1、 专题专题 09 动点类题目动点类题目图形图形最值问题探究最值问题探究 题型一：题型一：矩形中的相似求解矩形中的相似求解 例例 1.（2019绍兴）绍兴）如图，矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b，点 M、N 分别在边 AB、CD 上，点 E、F 分 别在边 BC、AD 上，MN、EF 交于点 P. 记 k=MN:EF. （1）若 a：b 的值为 1，当 MNEF 时，求 k 的值. （2）若 a：b 的值为 2 1 ，求 k 的最大值和最小值. （3）若 k 的值为 3，当点 N 是矩形的顶点，MPE=60 ，MP=EF=3PE 时，求 a：b 的值. BC DA E M F N 【分析】
2、 （1）当 a：b=1 时，可得四边形 ABCD 为正方形，由 MNEF，可证 MN=EF，即 k=1； （2） 先确定 MN 和 EF 的取值范围，当 MN 取最大值，EF 取最小值时，k 的值最大，否则反之； （3）根据 N 是 矩形顶点，分两种情况讨论，即 N 分别与 D 点和 C 点重合，依据不同图形求解. 【答案】见解析. 【解析】解： （1）当 a：b=1 时，即 AB=BC， 四边形 ABCD 是矩形， 四边形 ABCD 是正方形， 过 F 作 FGBC 于 G，过 M 作 MHCD 于 H，如下图所示， B C D A E M F N G H MNEF， NMH=EFG， MH
3、N=FGE=90 ，MH=FG， MNHFEG， MN=EF，即 k=1； （2）由题意知：b=2a， 所以得：aEF5a，2aMN5a, 所以当 MN 取最大值，EF 取最小值时，k 取最大值，为5； 当 MN 取最小值，EF 取最大值时，k 取最小值，为 2 5 5 ； （3）如下图所示， BC DA E M F N P 连接 FN，ME， 设 PE=x，则 EF=MP=3x，PF=2x，MN=3EF=9x，PN=6x， PFPN PEPM 又FPN=MPE， FPNEPM， PFN=PEM， FNME， 当 N 点与 D 点重合时，由 FNME 得，M 点与 B 点重合， BC DA E
4、 （M） F （N） PH 过 F 作 FHBD 于 H， MPE=60 ， PFH=30 ， PH=x，FH=3x，BH=BP+PH=4x，DH=5x， 在 Rt DFH 中，tanFDH= 3 5 ， 即 a:b= 3 5 ; 当 N 点与 C 点重合时，过 BC DA E M F （N） P H 过点 E 作 EHMN 于 H，连接 EM， 则 PH=x，EH=3x，CH=PC+PH=13x， 在 Rt ECH 中，tanECH= 3 13 ， MEFC， MEB=FCB=CFD， B=D， MEBCFD， CDFC MBME =2, 即 a:b= 22 3 13 CDBM BCBC ;
5、 综上所述，a:b 的值为 3 5 或 2 3 13 . 题型二：二次函数中几何图形最值求解题型二：二次函数中几何图形最值求解 例例 2.（2019衡阳）衡阳）如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴 交于点 N，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 CP，过点 P 作 CP 的垂线与 y 轴交于点 E （1）求该抛物线的函数关系表达式； （2）当点 P 在线段 OB（点 P 不与 O、B 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值？并求出这个最 大值； （3）在第四象限的抛物线上任取
6、一点 M，连接 MN、MB请问： MBN 的面积是否存在最大值？若存在， 求出此时点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）将点 A、B 的坐标代入二次函数解析式求解； （2）由 POECBP 得出比例线段，可表示 OE 的长，利用二次函数的性质可求出线段 OE 的最大值； （3）过点 M 作 MHy 轴交 BN 于点 H，由 S MNB S BMH+S MNH即可求解 【答案】见解析. 【解析】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0） ，B（3，0） ， 10 930 bc bc ， 解得： 2 3 b c ， 抛物线函数关系表达式为 yx22x3； （2）由题意
