1、江苏省扬州市广陵区江苏省扬州市广陵区 2020 年年中考数学二模试卷中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题所给出的四个选项中，分在每小题所给出的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 12 的倒数是（ ） A B C2 D2 2函数 y中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 3下列计算正确的是（ ） A2a+3b5ab B （ab）2a2b2 C （2x2）
2、36x6 Dx8x3x5 4下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是（ ） A B C D 5已知正多边形的一个内角是 140，则这个正多边形的边数是（ ） A九 B八 C七 D六 6小明根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（ ） A平均数 B众数 C中位数 D方差 7在二次函数 yx2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表： x 3 2 1 1 2 3 4 5 y 14 7 2 2 m n 7 14 则 m、n 的大小关系
3、为（ ） Amn Bmn Cmn D无法确定 8两块等腰直角三角形纸片 AOB 和 COD 按图 1 所示放置，直角顶点重合在点 O 处，其中 AB3，CD6保持纸片 AOB 不动，将纸片 COD 绕点 O 逆时针旋转 （0 90） ，如图 2 所示当 BD 与 CD 在同一直线上（如图 3）时，tan 的值等于（ ） A B C D 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分不需写出解答过程，请把答案分不需写出解答过程，请把答案 直接填写在答题卡相应位置上）直接填写在答题卡相应位置上） 9我国最大的领海南海总面积有 3500 00
4、0 平方公里，将数 3500 000 用科学记数法表示应 为 10若 2x3y，且 x0，则的值为 11若关于 x 的方程 x28x+m0 有两个相等的实数根，则 m 12如图，转盘中 6 个小扇形的面积都相等，任意转动转盘 1 次，当转盘停止转动时，指针 指向红色区域的概率为 13如图，将一块含有 30角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果1 27，那么2 14已知圆锥的底面半径是 2，母线长是 4，则圆锥的侧面积是 15如图，O 的内接四边形 ABCD 中，BOD100，则BCD 16计算：40382420182020 17 如图， 在菱形OABC中， 点A的坐标是 （2，
5、1） ， 点B的横坐标是3， 则点C的坐标是 18如图，将直线 yx 向下平移 b 个单位长度后得到直线 l，l 与反比例函数 y（k0， x0）的图象相交于点 A，与 x 轴相交于点 B，则 OA2OB210，则 k 的值 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤）必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分） （1）计算：3tan30； （2）解不等式： 20 （8 分）先化简再求值：，其中 a 是方程 a2+a0 的一个根 21
6、（8 分）为了解某校初二学生每周上网的时间，两位学生进行了抽样调查小丽调查了 初二电脑爱好者中 40 名学生每周上网的时间； 小杰从全校 400 名初二学生中随机抽取了 40 名学生，调查了每周上网的时间小丽与小杰整理各自样本数据，如表所示 时间段 （小时/周） 小丽抽样 人数 小杰抽样 人数 01 6 22 12 10 10 23 16 6 34 8 2 （每组可含最低值，不含最高值） （1）你认为哪位同学抽取的样本不合理？请说明理由 （2）根据合理抽取的样本，把上图中的频数分布直方图补画完整； （3）专家建议每周上网 2 小时以上（含 2 小时）的同学应适当减少上网的时间，估计该 校全体初
7、二学生中有多少名同学应适当减少上网的时间？ 22 （8 分）在不透明的袋子中有四张标着数字 1，2，3，4 的卡片，这些卡片除数字外都相 同甲同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加如图是他所画的树 状图的一部分 （1）由如图分析，甲同学的游戏规则是：从袋子中随机抽出一张卡片后 （填“放 回”或“不放回” ） ，再随机抽出一张卡片； （2）帮甲同学完成树状图； （3）求甲同学两次抽到的数字之和为偶数的概率 23 （10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且AFEB （1）在图中找出一对相似三角形，并说明理
