1、2020 年天津市河东区中考数学一模试卷年天津市河东区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）计算： （3）5 的结果是（ ） A15 B15 C2 D2 2 （3 分）的值是（ ） A B C D 3 （3 分）下面图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 4 （3 分）我国最长的河流长江全长约为 6400 千米，用科学记数法表示为（ ） A64102米 B6.4103米 C6.4
2、106米 D6.4105米 5（3分） 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的， 其中左视图与主视图相同的是 （ ） A B C D 6 （3 分）下列整数中，与 10最接近的是（ ） A4 B5 C6 D7 7 （3 分）化简的结果是（ ） Aa Ba+1 Ca1 Da21 8 （3 分） 如图， 已知在平面直角坐标系中， 四边形 ABCD 是菱形， 其中 B 点坐标是 （8， 2） ， D 点坐标是（0，2） ，点 A 在 x 轴上，则菱形 ABCD 的周长是（ ） A2 B8 C8 D12 9 （3 分）关于 x、y 的方程组的解为，则（ ） Am1，n2 Bm1，n5 Cm5，n1 D
3、m2，n4 10 （3 分）已知点（2，y1） ， （1，y2） ， （1，y3）都在反比例函数 y的图象上，那 么 y1，y2与 y3的大小关系是（ ） Ay3y1y2 By3y2y1 Cy1y2y3 Dy1y3y2 11 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB8，BC6，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩 形 AEFG，AE，FG 分别交射线 CD 于点 PH，连结 AH，若 P 是 CH 的中点，则APH 的周长为（ ） A15 B18 C20 D24 12 （3 分） 如图所示， 已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A， 与 y 轴交于点 C， OAO
4、C，对称轴为直线 x1，则下列结论：abc0；a+c0；ac+b+1 0；2+c 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的一个根其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）若 a7 （a4） 14 （3 分）计算（+6） （6） 15 （3 分）为庆祝新中国成立 70 周年，某校开展以 “我和我亲爱的祖国”为主题的 “快闪” 活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中 的机会均等，则选出的恰为女生的概率是 16 （
5、3 分）若直线 y2x+3b 经过点（1，5） ，则该直线不经过第 象限 17 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 9，点 E 是 AB 边上的一个动点，点 F 是 CD 边上 一点，CF4，连接 EF，把正方形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A，D 分别落在点 A，D 处，当点 D落在直线 BC 上时，线段 AE 的长为 18 （3 分）如图，在由边长都为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 均为格点，ACB 90，BC3，AC4，D 为 BC 中点，P 为 AC 上的一个动点 （I）当点 P 为线段 AC 中点时，DP 的长度等于 ； （II）将 P 绕点 D 逆时针旋转
6、 90得到点 P，连 BP，当线段 BP+DP取得最小值时，请 借助无刻度直尺在给定的网格中画出点 P，点 P，并简要说明你是怎么画出点 P，点 P 的 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66 分分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19 （8 分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答 （I）解不等式，得 ； （II）解不等式，得 ； （III）把不等式和的解集在数轴上分别表示出来： （IV）原不等式组的解集为 20 （8 分）某校为了解全校学生假期主题阅读的情况（要求每名学生的文章阅读篇数，最 少 3 篇最多
