1、第 18 课时 二次函数的应用(60 分)一、选择题(每题 6 分，共 12 分)12016铜仁 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图 181所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 y x2，当水面离桥拱顶的125高度 DO 是 4 m 时，这时水面宽 度 AB 为 (C)图 181A20 m B10 mC20 m D 10 m【解析】 根据题意 B 的纵坐标为4，把 y4 代入 y x2，得125x10 ，A(10， 4)，B(10， 4)，AB20 m即水面宽度 AB 为 20 m.22016金华 图 182是图 182中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O，B，以点 O
2、 为原点，水平直线 OB 为 x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线 y (x80) 2 16，桥拱与桥墩 AC 的交1400点 C 恰好在水面，有 ACx 轴，若 OA10 m，则桥面离水面的高度 AC 为(B)A16 m B. m940 174C16 m D. m740 154图 182【解析】 ACx 轴，OA10 m，点 C 的横坐标为10，当 x10 时， y (x80) 216 (1080) 216 ，1400 1400 174C ，桥面离水面的高度 AC 为 m.( 10， 174) 174二、填空题(每题 6 分，共 18 分)32017咸宁 科学家为了推测最适
3、合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不 同温度的环境中，经过一定时间后，测试这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：温度 T/ 4 2 0 1 4植物高度增长量 l/mm 41 49 49 46 25科学家经过猜想，推测出 l 与 T 之间是二次函数关系由此可以推测最适合这种植物生长的温度为_1_.【解析】 设 y ax2bxc(a0)，选(0，49) ，(1，46)，(4，25)代入后得方程组解得c 49，a b c 46，16a 4b c 25，) a 1，b 2，c 49，)所以 y 与 x 之间的二次函数解析式为 yx 22x49，来源:学科网当 x 1 时，y 有最大值 50
4、，b2a即说明最适合这种植物生长的温度是1.420 16温州 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙( 墙足够长) ，中间用一道墙隔开，并在如图 183图 183所示的三 处各留 1 m 宽的门已知计划中的材料可建墙体 (不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室面积最大为_75_m 2.【解析】 设垂直于墙的材料长为 x m，则平行于墙的材料长为2733x 303x ，则总面积 Sx (303x )3x 230x3(x 5) 275，故饲养室的最大面积为 75 m2.5如图 184，在ABC 中，B90，AB12 mm，BC24 mm，动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 m
5、m/s 的速度移动 (不与点 B 重合)，动点Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 mm/s 的速度移动(不与点 C 重合)如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，那么经过_3_s，四边形 APQC 的面积最小【解析】 S 四边形 APQC 1224 (122t)4t 4t 224t 144，12 12当 t 3 时，S 四边形 APQC 最小b2a 2424三、解答题(共 30 分)6(15 分) 星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园其中一边靠墙，另外三边用长为 30 m 的篱笆围成已知墙长为 18 m(如图 185)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x m.(1)若平
6、行于墙的一边的长为 y m，直接写出 y 与 x 之间的函数关系式及其自变量 x 的取值范围；(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值；(3)当这个苗圃园的面积不小于 88 m2 时，试结合函数的图象，直接写出 x 的取值范围图 184图 185【解析】 (1)用 x 表示 y；(2)由矩形面积公式列关系式求最值；(3)令y88，求 x 的值，根据图象写出符合要求的 x 的取值范围解：(1)y302x(6x15)；(2)设矩形苗圃园的面积为 S，则Sxyx(302x) 2x 230x2(x7.5) 2112.5，由(1)知 6x 15；当 x7.5 时， S
7、最大 112.5 ，即当矩形苗圃园垂直于墙的一边长为 7.5 m 时，这个苗圃园的面积最大，最大值为 112.5 m2；(3)图象略.6 x11.7(15 分) 某商场购进一种每件价格为 100 元的新商品，在商场试销发现：销售单价 x(元/件)与每天销售量 y(件)之间满足如图 186 所示的关系图 186(1)求出 y 与 x 之间 的函数关系式；来源:学科网(2)写出每天的利润 w 与销售单价 x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？解：(1)设 y 与 x 之间的函 数关系式为 ykx b(k0)由所给函数图象经过点(130
8、，50) ， (150，30)，得130k b 50，150k b 30，)解得 k 1，b 180，)y 与 x 之间的函数关系式为 yx180；(2)w(x100)y( x100)(x180)x 2280x18 000(x140) 21 600，当售价 x 定为 140 元/ 件时，w 最大 1 600 元，当售价定为 140 元/件时，每天获得的利润最大，最大利润是 1 600 元(25 分)8(10 分)2017 天水如图 187，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从O 点正上方 2 m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高度 y(m)与运行的水平距离 x(m)满足关系式 ya(
