1、已知集合 M0，1，2，NxZ|x2+x20，则 MN（ ） A1，0，1 B0，1 C0，1，2 D2，1，0， 1 2 （5 分）已知 x，yR，若 x+yi 与互为共轭复数，则 x+y（ ） A0 B3 C1 D4 3 （5 分）某旅行社调查了所在城市 20 户家庭 2019 年的旅行费用，汇总得到如表格： 费用（万元）/ 年 1.2 1.4 1.6 1.8 2 户数 4 6 3 5 2 则这 20 户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是（ ） A1.4，1.4 B1.4，1.5 C1.4，1.6 D1.62，1.6 4 （5 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和已知 a25，S4
2、16，则 S6（ ） A14 B12 C17 D12 5 （5 分） （x+3） （x2）5的展开式中，x4的系数为（ ） A10 B38 C70 D240 6 （5 分）已知函数，af（20.3） ，bf（0.20.3） ，cf（log0.32） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Acba Bbac Cbca Dcab 7 （5 分）松、竹、梅经冬不衰，因此有“岁寒三友”之称在我国古代的诗词和典籍中有 很多与松和竹相关的描述和记载，宋代刘学宾的念奴娇：水轩沙岸的“缀松黏竹， 恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著算学启蒙中 亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹
3、长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日 而长等现欲知几日后竹长超过松长一倍为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，若 输入的 x5，y2，则输出的 n 值为（ ） 第 2 页（共 27 页） A4 B5 C6 D7 8 （5 分）若 x0，1时，ex|2xa|0，则 a 的取值范围为（ ） A2ln22，1 B2e，e2 C2e，1 D1，1 9 （5 分）已知函数 f（x）asin2xbcos2x，ab0当 xR 时，则下列 结论错误的是（ ） Aab Bf（）0 C D 10 （5 分）将正整数 20 分解成两个正整数的乘积有 120，210，45 三种，其中 45 是这三种分解中两数差的绝
4、对值最小的，我们称 45 为 20 的最佳分解当 pq（pq 且 p，qN*）是正整数 n 的最佳分解时，定义函数 f（n）qp，则数列f（5n）（nN*） 的前 2020 项的和为（ ） A51010+1 B C D510101 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求不选或选出的选项中含有错误选项的得多项符合题目要求不选或选出的选项中含有错误选项的得 0 分，只选出部分正确选项的分，只选出部分正确选项的 得得 3 分，选出全部正确选项的得分，选出全部正确
5、选项的得 5 分分 第 3 页（共 27 页） 11 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E 是 DD1的中点，则（ ） A直线 B1C平面 A1BD BB1CBD1 C三棱锥 C1B1CE 的体积为 D异面直线 B1C 与 BD 所成的角为 60 12 （5 分）若双曲线 C：mx2+ny21（mn0） ）绕其对称中心旋转可得某一函数的图象， 则 C 的离心率可以是（ ） A B C D2 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.将答案填在答题卡的相应位置将答案填在答题卡的相应位置. 13 （5 分）已知
6、向量 （1，1） ， （1，k） ， ，则| + | 14 （5 分）在数列an中，a11，a23，anan+21，则 a2019+a2020 15 （5 分）设 F 是抛物线 E：y23x 的焦点，点 A 在 E 上，光线 AF 经 x 轴反射后交 E 于 点 B，则点 F 的坐标为 ，|AF|+4|BF|的最小值为 16（5 分） 直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， 底面 ABCD 是边长为 4 的正方形 点 M 是侧面 BCC1B1内的动点（不含边界） ，AMMC，则 A1M 与平面 BCC1B1所成角的正 切值的取值范围为 四、解答题：共四、解答题：共 70 分分 o 解答应写出文