7、知：ABOA+OB4， 在正方形 ABCD 中，ABC90 ，PCBE， OPE+CPB90 ， CPB+PCB90 ， OPEPCB， 又EOPPBC90 ， POECBP， BCOP BPOE ， 设 OPx，则 PB3x， 4 3 x xOE ， OE 2 2 1139 3 44216 xxx ， 当 3 2 x 时，即 OP= 3 2 时线段 OE 长有最大值，最大值为 9 16 （3）存在 如图，过点 M 作 MHy 轴交 BN 于点 H， N 点坐标为（0，3） ， 设直线 BN 的解析式为 ykx+b， 30 3 kb b ， 直线 BN 的解析式为 yx3， 设 M（m，m22
8、m3） ，则 H（m，m3） ， MHm3（m22m3）m2+3m， S MNBS BMH+S MNH 2 2 11327 3 2228 mmm ， a 3 2 时， MBN 的面积有最大值，最大值是 27 8 ，此时 M 点的坐标为（ 315 24 ，） 题型三：二次函数中题型三：二次函数中面积面积最值最值的的求解求解 例例 3.（2019自贡）自贡）如图，已知直线 AB 与抛物线 2 :2C yaxxc相交于点 A（-1,0）和点 B（2,3）两 点. （1）求抛物线 C 函数表达式； （2）若点 M 是位于直线 AB 上方抛物线上的一动点，以 MA、MB 为相邻的两边作平行四边形 MAN
9、B，当平 行四边形 MANB 的面积最大时，求此时平行四边形 MANB 的面积 S 及点 M 的坐标； （3） 在抛物线 C 的对称轴上是否存在定点 F， 使抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到直线 4 17 y的 距离，若存在，求出定点 F 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】见解析. 【解析】解： （1）把 A（-1,0） ，B（2,3）代入抛物线得： 20 443 ac ac 解得 3 1 c a 抛物线的函数表达式为：y=x2+2x+3 （2）A（-1,0） ，B（2,3） ， 直线 AB 的解析式为：y=x+1， 如下图所示，过 M 作 MNy 轴交 AB 于 N，
10、 设 M(m,m2+2m+3)，N(m,m+1)， （-1m2） MN=m2+m+2， S ABM=S AMN+S BMN= 1 () 2 BA xxMN S ABM= 22 13127 (2) 3() 2228 mmm ， 当 2 1 m时， ABM 的面积有最大值 8 27 ，而 SMANB=2S ABM= 4 27 ，此时 1 7 ( , ) 2 2 M （3）存在，点 15 (1,) 4 F 理由如下：抛物线顶点为 D，则 D（1,4） ，则顶点 D 到直线 4 17 y的距离为 4 1 ， 设(1, )Fn、 2 ( ,23)P xxx，设 P 到直线 4 17 y的距离为 PG.
11、则 PG= 22 175 (23)2 44 xxxx ， P 为抛物线上任意一点都有 PG=PF， 当 P 与顶点 D 重合时，也有 PG=PF. 此时 PG= 4 1 ，即顶点 D 到直线 4 17 y的距离为 1 4 ， PF=DF= 4 1 ， ) 4 15 , 1 (F， PG=PF， PG2=PF2， 2222222 153 (1)(23)(1)(2) 44 PFxxxxxx 222 5 (2) 4 PGxx 222222 153 (1)(23)(1)(2) 44 xxxxxx 22 5 (2) 4 xx 整理化简可得 0x=0， 当) 4 15 , 1 (F时，无论x取任何实数，均
12、有 PG=PF. 题型四：反比例函数中面积最值的求解题型四：反比例函数中面积最值的求解 例例 4.（2018扬州一模）扬州一模） 如图 1，反比例函数 y= k x （x0）的图象经过点 A（2 3，1） ，射线 AB 与反比例 函数图象交于另一点 B（1，a） ，射线 AC 与 y 轴交于点 C，BAC=75 ，ADy 轴，垂足为 D （1）求 k 的值； （2）求 tanDAC 的值及直线 AC 的解析式； （3）如图 2，M 是线段 AC 上方反比例函数图象上一动点，过 M 作直线 lx 轴，与 AC 相交于点 N，连接 CM，求 CMN 面积的最大值 图 1 图 2 【答案】见解析.