9、x6) 2h.已知球网与 O 点的水平距离为 9 m，高度为 2.43 m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18 m.图 187(1)当 h2.6 时，求 y 与 x 的关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围)；(2)当 h2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的取值范围解：(1)h 2.6，球从 O 点正上方 2 m 的 A 处发出，抛物线 ya(x6)22.6 过(0 ，2) 点，2a(0 6) 22.6，解得 a ，160故 y 与 x 的关系式为 y (x6) 22.6；160(2)当 x9 时，y (x6) 22.62
10、.452.43，球能越过球网 ；160当 y0 时， (x6) 22.60，160解得 x16 2 18，x 262 (舍去) ，39 39球会出界；(3)由题意，抛物线 ya(x6) 2h 过点(0，2)，代入点(0 ，2)的坐标得 a(06) 2h2，即 36ah2 且 a0，a ，且 h2.来源:学,科,网 Z,X,X,K2 h36若球一定能越过球网，则当 x9 时，y 2.43，即 9ah2.43，若球不出边界，则当 x 18 时，y0，即 144ah0，将 a 代入解得 h .2 h36 83故若球一定能越过球网， 又不出边界，h 的取值范围是 h .839(15 分)2016 丽水
11、某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点 A 处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上在乒乓球运行时，设乒乓球与端点 A 的水平距离为 x(m)，与桌面的高度为 y(m)，运动时间为 t(s)，经过多次测试后，得到如下部分数据：t(s) 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 x(m) 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 y(m) 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 (1)当 t 为何值时，乒乓球达到最大高度？(2)乒乓球落在桌面时，与端点 A 的水平距离是多少？(3)乒乓球落在桌面上弹起后，y 与
12、 x 满足 ya(x3) 2k .用含 a 的代数式表示 k；球网高度为 0.14 m，球桌长(1.42)m.若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点 A，求 a 的值图 188解：以点 A 为原点，以桌面中线为 x 轴，乒乓球运动方向为正方向，建立平面直角坐标系(1)由表格中的数据，可得 t0.4(s)答：当 t 为 0.4 s 时，乒乓球达到最大高度；(2)由表格中数据，可画出 y 关于 x 的图象，根据图象的形状，可判断 y 是 x的二次函数，设 ya(x 1)20.45.将(0， 0.25)代入，可得 a0.2.y0.2(x 1) 20.45.当 y0 时， x1 ，x
13、2 (舍去)，即乒乓球与端点 A 的水平距离是 m；52 12 52(3)由(2)得乒乓球落在桌面上时，对应的点为 .(52，0)代入 ya(x 3)2k，得 a k 0，化简整理，得 k a；(52 3)2 14由题意，可知扣杀路线在直线 y x 上110由得 ya(x 3) 2 a.14令 a(x3) 2 a x，来源:学科网14 110整理得 20ax2(120a2)x175a0.当 (120a2) 2420a175a0 时符合题意解方程，得 a1 ，a 2 . 6 3510 6 3510当 a1 时，求得 x ，不符合题意，舍去； 6 3510 352当 a2 时，求得 x ，符合题意
14、 6 3510 352答：当 a 时，能恰好将球沿直线扣杀到点 A. 6 3510(15 分)10(15 分)2016 南京某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图 189 中的折线ABD，线段 CD 分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)，销售价 y2(单位：元)与产量 x(单位：kg)之间的函数关系(1)请解释图中点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义；(2)求线段 AB 所表示的 y1 与 x 之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？解：( 1)点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为 130 kg 时，该产品每千克生产成本与销售价
15、相等，都为 42 元；(2)设线段 AB 所表示的 y1 与 x 之间的函数关系式为 y1k 1xb 1，y 1k 1xb 1 的图象过点(0，60)与(90，42)， b1 60，90k1 b1 42，)解得 k1 0.2，b1 60，)这个一次函数的表达式为 y 10.2x 60(0x90)；(3)设 y2 与 x 之间的函数关系式为 y2k 2xb 2，y 2k 2xb 2 的图象过点(0，120)与(130，42) b2 120，130k2 b2 42，)解得 k2 0.6，b2 120，)这个一次函数的表达式为 y20.6x 120(0x130)，设产量为 x kg 时，获得的利润为 w 元，当 0x90 时，wx (0.6x120)(0.2x 60) 0.4( x75) 22 图 189250，当 x75 时， w 的值最大，最大值为 2 250；当 90x130 时，wx (0.6x120)420.6(x 65) 22 535，当 x90 时， w0.6(90 65) 22 5352 160，由0.60 知，当 x65 时，w 随 x 的增大而减小，90x 130 时，w2 160，因此当该产品产量为 75 kg 时，获得的利润最大，最大利润为 2 250 元
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