7、字说明，证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每道试题考生都必须作答第题，每道试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）在平面四边形 ABCD 中，ABC （1）若ACB，求 BD； （2）若 DCAB，求 cosACB 第 4 页（共 27 页） 18 （12 分）如图 1，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60，E 为 CD 的中点， 以 BE 为折痕将BCE 折起到PBE 的位置，使得平面 PBE平面 AB
8、ED，如图 2 （1）证明：平面 PAB平面 PBE； （2）求二面角 BPAE 的余弦值 19 （12 分）已知 F（1，0）是椭圆 C：的焦点，点在 C 上 （1）求 C 的方程； （2）斜率为的直线 l 与 C 交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点，当 3x1x2+4y2y20 时， 求直线 l 被圆 x2+y24 截得的弦长 20 （12 分）冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的 医务工作者行动会更方便石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯 发热膜从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上 再结晶现在有
9、A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在 A 材料、B 材料上再结晶 各做了 50 次试验，得到如图等高条形图 第 5 页（共 27 页） （1）根据上面的等高条形图，填写如表列联表，判断是否有 99%的把握认为试验成功与 材料有关？ A 材料 B 材料 合计 成功 不成功 合计 （2） 研究人员得到石墨烯后， 再生产石墨烯发热膜有三个环节： 透明基底及 UV 胶层； 石墨烯层；表面封装层第一、二环节生产合格的概率均为第三个环节生产合 格的概率为，且各生产环节相互独立已知生产 1 吨的石墨烯发热膜的固定成本为 1 万元，若生产不合格还需进行修复第三个环节的修复费用为 3000 元，其余环节修
10、复费用 均为 1000 元如何定价才能实现每生产 1 吨石墨烯发热膜获利可达 1 万元以上的目标？ 附：k2， （na+b+c+d） P（K2 K0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 K0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21 （12 分）已知函数 f（x）ex+sinxax22x （1）当 a0 时，求 f（x）的单调区间； （2）若 x0 为 f（x）的极小值点，求 a 的取值范围 （二）选考题；共（二）选考题；共 10 分请考生在第分请考生在第 22-23 题中任选一题作答，并在答题
11、卡中涂上你所选题中任选一题作答，并在答题卡中涂上你所选 的题号的题号.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 圆 C 的方程为 x2+ （y1） 21 以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求 l 和 C 的极坐标方程； （2）过 O 且倾斜角为 的直线与 l 交于点 A，与 C 交于另一点 B若， 求的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 第 6 页（共 27 页） 23记函数 f（x
12、）|x+|+|2x1|的最小值为 m （1）求 m 的值； （2）若正数 a，b，c 满足 abcm，证明：ab+bc+ca 第 7 页（共 27 页） 2020 年福建省泉州市高考数学一模试卷（理科）年福建省泉州市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一是符合题目要求的只有一是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 M0，1，2，NxZ|x2+x20，则 MN（ ） A1，0，1 B0，1 C0，1，2
13、 D2，1，0， 1 【分析】求出集合 M，N，由此能求出 MN 【解答】解：集合 M0，1，2， NxZ|x2+x20xZ|2x12，1，0，1， MN0，1 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分）已知 x，yR，若 x+yi 与互为共轭复数，则 x+y（ ） A0 B3 C1 D4 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】解：1+2i， x+yi 与互为共轭复数， x1，y2 则 x+y1 故选：C 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 3 （5 分）
