1、在复平面内，复数 z 对应的点与 1+i 对应的点关于实轴对称，则（ ） A1+i B1+i C1i D1i 2 （5 分）已知集合 A（x，y）|2x+y0，B（x，y）|x+my+10若 AB，则 实数 m（ ） A2 B C D2 3 （5 分）已知两个单位向量，若，则的夹角为（ ） A B C D 4 （5 分）一组数据的平均数为 m，方差为 n，将这组数据的每个数都乘以 a（a0）得到 一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A这组新数据的平均数为 m B这组新数据的平均数为 a+m C这组新数据的方差为 an D这组新数据的标准差为 5 （5 分）已知 ， 是两个不同的平面，m，l
2、是两条不同的直线，且 ，m， l，则“ml”是“m”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）若，则（ ） Aabc Bcab Cacb Dcba 7 （5 分）若，则 cos2（ ） A1 B C0 或 D1 或 8 （5 分）抛物线 C：y22x 的焦点为 F，点 P 为 C 上的动点，点 M 为 C 的准线上的动点， 当FPM 为等边三角形时，其周长为（ ） 第 2 页（共 22 页） A B2 C D6 9（5 分） 在同一平面直角坐标系中， 画出三个函数 f （x） sin2x+cos2x， g （x） sin （2x+） ， h
3、（x）cos（x）的部分图象如图所示，则（ ） Aa 为 f（x） ，b 为 g（x） ，c 为 h（x） Ba 为 h（x） ，b 为 f（x） ，c 为 g（x） Ca 为 g（x） ，b 为 f（x） ，c 为 h（x） Da 为 h（x） ，b 为 g（x） ，c 为 f（x） 10 （5 分）射线测厚技术原理公式为，其中 I0，I 分别为射线穿过被测物前后 的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度， 为被测物的密度， 是被测物对射线 的吸收系数工业上通常用镅 241（241Am）低能 射线测量钢板的厚度若这种射线对 钢板的半价层厚度为 0.8，钢的密度为 7.6，则这种射线的吸
4、收系数为（ ） （注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931，结果 精确到 0.001） A0.110 B0.112 C0.114 D0.116 11 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的一条渐近线方程为 x2y0，A， B 分别是 C 的左、右顶点，M 是 C 上异于 A，B 的动点，直线 MA，MB 的斜率分别为 k1， k2，若 1k12，则 k2的取值范围为（ ） A B C D 12 （5 分）在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，ABAC，AB6，AC8，D 是线段 AC 上一点，且 AD3DC三棱锥 PABC 的各个顶点都在球 O 表面上，过
5、点 D 作球 O 的 截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为 16，则球 O 的表面积为（ ） A72 B86 C112 D128 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）曲线 f（x）xsinx 在点（，0）处的切线方程为 14 （5 分）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机 第 3 页（共 22 页） 构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径， 在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形如图中的两个勒 洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长
6、比为 1：3，若从大的勒洛三角形中随机取一 点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为 15 （5 分）已知的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 cosA（sinCcosC）cosB，a 2，c，则角 C 大小为 16 （5 分）已知函数 f（x+1）是定义在 R 上的偶函数x1，x21，+） ，且 x1x2，都 有（x1x2）f（x2）f（x1）0，则不等式 f（2x+1+1）f（5）的解集为 三、解答题三、解答题：本大题共：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分 17 （12 分）已知数列an满足 a12，nan+1（n+1）an2n（n+1） ，设 （1）求数列bn的通项公式；
7、（2）若，求数列cn的前 n 项和 18 （12 分）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛 活动现从参加该活动的学生中随机抽取了 100 名学生，将他们的比赛成绩（满分为 100 分）分为 6 组：40，50） ，50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100，得到 如图所示的频率分布直方图 （1）求 a 的值，并估计这 100 名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表） ； （2）在抽取的 100 名学生中，规定：比赛成绩不低于 80 分为“优秀” ，比赛成绩低于 80 分为“非优秀” 请将下面的 22 列联表补