7、7 篇） ，随机抽查了部分学生在某一周主题阅读文章的篇数，并制成下列统计 图表 某校抽查的学生文章阅读的篇数统计表 文章阅读的篇 数（篇） 3 4 5 6 7 人数（人） 20 28 m 16 12 请根据统计图表中的信息，解答下列问题： （I）求被抽查的学生人数和 m 的值； （II）求本次抽查的学生文章阅读篇数的中位数和众数； （III）若该校共有 800 名学生，根据抽查结果，估计该校学生读书总数 21 （10 分）如图，在O 中，点 A 为弧 CD 的中点过点 B 作O 的切线 BF，交弦 CD 的 延长线于点 F （）如图，连接 AB，若F50，求ABF 的大小； （）如图，连接 C
8、B，若F35，ACBF，求CBF 的度数 22 （10 分）如图，某办公楼 AB 的右边有一建筑物 CD，在建设物 CD 离地面 2 米高的点 E 处观测办公楼顶 A 点，测得的仰角AEM22，在离建筑物 CD，25 米远的 F 点观测 办公楼顶 A 点，测得的仰角AFB45（B，F，C 在一条直线上） （I）求办公楼 AB 的高度； （II）若要在 A，E 之间挂一些彩旗，请你求出 A，E 之间的距离 （参考数据：sin22037，cos220.93，tan220.40） （结果保留整数） 23 （10 分）下表中给出 A，B，C 三种手机通话的收费方式 收费方式 月通话费/元 包时通话时间
9、/h 超时费/（元/min） A 30 25 0.1 B 50 50 0.1 C 100 不限时 （1）设月通话时间为 x 小时，则方案 A，B，C 的收费金额 y1，y2，y3都是 x 的函数，请 分别求出这三个函数解析式 （2）填空： 若选择方式 A 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为 ； 若选择方式 B 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为 ； 若选择方式 C 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为 ； （3）小王、小张今年 5 月份通话费均为 80 元，但小王比小张通话时间长，求小王该月 的通话时间 24 （10 分）平面直角坐标系中，OAB 是等边三角形，点 O（0，0） ，点
10、 A （8，0） ，点 P 是 OB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合） 直线 l 是经过点 P 的一条直线，把OAB 沿直线 l 折叠，点 O 的对应点是 O （I）如图，当 OP5 时，若直线 lAB求点 O的坐标； （II）如图，当点 P 在 OB 边上运动时，若直线 lAB，求 ABO的面积； （III） 当 OP6 时， 在直线 l 变化过程中， 求ABO面积的最大值 （直接写出结果即可） 25 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴分别交于点 A（1，0） ，B（3，0） ， 与 y 轴交于点 C （I）求抛物线的解析式： （II）设点 D（2，m）在第
11、一象限的抛物线上，连接 BC，BD试问，在对称轴左侧的抛 物线是否存在一点 P，满足PBCDBC？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存 在，请明理由； （III）存在正实数 m，n（mn） ，当 mxn 时，恰好满足，求 m， n 的值 2020 年天津市河东区中考数学一模试卷年天津市河东区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）计算： （3）5 的
12、结果是（ ） A15 B15 C2 D2 【分析】根据正数与负数相乘的法则得（3）515； 【解答】解： （3）515； 故选：A 2 （3 分）的值是（ ） A B C D 【分析】根据 30的余弦值为计算 【解答】解：cos30 ， 故选：A 3 （3 分）下面图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意 故选：B 4 （3 分）我国最长的河流长江全长约为 6400 千米
13、，用科学记数法表示为（ ） A64102米 B6.4103米 C6.4106米 D6.4105米 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：6400 千米64000006.4106 故选：C 5（3分） 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的， 其中左视图与主视图相同的是 （ ） A B C D 【分析】分别画出四个选项中简单组合体的三视图即可 【解答】解：A、左视图为，主视图为，左