14、某旅行社调查了所在城市 20 户家庭 2019 年的旅行费用，汇总得到如表格： 费用（万元）/ 年 1.2 1.4 1.6 1.8 2 第 8 页（共 27 页） 户数 4 6 3 5 2 则这 20 户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是（ ） A1.4，1.4 B1.4，1.5 C1.4，1.6 D1.62，1.6 【分析】根据表中数据，结合定义写出这组数据的众数和中位数 【解答】解：由题意知，该组数据的众数是 1.4，出现 6 次； 中位数是（1.4+1.6）1.5 故选：B 【点评】本题考查了众数、中位数的定义与计算问题，是基础题 4 （5 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和已
15、知 a25，S416，则 S6（ ） A14 B12 C17 D12 【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解 【解答】解：因为 a25，S416， ， 解可得，d2，a17， 则 S66（7）+15212 故选：B 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础试题 5 （5 分） （x+3） （x2）5的展开式中，x4的系数为（ ） A10 B38 C70 D240 【分析】利用通项公式即可得出 【解答】解： （x2）5的展开式中的通项公式 Tr+1x5 r （2）r（2）r x5 r， x4的系数： （2）2+3（2）110 故选：A 【点评】本题考查了
16、二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6 （5 分）已知函数，af（20.3） ，bf（0.20.3） ，cf（log0.32） ，则 a，b，c 第 9 页（共 27 页） 的大小关系为（ ） Acba Bbac Cbca Dcab 【分析】可得出 f（x）2x2 x，从而可根据指数函数的单调性判断 f（x）在 R 上单调 递增，然后可得出 20.310.20.30log0.32，从而根据 f（x）的单调性即可得出 a，b， c 的大小关系 【解答】解：f（x）2x2 x，则 f（x）在 R 上单调递增， 20.3201，00.20.30.201，log0.32log0
17、.310， ， ， cba 故选：A 【点评】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力， 属于基础题 7 （5 分）松、竹、梅经冬不衰，因此有“岁寒三友”之称在我国古代的诗词和典籍中有 很多与松和竹相关的描述和记载，宋代刘学宾的念奴娇：水轩沙岸的“缀松黏竹， 恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著算学启蒙中 亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日 而长等现欲知几日后竹长超过松长一倍为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，若 输入的 x5，y2，则输出的 n 值为（ ） 第 10 页（共 27 页） A4 B
18、5 C6 D7 【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的 n 值 【解答】解：模拟程序的运行过程，如下； 输入 x5，y2， n1，x，y4，y2x； n2，x，y8，y2x； n3，x，y16，y2x； n4，x，y32，y2x； n5，x，y64，y2x； n6，x，y128，y2x， 输出 n6 故选：C 【点评】本题考查了程序框图的运行问题，模拟程序的运行过程，是解题的常用方法 8 （5 分）若 x0，1时，ex|2xa|0，则 a 的取值范围为（ ） 第 11 页（共 27 页） A2ln22，1 B2e，e2 C2e，1 D1，1 【分析】由题意可得（2xex）maxa
19、（2x+ex）min，0x1，分别考虑由导数求得函 数 y2xex，y2x+ex的单调性，求得最值，即可得到所求范围 【解答】解：ex|2xa|0，即为|2xa|ex， 等价为ex2xaex，即 2xexa2x+ex， 可得（2xex）maxa（2x+ex）min，0x1， 由 y2xex，可得 y2ex，当 ln2x1 时，y0，0xln2 时，y0， 可得 y2xex，在0，ln2）递增， （ln2，1递减，则 xln2 处取得最大值 2ln22， 又 y2x+ex的导数为 y2+ex，可得函数 y 在0，1递增，可得 x0 处取得最小值 1， 则 2ln22a1， 故选：A 【点评】本题