8、由； （2）若 AB8，AD，AF，求 AE 的长 24 （10 分）甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款 60000 元，已知乙公司比甲公司人 均多捐 40 元，甲公司的人数比乙公司的人数多 20% 请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程 25 （10 分）如图，AB 是O 的直径，BC 交O 于点 D，E 是的中点，连接 AE 交 BC 于点 F，ACB2EAB （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若 cosC，AC8，求 BF 的长 26 （10 分） 如图， 老旧电视机屏幕的长宽比为 4： 3， 但是多数电影图象的长宽比为 2.4： 1，故在播放电影时电视
9、机屏幕的上方和下方会有两条等宽的黑色带子 （1）若图中电视机屏幕为 20 寸（即屏幕对角线长度） ： 该屏幕的长 寸，宽 寸； 已知“屏幕浪费比” ，求该电视机屏幕的浪费比 （2）为了兼顾电影的收视需求，一种新的屏幕的长宽比诞生了如图，这种屏幕（矩 形 ABCD）恰好包含面积相等且长宽比分别为 4：3 的屏幕（矩形 EFGH）与 2.4：1 的屏 幕（矩形 MNPQ） 求这种屏幕的长宽比 （参考数据：2.2，结果精确到 0.1） 27 （12 分）如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 （1）概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，问四边形 ABCD 是垂 美四
10、边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，ACBD试证明： AB2+CD2AD2+BC2； （3） 解决问题： 如图 3， 分别以 RtACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连结 CE、BG、GE已知 AC4，AB5，求 GE 的长 28 （12 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 过点 A（3，2） ，且与直线 yx+交于 B、C 两点，点 B 的坐标为（4，m） （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 为抛物线上位于直线 BC 上方的一点，过点 D 作 DEx 轴交直线 BC 于点 E
11、， 点 P 为对称轴上一动点，当线段 DE 的长度最大时，求 PD+PA 的最小值； （3）设点 M 为抛物线的顶点，在 y 轴上是否存在点 Q，使AQM45？若存在，求 点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 2020 年江苏省扬州市广陵区中考数学二模试卷年江苏省扬州市广陵区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题所给出的四个选项中，分在每小题所给出的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）恰有一项是符合题目要求的，请将正
12、确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 12 的倒数是（ ） A B C2 D2 【分析】根据倒数的定义即可求解 【解答】解：2 的倒数是 故选：A 【点评】主要考查倒数的概念及性质倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两 个数互为倒数 2函数 y中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】根据被开方数大于等于 0，列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，x20， 解得 x2 故选：B 【点评】本题考查了函数自变量的范围，当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负 数 3下列计算正确的是（ ） A2a+3b5ab B （ab）2a2b2 C （2x2）36
13、x6 Dx8x3x5 【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、 完全平方公式分别化简得出答案 【解答】解：A、2a+3b，无法计算，故此选项错误； B、 （ab）2a22ab+b2，故此选项错误； C、 （2x2）38x6，故此选项错误； D、x8x3x5，故此选项正确； 故选：D 【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算、完全平 方公式等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键 4下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是（ ） A B C D 【分析】分别找到四个几何体从正面看所得到的图形比较即可 【解答】解：A、主视
