1、 备战 2019 年中考数学压轴题之二次函数 专题专题 03 二次函数背景下的图形变换二次函数背景下的图形变换 【方法综述】【方法综述】 本类型主要研究二次函数背景下的图形变换。因为图形的平移、折叠和旋转是许多数学本类型主要研究二次函数背景下的图形变换。因为图形的平移、折叠和旋转是许多数学 问题进行命题的基础，因此这类问题大量存在，并且和其它问题相交织。问题进行命题的基础，因此这类问题大量存在，并且和其它问题相交织。 二次函数背景下的图形变换主要分成两类：二次函数背景下的图形变换主要分成两类： 一个是二次函数图象的图形变换，此类问题在解决二次函数图象平移时可以采用顶点式一个是二次函数图象的图形
2、变换，此类问题在解决二次函数图象平移时可以采用顶点式 表示抛物线顶点的变化，从而降低因图形变换函数关系式的表示难度。表示抛物线顶点的变化，从而降低因图形变换函数关系式的表示难度。 另一类，是以二次函数为背景的几何图形变换。另一类，是以二次函数为背景的几何图形变换。对于此类问题首先要掌握每一种图形变对于此类问题首先要掌握每一种图形变 换的性质，并应用这些性质结合已知条件构成方程解决问题。换的性质，并应用这些性质结合已知条件构成方程解决问题。 【典例示范】【典例示范】 类型一、二次函数为背景的平移变换类型一、二次函数为背景的平移变换 例 1： （2018 年中考专题训练）如图，已知抛物线经过，两点
3、，顶点为 . （1）求抛物线的解析式； （2）将绕点 顺时针旋转后，点 落在点 的位置，将抛物线沿 轴平移后经过点 ，求平移后所得 图象的函数关系式； （3） 设 （2） 中平移后， 所得抛物线与 轴的交点为， 顶点为， 若点 在平移后的抛物线上， 且满足 的面积是面积的 2 倍，求点 的坐标. 针对训练针对训练 1 （山东济南模拟）如图 1，已知二次函数 y=mx2+3mxm 的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，顶点 D 和点 B 关于过点 A 的直线 l：y=x对称 （1）求 A、B 两点的坐标及二次函数解析式； （2）如图 2，作直线 AD，过点 B 作 A
4、D 的平行线交直线 1 于点 E，若点 P 是直线 AD 上的一动点，点 Q 是直线 AE 上的一动点连接 DQ、QP、PE，试求 DQ+QP+PE 的最小值；若不存在，请说明理由： （3）将二次函数图象向右平移 个单位，再向上平移 3个单位，平移后的二次函数图象上存在一点 M， 其横坐标为 3，在 y 轴上是否存在点 F，使得MAF=45 ？若存在，请求出点 F 坐标；若不存在，请说明理 由 2.（云南腾冲期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过两点 （1）求此抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 ，将直线沿 轴向下平移两个单位得到直线 ，直线 与抛物线的对称轴交于 点， O 求直线 的解析
5、式； （3）在（2）的条件下，求到直线距离相等的点的坐标 3 （陕西省西安市模拟）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线 y=x2平移，使平移后的抛物线经过 点 A（3，0） 、B（1，0） (1)求平移后的抛物线的表达式 (2)设平移后的抛物线交 y 轴于点 C，在平移后的抛物线的对称轴上有一动点 P，当 BP 与 CP 之和最小时，P 点坐标是多少？ (3)若 y=x2与平移后的抛物线对称轴交于 D 点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存在一点 M，使 得以 M、O、D 为顶点的三角形BOD 相似？若存在，求点 M 坐标；若不存在，说明理由 4 （聊城市 2018 年中考）如图
6、，已知抛物线与 轴分别交于原点 和点，与对称轴 交于 点.矩形的边在 轴正半轴上，且，边，与抛物线分别交于点 ， .当矩形沿 轴正方向平移，点 ， 位于对称轴 的同侧时，连接，此时，四边形的面积记为 ；点 ， 位于 对称轴 的两侧时，连接，此时五边形的面积记为 .将点 与点 重合的位置作为矩形平 移的起点，设矩形平移的长度为. （1）求出这条抛物线的表达式；来源:学科网 ZXXK （2）当时，求的值； （3）当矩形沿着 轴的正方向平移时，求 关于的函数表达式，并求出 为何值时， 有最大 值，最大值是多少？ 5 （南充市期末）如图，顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y=x+1 相交于 A、B