13、【解析】解： （1）将 A（23，1）代入反比例函数 y k x ， k23； （2）由（1）知，反比例函数解析式为 y 2 3 x ， 点 B（1，a）在反比例函数 y 2 3 x 的图象上， a23， 点 B（1，23） 过 B 作 BEAD 于 E，如下图所示， 则 AEBE231 ABEBAE45 又BAC75 ， DAC30 DCtan30 AD 3 2 3 3 2， OC1，即 C（0，1） 设直线 AC 的解析式为 ykx+b 2 31 1 kb b ， 解得 3 3 1 k b 直线 AC 的解析式为 y 3 3 x1 （3）设 M（m， 2 3 m ） ，N（m， 3 3 m
14、1） 则 MN 2 3 m （ 3 3 m1） 2 3 m 3 3 m+1， S CMN 1 2 （ 2 3 m 3 3 m+1）mm2+m+ 3 6 （m 3 2 ）2+ 9 3 8 当 m 3 2 时， CMN 的面积有最大值，最大值为 9 3 8 . 题型五：反比例函数中面积最值的求解题型五：反比例函数中面积最值的求解 例例 5.（2019达州）达州）如图 1，已知抛物线 y=x2+bx+c 过点 A(1,0)，B(3,0). （1）求抛物线的解析式及其顶点 C 的坐标； （2）设点 D 是 x 轴上一点，当 tan（CAO+CDO）=4 时，求点 D 的坐标； （3）如图 2，抛物线与
15、 y 轴交于点 E，点 P 是该抛物线上位于第二象限的点，线段 PA 交 BE 于点 M，交 y 轴于点 N， BMP 和 EMN 的面积分别为 m、n，求 mn 的最大值. 【答案】见解析. 【解析】解： （1）把点（1，0） ， （3，0）代入 yx2+bx+c， 得， 01 093 bc bc ， 解得 b2，c3， yx22x+3（x+1）2+4， 此抛物线解析式为：yx22x+3，顶点 C 的坐标为（1，4） ； （2）由（1）知：抛物线对称轴为 x1， 设抛物线对称轴与 x 轴交于点 H，H（1，0） ， 在 Rt CHO 中，CH4，OH1， tanCOH CH OH 4， CO
16、HCAO+ACO， 当ACOCDO 时， tan（CAO+CDO）tanCOH4， 如下图所示，当点 D 在对称轴左侧时， ACOCDO，CAOCAO， AOCACD， ACAO ADAC ， AC2 5，AO1， AD20，OD19， D（19，0） ； 当点 D 在对称轴右侧时，点 D 关于直线 x1 的对称点 D的坐标为（17，0） ， 点 D 的坐标为（19，0）或（17，0） ； （3）设 P（a，a22a+3） ，设直线 PA 的解析式为：y=kx+b， 将 P（a，a22a+3） ，A（1，0）代入 ykx+b， 2 23 0 akbaa kb ， 解得，ka3，ba+3， y（
17、a3）x+a+3， 当 x0 时，ya+3， N（0，a+3） ， 如下图所示， m=S BPMS BPAS四边形BMNOS AON，n=S EMNS EBOS四边形BMNO， mnS BPAS EBOS AON 1 2 4 （a22a+3） 1 2 3 3 1 2 1 （a+3） 2（a+ 9 8 ）2+ 81 32 ， 当 a 9 8 时，mn 有最大值 81 32 . 题型六：二次函数中最值及最短路径题型题型六：二次函数中最值及最短路径题型 例例 6.（2019绵阳）绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数 y=ax2（a0）的图象向右平移 1 个单位，再向下平 移 2个单位，得到如图所示的
18、抛物线，该抛物线与 x 轴交于点 A、B（点 A在点 B 的左侧），OA=1，经过点 A 的一次函数 y=kx+b（k0）的图象与 y轴正半轴交于点 C，且与抛物线的另一个交点为 D， ABD 的面积 为 5 （1）求抛物线和一次函数的解析式； （2）抛物线上的动点 E 在一次函数的图象下方，求 ACE 面积的最大值，并求出此时点 E 的坐标； （3）若点 P为 x 轴上任意一点，在（2）的结论下，求 PE+ 3 5 PA 的最小值 【答案】见解析. 【解析】解：（1）由平移知，平移后得到的抛物线解析式为 y=a（x-1）2-2， OA=1， 点 A的坐标为（-1，0），代入抛物线的解析式得，