8、充完整，并判断是否有 99%的把握认为“比 赛成绩是否优秀与性别有关”？ 优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 第 4 页（共 22 页） 合计 100 参考公式及数据： P（K2k0） 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 19 （12 分）在底面为菱形的四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，ABAA12， A1BA1D， BAD 60，ACBDO，AO平面 A1BD （1）证明：B1C平面 A1BD； （2）求二面角 BAA1D 的正弦值 20 （12 分）已知椭圆（ab0）的离心率为，以 C 的短轴为直径的圆 与直线 l：
9、3x+4y50 相切 （1）求 C 的方程； （2）直线 yx+m 交椭圆 C 于 M（x1，y1） ，N（x2，y2）两点，且 x1x2已知 l 上存在 点 P，使得PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形若 P 在直线 MN 右下方，求 m 的值 21 （12 分）已知函数， （1）求函数 f（x）的极值点； （2）当 a0 时，当函数 h（x）f（x）g（x）恰有三个不同的零点，求实数 a 的取 值范围 第 5 页（共 22 页） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一
10、个题目计分，作答时请用第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）已知直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数） 以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 21+2cos （1）写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）设点 P 为 C2上的任意一点，求 P 到 C1距离的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a0，b0，c0，且 a+b+c2 （1）求 a2+b+c 的取
11、值范围； （2）求证：+18 第 6 页（共 22 页） 2020 年福建省福州市高考数学一模试卷（理科）年福建省福州市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）在复平面内，复数 z 对应的点与 1+i 对应的点关于实轴对称，则（ ） A1+i B1+i C1i D1i 【分析】由已知求得 z，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由题意，z1i， 则，
12、 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题 2 （5 分）已知集合 A（x，y）|2x+y0，B（x，y）|x+my+10若 AB，则 实数 m（ ） A2 B C D2 【分析】利用 AB，所以直线 2x+y0 与直线 x+my+10 平行，得出结论 【解答】解：因为 AB，所以直线 2x+y0 与直线 x+my+10 平行，所以， 故选：C 【点评】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，意在考查逻辑推理、数 学运算等数学核心素养，基础题 3 （5 分）已知两个单位向量，若，则的夹角为（ ） A B C D 【分析】根据条件可得出（2） 0，所以21，从而得出 c
13、os ，这样根据向量夹角的范围即可求出夹角 【解答】解：由题意得，两个单位向量， 第 7 页（共 22 页） 因为（2），所以（2） 0，所以21， 所以 cos， 又因为，0，所以， 故选：B 【点评】本题主要考查平面向量数量积的概念，向量夹角公式及角的范围，以及已知三 角函数值求角的方法属于基础题 4 （5 分）一组数据的平均数为 m，方差为 n，将这组数据的每个数都乘以 a（a0）得到 一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A这组新数据的平均数为 m B这组新数据的平均数为 a+m C这组新数据的方差为 an D这组新数据的标准差为 【分析】根据一组数据的平均数与方差、标准差的定义与性质
14、，即可得出这组新数据的 平均数、方差和标准差 【解答】解：一组数据的平均数为 m，方差为 n， 将这组数据的每个数都乘以 a（a0） ，得到一组新数据， 则这组新数据的平均数为 am， 方差为 a2n，标准差为 a 故选：D 【点评】本题考查了一组数据的平均数、方差和标准差的定义与性质应用问题，是基础 题 5 （5 分）已知 ， 是两个不同的平面，m，l 是两条不同的直线，且 ，m， l，则“ml”是“m”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由已知结合平面与平面垂直的性质及充分必要条件的判定方法得答案 【解答】解：由 ，m，l，ml，利用面
15、面垂直的性质可得 m； 由 ，m，l，m，利用面面垂直的性质可得 ml 第 8 页（共 22 页） ， 是两个不同的平面，m，l 是两条不同的直线，且 ，m，l，则“m l”是“m”的充要条件 故选：C 【点评】本题考查平面与平面垂直的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题 6 （5 分）若，则（ ） Aabc Bcab Cacb Dcba 【分析】利用指数函数对数函数的单调性即可得出 【解答】解：， 所以 1ac，blog3elog331，故 cab 故选：B 【点评】本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题 7 （5 分）若，则 cos2（ ） A1
