1、知识点知识点 48 动态型问题动态型问题 一、选择题一、选择题 9.（2020湖北孝感）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，D=90，AB=4，BC=6，BAD=30， （第 9 题） 动点 P 沿路径 ABCD 从点 A 出发， 以每秒 1 个单位长度的速度向点 D 运动， 过点 P 作 PHAD， 垂足为 H， 设点 P 运动的时间为 x(单位： s)， APH 的面积为 y， 则 y 关于 x 的函数图像大致是( ) 答案D 解析当点 P 在 AB 上移动时，AP=x，A=30，则 AH= 3 2 x，PH=1 2x，y= 3 2 x1 2x2= 3 8 x2，y 是 x 的二次函数
2、,当 x=4 时，y=23； 当点 P 在 BC 上移动时，即 4x10 时，y=x-4+23，y 是 x 的一次函数，当 x=10 时，y=6+23； 当点 P 在 CD 上移动时，当 10 x12 时，y=(6+23)(12-x)=-( 6+23)x+12（6+23） ，y 是 x 的一次函数，y 随 x 的增大而减小.故选 D. 9 （2020南通） 矩形 ABCD 中，E 为 AD 边上的一点，动点 P 沿着 BED 运动，到 D 停止， 动点 Q 沿着 BC 运动到 C 停止，它们的速度都是 1cm/s，设它们的运动时间为 x s， BPQ 的面积记为 y cm2，y 与 x 的关系
3、如图所示，则矩形 ABCD 的面积为 A96 B84 C72 D56 答案C 解析由已知可得当点 P 运动到与 E 点重合时，x10，过点 E 作 EHBC 于 H， A B E D C P Q 10 30 14 x / y /cm O 11 1030 22 yBQEHEH，得 EHAB6，在 RtABE 中，由勾股定理求得 AB6，由右 图可知当 x14 时， 点 Q 与点 C 重合， 所以 BC14， 所以矩形 ABCD 的面积12 672， 故选 C （2020本溪）10 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC22，CDAB 于点 D点 P 从点 A 出发，沿 ADC
4、的路径运动，运动到点 C 停止，过点 P 作 PEAC 于点 E， 作 PFBC 于点 F设点 P 运动的路程为 x，四边形 CEPF 的面积为 y，则能反映 y 与 x 之间函 数关系的图象是（ ） A B C D 答案 解析根据 RtABC 中， ACB90， ACBC22， 可得 AB4， 根据 CDAB 于点 D 可 得 ADBD2，CD 平分角 ACB，点 P 从点 A 出发，沿 ADC 的路径运动，运动到点 C 停 止，分两种情况讨论：根据 PEAC，PFBC，可得四边形 CEPF 是矩形和正方形，设点 P 运 动的路程为 x，四边形 CEPF 的面积为 y，进而可得能反映 y 与
5、 x 之间函数关系式，从而可以得 函数的图象 在 RtABC 中，ACB90，ACBC22， AB4，A45， CDAB 于点 D， ADBD2， D A BC E HQ PEAC，PFBC， 四边形 CEPF 是矩形， CEPF，PECF， 点 P 运动的路程为 x， APx， 则 AEPExsin45= 2 2 x， CEACAE22 2 2 x， 四边形 CEPF 的面积为 y， 当点 P 从点 A 出发，沿 AD 路径运动时， 即 0 x2 时， yPECE = 2 2 x（22 2 2 x） = 1 2x 2+2x = 1 2（x2） 2+2， 当 0 x2 时，抛物线开口向下； 当
6、点 P 沿 DC 路径运动时， 即 2x4 时， CD 是ACB 的平分线， PEPF， 四边形 CEPF 是正方形， AD2，PDx2， CP4x， y= 1 2（4x） 2=1 2（x4） 2 当 2x4 时，抛物线开口向上， 综上所述：能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是 A 9 （2020东营）如图 1，点 P 从ABC 的顶点 A 出发，沿 ABC 匀速运动到点 C，图 2 是点 P 运动时线段 CP 的长度y随时间x变化的关系图象，其中点 Q 为曲线部分的最低点，则ABC 的边 AB 的长度为（ ） A.12 B. 8 C.10 D.13 答案C 解析本题是运动型综合题，考查了