20、考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查转 化思想和运算能力、推理能力，属于中档题 9 （5 分）已知函数 f（x）asin2xbcos2x，ab0当 xR 时，则下列 结论错误的是（ ） Aab Bf（）0 C D 【分析】化简函数 f（x）的解析式，利用已知条件求得 f（x）的解析式，利用辅助角 ， 通过整体处理的思想研究函数的性质 【解答】解：函数 f（x）asin2xbcos2xsin（2x+） ，且 tan； 由 f（x）f（）可得 f（）为函数 f（x）的最大值， 得到 2+2k+，kZ， 所以 2k，kZ； 所以 f（x）asin2xbcos2xsin（2x
21、+2k）sin（2x） ； 对于 A，tan，ab，所以 A 正确； 对于 B，f（）sin（2）0，B 正确； 第 12 页（共 27 页） 对于 C，f（）sin（）sin， f（）sin（）sinsin， 所以 f（）f（） ，C 正确； 对于 D，f（）sin（）sin， f（）sin（）sin， 所以 f（）f（） ，D 错误 故选：D 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与判断能力，是 中档题 10 （5 分）将正整数 20 分解成两个正整数的乘积有 120，210，45 三种，其中 45 是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称 45 为 20 的最佳
22、分解当 pq（pq 且 p，qN*）是正整数 n 的最佳分解时，定义函数 f（n）qp，则数列f（5n）（nN*） 的前 2020 项的和为（ ） A51010+1 B C D510101 【分析】直接利用信息的应用和数列的求和公式的应用求出结果 【解答】解：当 n 为偶数时， 当 n 为奇数时， 所以 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和公式的应用，主要考查学生 的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有
23、 多项符合题目要求不选或选出的选项中含有错误选项的得多项符合题目要求不选或选出的选项中含有错误选项的得 0 分，只选出部分正确选项的分，只选出部分正确选项的 得得 3 分，选出全部正确选项的得分，选出全部正确选项的得 5 分分 11 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E 是 DD1的中点，则（ ） 第 13 页（共 27 页） A直线 B1C平面 A1BD BB1CBD1 C三棱锥 C1B1CE 的体积为 D异面直线 B1C 与 BD 所成的角为 60 【分析】我们在研究线面关系时通常利用线面关系的判定定理和性质定理来解决，必要 时利用转化思想来处理在正方体中我们往
24、往要掌握一些特殊的平行和垂直关系在处 理异面直线的夹角问题时我们要利用转化思想求解 【解答】解：B1CA1D，我们可得 B1C平面 A1BD，于是 A 选项正确；B1CD1C，B1C BC1，于是 B1C平面 BD1C1，所以 B1CBD1，B 选项正确； ，于是 C 选项错误；由于 B1CA1D，则 B1C 与 BD 夹角等于 A1D 与 BD 夹角，在等边A1BD 中，A1DB60，故 D 选项正 确 故选：ABD 【点评】本题考查了线面的平行与垂直关系，难度适中，在考查几何体体积和异面直线 夹角时注重考查了转化关系，难度增大 12 （5 分）若双曲线 C：mx2+ny21（mn0） ）绕
25、其对称中心旋转可得某一函数的图象， 则 C 的离心率可以是（ ） A B C D2 【分析】利用双曲线旋转后是函数的图象，求出渐近线的斜率，然后求解双曲线的离心 率即可 【解答】解：当 m0，n0 时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：，所以斜 率为：， 第 14 页（共 27 页） 可得：，所以双曲线的离心率为：e2 当 m0，n0 时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：，所以斜率为：， 可得：，n3m，所以双曲线的离心率为：e 故选：AD 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共
26、分，共 20 分分.将答案填在答题卡的相应位置将答案填在答题卡的相应位置. 13 （5 分）已知向量 （1，1） ， （1，k） ， ，则| + | 2 【分析】由 得 0，求出 k 的值，再计算 + 与它的模长 【解答】解：向量 （1，1） ， （1，k） ， 由 ，得 1+k0，k1， 所以 + （0，2） ， 所以| + |2 故答案为：2 【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长计算问题，是基础题 14 （5 分）在数列an中，a11，a23，anan+21，则 a2019+a2020 【分析】根据其递推关系式求得相邻奇数项的乘积为 1，相邻偶数项的乘积为 1；进而得 到奇数项以及偶数
