f xmx恒成立，只需 1 2 ( )f x m x 恒成立. 因为 222 3 1111111 1111 22 1 ()2ln22ln ln 1 2 22 f xxaxxxxx xxxx xx x ， 10 分 令 3 ( )2ln(01)2h ttttt t ，则 2 ( )3ln2h ttt ， 12 分 当01t 时，( )0h t ， ( )h t为减函数，所以( )(1)3h th . 14 分 由题意，要使 12 ( )f xmx恒成立，只需满足3m. 所以实数m的取值范围 3( ，. 16 分 20.（本小题满分 16 分）
28、 解： （1）由32 n n S ，可知 11 2 3n nnn aSS ， 故 1 320 n nn aS 对一切正整数n都成立，故 n a是P数列. 3 分 （2）由题意知，该数列的前n项和为 (1) 2 n n n Snd ， 1 1 n and ， 由数列 12310 aaaa， ， ， ，是P数列，可知 211 aSa，故公差0d . 2 1 3 (1)10 22 nn d Sand n 对满足19n中的每一个正整数n都成立， 即 2 3 (1)10 22 d nd n 对于19n都成立. 6 分 由 2 2 3 1(1) 10 22 3 99(1) 10 22 d d d d ，
29、， 可得 8 0 27 d，故d的取值范围是 8 (0) 27 ，. 8 分 （3）若 n a是P数列，则 12 aSaaq， 若0a，则1q ，又由 1nn aS 对一切正整数n都成立， 可知 1 1 n n q aqa q ，即 1 2( )nq q 对一切正整数n都成立， 由 1 ( )0 n q ， 1 ( )(0 1) n q ，故20q ，可得2q. 若0a，则1q ，又由 1nn aS 对一切正整数n都成立， 可知 1 1 n n q aqa q ，即(2)1 n q q对一切正整数n都成立， 又当(1q ，时，(2)1 n q q当2n时不成立， 故有 (0 1) (2)1 q
30、 q q ， ， ， 或 2 ( 1 0) (2)1 q q q ， ， ， 解得 15 (0)(0 1) 2 q ，. 所以 n a是P数列时，a与q所满足的条件为 0 2 a q ， ， 或 0 15 (0 1)(0) 2 a q ， ， 12 分 下面用反证法证明命题“若0a且 12 TT，则 n a不是P数列”. 假设 n a是P数列，由0a，可知2q且 n a中每一项均为正数， 若 n b中的每一项都在 n c中，则由这两数列是不同数列，可知 12 TT， 若 n c中的每一项都在 n b中，同理可得 12 TT. 若 n b中至少有一项不在 n c中且 n c中至少有一项不在 n
31、b中， 设 nn bc ，是将 nn bc，中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为 12 TT ， 不妨设, nn bc 中的最大项在 n b中，设为 m a，则2m， 则 21211mm TaaaaT ，故 21 TT ，所以 21 TT， 故总有 12 TT，与 12 TT矛盾.故 n a不是P数列. 16 分 数学（附加题） 21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题 ，若多做，则按作答的前两题评分. A.选修选修 4 2：矩阵与变换：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 解：依题意 12 34 5 x 2y y ，即 102 320 xy xy ， ，
32、 解得 4 8 x y ， ， 3 分 由逆矩阵公式知，矩阵 M 12 34 的逆矩阵 1 21 31 22 M， 7 分 所以 1 x y M 21 31 22 4 8 16 10 . 10 分 B.选修选修 4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 解：直线 22 (sincos )2 22 l：， 所以直线l的直角坐标方程为20 xy. 3 分 曲线C的普通方程为 22 (2)1 ( 32)xy x ， 6 分 22 20 (2)1 ( 32) xy xy x ， -， 消去 y 整理得 2 2870 xx， 则 2 2 2 x ，所以交点坐标为 22 ( 2)
33、 22 ， . 10 分 C.选修选修 4 5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分 10 分） 解：由00 xy， 22 1127 4 xy xy ， 得 22 15316127 444 xy xyxy 22 3 3 8 81127327 33126 88444 xy x xyy . 6 分 当且仅当 2 2 8 1 8 x x y y ， ， 即 1 2 2 xy，时等号成立. 故 153 4xy 的最小值为 6. 10 分 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分 1
34、0 分） 解：设O是AD中点，PAD为正三角形，则POAD. 因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD， 所以POABCD 面. 又因为2ADAE，60DAB， 所以ADE为正三角形， 所以OEAD. 建立如图所示空间直角坐标系Oxyz， 则(0 03)(03 0)( 23 0)( 1 0 0)PECD， ， ， 于是( 233)(033)(1 03)PCPEDP ，. 2 分 （1）设平面PEC的法向量为 1 ()x y z， ，n， 由 11 0,0PCPEnn，得一个法向量为 1 (0 1 1)，n， 平面EDC的一个法向量为 2 (0 0 1)，n， 所以
35、 12 12 cos 22 ，nn， 又由图可得二面角PECD为锐角， 所以二面角PECD的余弦值为 2 2 . 4 分 （2）设(01)PMPC ，则( 233 )PM ， (12333 )DMDPPM，(033)PE ， 6 分 所以 2 |63|6 |cos| | 8| 610104 DM PE DMPE DMPE ， 8 分 解得 1 3 或 2 3 ，所以存在点M为线段PC的三等分点. 10 分 23.（本小题满分 10 分） 解： （1）当2n时，0 1 2 0 2 0 1 2M ， ， ， ， ，具有性质P， 对应的k分别为0 1 2 1 1，故(2)5f. 3 分 （2）设当n
36、t时，具有性质P的集合M的个数为( )f t， 则当1nt 时，(1)( )(1)f tf tg t， 其中(1)g t 表示1tM 时也具有性质P的集合M的个数， 下面计算(1)g t 关于t的表达式， 此时应有21kt，即 1 2 t k ，故对nt分奇偶讨论. 当t为偶数时，1t为奇数，故应该有 2 2 t k ， 则对每一个k，1t和21kt 必然属于集合M， 且t和2kt，k和k共有1tk 组数， 每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合M， 故对每一个k，对应具有性质P的集合M的个数为 0111 111 2 tktk tktktk CCC ， 所以 2 1 222 (1)22212 21 ttt g t . 5 分 当t为奇数时，1t为偶数，故应该有 1 2 t k ， 同理 11 1 222 (1)22212 221 ttt g t ， 7 分 综上，可得 2 2 ( )2 21 (1) ( )2 221 t t f tt f t f tt ， 为偶数， ， 为奇数， 又(2)5f， 由累加法解得 2 1 2 6 25 ( ) 4 25 t t tt f t tt ， 为偶数， ， 为奇数， 即 2 1 2 6 25 ( ) 4 25 n n nn f n nn ，为偶数， ，为奇数 10 分
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