14、视图与主视图不同，故此选 项不合题意； B、 左视图为， 主视图为， 左视图与主视图相同， 故此选项符合题意； C、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意； D、 左视图为， 主视图为， 左视图与主视图不同， 故此选项不合题意； 故选：B 6 （3 分）下列整数中，与 10最接近的是（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】解法一：由于 91316，可判断与 4 最接近，从而可判断与 10最 接近的整数为 6 解法二：计算 3.5 的平方与 13 作比较，再得 106.5，可作判断 【解答】解：解法一：91316， 34， 3.6212.96，3.7213.69， 3.63.7
15、， 3.73.6， 103.710103.6， 6.3106.4， 与 10最接近的是 6 解法二：34， 6107， 3.5212.25，且 12.2513， 3.5， 106.5， 与 10最接近的是 6 故选：C 7 （3 分）化简的结果是（ ） Aa Ba+1 Ca1 Da21 【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果 【解答】解：原式a+1， 故选：B 8 （3 分） 如图， 已知在平面直角坐标系中， 四边形 ABCD 是菱形， 其中 B 点坐标是 （8， 2） ， D 点坐标是（0，2） ，点 A 在 x 轴上，则菱形 ABCD 的周长是（ ） A2 B8 C8
16、 D12 【分析】连接 AC、BD 交于点 E，由菱形的性质得出 ACBD，AECEAC，BE DEBD，由点 B 的坐标和点 D 的坐标得出 OD2，求出 DE4，AD2，即可得 出答案 【解答】解：连接 AC、BD 交于点 E，如图所示： 四边形 ABCD 是菱形， ABBCCDAD，ACBD，AECEAC，BEDEBD， 点 B 的坐标为（8，2） ，点 D 的坐标为（0，2） ， OD2，BD8， AEOD2，DE4， AD2， 菱形的周长4AD8； 故选：C 9 （3 分）关于 x、y 的方程组的解为，则（ ） Am1，n2 Bm1，n5 Cm5，n1 Dm2，n4 【分析】把 x2
17、 代入方程组第二个方程求出 y 的值，确定出 n 的值，进而求出 m 的值即 可 【解答】解：把 x2 代入 x+y3 得：y1， 把 x2，y1 代入 2x+ym 得：m5， 则 m5，n1 故选：C 10 （3 分）已知点（2，y1） ， （1，y2） ， （1，y3）都在反比例函数 y的图象上，那 么 y1，y2与 y3的大小关系是（ ） Ay3y1y2 By3y2y1 Cy1y2y3 Dy1y3y2 【分析】把三个点的坐标代入反比例函数解析式可计算出 y1，y2与 y3的值，从而得到它 们的大小关系 【解答】解：把点（2，y1） ， （1，y2） ， （1，y3）分别代入 y得 y13
18、， y26，y36， 所以 y3y1y2 故选：A 11 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB8，BC6，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩 形 AEFG，AE，FG 分别交射线 CD 于点 PH，连结 AH，若 P 是 CH 的中点，则APH 的周长为（ ） A15 B18 C20 D24 【分析】设 HD 为 x，表示 HP，由面积法证明 HPAP，由勾股定理求 x，再由勾股定理 求 HA，问题可解 【解答】解：设 HDx，由已知 HCx+8 P 是 CH 的中点 HP 有图形可知，HPA 中，边 HP 和边 AP 边上高相等 由面积法 HPAP AP4+ DPHPHD4 R
19、tAPD 中 AP2DP2+AD2 （4+）2（4）2+62 解得 x HP4+ RtADH 中， HA APH 的周长为20 故选：C 12 （3 分） 如图所示， 已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A， 与 y 轴交于点 C， OAOC，对称轴为直线 x1，则下列结论：abc0；a+c0；ac+b+1 0；2+c 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的一个根其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】由抛物线开口方向得 a0，由抛物线的对称轴位置可得 b0，由抛物线与 y 轴的交点位置可得 c0，则可对进行判断； 根据对称轴是直线
