1、31.3 二倍角的正弦二倍角的正弦、余弦余弦、正切公式正切公式 一、选择题 1若 sin 1 3，则 cos 2 等于( ) A.8 9 B.7 9 C7 9 D8 9 考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用公式求二倍角的余弦值 答案 B 解析 sin 1 3， cos 212sin212 1 3 27 9. 2已知 sin cos 4 3，则 sin 2 等于( ) A7 9 B 2 9 C. 2 9 D. 7 9 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案 A 解析 sin cos 4 3， (sin cos )212sin cos 1sin 216 9
2、 ， sin 27 9.故选 A. 3(2018 辽宁师范大学附属中学高三期末)化简：cos 25 sin25 sin 40 cos 40 等于( ) A1 B2 C.1 2 D1 考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合利用二倍角公式化简求值 答案 B 解析 cos25 sin25 sin 40 cos 40 cos 10 1 2sin 80 cos 10 1 2cos 10 2. 故选 B. 4(2018 天津和平区高三期末)已知 tan 4 2，则 cos 2 等于( ) A3 5 B. 3 5 C 4 5 D. 4 5 考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用公式求二倍角余弦值
3、答案 D 解析 由 tan 4 tan 1 1tan 2，解得 tan 1 3， 则 cos 2cos2sin2cos 2sin2 sin2cos2 1tan2 1tan2 11 9 11 9 4 5.故选 D. 5. 1cos 100 1cos 100 等于( ) A2cos 5 B2cos 5 C2sin 5 D2sin 5 考点 利用二倍角公式化简求值 题点 利用余弦的二倍角公式化简求值 答案 C 解析 原式 2cos250 2sin250 2(cos 50 sin 50 )2 2 2 cos 50 2 2 sin 50 2sin(45 50 )2sin 5 . 6函数 f(x)cos
4、2x6cos 2x 的最大值为( ) A4 B5 C6 D.11 2 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案 B 解析 f(x)12sin2x6sin x2 sin x3 2 211 2 ，所以当 sin x1 时，f(x)的最大值为 5. 7(2018 北京东城区高三期末)若 cos sin 2 3，则 2sin 2 4 1 1tan 的值为( ) A.5 9 B0 C 5 18 D 5 9 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用二倍角公式化简三角函数式 答案 D 解析 cos sin 2 3，12sin cos 4 9， 2sin cos 5 9. 2sin
5、 2 4 1 1tan 2 2 2 sin 2cos 21 1tan 2sin cos 2sin 2 1sin cos 2sin cos 5 9. 二、填空题 8sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 . 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案 1 16 解析 原式sin 6 cos 48 cos 24 cos 12 sin 6 cos 6 cos 12 cos 24 cos 48 cos 6 sin 96 16cos 6 cos 6 16cos 6 1 16. 9(2018 广东茂名高三第一次综合测试)已知 (0，)，且 sin cos 1 2，
6、则 cos 2 的值 为 考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合利用二倍角公式化简求值 答案 7 4 解析 sin cos 1 2，12sin cos 1 4， sin cos 3 8.又(0，)， sin 0，cos 0， (sin cos )212sin cos 7 4， sin cos 7 2 ，cos 2cos2sin2 (cos sin )(cos sin ) 7 4 . 10已知 sin 4 sin 4 1 6， 2， ，则 sin 4 的值为 考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合利用二倍角公式化简求值 答案 4 2 9 解析 因为 sin 4 sin 4 sin 4 cos
7、 4 1 6， 所以 sin 22 1 3，即 cos 2 1 3， 又 2， ，则 2(，2)， 所以 sin 2 1cos221 1 3 22 2 3 ， 故 sin 42sin 2 cos 22 2 2 3 1 3 4 2 9 . 11已知 为锐角，cos(15 )3 5，则 cos(215 ) . 考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合利用二倍角公式化简求值 答案 17 2 50 解析 为锐角，cos(15 )3 5，sin(15 ) 4 5. sin(230 )2sin(15 )cos(15 )24 25. cos(230 )2cos2(15 )12 9 251 7 25. cos
8、(215 )cos(230 45 ) cos(230 )cos 45 sin(230 )sin 45 7 25 2 2 24 25 2 2 17 2 50 . 三、解答题 12已知 3sin sin(2)，且 2k， 2k(kZ)，求证：tan()2tan . 考点 利用二倍角公式化简求值 题点 利用二倍角公式化简三角函数式 证明 因为 sin sin()sin()cos cos()sin ； sin(2)sin()sin()cos cos() sin ， 所以 3sin()cos 3cos()sin sin()cos cos()sin ， 即 sin()cos 2cos()sin . 又 2
9、k， 2k(kZ)， 所以 cos 0，cos()0. 于是等式两边同除以 cos() cos ， 得 tan()2tan . 13化简： 1sin cos sin 2cos 2 22cos (180 360 ) 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 解 原式 2cos2 22sin 2cos 2 sin 2cos 2 4cos2 2 2cos 2 cos 2sin 2 sin 2cos 2 2 cos 2 cos 2 sin2 2cos 2 2 cos 2 cos 2cos cos 2 . 因为 180 360 ，所以 90 2180 ， 所以 cos 20，所以
10、sin 3 5， cos 4 5 不合题意，舍去，所以 tan 4 3， 所以 tan 2 2tan 1tan2 24 3 1 4 3 2 24 7 . 15已知向量 m cos 2 3 ，1 ，n(sin ，1)，m 与 n 为共线向量，且 2，0 . (1)求 sin cos 的值； (2)求 sin 2 sin cos 的值 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 解 (1)因为 m 与 n 为共线向量， 所以 cos 2 3 1(1)sin 0， 即 sin cos 2 3 . (2)因为 1sin 2(sin cos )22 9，所以 sin 2 7 9， 因为(sin cos )2(sin cos )22， 所以(sin cos )222 9 16 9 . 又因为 2，0 ， 所以 sin cos 0，sin cos 4 3. 因此， sin 2 sin cos 7 12.
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