14、图为长方形； B、主视图为长方形； C、主视图为长方形； D、主视图为三角形 则主视图与其它三个不相同的是 D 故选：D 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图 5已知正多边形的一个内角是 140，则这个正多边形的边数是（ ） A九 B八 C七 D六 【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数 【解答】解：正多边形的一个内角是 140， 它的外角是：18014040， 360409 即这个正多边形是九边形 故选：A 【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角 度数，再利用外角和定理求出求边数 6小明根据演讲比赛中九位评委所
15、给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（ ） A平均数 B众数 C中位数 D方差 【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高 分和一个最低分不影响中位数 【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数不发生变化； 故选：C 【点评】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大 7在二次函数 yx2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表： x 3 2 1 1 2 3 4 5 y 14 7 2 2 m n 7 14
16、则 m、n 的大小关系为（ ） Amn Bmn Cmn D无法确定 【分析】从表中任意选取两组已知数代入二次函数的解析式求得解析式，再分别代入 x 2 和 x3，求得 m 与 n 的值便可 【解答】解：把 x1，y2 和 x1，y2 都代入 yx2+bx+c 中，得 解得， 二次函数的解析式为：yx2+2x+1， 把 x2，ym 和 x3，yn 代入 yx2+2x+1 得， m4+4+11， n9+6+12， mn， 故选：A 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及求函数的值，正确解方程组是解决 本题的关键 8两块等腰直角三角形纸片 AOB 和 COD 按图 1 所示放置，直角顶点重合
17、在点 O 处，其中 AB3，CD6保持纸片 AOB 不动，将纸片 COD 绕点 O 逆时针旋转 （0 90） ，如图 2 所示当 BD 与 CD 在同一直线上（如图 3）时，tan 的值等于（ ） A B C D 【分析】延长 BD 交 OA 于 G，交 AC 于 E，只要证明AOCBOD 即可解决问题如 图 2 中，设 ACx，在 RtABC 中，利用勾股定理求出 x，再根据三角函数的定义即可 解决问题 【解答】解：如图 1，延长 BD 交 OA 于 G，交 AC 于 E AOBCOD90， AOCDOB， 在AOC 和BOD 中， ， AOCBOD（SAS） ， ACBD，CAODBO，
18、DBO+OGB90， OGBAGE， CAO+AGE90， AEG90， BDAC， 如图 2 中，设 ACx， BD、CD 在同一直线上，BDAC， ABC 是直角三角形， AC2+BC2AB2， x2+（x+6）2（3）2， 解得 x3 或 x9（舍去） ， BC9， ODC+DBO45，ABC+DBO45， ABC， tantanABC 故选：C 【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形 的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分
19、，共 30 分不需写出解答过程，请把答案分不需写出解答过程，请把答案 直接填写在答题卡相应位置上）直接填写在答题卡相应位置上） 9 我国最大的领海南海总面积有 3500 000 平方公里， 将数 3500 000 用科学记数法表示应为 3.5106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：3500 0003.5106， 故答案为：3.5106 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学
20、记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 10若 2x3y，且 x0，则的值为 【分析】直接利用比例的性质得出 xy，进而代入求出答案 【解答】解：2x3y，且 x0， xy， 故答案为： 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确得出 xy 是解题关键 11若关于 x 的方程 x28x+m0 有两个相等的实数根，则 m 16 【分析】根据判别式的意义得到（8）24m0，然后解关于 m 的方程即可 【解答】解：（8）24m0， 解得 m16 故答案为 16 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0