20、 x1，可得 b2a，代入 a+b+c，可对进行判断； 利用 OAOC 可得到 A（c，0） ，再把 A（c，0）代入 yax2+bx+c 即可对作出 判断； 根据抛物线的对称性得到 B 点的坐标，即可对作出判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 抛物线的对称轴为直线 x1， b2a0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0， abc0，所以正确； b2a， a+baa0， c0， a+b+c0，所以错误； C（0，c） ，OAOC， A（c，0） ， 把 A（c，0）代入 yax2+bx+c 得 ac2bc+c0， acb+10，所以错误； A（c，0） ，对称轴为直线 x1，
21、B（2+c，0） ， 2+c 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的一个根，所以正确； 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）若 a7 （a4） a11 【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加 【解答】解：a7 （a4）a7+4a11 故答案为：a11 14 （3 分）计算（+6） （6） 31 【分析】直接利用平方差公式计算得出答案 【解答】解：原式（）262 536 31 故答案为：31 15 （3 分）为庆祝新中国成立 70 周年，某校开展以 “我和
22、我亲爱的祖国”为主题的 “快闪” 活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中 的机会均等，则选出的恰为女生的概率是 【分析】 随机事件 A 的概率 P （A） 事件 A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数 【解答】解：选出的恰为女生的概率为， 故答案为 16 （3 分）若直线 y2x+3b 经过点（1，5） ，则该直线不经过第 三 象限 【分析】把点的坐标代入函数解析式求出 b 值，然后根据一次函数的性质解答 【解答】解：直线 y2x+3b 经过点（1，5） ， 2（1）+3b5， 解得 b1， 直线解析式为 y2x+3， 该直线经过第一二四象限， 该直线不
23、经过第三象限 故答案为：三 17 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长是 9，点 E 是 AB 边上的一个动点，点 F 是 CD 边上 一点，CF4，连接 EF，把正方形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A，D 分别落在点 A，D 处，当点 D落在直线 BC 上时，线段 AE 的长为 2 或 8 【分析】分两种情况：当 D落在线段 BC 上时，连接 ED、ED、DD，由折叠可 得，D，D关于 EF 对称，即 EF 垂直平分 DD，得出 DEDE，求出 DFDFCD CF5， CD3， 得出 BDBCCD6， 设 AEx， 则 BE9x， 在 RtAED 和 RtBED中，由勾股定理得出方程
24、，解方程即可； 当 D落在线段 BC 延长线上时，连接 ED、ED、DD，解法同 【解答】解：分两种情况：当 D落在线段 BC 上时，连接 ED、ED、DD，如图 1 所示： 由折叠可得，D，D关于 EF 对称，即 EF 垂直平分 DD， DEDE， 正方形 ABCD 的边长是 9， ABBCCDAD9， CF4， DFDFCDCF945， CD3， BDBCCD6， 设 AEx，则 BE9x， 在 RtAED 和 RtBED中，由勾股定理得：DE2AD2+AE292+x2，DE2BE2+BD2 （9x）2+62， 92+x2（9x）2+62， 解得：x2， 即 AE2； 当 D落在线段 BC
25、 延长线上时，连接 ED、ED、DD，如图 2 所示： 由折叠可得，D，D关于 EF 对称，即 EF 垂直平分 DD， DEDE， 正方形 ABCD 的边长是 9， ABBCCDAD9， CF4， DFDFCDCF945，CD3， BDBC+CD12， 设 AEx，则 BE9x， 在 RtAED 和 RtBED中，由勾股定理得：DE2AD2+AE292+x2，DE2BE2+BD2 （9x）2+122， 92+x2（9x）2+122， 解得：x8，即 AE8； 综上所述，线段 AE 的长为 2 或 8； 故答案为：2 或 8 18 （3 分）如图，在由边长都为 1 的小正方形组成的网格中，点 A