19、4a-2=0， 得：a= 1 2 ， 抛物线的解析式为 21 12 2 yx，即 2 13 22 yxx 令 y=0，解得 x1=-1，x2=3， B（3，0）， AB=OA+OB=4， ABD的面积为 5， SABD= 1 2 AByD=5 yD= 5 2 ， 2 513 222 xx，解得 x1=-2，x2=4， D（4， 5 2 ）， 设直线 AD的解析式为 y=kx+b， 5 4 2 0 kb kb ，解得： 1 2 1 2 k b ， 直线 AD的解析式为：y= 1 2 x+ 1 2 . （2）过点 E作 EMy 轴交 AD 于 M，如下图所示， 设 E（a， 1 2 a2a 3 2
20、 ），M（a， 1 2 a+ 1 2 ）， ME= 1 2 a2+ 3 2 a+2， S ACE=S AMES CME= 1 4 （a23a4）= 1 4 （a 3 2 ）2+ 25 16 ， 当 a= 3 2 时， ACE 的面积有最大值，最大值是 25 16 ，此时 E 点坐标为（ 3 2 ， 15 8 ） （3）作 E 关于 x 轴的对称点 F，连接 EF交 x轴于点 G，过点 F作 FHAE于点 H，交轴于点 P， AG= 5 2 ，EG= 15 8 ， 4 3 AG EG , AGE=AHP=90 sinEAG= 3 5 PHEG APAE ， PH= 3 5 AP， E、F关于 x
21、轴对称， PE=PF， PE+ 3 5 AP=FP+HP=FH，此时 FH最小， EF= 15 4 ，AEG=HEF， sinAEG=sinHEF= 4 5 AGFH AEAE FH=3 即 PE+ 3 5 PA 的最小值是 3 例例 7.（2019潍坊）潍坊）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，O 为坐标原点，点 A（4，0） ，点 B（0，4） ，ABO 的中线 AC 与 y 轴交于点 C，且M 经过 O，A，C 三点 （1）求圆心 M 的坐标； （2）若直线 AD 与M 相切于点 A，交 y 轴于点 D，求直线 AD 的函数表达式； （3）在过点 B 且以圆心 M 为顶点的抛物线上有一动
22、点 P，过点 P 作 PEy 轴，交直线 AD 于点 E若以 PE 为半径的P 与直线 AD 相交于另一点 F当 EF45时，求点 P 的坐标 【答案】见解析 【解答】解： （1）AC 为ABO 的中线，点 B（0，4） ， 点 C（0，2） ， 点 A（4，0） ， 点 M 为线段 AC 的中点， 即 M（2，1） ； （2）P 与直线 AD，则CAD90， 设CAO，则CAOODAPEH， tanCAO 1 2 OC OA tan，则 sin 5 5 ，cos 2 5 5 ， AC10，则 CD sin AC 10， 则 D（0，8） ， 设直线 AD 的解析式为：ymx+n： 得： 8 40 b kb ，解得：k=2，b=8， 直线 AD 的表达式为：y2x8； （3）抛物线的表达式为：ya（x2）2+1， 将点 B 坐标代入上式并解得：a 3 4 ， 故抛物线的表达式为：y 3 4 x23x+4， 过点 P 作 PHEF，则 EH 1 2 EF25， cosPEH 2 5 cos 5 EH PE 得：PE5， 设点 P（x， 3 4 x23x+4） ，则点 E（x，2x8） ， 则 PE 3 4 x23x+42x+85， 解得 x 14 3 或 2（舍） ， 则点 P（ 14 3 ， 19 3 ）
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