7、动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点解 题的关键是深刻理解动点的函数图象， 了解图象中关键点所代表的实际意义， 理解动点的完整运动 过程 当 P 点分别与 A、B 重合时，PC=13，由此可推出：ABC 是等腰三角形，AC=BC=13； 当 CPAB 时，PC 的值最小，即ABC 中，AB 上的高为 12，此时 P 点恰好运动至 AB 的中点， 22 13125AP =-=，210ABAP= 9 （2020威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具用七巧板能拼出许多有趣的图案小李将一 块等腰直角三角形硬纸板 （如图） 切割七块， 正好制成一副七巧板 （如图） 已知 AB40cm， 则图
8、中阴影部分的面积为（ ） A25cm2 B100 3 cm2 C50cm2 D75cm2 【分析】如图：设 OFEFFGx，可得 EH22x20，解方程即可解决问题 【解析】 ：如图：设 OFEFFGx， OEOH2x， 在 RtEOH 中，EH22x， 由题意 EH20cm， AB C P 2022x， x52， 阴影部分的面积（52）250（cm2） 故选：C 11 （2020淄博）如图 1，点 P 从ABC 的顶点 B 出发，沿 BCA 匀速运动到点 A，图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象，其中 M 是曲线部分的最低点，则ABC 的面积是（ ）
9、A12 B24 C36 D48 【解析】由图 2 知，ABBC10，当 BPAC 时，y 的值最小，即ABC 中，BC 边上的高为 8 （即此时 BP8） ， 当 y8 时，PC= 2 2= 102 82=6，ABC 的面积= 1 2 ACBP= 1 2 81248， 故选：D 二、填空题二、填空题 15 （2020 鄂州）如图，半径为2cm的O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于 E，点 F 为正方形的中心，直线OE过F点当正方形ABCD沿直线OF以每秒(23)cm的速度向左运动 _秒时，O与正方形重叠部分的面积为 2 2 3 cm 3 答案1 或11 6 3+ 解析本题考查正方形的
10、性质，扇形面积的计算及等边三角形的判定和性质，题目难度不大，注意 分情况讨论是本题的解题关键将正方形向左平移，使得正方形与圆的重叠部分为弓形，根据题目 数据求得此时弓形面积符合题意，由此得到 OF的长度，然后结合运动速度求解即可，特别要注意 的是正方形沿直线运动，所以需要分类讨论 解：当正方形运动到如图 1 位置，连接 OA，OB，AB交 OF于点 E 此时正方形与圆的重叠部分的面积为 S扇形OAB-SOAB 由题意可知：OAOBAB2，OFAB OAB为等边三角形 AOB60 ，OEAB 在 RtAOE中，AOE30 ，AE 1 1 2 OA ，OE 3 S扇形OAB -SOAB 2 602
11、12 =233 36023 -创=- OF31 点 F向左运动3 ( 3 1)23-+=-个单位 所以此时运动时间为 23 =1 23 - - 秒 同理，当正方形运动到如图 2 位置，连接 OC，OD，CD交 OF于点 E 此时正方形与圆的重叠部分的面积为 S扇形OCD-SOCD 由题意可知：OCODCD2，OFCD OCD为等边三角形 COD60 ，OECD 在 RtCOE中，COE30 ，CE 1 OC1 2 =，OE 3 S扇形OCD -SOCD 2 60212 =233 36023 -创=- OF31 点 F向左运动3 ( 3 1)43+=+个单位 所以此时运动时间为 43 =11 6
12、 3 23 + + - 秒 综上，当运动时间为 1 或11 6 3+秒时，O与正方形重叠部分的面积为 2 2 3(cm ) 3 - 故答案为：1或11 6 3+ 17 （2020湘西州）在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（6，0） ，点 B 在 y 轴的正半轴上， ABO30，矩形 CODE 的顶点 D，E，C 分别在 OA，AB，OB 上，OD2将矩形 CODE 沿 x 轴向右平移，当矩形 CODE 与ABO 重叠部分的面积为 63时，则矩形 CODE 向右平移的距 离为 （第 17 题图） 答案2 解析本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯 形