7、 两点，且点 A 在 x 轴上， 点 B 的横坐标为 2，连结 AM、BM （1）求抛物线的函数关系式； （2）判断ABM 的形状，并说明理由； （3）把抛物线与直线 y=x 的交点称为抛物线的不动点若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m） ， 当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有两个不动点 6 （沈阳市沈河区 2018 年中考二模）如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于（2，0） 、 （1，0） ，与 y 轴 交于 C，直线 l1经过点 C 且平行于 x 轴，与抛物线的另一个交点为 D，将直线 l1向下平移 t 个单位得到直线 l2，l2与抛物线交于 A、B 两点 （
8、1）求抛物线解析式及点 C 的坐标； （2）当 t=2 时，探究ABC 的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，点 M（m，0）在 x 轴上自由运动，过 M 作 MNx 轴，交直线 BC 于 P，交抛物 线于 N，若三个点 M、N、P 中恰有一个点是其他两个点连线段的中点（三点重合除外） ，则称 M、N、P 三 点为“共谐点”，请直接写出使得 M、P、N 三点为“共谐点”的 m 的值来源:Zxxk.Com 7 （2018 培优提高单元检测）如图，、两点在一次函数与二次函数 图象上 来源:学,科,网 Z,X,X,K 求 的值和二次函数的解析式 请直接写出使时，自变量 的取值范围 说出所求的
9、抛物线可由抛物线如何平移得到？ 8 （2018 年河南省商丘市中考数学一模）如图，抛物线 y=ax2+bx2 与 y 轴的交点为 A，抛物线的顶点为 B（1，3） （1）求出抛物线的解析式； （2）点 P 为 x 轴上一点，当三角形 PAB 的周长最小时，求出点 P 的坐标； （3）水平移动抛物线，新抛物线的顶点为 C，两抛物线的交点为 D，当 O，C，D 在一条直线上时，请直 接写出平移的距离 9 （吉林长春二模）已知抛物线 C：y=x22x+1 的顶点为 P，与 y 轴的交点为 Q，点 F（1， ） （1）求 tanOPQ 的值； （2）将抛物线 C 向上平移得到抛物线 C，点 Q 平移后
10、的对应点为 Q，且 FQ=OQ 求抛物线 C的解析式； 若点 P 关于直线 QF 的对称点为 K，射线 FK 与抛物线 C相交于点 A，求点 A 的坐标 10 （人教版数学九年级（上)第 22 章二次函数压轴题专项训练）已知抛物线 L：y x2+bx2 与 x 轴相交 于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，并与 y 轴相交于点 C且点 A 的坐标是（1，0） （1）求该抛物线的函数表达式及顶点 D 的坐标； （2）判断ABC 的形状，并求出ABC 的面积； （3）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线 L，L与 x 轴相交于 A、B两点（点 A在点 B的左侧） ，并与 y 轴相交于点 C
11、，要使ABC和ABC 的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式 类型二、类型二、二次函数为背景的折叠变换二次函数为背景的折叠变换 例 2 （吉林省长春市朝阳区东北师大附中 2018 年中考模拟）定义：如图 1，在平面直角坐标系中，点 M 是 二次函数图象上一点，过点 M 作轴，如果二次函数的图象与关于 l 成轴对称，则称是关于点 M 的伴随函数 如图 2，在平面直角坐标系中，二次函数的函数表达式是，点 M 是二次函数 图象上一点，且点 M 的横坐标为 m，二次函数是关于点 M 的伴随函数 若，来源:学|科|网 Z|X|X|K 求的函数表达式 点，在二次函数的图象上，若，a 的取值范围为_
12、 过点 M 作轴， 如果，线段 MN 与的图象交于点 P，且 MP：3，求 m 的值 如图 3，二次函数的图象在 MN 上方的部分记为，剩余的部分沿 MN 翻折得到，由和所组成的 图象记为 .以、为顶点在 x 轴上方作正方形直接写出正方形 ABCD 与 G 有三个公共点时 m 的取值范围 针对训练针对训练 1 （辽宁省本溪市 2018 年中考数学试卷）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c(a0)经过 A （-1，0） ，B（3，0） ，C（0，3）三点，其顶点为 D，连接 BD，点是线段 BD 上一个动点（不与 B、D 重 合） ，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 E，
13、连接 BE （1）求抛物线的解析式，并写出顶点 D 的坐标； （2）如果 P 点的坐标为（x，y） ，PBE 的面积为，求 S 与 x 的函数关系式，写出自变量 x 的取值范围，并 求出 S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当 S 取得最大值时，过点 P 作 x 的垂线，垂足为 F，连接 EF，把PEF 沿直线 EF 折叠，点 P 的对应点为 P，请直接写出 P点坐标，并判断点 P是否在该抛物线上 2 （江西省赣州市 2018 届中考模拟）如图 1，已知抛物线 L1：y=x2+2x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，在 L1上任取一点 P
