1、2020 年中考数学九年级三轮冲刺训练圆的综合 1（2020长沙）如图，半径为 4 的O中，弦AB的长度为 4，点C是劣弧上的一个 动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE （1）求AOB的度数； （2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求ODE的外心P所经过的 路径的长度； （3）分别记ODE，CDE的面积为S1，S2，当S12S2221 时，求弦AC的长度 2（2020临沂）已知O1的半径为r1，O2的半径为r2以O1为圆心，以r1+r2的长为半 径画弧，再以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧，两弧交于点A，连接 O1A，O2A，O1
2、A交O1于点B，过点B作O2A的平行线BC交O1O2于点C （1）求证：BC是O2的切线； （2）若r12，r21，O1O26，求阴影部分的面积 3（2020山西）如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的O与AB 相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交O于点E，连接EB交OC于点F求C 和E的度数 4（2020广元）在 RtABC中，ACB90，OA平分BAC交BC于点O，以O为圆心， OC长为半径作圆交BC于点D （1）如图 1，求证：AB为O的切线； （2）如图 2，AB与O相切于点E，连接CE交OA于点F 试判断线段OA与CE的关系，并说明理由 若OF：FC1：
3、2，OC3，求 tanB的值 5（2020湘潭）如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作 DEAC，垂足为点E （1）求证：ABDACD； （2）判断直线DE与O的位置关系，并说明理由 6（2020武汉）如图，在 RtABC中，ABC90，以AB为直径的O交AC于点D，AE 与过点D的切线互相垂直，垂足为E （1）求证：AD平分BAE； （2）若CDDE，求 sinBAC的值 7 （2020随州） 如图， 在 RtABC中， ACB90， 以斜边AB上的中线CD为直径作O， 与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MNAB，垂足为N （1）求证：MN是O的切线；
4、 （2）若O的直径为 5，sinB，求ED的长 8（2020江西）已知MPN的两边分别与O相切于点A，B，O的半径为r （1）如图 1，点C在点A，B之间的优弧上，MPN80，求ACB的度数； （2）如图 2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，APB的度数 应为多少？请说明理由； （3）若PC交O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示） 9（2020连云港）（1）如图 1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作EFBC， 分别交AB、CD于点E、F若BE2，PF6，AEP的面积为S1，CFP的面积为S2，则 S1+S2 ； （2）如图 2，点P
5、为ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中 点设四边形AEPH的面积为S1，四边形PFCG的面积为S2（其中S2S1），求PBD的面 积（用含S1、S2的代数式表示）； （3）如图 3，点P为ABCD内一点（点P不在BD上），过点P作EFAD，HGAB，与各 边分别相交于点E、F、G、H设四边形AEPH的面积为S1，四边形PGCF的面积为S2（其 中S2S1），求PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）； （4）如图 4，点A、B、C、D把O四等分请你在圆内选一点P（点P不在AC、BD上）， 设PB、PC、围成的封闭图形的面积为S1，PA、PD、围成的封闭图形的面积为
6、S2， PBD的面积为S3，PAC的面积为S4，根据你选的点P的位置，直接写出一个含有S1、 S2、S3、S4的等式（写出一种情况即可） 10（2020怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形 （1）下面四边形是垂等四边形的是 ；（填序号） 平行四边形；矩形；菱形；正方形 （2）图形判定：如图 1，在四边形ABCD中，ADBC，ACBD，过点D作BD垂线交BC 的延长线于点E，且DBC45，证明：四边形ABCD是垂等四边形 （3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半应用： 在图 2 中，面积为 24 的垂等四边形ABCD内接于O中，BCD60求O的半径
7、 参考答案 1解：（1）如图 1 中，过点O作OHAB于H OAOB4，OHAB， AHHBAB2，AOHBOH， sinAOH， AOH60， AOB2AOH120 （2）如图 2 中，连接OC OAOCOB，ADDC，CEEB， ODAC，OECB， ODCOEC90， ODC+OEC180， O，D，C，E四点共圆， OC是直径， OC的中点P是OED的外接圆的圆心， OPOC2， 点P的运动路径的长 （3）如图 3 中，连接OC交AB于J，过点O作OHAB于H，过点C作CKAB于K ADCD，CEEB， DEAB，AB2DE， CDECAB， （）2， SABC4S2， SADOSOD
8、C，SOBESOEC， S四边形ODCES四边形OACB， S1+S2（4S2+4）2S2+2， S1S2+2， S12S2221， S22+4S2+12S2221， S2， SABC3ABCK， CK， OHAB，CKAB， OHCK， CKJOHJ， ， ， CJ4，OJ4， JK，JH ， KH， AKAHKH2， AC 2（1）证明：连接AP， 以线段O1O2的中点P为圆心，以O1O2的长为半径画弧， O1PAPO2P， O1AO290， BCO2A， O1BCO1AO290， 过点O2作O2DBC交BC的延长线于点D， 四边形ABDO2是矩形， ABO2D， O1Ar1+r2， O2
