1、12.1 任意角的三角函数任意角的三角函数(二二) 学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数 线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 知识点一 三角函数的定义域 正弦函数 ysin x 的定义域是 R；余弦函数 ycos x 的定义域是 R；正切函数 ytan x 的定 义域是 x xR且xk 2，kZ . 知识点二 三角函数线 在平面直角坐标系中，任意角 的终边与单位圆交于点 P，过点 P 作 PMx 轴，过点 A(1,0) 作单位圆的切线，交 的终边或其反向延长线于点 T. 1有向线段 带有方向的线段，叫
2、做有向线段 2三角函数线 图示 正弦线 角 的终边与单位圆交于点 P，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，有向 线段 MP 即为正弦线 余弦线 有向线段 OM 即为余弦线 正切线 过点 A(1,0)作单位圆的切线， 这条切线必然平行于 y 轴， 设它与 的终边或其反向延长线相交于点 T，有向线段 AT 即为正切线 1正弦线 MP 也可写成 PM.( ) 提示 三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒 2三角函数线表示的值都只能是非负值( ) 提示 三角函数线表示的值也可取负值 3当角 的终边在 y 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在( ) 4当角 的终边在 x 轴上时，正弦线、正切线都变成点
3、( ) 题型一 作三角函数线 例 1 作出5 8 的正弦线、余弦线和正切线 考点 单位圆与三角函数线 题点 三角函数线的作法 解 如图所示， sin 5 8 MP， cos 5 8 OM， tan 5 8 AT. 反思感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线 (2)作正切线时，应从点 A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点 T，即 可得到正切线 AT. 跟踪训练 1 如图在单位圆中，角 的正弦线、正切线完全正确的是( ) A正弦线为 PM，正切线为 AT B正弦线为 MP，正切线为 AT
4、 C正弦线为 MP，正切线为 AT D正弦线为 PM，正切线为 AT 考点 单位圆与三角函数线 题点 三角函数线的作法 答案 C 题型二 利用三角函数线比较大小 例 2 利用三角函数线比较 sin 2 3 和 sin 4 5 ，cos 2 3 和 cos 4 5 ，tan 2 3 和 tan 4 5 的大小 考点 单位圆与三角函数线 题点 利用三角函数线比较大小 解 如图， sin 2 3 MP，cos 2 3 OM，tan 2 3 AT，sin 4 5 MP，cos 4 5 OM，tan 4 5 AT. 显然|MP|MP|，符号皆正， sin 2 3 sin 4 5 ； |OM|cos 4
5、5 ； |AT|AT|，符号皆负，tan 2 3 tan 3 8 ；sin 3 5 sin 4 5 . 其中判断正确的有_ 考点 单位圆与三角函数线 题点 利用三角函数线比较大小 答案 解析 分别作出各角的三角函数线(图略)， 可知 sin 6sin 7 6 ，cos 4 cos 4， tan 8sin 4 5 ，所以正确 利用三角函数线解不等式(组) 典例 在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围，并由此写出角 的集合 (1)sin 3 2 ； (2)cos 1 2. 考点 单位圆与三角函数线 题点 利用三角函数线解不等式 解 (1)作直线 y 3 2 交单位圆于 A，B 两点，连接 O
6、A，OB，则 OA 与 OB 围成的区域(如图 (1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角 的终边的范围 故满足要求的角 的集合为 2k 32k 2 3 ，kZ. (2)作直线 x1 2交单位圆于 C，D 两点，连接 OC 与 OD，则 OC 与 OD 围成的区域(如图(2) 所示的阴影部分，包括边界)，即为角 的终边的范围 故满足条件的角 的集合为 2k2 3 2k4 3 ，kZ. 素养评析 (1)用单位圆中的三角函数线求解简单的三角函数不等式，应注意以下两点： 先找到“正值”区间，即 02 内满足条件的角 的范围，然后再加上周期； 注意区间是开区间还是闭区间 (2)建立形与数的联系，借助几何
7、直观理解问题，可以提升学生数形结合的能力，发展并培养 学生直观想象的数学核心素养. 1已知13 5 的正弦线为 MP，正切线为 AT，则有( ) AMP 与 AT 的方向相同 B|MP|AT| CMP0，AT0 DMP0 考点 单位圆与三角函数线 题点 三角函数线的作法、利用三角函数线比较大小 答案 C 解析 三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的MPsin 13 5 0，ATtan 13 5 0. 2角 (02)的正弦、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么 的值为( ) A. 4 B.3 4 C.7 4 D.3 4 或7 4 考点 单位圆与三角函数线 题点 三角函数线的作法 答案
8、 D 解析 由角 的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，得 的终边在第二、四 象限的角平分线上 又 02，3 4 或7 4 . 3使 sin xcos x 成立的 x 的一个变化区间是( ) A. 3 4， 4 B. 2， 2 C. 3 4， 3 4 D0， 考点 单位圆与三角函数线 题点 利用三角函数线解不等式 答案 A 解析 当 x 的终边落在如图所示的阴影部分时， 满足 sin xcos x. 4利用三角函数线，写出满足下列条件的角 的集合： (1)sin 2 2 ；(2)cos 1 2. 考点 单位圆与三角函数线 题点 利用三角函数线解不等式 解 (1)由图知，当 sin 2
9、 2 时，角 满足的集合为 42k 3 4 2k，kZ. (2)由图知，当 cos 1 2时，角 满足的集合为 32k 5 3 2k，kZ. 1三角函数线的意义 三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线 的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负具体地说，正弦线、正切线 的方向同 y 轴一致， 向上为正， 向下为负； 余弦线的方向同 x 轴一致， 向右为正， 向左为负 三 角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提 供了方便 2三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、 余弦线、 正切线， 同时也给出了角 的三角函数线的画法， 即先找到 P，M，T 点，再画出 MP，OM，AT. 注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒 3三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念与三角函数的定义 结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值 符号的变化规律、诱导公式一的理解更容易了
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