13、面积公式等知识，熟练掌握含 30角的直角三角形的性质时是解题的关键点 A（6，0） ， OA6，OD2，ADOAOD624，四边形 CODE 是矩形，DEOC，AED ABO30，在 RtAED 中，AE2AD8，ED 2222 84AEAD43，OD2， 点 E 的坐标为（2，43） ；由平移的性质得：OD2，ED43，MEOOt， DEOCOB， EFMABO30， 在 RtMFE中， MF2ME2t， FE 2222 (2 )3MFMEttt， SMFE 1 2 MEFE 1 2 t3t 2 3 2 t ， S矩形COD EODED24 3 83，SS矩形CODESMFE8 2 3 3
14、2 t =63，解 得 t1=2，t2=-2（舍去） ，因此本题答案是 2 17（2020通辽）如图，在ABC 中，ABAC，BAC120 ，点 E 是边 AB 的中点，点 P 是边 BC 上一动点，设 PCx，PA+PEy图是 y 关于 x 的函数图象，其中 H 是图象上的最低 点那么 a+b 的值为 答案7 解析点 E 是边 AB 的中点，AE=BE= 1 2 AB从图象中可以看出，当 x 的值最大时，所对应的 函数值是3 3， 此时点 P 恰与点 B 重合 此时 PA+PEAB+ 1 2 AB= 3 2 AB=3 3， 得 AB=2 3=AC， AE=BE= 3如图，作点 E 关于 BC
15、 的对称点 F，连结 AF 交 BC 于点 P，此时 PA+PE 有最小值，即是 AF 长， 连结 BF 在ABC 中， ABAC， BAC120 ， ABC=C=30 ， 由轴对称可得 BF=BE， ABC=FBP=30 ， EBF=60 ， EBF 是等边三角形， EF=BE， AE=BE， AE=BE= EF， 易证ABF 是直角三角形，AF=ABsinABF=2 3sin60 =2 3 3 2 =3，即 a=3，在ABF 中， AFB=90，ABF=60，BAF=30，BAC120，PAC=BACBAF=90， cosC=cos30 = AC PC = 3 2 ，PC= 2 3 AC
16、= 2 2 3 3 =4，即 b=4，a+b=7 三、解答题三、解答题 24 （2020 温州）如图,在四边形ABCD中,AC90 ,DE,BF分别平分ADC,ABC, 并交线段AB,CD于点E,F(点E,B不重合).在线段BF上取点M,N(点M在BN之间),使BM 2FN.当点P从点D匀速运动到点E时,点Q恰好从点M匀速运动到点N.记QNx,PDy, 已知 6 12 5 yx ,当Q为BF中点时 24 5 y . CP E F B A (1)判断DE与BF的位置关系,并说明理由. (2)求DE,BF的长. (3)若AD6. 当DPDF时,通过计算比较BE与BQ的大小关系. 连结PQ,当PQ所
17、在直线经过四边形ABCD的一个顶点时,求所有满足条件的x的值. 解析这是一道四边形动点综合题。 （1） 根据四边形内角和360 得到ADCABC180 ， 再根据角平分线得ADEABF90 . 由直角三角形两锐角互余得到AEDABF,从而DEBF. （2）由y 6 5 x12，令x0得y12，所以DE12.令y0得x10，得MN10 把y 24 5 代人y 6 5 x12，得x6，即NQ6，从而QM1064. 由Q是BF中点，得到FQQB.因为BM2FN，所以FN642FN，得FN2，BM4， 所以BFFNMNMB16. （3）连结EM并延长交BC于点H，由四边形DFME是平行四边形，从而DF
18、EM.根据AD6， DE12.A90 ，得到DEA30 FBEFBC.再由ADE60 CDEFME，所以 MEBFBE30 ，EHB90 ，所以DFEMBM4，求的BE43. 当DP DF时： 6 5 x124，解得x 20 3 ，所以BQ14x14 20 3 22 3 ，所以BQBE. 分类讨论：（i）当PQ经过点D时；（ii）当PQ经过点C时；（iii）当PQ经过点A时。 答案解： （1）DEBF，理由如下（如图1）： AC90 ，ADCABC360 （AC）180 DE，BF分别平分ADC，ABC，ADE 1 2 ADC，ABF 1 2 ABC， ADEABF 1 2 180 90 .