26、，B，C 均为格点，ACB 90，BC3，AC4，D 为 BC 中点，P 为 AC 上的一个动点 （I）当点 P 为线段 AC 中点时，DP 的长度等于 ； （II）将 P 绕点 D 逆时针旋转 90得到点 P，连 BP，当线段 BP+DP取得最小值时，请 借助无刻度直尺在给定的网格中画出点 P，点 P，并简要说明你是怎么画出点 P，点 P 的 【分析】 （）根据三角形中位线定理即可求出 DP 的长度； （）取格点 E，F，G，H，连接 EF，GH，它们分别与网格线交于点 I，J，可得 IJ 是 BB的垂直平分线，连接 IJ，DB，它们相交于点 P；取格点 M，N，连接 MN，与 网格线交于点
27、 L，连接 DL，与网格线交于点 P 【解答】解： （）ACB90，BC3，AC4， AB5， D 为 BC 中点，P 为线段 AC 中点， DPAB； 故答案为：； （）如图，取格点 E，F，G，H，连接 EF，GH， 它们分别与网格线交于点 I，J， 取格点 B，连接 IJ，DB， 它们相交于点 P， 则点 P即为所求； 取格点 M，N，连接 MN， 与网格线交于点 L， 连接 DL，与网格线交于点 P， 则点 P 即为所求 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66 分分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19 （
28、8 分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答 （I）解不等式，得 x3 ； （II）解不等式，得 x1 ； （III）把不等式和的解集在数轴上分别表示出来： （IV）原不等式组的解集为 1x3 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 【解答】解： （I）解不等式，得 x3； （II）解不等式，得 x1； （III）把不等式和的解集在数轴上分别表示出来： （IV）原不等式组的解集为1x3 故答案为：x3，x1，1x3 20 （8 分）某校为了解全校学生假期主题阅读的情况（要求每名学生的文章阅读篇数，最 少 3 篇最
29、多 7 篇） ，随机抽查了部分学生在某一周主题阅读文章的篇数，并制成下列统计 图表 某校抽查的学生文章阅读的篇数统计表 文章阅读的篇 数（篇） 3 4 5 6 7 人数（人） 20 28 m 16 12 请根据统计图表中的信息，解答下列问题： （I）求被抽查的学生人数和 m 的值； （II）求本次抽查的学生文章阅读篇数的中位数和众数； （III）若该校共有 800 名学生，根据抽查结果，估计该校学生读书总数 【分析】 （I）从统计图表可得， “阅读篇数为 6 篇”的有 16 人，占调查人数的 16%，可 求出调查人数；进而可求出阅读篇数为 5 篇的人数，即 m 的值； （II）根据众数、中位数
30、的意义，分别求出即可； （III）先求出每人平均读书篇数，再乘以总人数即可得出答案 【解答】解： （I）1616%100 人， m1002028161224， 答：被抽查的学生人数 100 人，m 的值为 24； （II）将学生阅读篇数从小到大排列处在第 50、51 位都是 5 篇，因此中位数是 5 篇， 学生阅读文章篇数出现次数最多的是 4 篇，出现 28 次，因此众数是 4 篇； （III）根据题意得： （320+428+524+616+712）1008003776（本） ， 答：该校学生读书总数是 3776 本 21 （10 分）如图，在O 中，点 A 为弧 CD 的中点过点 B 作O
31、的切线 BF，交弦 CD 的 延长线于点 F （）如图，连接 AB，若F50，求ABF 的大小； （）如图，连接 CB，若F35，ACBF，求CBF 的度数 【分析】 （1）如图，连接 OB，OA，根据 BF 是O 的切线，可得OBF90，根据 点 A 为弧 CD 的中点，可得OEF90，再根据四边形内角和可得AOB180 F18050130，进而可得ABF 的大小； （2）如图，连接 OA，OB，结合（1）可得AOB 的度数，再根据圆周角定理和已知 条件即可求CBF 的度数 【解答】解： （1）如图，连接 OB，OA， BF 是O 的切线， OBBF， OBF90， 点 A 为弧 CD 的中