16、B C0 或 D1 或 【分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 cos0 或 ，进而利用二倍角的余弦函数公式即可求解 【解答】解：由，得， 所以， 所以 cos0 或， 故 cos22cos211，或 故选：D 【点评】本题主要考查三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算的数学 核心素养，属于基础题 8 （5 分）抛物线 C：y22x 的焦点为 F，点 P 为 C 上的动点，点 M 为 C 的准线上的动点， 第 9 页（共 22 页） 当FPM 为等边三角形时，其周长为（ ） A B2 C D6 【分析】因为FPM 为等边三角形，所以 PM 垂直于抛物线 C 的
17、准线于 M，且MFO 60，从而|PM|4|OF|，又，所以|PM|2，从而得到FPM 的周长 【解答】解：如图所示： FPM 为等边三角形，PM 垂直于抛物线 C 的准线于 M，且MFO60， |PM|4|OF|，又， |PM|2， 所以FPM 的周长为 326， 故选：D 【点评】本题主要考查抛物线的概念与性质，直线与抛物线的位置关系，是中档题 9（5 分） 在同一平面直角坐标系中， 画出三个函数 f （x） sin2x+cos2x， g （x） sin （2x+） ， h（x）cos（x）的部分图象如图所示，则（ ） Aa 为 f（x） ，b 为 g（x） ，c 为 h（x） Ba 为
18、h（x） ，b 为 f（x） ，c 为 g（x） Ca 为 g（x） ，b 为 f（x） ，c 为 h（x） Da 为 h（x） ，b 为 g（x） ，c 为 f（x） 【分析】 利用辅助角公式先化简 f （x） ， 结合函数的最值性质以及周期性质进行判断即可 【解答】解：，g（x） ，h（x）的最大值分别为，1，1，由于 图象 a 的最大值最大，故 a 为 f（x） ； g（x） ，h（x）的最小正周期分别为 ，2，图象 b 的最小正周期比 c 小，故 b 为 g（x） ， 第 10 页（共 22 页） c 为 h（x） ， 故选：A 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质等基础知识，利用
19、三角函数的辅助角公式 以及周期性质是解决本题的关键难度不大 10 （5 分）射线测厚技术原理公式为，其中 I0，I 分别为射线穿过被测物前后 的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度， 为被测物的密度， 是被测物对射线 的吸收系数工业上通常用镅 241（241Am）低能 射线测量钢板的厚度若这种射线对 钢板的半价层厚度为 0.8，钢的密度为 7.6，则这种射线的吸收系数为（ ） （注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931，结果 精确到 0.001） A0.110 B0.112 C0.114 D0.116 【分析】由题意可得1e 7.60.8，两边取自然
20、对数，则答案可求 【解答】解：由题意可得，1e 7.60.8， ln27.60.8， 即 6.080.6931，则 0.114 这种射线的吸收系数为 0.114 故选：C 【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数的运算性质，是基础的计算题 11 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的一条渐近线方程为 x2y0，A， B 分别是 C 的左、右顶点，M 是 C 上异于 A，B 的动点，直线 MA，MB 的斜率分别为 k1， k2，若 1k12，则 k2的取值范围为（ ） A B C D 【分析】由渐近线的方程可得 a，b 的关系，写出 A，B 的坐标，设 M 的坐标求出直线 MA，MB 的
21、斜率由 MA 的斜率的范围求出 MB 的斜率的方程 【解答】解：依题意，则双曲线的方程为：，则 A（2b，0） ，B 第 11 页（共 22 页） （2b，0） ，设 M（x0，y0） ，则， 所以，因为 k11，2， 所以， 故选：A 【点评】本题主要考查双曲线的简单几何性质、直线和双曲线的位置关系，属于中档题 12 （5 分）在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，ABAC，AB6，AC8，D 是线段 AC 上一点，且 AD3DC三棱锥 PABC 的各个顶点都在球 O 表面上，过点 D 作球 O 的 截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为 16，则球 O 的表面积为（ ） A72
22、 B86 C112 D128 【分析】由题意一条侧棱垂直于底面，补成三棱柱，若所得截面圆的面积的最小值时截 面与 OD 垂直，所得截面圆的面积最大值时过球心，分别求出两种情况的半径，进而求 出面积的和，求出球的半径，进而求出表面积 【解答】解：将三棱锥补成知三棱柱，且三棱锥的外接球与三棱柱的外接球都是球 O设 三角形 ABC 的中心为 O， 设外接球的半径为 R，球心 O 到平面 ABC 的距离为 x，即 OOx，连接 OA，则 OA5， R2x2+25， 在三角形 ABC 中，取 AC 的中点 E，连接 OD，OE，则 OEAB3，DEAC2， OD， 在 RtOOD 中，OD，由题意得当截
23、面与直线 OD 垂直时，截面面积最小， 设此时截面半径为 r，则 r2R2OD2x2+25（x2+13）12， 所以截面圆的面积为 r212， 当截面过球心时，截面圆的面积最大为 R2，R21216， 所以 R228， 所以表面积 S4R2112， 故选：C 第 12 页（共 22 页） 【点评】本题考查球的表面积的求法，考查三棱锥的外接球与棱长的关系即球的表面积 公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13 （5 分）曲线 f（x）xsinx 在点（，0）处的切线方程为 yx+2 【分析】求导数，确定 x