19、ADEAED90 ，AEDABF,DEBF. （2）令x0得y12，DE12.令y0得x10，MN10 把y 24 5 代人y 6 5x12，得x6，即NQ6，QM1064. Q是BF中点，FQQB.BM2FN，FN642FN，得FN2，BM4，BFFNMN MB16. （3）如图2.连结EM并延长交BC于点H， FM21012DE，DEBF，四边形DFME是平行四边形，DF EM. AD6，DE12，A90 ，DEA30 FBEFBC. ADE60 CDEFME， MEBFBE30 ， EHB90 ， DFEMBM4，MH2，HB2 3，BE43. N M F P Q AB C D E H
20、E D C BA Q P F M N 图2 当DP DF时： 6 5x124，解得x 20 3 BQ14x14 20 3 22 3 22 3 4 3,BQBE. （i）当PQ经过点D时（如图3）y0，x10 （ii）当PQ经过点C时（如图4）， FQDP， CFQCDP, FQCF DPCD ， 2 +8 6 12 12 5 x x ， 解得x 10 3 （iii）当PQ经过点A时（如图5）， PEBQ，APEAQB， PEAE QBAB .AE 22 1266 3 ， AB103， 6 12(12) 6 3 5 1410 3 x x ，解得x 14 3 .由图可知，PQ不可能过点B. 综上所
21、述，当x10，10 3 , 14 3 时，PQ所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点. 26 （2020黔东南州）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左 边） ，与 y 轴交于点 C（0，3） ，顶点 D 的坐标为（1，4） （1）求抛物线的解析式 （2）在 y 轴上找一点 E，使得EAC 为等腰三角形，请直接写出点 E 的坐标 （3）点 P 是 x 轴上的动点，点 Q 是抛物线上的动点，是否存在点 P、Q，使得以点 P、Q、B、 D 为顶点，BD 为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P、Q 坐标；若不存在，请说 明理由 解析（1）
22、已知抛物线的顶点坐标，设抛物线的解析式为顶点式，然后将点 C 坐标代入求解； （2）先求出点 A，C 坐标，设出点 E 的坐标，表示出 AE，CE，AC，根据等腰三角形的两边相等， 再分三种情况建立方程求解； （3）利用平移先确定点 Q 的纵坐标，代入抛物线解析式求出点 Q 的横坐标，即可得出结论 答案解： （1）抛物线的顶点为（1，4） ，设抛物线的解析式为 ya（x1）24， 将点 C（0，3）代入抛物线 ya（x1）24 中，得 a43，a1， 抛物线的解析式为 ya（x1）24x22x3； （2）由（1）知，抛物线的解析式为 yx22x3，令 y0，则 x22x30， x1 或 x3，
23、B（3，0） ，A（1，0） ，令 x0，则 y3， E D C BA (Q) (P) F M N 图3 E D C BA Q P F M N 图4 图5 E D C BA Q P F M N C（0，3） ，AC= 10，设点 E（0，m） ，则 AE= m2+ 1，CE|m+3|， ACE 是等腰三角形，当 ACAE 时，10 = m2+ 1， m3 或 m3（点 C 的纵坐标，舍去） ，E（3，0） ， 当 ACCE 时，10 =|m+3|，m310，E（0，3+10）或（0，310） ， 当 AECE 时，m2+ 1 =|m+3|，m= 4 3，E（0， 4 3） ， 即满足条件的点
24、E 的坐标为（0，3） 、 （0，3+10） 、 （0，310） 、 （0， 4 3） ； （3）如图，存在. 点 D 的坐标为（1，4） ，将线段 BD 向上平移 4 个单位，再向右（或向左）平移适当的距离， 使点 B 的对应点落在抛物线上，这样便存在点 Q，此时点 D 的对应点就是点 P， 点 Q 的纵坐标为 4，设 Q （t，4） ，将点 Q 的坐标代入抛物线 yx22x3 中得，t22t34， t1+22或 t122，Q（1+22，4）或（122，4） ， 分别过点 D，Q 作 x 轴的垂线，垂足分别为 F，G， 抛物线 yx22x3 与 x 轴的右边交点 B 的坐标为（3，0） ，且