21、）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的 实数根；当0 时，方程无实数根 12如图，转盘中 6 个小扇形的面积都相等，任意转动转盘 1 次，当转盘停止转动时，指针 指向红色区域的概率为 【分析】首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求 出指针指向红色区域的概率 【解答】解：圆被等分成 6 份，其中红色部分占 2 份， 落在阴影区域的概率， 故答案为 【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用 阴影区域表示所求事件（A） ；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例 即事件
22、（A）发生的概率； 此题将概率的求解设置于几何图象或游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既 避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运 用，体现了数学学科的基础性 13如图，将一块含有 30角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果1 27，那么2 57 【分析】先根据三角形内角和定理求出4 的度数，根据平行线性质求出3，根据邻补 角定义求出即可 【解答】解： 将一块含有 30角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，127， 490302733， ADBC， 3433， 2180903357， 故答案为：57 【点评】本题考查了三角形的
23、内角和定理，平行线的性质，邻补角的定义的应用，解此 题的关键是能求3 的度数，难度适中 14已知圆锥的底面半径是 2，母线长是 4，则圆锥的侧面积是 8 【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长2 【解答】解：底面半径是 2，则底面周长4，圆锥的侧面积448 【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解 15如图，O 的内接四边形 ABCD 中，BOD100，则BCD 130 【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得A 的度数，再根据圆周角定理求解即可 【解答】解：BOD100 A50 BCD180A130 故答案为：130 【点评】此题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的
24、对角 互补 16计算：40382420182020 4 【分析】根据有理数的混合计算解答即可 【解答】 解： 40382420182020 （2018+2020） 2420182020 （20182020） 24， 故答案为：4 【点评】此题考查有理数的混合计算，关键是根据有理数的混合计算解答 17如图，在菱形 OABC 中，点 A 的坐标是（2，1） ，点 B 的横坐标是 3，则点 C 的坐标是 （1，2） 【分析】 作 ADx 轴于 D， BFx 轴于 F， AEBF 于 E， BGy 轴于 H， CGBH 于 G， CMY 轴于 M， 则四边形 BHOF 是矩形， 四边形 ADFE 是矩
25、形， 四边形 GHMC 是矩形， 证明 RtABERtAOD， 得出 BEOD2， 求出 BF3， 同理可证： CBGAOD， 得出 CGAD1，BGOD2，得出 HM1，OM2，即可得出结果 【解答】解：作 ADx 轴于 D，BFx 轴于 F，AEBF 于 E，BGy 轴于 H，CGBH 于 G，CMY 轴于 M，如图所示： 则四边形 BHOF 是矩形，四边形 ADFE 是矩形，四边形 GHMC 是矩形，ADOAEB CGBCMO90， 点 A 的坐标是（2，1） ，点 B 的横坐标是 3， OD2，EFAD1，BH3， AE1， AEAD， 四边形 OABC 是菱形， OAABBCOC，
26、在 RtABE 和 RtAOD 中， RtABERtAOD（HL） ， BEOD2， BF3BH， 同理可证：CBGAOD， CGAD1，BGOD2， HM1，OM312， C（1，2） ； 故答案为： （1，2） 【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、矩形的 判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键 18如图，将直线 yx 向下平移 b 个单位长度后得到直线 l，l 与反比例函数 y（k0， x0）的图象相交于点 A，与 x 轴相交于点 B，则 OA2OB210，则 k 的值 5 【分析】由平移的性质得直线 l：yxb，所以 B（b，0）