27、项的特点，即可求得结论 【解答】解：因为在数列an中，a11，a23，anan+21， 相邻奇数项的乘积为 1，相邻偶数项的乘积为 1； 所有的奇数项都为 1， 偶数项为：a23，a4，a63，a8，a103，a1213； a20191；a2020； a2019+a20201+； 故答案为： 【点评】本题考查数列递推式，考查了计算能力，是基础题，解决本题的关键在于求出 第 15 页（共 27 页） 其规律 15 （5 分）设 F 是抛物线 E：y23x 的焦点，点 A 在 E 上，光线 AF 经 x 轴反射后交 E 于 点 B，则点 F 的坐标为 ，|AF|+4|BF|的最小值为 【分析】由抛
28、物线的方程可得焦点 F 的坐标，再由光线 AF 经 x 轴反射后交 E 于点 B，可 得直线 AF 与 BF 关于 x 轴对称，当 B，A 在对称性 x 轴的同一侧时，|AF|+4|BF|最小，且 可得 B 关于 x 轴的对称点 C 在直线 AF 上， 设直线 AC 的方程与抛物线联立求出两根之和 及两根之积，再由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离可得|AF|+4|CF|的最小值 即是|AF|+4|BF|的最小值 【解答】解：由 y23x 的方程可得焦点 F（，0） ， 由题意可得 AF，BF 关于 x 轴对称，当 A，B 在 x 轴的同侧时，|AF|+4|BF|最小，B 关于 x 轴对
29、称的点在直线 AF 上， 设 B 的对称点为 C 点， 则 CFBF， 所以|AF|+4|BF|AF|+4|CF|， 当且仅当 AF4CF 时取得最小值， 设直线 AF 的方程为：xmy+，设 A（x1，y1） ，C（x2，y2） ， 整理可得：y23my0，y1+y23m，y1y2，x1+x23m2+，x1x2 ， 由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离， 所以|AF|+|CF|x1+4（x2+）x1+4x2+2+ ，当且仅当 x14x2时取等号 所以|AF|+4|BF|的最小值为， 故答案分别为：， 第 16 页（共 27 页） 【点评】本题考查直线关于另一条直线的对称直线的性质及抛物
30、线的性质，属于中档题 16（5 分） 直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， 底面 ABCD 是边长为 4 的正方形 点 M 是侧面 BCC1B1内的动点（不含边界） ，AMMC，则 A1M 与平面 BCC1B1所成角的正 切值的取值范围为 【分析】首先根据题意确定点 M 的轨迹，再根据线面角定义可知 A1M 与平面 BCC1B1所 成角为A1MB1，则，由图形可得到当点 M 位于点 C 时， 正切值取最小值，当点 M 位于 B1O 与圆弧的交点时，正切值取最大值，由此得解 【解答】解：AMMC，且点 M 在侧面 BCC1B1内， 点 M 在侧面 BCC1B1内的轨迹为以 BC 中点 O 为圆
31、心， 2 为半径的圆弧 （不包括 B， C） ， 如图所示， 又四棱柱 ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，易知 A1M 与平面 BCC1B1所成角为A1MB1， 则， 显然当 M位于点C时， B1M 最大， tanA1MB1最小， 且， 此时， 当M位 于B1O与 圆 弧 的 交 点 时 ， B1M最 小 ， tan A1MB1最 大 ， 且 ，此时， 又点 M 不包括点 C 这个边界点，故 故答案为： 第 17 页（共 27 页） 【点评】本题考查立体几何中的动态问题，考查线面角的定义及其求法，解题的关键是 得出点 M 的轨迹，再根据几何意义确定 B1M 的最值，进而得到所求正切值的最值，
32、属于 中档题 四、解答题：共四、解答题：共 70 分分 o 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每道试题考生都必须作答第题，每道试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）在平面四边形 ABCD 中，ABC （1）若ACB，求 BD； （2）若 DCAB，求 cosACB 【分析】 （1）解直角三角形求得 AB，AC，由题意可得DAC 为边长为 2 的等边三角形， 在ABD 中，运用余弦定理计算可得所求值