14、，过点 P 作直线 lx 轴，垂足为 D，将 L1沿直线 l 翻折得到抛物线 L2，交 x 轴于点 M，N（点 M 在点 N 的左侧） （1）当 L1与 L2重合时，求点 P 的坐标； （2）当点 P 与点 B 重合时，求此时 L2的解析式；并直接写出 L1与 L2中，y 均随 x 的增大而减小时的 x 的 取值范围； （3）连接 PM，PB，设点 P（m，n） ，当 n= m 时，求PMB 的面积 3 （2018 赤峰市模拟）已知抛物线与 x 轴的交点坐标分别为 A（1，0） ，B（x2，0） （点 B 在点 A 的右侧） ， 其对称轴是 x=3，该函数有最小值是2 （1）求二次函数解析式；
15、 （2）在图 1 上作平行于 x 轴的直线，交抛物线于 C（x3，y3） ，D（x4，y4） ，求 x3+x4的值； （3）将（1）中函数的部分图象（xx2）向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，如图 2，在（2） 中平行于 x 轴的直线取点 E（x5，y5） 、 （x4x5） ，结合函数图象求 x3+x4+x5的取值范围 4 （2018-2019 学年度第一学期人教版五四制九年级数学第 28 章二次函数单元测试题）如图，在平面直角 坐标系中，二次函数的图象与 轴交于 、 两点， 点在原点的左侧， 点的坐标为，与 轴交于点，点 是直线下方的抛物线上一动点 求这个二次函数的表达式 连接、，
16、并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点 ，使四边形为菱形？若 存在，请求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由 当点 运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时 点的坐标和四边形的最大面积 5 （扬州市广陵区 2018 年中考数学模拟）有一个二次函数满足以下条件： 函数图象与 x 轴的交点坐标分别为 A（1，0） ，B（x2，y2） （点 B 在点 A 的右侧） ； 对称轴是 x=3； 该函数有最小值是2 （1）请根据以上信息求出二次函数表达式； （2） 将该函数图象 xx2的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”， 平行于 x 轴的直线与图 象“G”相交于点 C（x3，y3）
17、、D（x4，y4） 、E（x5，y5） （x3x4x5） ，结合画出的函数图象求 x3+x4+x5的取 值范围 6 （北京市海淀区 2018 届九年级二模数学试题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数 ，对于函数图 象上横坐标之差为 1 的任意两点，都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满 足条件的 中，其最大值称为这个函数的限减系数例如，函数，当 取值 和时，函数值分 别为，故，因此函数是限减函数，它的限减系数为 （1）写出函数的限减系数； （2），已知（）是限减函数，且限减系数，求 的取值范围 （3）已知函数的图象上一点 ，过点 作直线 垂直于 轴，将函数的图象在点 右侧的部分关 于直线
18、翻折， 其余部分保持不变， 得到一个新函数的图象， 如果这个新函数是限减函数， 且限减系数 7 （九 年级数学北师大版下册同步测试题）已知关于 x 一元二次方程 x2-2(k+1)x+k2-2k-3=0 有两个不相等的实数根 （1）求 k 取值范围； （2）当 k 最小的整数时，求抛物线 y= x2-2(k+1)x+k2-2k-3 的顶点坐标以及它与 x 轴的交点坐标； （3）将（2）中求得的抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个 新图象请你画出这个新图象，并求出新图象与直线 y=x+m 有三个不同公共点时 m 值 类型三一次函数与二次函数相结合的
19、营销问题类型三一次函数与二次函数相结合的营销问题 例 3： （无锡市惠山区锡山高中 2018 年中考数学一模）如图，平面直角坐标系中，直线 l：y= x+m 交 x 轴于 点 A，二次函数 y=ax23ax+c（a0，且 a、c 是常数）的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ， 与 y 轴交于点 C，与直线 l 交于点 D，已知 CD 与 x 轴平行，且 SACD：SABD=3：5 （1）求点 A 的坐标； （2）求此二次函数的解析式； （3）点 P 为直线 l 上一动点，将线段 AC 绕点 P 顺时针旋转 （0 360 ）得到线段 AC（点 A，A 是对应点，点 C