32、点， OACD， OEF90， AOB180F18050130， OAOB， OBAA（180130）25， ABFOBFOBA65； （2）如图，连接 OA，OB， BF 是O 的切线， OBBF， OBF90， 由（1）方法可得， AOB180F18035145， ACBAOB72.5， ACBF， ACFF35， BCFACBACF37.5， CBF180BCFF107.5 22 （10 分）如图，某办公楼 AB 的右边有一建筑物 CD，在建设物 CD 离地面 2 米高的点 E 处观测办公楼顶 A 点，测得的仰角AEM22，在离建筑物 CD，25 米远的 F 点观测 办公楼顶 A 点，测
33、得的仰角AFB45（B，F，C 在一条直线上） （I）求办公楼 AB 的高度； （II）若要在 A，E 之间挂一些彩旗，请你求出 A，E 之间的距离 （参考数据：sin22037，cos220.93，tan220.40） （结果保留整数） 【分析】 （I）过点 E 作 EMAB 于点 M，设 ABx，在 RtABF 中，由AFB45可 知 BFABx，在 RtAEM 中，利用锐角三角函数的定义求出 x 的值即可； （II）在 RtAME 中，根据 cos22可得出结论 【解答】解： （I）如图，过点 E 作 EMAB 于点 M， 设 AB 为 xRtABF 中，AFB45， BFABx， BC
34、BF+FCx+25， 在 RtAEM 中，AEM22，AMABBMABCEx2， tan22，则 ， 解得：x20 即办公楼 AB 的高度为 20 米； （II）由（1）可得：MEBCx+2520+2545 在 RtAME 中，cos22 AE48（米） ； 即 A、E 之间的距离约为 48 米 23 （10 分）下表中给出 A，B，C 三种手机通话的收费方式 收费方式 月通话费/元 包时通话时间/h 超时费/（元/min） A 30 25 0.1 B 50 50 0.1 C 100 不限时 （1）设月通话时间为 x 小时，则方案 A，B，C 的收费金额 y1，y2，y3都是 x 的函数，请
35、分别求出这三个函数解析式 （2）填空： 若选择方式 A 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为 0 x ； 若选择方式 B 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为 x ； 若选择方式 C 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为 x ； （3）小王、小张今年 5 月份通话费均为 80 元，但小王比小张通话时间长，求小王该月 的通话时间 【分析】 （1）根据题意可以分别写出 y1、y2、y3关于 x 的函数关系式，并写出相应的自 变量的取值范围； （2）根据题意作出图象，结合图象即可作答； （3）结合图象可得：小张选择的是方式 A，小王选择的是方式 B，将 y81 代入 y2关于 x 的函数关系式
36、，解方程即可得出小王该月的通话时间 【解答】解： （1）0.1 元/min6 元/h， 由题意可得， y1， y2， y3100（x0） ； （2）作出函数图象如图： 结合图象可得： 若选择方式 A 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为：0 x， 若选择方式 B 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为：x， 若选择方式 C 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围为：x 故答案为：0 x，x，x （3）小王、小张今年 5 月份通话费均为 80 元，但小王比小张通话时间长， 结合图象可得：小张选择的是方式 A，小王选择的是方式 B， 将 y80 分别代入 y2，可得 6x25080， 解得：x55
37、， 小王该月的通话时间为 55 小时 24 （10 分）平面直角坐标系中，OAB 是等边三角形，点 O（0，0） ，点 A （8，0） ，点 P 是 OB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合） 直线 l 是经过点 P 的一条直线，把OAB 沿直线 l 折叠，点 O 的对应点是 O （I）如图，当 OP5 时，若直线 lAB求点 O的坐标； （II）如图，当点 P 在 OB 边上运动时，若直线 lAB，求 ABO的面积； （III） 当 OP6 时， 在直线 l 变化过程中， 求ABO面积的最大值 （直接写出结果即可） 【分析】 （）先判断出 OOl，再求出POO30，进而得出OOPAOD，再