33、； （2）设 ABx，则 DCx，ACB，则DAC2，在直角三角形 ABC 中求 得 AC，在ACD 中，运用正弦定理，结合二倍角公式，计算可得所求值 【解答】解： （1）如右图，ABC，ACB ， 可得DAC， 在直角三角形 ABC 中，ABBCtan1，AC2， 可得DAC 为边长为 2 的等边三角形， 在 ABD 中 ， DAB ， 可 得 BD ； 第 18 页（共 27 页） （2）如右图，设 ABx，则 DCx，ACB，则DAC2， 在直角三角形 ABC 中，AC， 在ACD 中，由正弦定理可得， 即， 化简可得 cos， 即 cosACB 【点评】本题考查解三角形的正弦定理、余弦
34、定理的运用，考查方程思想和化简运算能 力，属于中档题 18 （12 分）如图 1，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60，E 为 CD 的中点， 以 BE 为折痕将BCE 折起到PBE 的位置，使得平面 PBE平面 ABED，如图 2 （1）证明：平面 PAB平面 PBE； （2）求二面角 BPAE 的余弦值 第 19 页（共 27 页） 【分析】 （1）易知 BEAB，而平面 PBE平面 ABED，由面面垂直的性质可得 AB平 面 PBE，进而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面 PAB 及平面 PAE 的法向量，利用向量的夹角公式 即可求得余弦值 【解答】解： （1）证明
35、：在图 1 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60， BCD 为正三角形， 又 E 为 CD 中点， BECD，则 BEAB， 而折起后并没有影响 BE，AB 的几何关系，故在图 2 中，BEAB， 又平面 PBE平面 ABED，平面 PBE平面 ABEDBE， AB平面 PBE， 又 AB 在平面 PAB 内， 平面 PAB平面 PBE； （2）由（1）可知，ED，EB，EP 两两互相垂直， 以 E 为坐标原点，以 ED，EB，EP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间 直角坐标系， 则， ， 设平面 PAB 的一个法向量为，则，则可取 ， 设平面 PAE
36、 的一个法向量为，则，则可取 ， 第 20 页（共 27 页） ， 又二面角 BPAE 的平面角为锐角，故二面角 BPAE 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查逻辑推理能 力以及运算求解能力，属于中档题 19 （12 分）已知 F（1，0）是椭圆 C：的焦点，点在 C 上 （1）求 C 的方程； （2）斜率为的直线 l 与 C 交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点，当 3x1x2+4y2y20 时， 求直线 l 被圆 x2+y24 截得的弦长 【分析】 （1）由焦点坐标及过的定点，及 a，b，c 之间的关系求出 a，b 的值，进而求出 椭圆的
37、方程； （2）设直线 AB 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由 3x1x2+4y2y20 可得参 数，进而求出圆心到直线的距离，由半个弦长，半径及圆心到直线的距离可得弦长 【解答】解： （1）由题意可得 c1，+1，c2a2b2，解得：a24，b23， 所以椭圆的方程为：+1； （2）由题意设直线 AB 的方程为：y+m， 第 21 页（共 27 页） 联立直线与椭圆的方程可得：，整理可得：4x2+4mx+4m2120，即 x2+mx+m230， m24 （m23） 0， 即 m24， x1+x2m， x1x2m23， y1y2 （+m） （+m） x1x2+（x1+x2）+m2m2，
38、 因为 3x1x2+4y2y20，所以 3（m23）+3m230，解得 m22，|m|， 直线 AB 的方程整理为：x2y+2m0， 所以圆心 O 到直线 AB 的距离 d， 所以直线 AB 被圆 x2+y24 截得的弦长为：2 【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及直线与圆的的弦长公式，属于 中档题 20 （12 分）冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的 医务工作者行动会更方便石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯 发热膜从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上 再结晶现在有 A 材料、B 材料供选择，研究