20、，C是对应点） 请问：是否存在这样的点 P，使得旋转后点 A和点 C分别落在直线 l 和抛 物线 y=ax23ax+c 的图象上？若存在，请直接写出点 A的坐标；若不存在，请说明理由 针对训练针对训练 1.（208 宁波市江北中学）已知直线，抛物线 当，时，求直线 与抛物线 的交点坐标； 当，时，将直线 绕原点逆时针旋转后与抛物线 交于 ， 两点（ 点在 点的左侧） ，求 ， 两点的坐标； 若将中的条件“”去掉，其他条件不变，且，求 的取值范围 2 （广西玉林市 2018 届九年级中考三模）如图，抛物线 y=+bx+c 交 x 轴于点 A（2，0）和点 B， 交 y 轴于点 C（0，3） ，点
21、 D 是 x 轴上一动点，连接 CD，将线段 CD 绕点 D 旋转得到 DE，过点 E 作直线 l x 轴，垂足为 H，过点 C 作 CFl 于 F，连接 DF来源:学+科+网 （1）求抛物线解析式； （2）若线段 DE 是 CD 绕点 D 顺时针旋转 90 得到，求线段 DF 的长； （3）若线段 DE 是 CD 绕点 D 旋转 90 得到，且点 E 恰好在抛物线上，请求出点 E 的坐标 3 （华东师大版九年级数学下册第 26 章二次函数单元检测试卷）如图，在平面直角坐标系中，CDE 的 顶点 C 点坐标为 C（1，2） ，点 D 的横坐标为，将CDE 绕点 C 旋转到CBO，点 D 的对应
22、点 B 在 x 轴的另一个交点为点 A （1）图中，OCE 等于_； （2）求抛物线的解析式； （3）抛物线上是否存在点 P，使 S PAE = SCDE？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 4 （2018 年浙江省温州市苍南县中考一模）如图，ABCD 位于直角坐标系中，AB=2，点 D（0，1） ，以 点 C 为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c 经过 x 轴正半轴上的点 A，B，CEx 轴于点 E （1）求点 A，B，C 的坐标 （2）将该抛物线向上平移 m 个单位恰好经过点 D，且这时新抛物线交 x 轴于点 M，N 求 MN 的长 点 P 是新抛物线对称轴上一动点， 将
23、线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60 得 AQ， 则 OQ 的最小值为 （直 接写出答案即可） 5 （北师大版九年级数学下册_第二章_二次函数_单元检测）在平面直角坐标系中（如图） ，已知抛物 线经过，顶点为 求该抛物线的表达方式及点 的坐标； 将中求得的抛物线沿 轴向上平移个单位，所得新抛物线与 轴的交点记为点 当时 等腰三角形时，求点 的坐标； 若点 在中求得的抛物线的对称轴上，联结，将线段绕点 逆时针转得到线段，若点恰 好落在中求得的抛物线上，求点 的坐标 6 （河南省 2018 届九年级中考数学二模）如图，直线 AB 的解析式为，抛物线 与 y 轴交于点 A，与x轴交于点，点 P 是
24、抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 m 求抛物线的解析式； 如图，当点 P 在第一象限内的抛物线上时，求面积的最大值，并求此时点 P 的坐标； 过点 A 作直线轴，过点 P 作于点 H，将绕点 A 顺时针旋转，使点 H 的对应点恰好落 在直线 AB 上，同时恰好落在坐标轴上，请直接写出点 P 的坐标 7 （成都市郫都区 2017-2018 学年九年级下第二次诊断性检测数学）如图，顶点为 C 的抛物线 y=ax2+bx（a 0）经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B，连接 OC、OA、AB，已知 OA=OB=2，AOB=120 （1）求这条抛物线的表达式； （2）过点 C 作 CEOB，垂足为
25、 E，点 P 为 y 轴上的动点，若以 O、C、P 为顶点的三角形与AOE 相似， 求点 P 的坐标； （3） 若将 （2） 的线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE， 旋转角为 （0 120 ） ， 连接 EA、 EB， 求 EA+ EB 的最小值 9 （四川省凉山州 2018 年中考）如图，已知抛物线经过，两点，顶点为 . （1）求抛物线的解析式； （2）将绕点 顺时针旋转后，点 落在点 的位置，将抛物线沿 轴平移后经过点 ，求平移后所得 图象的函数关系式； （3） 设 （2） 中平移后， 所得抛物线与 轴的交点为， 顶点为， 若点 在平移后的抛物线上， 且满足 的面积是面积的 2 倍，求点 的坐标.
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