38、 用含 30角的直角三角形的性质即可得出结论； （）先判断出 OOAB，得出 SAOBSABO，再求出AOB 的面积即可得出结论； （）先求出 SAOB4OF，当 OF 最大时，AOB 的面积最大，进而判断出 OF 过圆 心点 P 时，OF 最大，再求出 PH 即可得出结论 【解答】解： （）如图，记 OO与 AB 的交点为 D， 连接 OP 并延长交 y 轴于点 C， 由折叠得，CPPO，lOO， 直线 lAB， OOAB， OAB 是等边三角形， POOAODAOB30， POPO， POOOOP30， OOPAOD， OPOA， OPy 轴， 在 RtOCP 中，COP90AOB30，
39、CPOP， OCCP， 在 RtOCO中，OCOC， O（，） ； （）如图， 连接 OO，由折叠知，OOl，lAB， OOAB， SAOBSABO， 过点 B 作 BEOA 于 E， A（8，0） ， OA8， AOB 是等边三角形， BEOA4， BEOE4， SAOBOABE816， SAOB16； （）如图， A（8，0） ， OA8， AOB 是等边三角形， ABOA8， 过点 O作 OFAB 交 AB 的延长线于 F， SAOBABOF4OF， 当 OF 最大时，AOB 的面积最大， 由折叠知，POPO， 点 O是以点 P 为圆心，OP6 为半径的圆上的点， OF 过圆心点 P 时
40、，OF 最大， 即点 O在点 O位置时，AOB 的面积最大， 过点 O作 OHAB 于 H， 在 RtPHB 中，PBH60，BPOBOP2， PH， OF 最大OP+PH6+， SAOB最大4OF4（6+） 25 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴分别交于点 A（1，0） ，B（3，0） ， 与 y 轴交于点 C （I）求抛物线的解析式： （II）设点 D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接 BC，BD试问，在对称轴左侧的抛 物线是否存在一点 P，满足PBCDBC？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存 在，请明理由； （III）存在正实数 m，n（mn） ，当
41、 mxn 时，恰好满足，求 m， n 的值 【分析】 （1）把点 A、B 坐标代入抛物线 yax2+bx+3（a0）得出方程组，解方程组解 可； （2）求出 m3，则 D（2，3） ，连接 CD，则 CDx 轴，CD2，在 y 轴上取点 G，使 CGCD2，再延长 BG 交抛物线于点 P，则 G（0，1） ，证DCBGCB（SAS） ，得 DBCGBC，则PBCDBC，由待定系数法求出 BP 的解析式为 yx+1，进 而得出点 P 的坐标； （3）求出 1mn，由二次函数的性质得当 xm 时，y最大值m2+2m+3，当 xn 时， y最小值n2+2n+3，由题意得，求出 n 和 m 的值即可
42、【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴分别交于点 A（1，0） ，B（3， 0） ，与 y 轴交于点 C， ， 解得：， 抛物线的解析式为：yx2+2x+3； （2）存在，理由如下： yx2+2x+3（x1）2+4，D（2，m）在第一象限的抛物线上， m（21）2+43， D（2，3） ， C（0，3） ， OCOB， OBCOCB45， 连接 CD，如图所示： 则 CDx 轴，CD2， DCBOBC45， DCBOCB， 在 y 轴上取点 G，使 CGCD2，再延长 BG 交抛物线于点 P， 则 G（0，1） ， 在DCB 和GCB 中， DCBGCB（SAS） ，
43、 DBCGBC， PBCDBC， 设直线 BP 解析式为：ykx+b（k0） ， 将 G（0，1） 、B（3，0）代入解析式得：， 解得：， BP 的解析式为：yx+1， 点 P 在抛物线 yx2+2x+3 上， x2+2x+3x+1， 解得 x1，x23（不合题意舍去） ， y（）+1， P（，） ； （3）抛物线 yx2+2x+3（x1）2+4， y4， 正实数 m，n（mn） ， 0mn， 当 mxn 时，恰好满足， y， 4，即 m1， 1mn， 抛物线的对称轴是 x1，且开口向下， 当 mxn 时，y 随 x 的增大而减小， 当 xm 时，y最大值m2+2m+3， 当 xn 时，y最小值n2+2n+3， 又y， ， 将整理得：n32n23n+60， n2（n2）3（n2）0， （n2） （n23）0， n1， n20 或 n230， 解得：n2 或 n（不合题意舍去）或 n， 同理：由解得：m2（不合题意舍去）或（不合题意舍去）或 m， 综上所述，m，n2
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