25、 D（1，4） ， FBPG312， 点 P 的横坐标为（1+22）21+22或（122）2122， 即 P（1+22，0） 、Q（1+22，4）或 P（122，0） 、Q（122，4） 22（2020 河南）小亮在学习中遇到这样一个问题: 小亮分析发现， 此问题很难通过常规的推理计算彻底解决， 于是尝试结合学习函数的经验研究此问 题.请将下面的探究过程补充完整: (1)根据点D在弧BC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的 几组对应值. BD/ cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 CD/ cm 8.0 7.7 7.2 6
26、.6 5.9 a 3.9 2.4 0 如图，点D是弧BC上一动点，线段BC=8，点A是线段BC的 中点，过点C作CFBD，交DA的延长线于点F，当DCF为等 腰三角形时，求线段BD的长度. FD/ cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现:“当点D为弧BC的中点时，BD=5.0cm”，则上表中a的值是 ； “线段CF的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由. (2)将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为 CD y和 FD y，并在平面 直角坐标系xOy中画出了函数 FD y的图象，如图所示.请在同一坐标系中画出函数
27、CD y的图象； (3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出:当 DCF为等腰三角形时，线 段BD长度的近似值(结果保留一位小数). 解析 （1） 根据在“同圆中， 等弧所对的弦相等”可得CD=BD=5.0； 由题意易得 ACFABD， CF=BD；（2）根据（1）表格中的数值描点、连线即可；（3）先画出函数图像，根据函数图象 的交点确定线段BD长度的近似值. 答案解：(1)5.0； 由题意可得， ACFABD，CF=BD； (2) CD y 的图象如图所示. (3) CF y 的图象如图所示. DCF为等腰三角形时，线段BD的长度约为3.5cm或5.0cm或6.3cm.(
28、答案不唯一) 26（2020 衡阳）如图1，平面直角坐标系xoy中，等腰 ABC的底边BC在x轴上，BC=8，顶点A在 y的正半轴上，OA=2，动点E从(3，0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中 点停止，另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止，已知点E、F同时 出发， 以EF为边作正方形EFGH， 使正方形EFGH和 ABC在BC的同侧， 设运动的时间为t秒(t0). (1)当点H落在AC边上时求t的值； (2)设正方形FGH与 ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S= 91 36 ?若存在，求出t值；若不 存在，请说明理由； (3)如图2，
29、取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2 5个单 位的速度沿OD-DC-CD- DO运动，到达点O停止运动，请问在点E的整个运动过程中，点M可能 在正方形EFGH内(含边界)吗?如果可能，求出点M在正方形EFCH内(含边界)的时长；若不可能， 请说明理由. (第 26题图1) (第26题图2) 解析本题考查了考查了三角形相似的判定及其性质、 勾股定理分类讨论思想、 数形结合思想等知 识， 是动点综合题， 根据题意画出图形是解题的关键（1） 当点H落在AC边上时， CHECAO ， HE1，可以确定CE的长度，得到答案； （2）分0t4、4t 13 3 、 13
30、3 t5三种情况讨论，前两种 情况通过比较面积关系，显然不存在， 13 3 t5时，设EH交AB于Q，HG交AB于P，则重叠部分为 五边形PQEFG，根据S=S正方形EFGH-S HPQ= 91 36，列方程求得符合条件的t的值； （3）可能，把点M从点O出发，以每秒2 5个单位的速度沿OD-DC-CD- DO运动，看成垂足N从点 O出发，以每秒4个单位的速度沿OC-CO运动，再通过N、E的路程关系列不等式求得符合条件的范 围，从而求出点M在正方形EFCH内(含边界)的时长 答案解： （1）当点H落在AC边上时， CHECAO，HE1， HECE AOCO ，即 1 24 CE ，CE 2，又