39、人员对附着在 A 材料、B 材料上再结晶 各做了 50 次试验，得到如图等高条形图 （1）根据上面的等高条形图，填写如表列联表，判断是否有 99%的把握认为试验成功与 材料有关？ 第 22 页（共 27 页） A 材料 B 材料 合计 成功 不成功 合计 （2） 研究人员得到石墨烯后， 再生产石墨烯发热膜有三个环节： 透明基底及 UV 胶层； 石墨烯层；表面封装层第一、二环节生产合格的概率均为第三个环节生产合 格的概率为，且各生产环节相互独立已知生产 1 吨的石墨烯发热膜的固定成本为 1 万元，若生产不合格还需进行修复第三个环节的修复费用为 3000 元，其余环节修复费用 均为 1000 元如
40、何定价才能实现每生产 1 吨石墨烯发热膜获利可达 1 万元以上的目标？ 附：k2， （na+b+c+d） P（K2 K0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 K0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】 （1）由条形图中数据填写列联表，计算 K2，对照临界值得出结论； （2）设 Ai表示检测到第 i 个环节有问题，X 表示成为一个合格产品需消耗的费用，计算 对应的概率值，写出费用 X 的分布列，计算 E（X） ，从而求得每吨定价是多少万元 【解答】解： （1）由条形图中数据得 22 列联表
41、为： A 材料 B 材料 合计 成功 45 30 75 不成功 5 20 25 合计 50 50 100 计算 K2126.635， 所以有 99.5%的把握认为试验成功与材料有关； （2）设 Ai表示检测到第 i 个环节有问题， （i1，2，3） ， X 表示成为一个合格的产品需消耗的费用，则 X 的可能取值为：0，1000，2000，3000， 4000，5000； 第 23 页（共 27 页） X0，表明三个环节均正常，则 P（X0）P（A1A2A3）（）2； X1000，表明前两环节有一环节出问题，则 P（X1000）； X2000，表明前两环节都有问题，则 P（X2000）； X30
42、00，表明第三环节有问题，则 P（X3000）； X4000，表明前两环节中一环节有问题且第三环节有问题，则 P（X4000） ； X5000，表明三环节都有问题，则 P（X5000）； 所以费用 X 的分布列为： X 0 1000 2000 3000 4000 5000 P 所以 E（X）0+1000+2000+3000+4000+50002000 所以生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要修复费用为 2000 元 又 1+0.2+12.2（万元） ， 所以每吨定价不低于 2.2 万元， 才能实现每生产 1 吨石墨烯发热膜获利可达 1 万元以上的 目标 【点评】本题主要考查了独立检验和离散
43、型随机变量的分布列、数学期望的计算问题， 也考查了运算求解能力，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）ex+sinxax22x （1）当 a0 时，求 f（x）的单调区间； （2）若 x0 为 f（x）的极小值点，求 a 的取值范围 【分析】 （1）先将函数求导数，然后找到零点，以零点为界，讨论左右两侧导数符号， 给出原函数的单调区间； （2）因为该函数连续且可导，所以只需要说明 f（0）0，然后讨论 x0 左右两侧附 近二阶导数符号皆正即可 【解答】解： （1）a0 时，f（x）ex+sinx2x， f（x）ex+cosx2，显然 f（0）0 第 24 页（共 27 页） 当 x0
44、时，0ex1，1cosx1，f（x）0 当 x0 时，f（x）exsinx，因为 ex1，sinx1，故 f（x）0， f（x）在（0，+）上递增，故 x0 时，f（x）0 所以 f（x）的增区间为0，+） ，减区间为（，0） （2）f（x）ex+sinxax22x，f（x）ex+cosx2ax2 显然 f（0）0，下面研究 f（0）附近导数的符号 f（x）exsinx2a，且 f（x）连续且可导 当 f（0）0，即时，必存在区间（x1，0） ，使得 f（x）0；在区间（0， x2）上，f（x）0 所以此时 x0 是原函数的极大值点； 当 f（0）0，即时，必存在区间（x1，0） ，使得 f（
45、x）0，在区间（0， x2）上，f（x）0， 所以此时 x0 是原函数的极小值点； 当 f（0）0，即时，f（x）exsinx1f（0）0 f（x）excosx，f（0）0， f（x）ex+sinx，此时 f（0）10， 存在区间（m，0）使得 f（x）0；在（0，n）上 f（x）0 在（m，0）上 f（x）递减，在（0，n）上 f（x）递增 所以在（m，n）上 f（x）0，且只在 x0 处，f（x）0 故在区间（m，n）上，f（x）是增函数，故在 x0 左侧附近 f（x）0，右侧附近 f （x）0 故此时 x0 是原函数的极小值点 综上，若 x0 为 f（x）的极小值点，a 的取值范围为 【点评】本题主要考查导数的综合应用，包括
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