9、Dr2， BC是O2的切线； （2）解：r12，r21，O1O26， O1A， BO1C60， O1C2O1B4， BC2， S 阴影 2 3解：连接OB，如图， O与AB相切于点B， OBAB， 四边形ABCO为平行四边形， ABOC，OABC， OBOC， BOC90， OBOC， OCB为等腰直角三角形， COBC45， AOBC， AOBOBC45， EAOB22.5 4解：（1）如图，过点O作OGAB，垂足为G， OA平分BAC交BC于点O， OGOC， 点G在O上， 即AB与O相切； （2）OA垂直平分CE，理由是： 连接OE， AB与O相切于点E，AC与O相切于点C， AEAC，
10、 OEOC， OA垂直平分CE； OF：FC1：2，OC3， 则FC2OF，在OCF中，OF2+（2OF）232， 解得：OF，则CF， 由得：OACE， 则OCF+COF90，又OCF+ACF90， COFACF，而CFOACO90， OCFOAC， ，即， 解得：AC6， AB与圆O切于点E， BEO90，ACAE6，而BB， BEOBCA， ，设BOx，BEy， 则， 可得：， 解得：，即BO5，BE4， tanB 5（1）证明：AB为O的直径， ADBC， 在 RtADB和 RtADC中， RtABDRtACD（HL）； （2）直线DE与O相切，理由如下： 连接OD，如图所示： 由AB
11、DACD知：BDDC， 又OAOB， OD为ABC的中位线， ODAC， DEAC， ODDE， OD为O的半径， DE与O相切 6（1）证明：连接OD，如图， DE为切线， ODDE， DEAE， ODAE， 1ODA， OAOD， 2ODA， 12， AD平分BAE； （2）解：连接BD，如图， AB为直径， ADB90， 2+ABD90，3+ABD90， 23， sin1，sin3， 而DEDC， ADBC， 设CDx，BCADy， DCBBCA，32， CDBCBA， CD：CBCB：CA，即x：yy：（x+y）， 整理得x2+xy+y20，解得xy或xy（舍去）， sin3， 即 s
12、inBAC的值为 7（1）证明：连接OM，如图 1， OCOD， OCMOMC， 在 RtABC中，CD是斜边AB上的中线， CDABBD， DCBDBC， OMCDBC， OMBD， MNBD， OMMN， OM过O， MN是O的切线； （2）解：连接DM，CE， CD是O的直径， CED90，DMC90， 即DMBC，CEAB， 由（1）知：BDCD5， M为BC的中， sinB， cosB， 在 RtBMD中，BMBDcosB4， BC2BM8， 在 RtCEB中，BEBCcosB， EDBEBD5 8解：（1）如图 1，连接OA，OB， PA，PB为O的切线， PAOPBO90， AP
13、B+PAO+PBO+AOB360， APB+AOB180， APB80， AOB100， ACB50； （2）如图 2，当APB60时，四边形APBC是菱形， 连接OA，OB， 由（1）可知，AOB+APB180， APB60， AOB120， ACB60APB， 点C运动到PC距离最大， PC经过圆心， PA，PB为O的切线， PAPB，APCBPC30， 又PCPC， APCBPC（SAS）， ACPBCP30，ACBC， APCACP30， APAC， APACPBBC， 四边形APBC是菱形； （3）O的半径为r， OAr，OP2r， APr，PDr， AOP90APO60， ， 阴影
14、部分的周长PA+PD+r+r+r（+1+）r 9解：（1）如图 1 中， 过点P作PMAD于M，交BC于N 四边形ABCD是矩形，EFBC， 四边形AEPM，四边形MPFD，四边形BNPE，四边形PNCF都是矩形， BEPNCF2，SPFCPFCF6，SAEPSAPM，SPEBSPBN，SPDMSPFD，SPCN SPCF，SABDSBCD， S矩形AEPMS矩形PNCF， S1S26， S1+S212， 故答案为 12 （2）如图 2 中，连接PA，PC， 在APB中，点E是AB的中点， 可设SAPESPBEa，同理，SAPHSPDHb，SPDGSPGCc，SPFCSPBFd， S四边形AE
15、PH+S四边形PFCGa+b+c+d，S四边形PEBF+S四边形PHDGa+b+c+d， S四边形AEPH+S四边形PFCGS四边形PEBF+S四边形PHDGS1+S2， SABDS平行四边形ABCDS1+S2， SPBDSABD（S1+SPBE+SPHD）S1+S2（S1+a+S1a）S2S1 （3）如图 3 中，由题意四边形EBGP，四边形HPFD都是平行四边形， S四边形EBGP2SEBP，S四边形HPFD2SHPD， SABDS平行四边形ABCD（S1+S2+2SEBP+2SHPD）（S1+S2）+SEBP+SHPD， SPBDSABD（S1+SEBP+SHPD）（S2S1） （4）如
16、图 41 中，结论：S2S1S3+S4 理由：设线段PB，线段PA，弧AB围成的封闭图形的面积为x，线段PC，线段PD，弧CD 的封闭图形的面积为y 由题意：S1+x+S4S1+y+S3， xyS3S4， S1+S2+x+y2（S1+x+S4）， S2S1xy+2S4S3+S4 同法可证：图 42 中，有结论：S1SS3+S4 图 43 中和图 44 中，有结论：|S1S2|S3S4| 10解：（1）平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形； 矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形； 菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形； 正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形； 故选：； （2）ACBD，EDBD， ACDE， 又ADBC， 四边形ADEC是平行四边形， ACDE， 又DBC45， BDE是等腰直角三角形， BDDE， BDAC， 又BDAC， 四边形ABCD是垂等四边形； （3）如图，过点O作OEBD， 四边形ABCD是垂等四边形， ACBD， 又垂等四边形的面积是 24， ACBD24， 解得，ACBD4， 又BCD60， DOE60， 设半径为r，根据垂径定理可得： 在ODE中，ODr，DE， r4， O的半径为 4
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