31、点E从距离C点1个单位的位置出发，所以t1； (第 26题答图1) (2)当0t4时，点E、F都在运动，正方形FGH的边长为1，正方形FGH与 ABC重叠面积S1，故此 时不存在正方形FGH与 ABC重叠面积S= 91 36； 当4t5时， 此时F运动到O点停止， E继续运动， 设OB的中点为N， ON的中点为M， 则EF=t-4+1=t-3， BE=BO-EF=4-( t-3)=7-t，当H在AB边上时， BEHBFA， HEBE AOBO ，即 4 7 2 HEt ，HE= 7 2 t ， HE=EF， 7 2 t = t-3， 解得t= 13 3 ， 正方形EFGH的面积为EF2= 2
32、1691 3 93 13 36 ， 即4t 13 3 时，不存在正方形FGH与 ABC重叠面积S= 91 36； (第 26题答图2) (第 26题答图3) 当 13 3 t5时， EF= t-3， BE=7-t， 当H在 ABC外部， 设EH交AB于Q， HG交AB于P， 则 BEQBFA， ， QEBE AOBO ，即 4 7 2 QEt ，QE= 7 2 t ，HQ=EH- QE = EF- QE= t-3- 7 2 t = 313 2 t ，又 BEQPHQ， QEBE QHPH ，即 1 2 QEQH BEPH ， PH=2( 313 2 t )=3t-13，正方形EFGH与 ABC
33、重叠面积S=S正方形EFGH- S PHQ=( t-3)2- 11 313313 22 tt = 2 527133 424 tt = 91 36，解得t1= 92 15，t2= 14 3 ，又 13 3 t5，故t1= 92 15不符合条 件，舍去，所以存在t= 14 3 ，使得S= 91 36，综上，存在t= 14 3 ，使得S= 91 36； (3)如图， 在Rt AOC中， 2222 242 5ACAOOC ， 又D是AC的中点， OD= 1 2 ACDC = 5 ，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2 5个单位的速度沿OD-DC-CD- DO运动， 到达点O停止运动，M的运动
34、时间t的范围是0t2， 过M作MNOC于N，当点M从点O出发，以每秒2 5个单位的速度沿OD-DC-CD- DO运动时，相 当于点N从点O出发，以每秒4个单位的速度沿OC-CO运动，到达点O停止运动，当0t1时，N运动 的路程为4t，E运动的路程为t，当34t+t4时，即 0.6t0.8时点M在正方形EFGH内；当1t2时， CN=4t-4， CE=t， 当04t-4-t1时， 即 4 3t 5 3时点M在正方形EFGH内， 综上， 0.6t0.8或 4 3t 5 3时， 点M在正方形EFGH内，点M在正方形EFCH内(含边界)的时长为0.2+ 1 3= 8 15秒 (第 26题答图4) 24
35、 （2020青岛）已知：如图，在四边形 ABCD 和 RtEBF 中，ABCD，CDAB，点 C 在 EB 上， ABC=EBF=90，AB=BE=8cm，BC=BF=6cm，延长 DC 交 EF 于点 M.点 P 从点 A 出发，沿 AC 方向匀速运动，速度为 2cm/s；同时，点 Q 从点 M 出发，沿 MF 方向匀速运动，速度为 1cm/s.过 点 P 作 GHAB 于点 H，交 CD 于点 G.设运动时间为 t(s)(0t5). 解答下列问题: (1)当 t 为何值时，点 M 在线段 CQ 的垂直平分线上？ (2)连接 PQ，作 QNAF 于点 N，当四边形 PQNH 为矩形时，求 t
36、 的值； (3)连接 QC，QH，设四边形 QCGH 的面积为 S( 2 cm)，求 S 与 t 的函数关系式； (4)点 P 在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使点 P 在AFE 的平分线上？若存在，求出 t 的值； 若不存在，请说明理由. 解： （1）ABCD， BE CE BF CM ，又AB=BE=8cm，BC=BF=6cm， 8 68 6 CM ，CM= 2 3 . 点 M 在线段 CQ 的垂直平分线上，t=MQ=CM= 2 3 . 当 t= 2 3 时，点 M 在线段 CQ 的垂直平分线上. （2）如图所示， ABC=EBF=90，AB=BE=8，BC=BF=6，AC=EF=10
