微专题突破一：正弦、余弦的和、差、积“三姐妹问题” 学案（含答案）

1、微专题突破微专题突破一一 正弦正弦、余弦的和余弦的和、差差、积积“三姐妹问题三姐妹问题” 我们知道同角三角函数有平方关系： sin2cos21， 利用这一关系， 对“sin cos ”， “sin cos ”，“sin cos ”三者可以知一求二 例 1 已知 cos sin 1 2，则 sin cos 的值为( ) A.3 8 B 3 8 C. 3 4 D 3 4 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 A 解析 由已知得(cos sin )2sin2cos22sin cos 12sin cos 1 4， 解得 sin cos 3 8，故选 A. 点评 已知

2、 sin cos ，sin cos 求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求 解涉及的三角恒等式有 (sin cos )212sin cos ； (sin cos )212sin cos ； (sin cos )2(sin cos )22； (sin cos )2(sin cos )24sin cos . 例 2 (2018 山东德州高二期末)已知 sin cos 5 2 ，则 tan 1 tan 的值为( ) A4 B4 C8 D8 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 C 解析 tan 1 tan sin cos cos sin 1 sin c

3、os . sin cos 1sin cos 2 2 1 8， tan 1 tan 8. 点评 利用切化弦化简可得 sin cos 结构， 根据 sin cos ， sin cos ， sin cos 关系， 将已知条件平方变形使问题得解 例 3 已知 (0,2)，且 sin ，cos 是方程 x2kxk10 的两个实数根，则实数 k _，_. 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 1 或3 2 解析 依题意有 k24(k1)0， sin cos k， sin cos k1. 又(sin cos )212sin cos ，k22k30. 解得 k3 或 k1.

4、 |sin cos |k1|1，k1(满足条件) 代入，得 sin cos 1， sin cos 0. 解得 sin 0， cos 1 或 sin 1， cos 0. 又(0,2)， 或3 2 . 点评 本题将三角函数与一元二次方程结合起来， 利用根与系数的关系得到 sin cos ， sin cos 关系式，再由这二者间联系(sin cos )212sin cos ，得到关于 k 的方程，从 而使问题得解 例 4 已知关于 x 的方程 2x2( 31)x2m0 的两根为 sin 和 cos (0，)，求： (1)m 的值； (2) sin 1 1 tan cos 1tan ； (3)方程的两

5、根及此时 的值 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 解 (1)由题意得( 31)216m0， sin cos 31 2 ， sin cos m， 将式平方，得 12sin cos 2 3 2 ， 所以 sin cos 3 4 ，代入得 m 3 4 (经验证，满足式) (2) sin 1 1 tan cos 1tan sin2 sin cos cos2 cos sin sin2cos2 sin cos sin cos 31 2 . (3)由(1)得 m 3 4 ，所以原方程化为 2x2( 31)x 3 2 0，解得 x1 3 2 ，x21 2. 所以 sin 3 2 ， cos 1 2 或 sin 1 2， cos 3 2 . 又因为 (0，)，所以 3或 6. 点评 本题利用一元二次方程根与系数的关系得出等式，然后结合 sin cos ，sin cos 关系建立方程求出答案，体现了函数与方程思想的运用