27、 ，联立一次函数与反比例函数 关系式得：xb，设点 A 的坐标为（x，xb） ，由 OA2OB210 得 2k10，所以 k 5 【解答】解：直线 yx 向下平移 b 个单位长度后得到直线 l：yxb B（b，0） l 与反比例函数 y（k0，x0）的图象相交于点 A xb 即：x2bxk0 x2bx+k 设 A 点坐标为（x，xb） OA2OB2x2+（xb）2b22x22bx2k 2k10 k5 故答案为：5 【点评】本题主要涉及到一次函数和反比例函数的相关知识掌握函数的平移规律及反 比函数的相关性质即可解题 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共小题，共 96 分请
28、在答题卡指定区域内作答，解答时应写出分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤）必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分） （1）计算：3tan30； （2）解不等式： 【分析】 （1）根据实数的运算解答即可； （2）根据一元一次不等式的解法解答即可 【解答】解： （1）原式 ； （2）去分母得：3（12x）62（x+2） ， 移项、合并同类项得：8x7， 化系数为 1 得：x 【点评】此题考查一元一次不等式的解法，关键是根据一元一次不等式的解法和实数的 运算解答 20 （8 分）先化简再求值：，其中 a 是方程 a2+a0 的一个根 【分析】根据
29、分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后求出方程 a2+a0 的解， 然后将使得原分式有意义的 a 的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解： ， 由方程 a2+a0，得 a10，a21， 当 a0 时，原分式无意义， a1， 当 a1 时，原式 【点评】本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确分式化简 求值的方法 21 （8 分）为了解某校初二学生每周上网的时间，两位学生进行了抽样调查小丽调查了 初二电脑爱好者中 40 名学生每周上网的时间； 小杰从全校 400 名初二学生中随机抽取了 40 名学生，调查了每周上网的时间小丽与小杰整理各自样本数据，如表所示 时间段
30、（小时/周） 小丽抽样 人数 小杰抽样 人数 01 6 22 12 10 10 23 16 6 34 8 2 （每组可含最低值，不含最高值） （1）你认为哪位同学抽取的样本不合理？请说明理由 （2）根据合理抽取的样本，把上图中的频数分布直方图补画完整； （3）专家建议每周上网 2 小时以上（含 2 小时）的同学应适当减少上网的时间，估计该 校全体初二学生中有多少名同学应适当减少上网的时间？ 【分析】 （1）根据抽样调查时，抽取的样本要有代表性，即可作出判断； （2）根据统计表即可直接补全直方图； （3）利用总人数 400 乘以对应的比例即可 【解答】解： （1）小丽；因为她没有从全校初二学生中
31、随机进行抽查，不具有代表性 （2）如图所示： ； （3）该校全体初二学生中应适当减少上网的时间的人数是：40080（名） 答：该校全体初二学生中有 80 名同学应适当减少上网的时间 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图 获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 22 （8 分）在不透明的袋子中有四张标着数字 1，2，3，4 的卡片，这些卡片除数字外都相 同甲同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加如图是他所画的树 状图的一部分 （1）由如图分析，甲同学的游戏规则是：从袋子中随机抽出一张卡片后 不放回 （填 “放
32、回”或“不放回” ） ，再随机抽出一张卡片； （2）帮甲同学完成树状图； （3）求甲同学两次抽到的数字之和为偶数的概率 【分析】 （1）根据小明画出的树形图知数字 1 在第一次中出现，但没有在第二次中出现 可以判断； （2）根据本实验是一个不放回试验作出树状图即可； （3）根据树状图利用概率公式求解即可 【解答】解： （1）观察树状图知：第一次摸出的数字没有在第二次中出现， 甲同学的实验是一个不放回实验， 故答案为：不放回； （2）补全树状图为： （3）由树状图得： 共有 12 种情况，两次抽到的数字之和为偶数的有 4 种， 故 P（两次抽到的数字之和为偶数） 【点评】本题考查了列表法和树状图
33、法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所 有等可能出现的结果数 n， 再找出其中某一事件所出现的可能数 m， 然后根据概率的定义 可计算出这个事件的概率 23 （10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且AFEB （1）在图中找出一对相似三角形，并说明理由； （2）若 AB8，AD，AF，求 AE 的长 【分析】 （1）根据平行四边形的性质得到ADFDEC，根据平行线的性质、等量代 换得到AFDC，根据相似三角形的判定定理证明结论； （2）根据相似三角形的性质求出 DE，根据勾股定理计算，得到答案 【解答】解：