37、. 又GHAB 于点 H，QNAF 于点 N，ABCD， AC CB AP PH ， EF BE QF QN ， EB EC EF EM , 10 6 2 t PH ， 10 8 10 EMt QN ， 8 68 10 EM ， tPH 5 6 ， 2 5 EM，tQN 5 2 6. 四边形 PQNH 为矩形，PH=QN，即tt 5 2 6 5 6 ，t= 4 15 . （3）如图所示，作 QNAF 于点 N，交 DM 的延长线于点 I， GHAB 于点 H，QNAF 于点 N，ABCD， AC CP AB BH ， EF BE QF QN ， EB EC EF EM ， EM QM CE Q
38、I ， 10 210 8 tBH ， 10 8 10 EMt QN ， 8 68 10 EM ， 2 5 2 tQI ， tBHCG 5 8 8， 2 5 EM，tQN 5 2 6，tQI 5 4 . QHFQCMGMFHQCGH SSSSS 梯形四边形 QNBFBHQICMBCBFBHCMCG)( 2 1 2 1 )( 2 1 ) 5 2 6)(6 5 8 8( 2 1 5 4 2 3 2 1 6)6 5 8 8 2 3 5 8 8( 2 1 ttttt ) 5 2 6)( 5 4 7( 5 3 ) 5 16 2 47 (3tttt ) 25 8 5 38 42( 5 3 5 48 2 14
39、1 2 tttt 2 25 8 5 38 42 5 3 5 48 2 141 tttt 2 57 5 13 25 8 2 tt(0 9 4 s 时，延长 EP 交边 AD 于点 F，连接 FQ，若 FQ 平分AFP，求 AF CE 的值. 图 1 图 2 图 3 解析（1）根据运动速度和时间求出 CP=5，由勾股定理可得 AC=10，从而可得 AP=CP=5，然后 E P D A C B Q F E P D A C B Q F E P D A C B Q 根据矩形的性质可得 AD/BC，从而可得FAP=ECP，AFP=CEP，最后根据三角形全等的判 定定理与性质即可得证； （2） 连接 FQ，
40、 由(1)得 FP=EP， 再根据垂直平分线的判定与性质可得 QF=QE， 最后根据勾股定理、 等量代换即可得证； （3）先根据角平分线的性质得出 AQ=PQ，再根据直角三角形全等的判定定理与性质得出AQF= PQF，然后根据三线合一得出 QF 平分 AP，再根据余弦三角函数可求出 t 的值，从而可得 CP、 AP的长，最后根据平行线分线段成比例定理转换即可得结果 答案解: （1）在矩形 ABCD 中，ABC=90，AD/BC. 22 =10ACABBC. FAP=ECP，AFP=CEP. 当 t=5s 时，CP=5. AP=PC. AFDCEP. AF=CE. （2） 222 AQCEQE，
41、证明如下： 如图，连接 FQ. 由（1）得，AF=CE，FP=PE. QPFE， PQ 是线段 EF 的垂直平分线. QE=QF. BAD=90， 222 AQAFQF. 222 AQCEQE. （3）设 FQ 与 AC 的交点为点 G. PQ 平分AFB，QAF=QPF=90， QA=QP，QF 平分AQP. QFAP，AG=PG. 3 cos= 5 AGAB BAC AQAC . AQ=PC=t， F E P D A C B Q AG= 3 5 t，AP= 6 5 t. AC=AP+PC= 6 5 t+t= 11 5 t=10. 50 11 t . 60 11 AP . AD/BC， 60
42、 6 11 50 5 11 AFAP CECP . 故 AF CE 的值为 6 5 25 （2020 凉山州） （8 分）如图，点 P、 Q 分别是等边 ABC 边 AB、BC 上的动点（端点除外） 点 P、点 Q 以相同的速度，同时从点 A、点 B 出发 （1）如图 1，连接 AQ、CP求证： ABQCAP； （2）如图 1，当点 P、Q 分别在 AB、BC 边上运动时，AQ、CP 相交于点 M，QMC 的大小是 否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数 （3）如图 2，当点 P、Q 分别在 AB、BC 的延长线上运动时，直线 AQ、CP 相交于 M，QMC 的大小是否变化？若变化，