34、（1）ADFDEC， 理由如下：四边形 ABCD 为平行四边形， ABCD，ADBC， C+B180，ADFDEC， AFD+AFE180，AFEB， AFDC， ADFDEC，AFDC， ADFDEC； （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB8， 由（1）可知ADFDEC， ，即， 解得，DE12， 在 RtADE 中，AE6 【点评】本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形 的判定定理和性质定理是解题的关键 24 （10 分）甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款 60000 元，已知乙公司比甲公司人 均多捐 40 元，甲公司的人数比乙公司的人数多
35、 20% 请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程 【分析】首先提出问题，例如，求甲、乙两公司的人数分别是多少？则本题的等量关系 是：乙公司的人均捐款甲公司的人均捐款40，根据这个等量关系可得出方程求解 【解答】问题：求甲、乙两公司的人数分别是多少？ 解：设乙公司人数为 x，则甲公司的人数为（1+20%）x， 根据题意得：40 解得：x250 经检验 x250 是原方程的根， 故（1+20%）250300（人） ， 答：甲公司为 300 人，乙公司 250 人 【点评】本题考查了分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的 条件，找出合适的等量关系，列出方程
36、，再求解 25 （10 分）如图，AB 是O 的直径，BC 交O 于点 D，E 是的中点，连接 AE 交 BC 于点 F，ACB2EAB （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若 cosC，AC8，求 BF 的长 【分析】 （1）如图，连接 AD根据直径所对的圆周角为直角及同圆中等弧所对的圆 周角相等，及ACB2EAB求得BAD+CAD90，则 BAAC，根据切线的判 定定理可得证； （2） 如图， 过点 F 做 FHAB 于点 H， 先在 RtADC 和 RtBAC 中， 分别求得 CD、 BC、BD再在 RtBFH 中，由三角函数可求得 FH 及 DF，则可用 BD 的值减去 DF 的
37、值，求得 BF 【解答】 （1）证明：如图，连接 AD 图 E 是的中点， DAEEAB C2EAB， CBAD AB 是O 的直径， ADBADC90 C+CAD90 BAD+CAD90 即 BAAC AC 是O 的切线 （2）解：如图，过点 F 做 FHAB 于点 H 图 ADBD，DAEEAB， FHFD，且 FHAC 在 RtADC 中， cosC，AC8， CD6 同理，在 RtBAC 中，可求得 BC BD 设 DFx，则 FHx，BFx FHAC， BFHC cosBFH 即 解得 x2 BF 【点评】本题考查了圆的切线的判定定理及三角函数在线段求值中的应用，熟练掌握相 关定理及
38、相似或三角函数的计算技巧，是解题的关键 26 （10 分） 如图， 老旧电视机屏幕的长宽比为 4： 3， 但是多数电影图象的长宽比为 2.4： 1，故在播放电影时电视机屏幕的上方和下方会有两条等宽的黑色带子 （1）若图中电视机屏幕为 20 寸（即屏幕对角线长度） ： 该屏幕的长 16 寸，宽 12 寸； 已知“屏幕浪费比” ，求该电视机屏幕的浪费比 （2）为了兼顾电影的收视需求，一种新的屏幕的长宽比诞生了如图，这种屏幕（矩 形 ABCD）恰好包含面积相等且长宽比分别为 4：3 的屏幕（矩形 EFGH）与 2.4：1 的屏 幕（矩形 MNPQ） 求这种屏幕的长宽比 （参考数据：2.2，结果精确到
39、 0.1） 【分析】 （1）根据电视机屏幕的长宽比为 4：3，设长为 4x，则宽为 3x，再由勾股定 理求出 x 的值，进而可得出结论； 设在该屏幕上播放长宽比为 2.4：1 的视频时，视频的宽为 a 寸（长为 16 寸） ，求出 a 的值，得出黑色带子的宽度，进而得出其比值； （2）根据题意得出，得 PQBC，FGEF再由 S矩形EFGH S矩形MNPQ即可得出，进而可得出结论 【解答】解： （1）电视机屏幕的长宽比为 4：3， 设长为 4x，则宽为 3x， 电视机屏幕为 20 寸， （4x）2+（3x）2202，解得 x4， 4x16，3x12， 该屏幕的长为 16 寸，宽为 12 寸；
40、故答案为：16；12 设在该屏幕上播放长宽比为 2.4：1 的视频时，视频的宽为 a 寸（长为 16 寸） ，解得 a 黑色带子的宽的和12 屏幕浪费比； （2）由题意：，得：PQBC，FGEF S矩形EFGHS矩形MNPQ， BCBCEFEF ， 1.8 答：这种屏幕的长宽比约为 1.8 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方 程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画 出准确的示意图领会数形结合的思想的应用 27 （12 分）如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 （1）概念理解：如图 2，在四边形 ABCD