43、请说明理由；若不变，求出它的度数 解析（1）利用等边三角形的性质及 APBQ，根据“SAS”证明 ABQCAP； （2）利用三角 形的外角性质及 （1） 中全等的性质可探究出QMCMACACPMACBAQBAC 60 ； （3）利用全等三角形的判定与性质及三角形的外角性质易探究出QMC120 答案解： （1）ABC 是等边三角形，ACAB，CABB60 又APBQ， ABQCAP（SAS） （2）QMC60 ，理由如下：ABQCAP，ACPBAQ QMCMACACPMACBAQBAC60 （3）QMC120 ，理由如下类似（1）可知 ACQCBP（SAS） ， BCPQACQMCQAPAPCQ
44、ACCABAPC PBCCABAPCCABABC120 24.(2020潍坊)如图 1，在ABC中，90 ,21AABAC ，点 D，E 分别在边 ,AB AC上， 且1ADAE，连接DE现将ADE绕点 A 顺时针方向旋转，旋转角为 0360 ，如图 2，连接, ,CE BD CD 图 1 图 2 第 25 题图 AB C P Q M M Q P C BA 图 1 图 2 图 3 （1）当0180时，求证：CEBD； （2）如图 3，当90时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD； （3）在旋转过程中，求BCD面积的最大值，并写出此时旋转角的度数 解析（1）图形在旋转过程中，对应相等、
45、对应角相等，利用 “SAS”证得 ACEABD 即可 得到结论； （2）要证明CF垂直平分BD，只需证明 CD=CB，再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到 结论； （3） BCD的面积等于底乘以高的一半， 显然， BC 是不变值， 因此线段 BC 边上的高最大时 BCD 的面积最大.观察图形，当点 D 在线段 BC 的垂直平分线上时，利用等腰直角三角形的性质结合三 角形面积公式即可求解 答案（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，CAB=EAD=90， CAE+BAE =BAD+BAE =90， CAE=BAD，在 ACE 和 ABD 中， ACAB CAEBAD AEAD ， ACEA
46、BD(SAS)，CE=BD； （2）根据题意：AB=AC，AD=AE，CAB=EAD=90， 在 ACE 和 ABD 中， ACAB CAEBAD AEAD ，ACEABD(SAS)， ACE=ABD，ACE+AEC=90，且AEC=FEB， ABD+FEB=90，EFB=90，CFBD， AB=AC= 21，AD=AE=1，CAB=EAD=90，BC=2AB =22 ，CD= AC+ AD= 22 ， BC= CD，CFBD，CF 是线段 BD 的垂直平分线； （3）BCD中，边 BC 的长是定值，则 BC 边上的高取最大值时 BCD的面积是最大值， DABC时，BCD的面积取得最大值，如图
47、： E D C B A A B C D E F E D C B A AB=AC= 21 ，AD=AE=1，CAB=EAD=90，DGBC 于 G， AG= 1 2 BC= 22 2 ，GAB=45，DG=AG+AD= 2224 1 22 ，DAB=180-45=135 ， BCD的面积的最大值为： 11243 25 22 2222 BC DG ，旋转角135 25（2020 抚顺本溪辽阳）如图，射线 AB 和射线 CB 相交于点 B，ABC（0 180 ） ，且 ABCB，点 D 是射线 CB 上的动点（点 D 不与点 C 和点 B 重合） ，作射线 AD，并在射线 AD 上取 一点 E，使A
48、EC，连接 CE，BE （1）如图，当点 D 在线段 CB 上，90 时，请直接写出AEB 的度数； （2）如图，当点 D 在线段 CB 上，120 时，请直接写出线段 AE，BE，CE 之间的数量关系， 并说明理由； （3）当 120 ，tanDAB 1 3 时，请直接写出 CE BE 的值 解析（1）连接 AC，利用四点共圆得到；或者过 B 点作 BE 的垂线，交 AE 于 F，然后证明 ABFCBE； （2）采用截长补短法构造全等三角形，然后得到一个 120 的等腰三角形，再利用三角形函数便可 以写出 AE，BE，CE 之间的数量关系； （3）解题思路同（2），只是要考虑到 D 为射线 BC 上
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