41、中，ABAD，CBCD，问四边形 ABCD 是垂 美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图 1，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，ACBD试证明： AB2+CD2AD2+BC2； （3） 解决问题： 如图 3， 分别以 RtACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连结 CE、BG、GE已知 AC4，AB5，求 GE 的长 【分析】 （1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是垂美四边形
42、证明：ABAD， 点 A 在线段 BD 的垂直平分线上， CBCD， 点 C 在线段 BD 的垂直平分线上， 直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线， ACBD，即四边形 ABCD 是垂美四边形； （2）如图 2， ACBD， AODAOBBOCCOD90， 由勾股定理得，AD2+BC2AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2AO2+BO2+CO2+DO2， AD2+BC2AB2+CD2 （3）连接 CG、BE， CAGBAE90， CAG+BACBAE+BAC，即GABCAE， 在GAB 和CAE 中， GABCAE（SAS） ， ABGAEC，又AEC+AME90， ABG+AME
43、90，即 CEBG， 四边形 CGEB 是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2CB2+GE2， AC4，AB5， BC3，CG4，BE5， GE2CG2+BE2CB273， GE 【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定 理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键 28 （12 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 过点 A（3，2） ，且与直线 yx+交于 B、C 两点，点 B 的坐标为（4，m） （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 为抛物线上位于直线 BC 上方的一点，过点 D 作 DEx 轴交直线 BC 于点 E， 点 P
44、为对称轴上一动点，当线段 DE 的长度最大时，求 PD+PA 的最小值； （3）设点 M 为抛物线的顶点，在 y 轴上是否存在点 Q，使AQM45？若存在，求 点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）将点 B 的坐标为（4，m）代入 yx+，m4+，B 的坐标为 （4，） ，将 A（3，2） ，B（4，）代入 yx2+bx+c，解得 b1，c，因 此抛物线的解析式 y； （2）设 D（m，） ，则 E（m，m+） ，DE（）（m+） （m2）2+2，当 m2 时，DE 有最大值为 2，此时 D（2，） ，作 点 A 关于对称轴的对称点 A，连接 AD，与对称轴交于点 PPD+PA
45、PD+PAAD，此 时 PD+PA 最小； （3）作 AH对称轴于点 H，连接 AM、AQ、MQ、HA、HQ，由 M（1，4） ，A（3，2） ， 可得 AHMH2，H（1，2）因为AQM45，AHM90，所以AQM AHM，可知AQM 外接圆的圆心为 H，于是 QHHAHM2 设 Q（0，t） ，则 2，t2+或 2，求得符合题意的点 Q 的坐标：Q1（0，2 ） 、Q2（0，2） 【解答】解： （1）将点 B 的坐标为（4，m）代入 yx+， m4+， B 的坐标为（4，） ， 将 A（3，2） ，B（4，）代入 yx2+bx+c， 解得 b1，c， 抛物线的解析式 y； （2）设 D（m
46、，） ，则 E（m，m+） ， DE（）（m+）（m2）2+2， 当 m2 时，DE 有最大值为 2， 此时 D（2，） ， 作点 A 关于对称轴的对称点 A，连接 AD，与对称轴交于点 P PD+PAPD+PAAD，此时 PD+PA 最小， A（3，2） ， A（1，2） ， AD， 即 PD+PA 的最小值为； （3）作 AH对称轴于点 H，连接 AM、AQ、MQ、HA、HQ， 抛物线的解析式 y， M（1，4） ， A（3，2） ， AHMH2，H（1，2） AQM45， AHM90， AQMAHM， 可知AQM 外接圆的圆心为 H， QHHAHM2 设 Q（0，t） ， 则2， t2+或 2 符合题意的点 Q 的坐标：Q1（0，2） 、Q2（0，2） 【点评】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及 圆周角定理是解题的关键
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