24、 处的切线的斜率，即可求得切线方程 【解答】解：求导数可得 f（x）sinx+xcosx， x 时，f（）， 又f（）0， 曲线 f（x）xsinx 在点（，f（） ）处的切线方程为 y（x） ，即 yx+2 故答案为：yx+2 【点评】本题考查切线方程，解题的关键是求出切点处切线的斜率，属于基础题 14 （5 分）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机 构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径， 在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形如图中的两个勒 洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为 1：3，若从大
25、的勒洛三角形中随机取一 点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为 【分析】先求出各自的面积，根据面积比即可求得； （也可直接用三角形相似，面积比为 边长比的平方来求 【解答】解：设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为 a， 第 13 页（共 22 页） 则小勒洛三角形的面积 S1， 因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为 1：3， 所以大勒洛三角形的面积 S2， 若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率 故答案为： 【点评】本题主要考查概率与几何概型、平面几何等基础知识，考查阅读能力与应用意 识和创新能力，意在考查数学建模、数学运算和逻辑推理等数学
26、核心素养 15 （5 分）已知的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 cosA（sinCcosC）cosB，a 2，c，则角 C 大小为 【分析】利用正弦定理、和差公式、诱导公式即可得出 【解答】解：因为 cosA（sinCcosC）cosB，所以 cosA（sinCcosC）cos（A+C） ， 所以 cosAsinCsinAsinC，所以 sinC（cosAsinA）0， 因为 C（0，） ，sinC0，所以 cosAsinA，则 tanA1，所以， 又，则，因为 ca，所以，故 故答案为： 【点评】本题主要考查正弦定理、和差公式、诱导公式，意在考查逻辑推理、数学运算、 直观想象等
27、数学核心素养属于中档题 16 （5 分）已知函数 f（x+1）是定义在 R 上的偶函数x1，x21，+） ，且 x1x2，都 有（x1x2）f（x2）f（x1）0，则不等式 f（2x+1+1）f（5）的解集为 （， 1） 【分析】根据题意即可得出 f（x）的图象关于 x1 对称，并得出 f（x）在（，1） 上单调递减，并且得出 f（3）f（5） ，从而根据原不等式得出2x+1+13，解出 x 的范围即可 【解答】解：因为函数 f（x+1）是定义在 R 上的偶函数，所以 f（x+1）关于 y 轴对称， 由 yf（x）向左平移 1 个单位得到 f（x+1） ，所以 yf（x）关于直线 x1 对称，
28、 第 14 页（共 22 页） x1，x21，+） ，且 x1x2，都有（x1x2）f（x2）f（x1）0， yf（x）在1，+）上单调递增， yf（x）在（，1）上单调递减， f（2x+1+1）f（5） ，且 f（5）f（3） ，2x+1+11， 2x+1+13，2x+14，解得 x1， 原不等式的解集为（，1） 【点评】本题考查了偶函数的定义，偶函数的图象对称性，图象的平移变换，增函数的 定义，减函数的定义，指数函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分分 17 （12 分）已知数列an满足 a12，nan+1（n+1
29、）an2n（n+1） ，设 （1）求数列bn的通项公式； （2）若，求数列cn的前 n 项和 【分析】本题第（1）题根据，可得 annbn，然后代入递推式，可发现数列bn 是一个等差数列，即可得到数列bn的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计 算出数列cn的通项公式，然后运用分组求和法计算出前 n 项和 【解答】解： （1）依题意，由可得，annbn nan+1（n+1）an2n（n+1） ， n（n+1）bn+1（n+1）nbn2n（n+1） ， 即 bn+1bn2， 又b1a12， 数列bn是以 2 为首项，以 2 为公差的等差数列 bn2+2（n1）2n （2）由（1）知， 设数
30、列cn的前 n 项和为 Sn，则 （41+42+4n）（1+2+n） 第 15 页（共 22 页） 【点评】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查逻辑推理、数学运算等数 学核心素养以及转化思想的应用本题属中档题 18 （12 分）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛 活动现从参加该活动的学生中随机抽取了 100 名学生，将他们的比赛成绩（满分为 100 分）分为 6 组：40，50） ，50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100，得到 如图所示的频率分布直方图 （1）求 a 的值，并估计这 100 名学生的平均成绩（同一
31、组中的数据用该组区间的中点值 为代表） ； （2）在抽取的 100 名学生中，规定：比赛成绩不低于 80 分为“优秀” ，比赛成绩低于 80 分为“非优秀” 请将下面的 22 列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为“比 赛成绩是否优秀与性别有关”？ 优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计 100 参考公式及数据： P（K2k0） 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 【分析】 （1）利用频率和为 1 求解 a 值，再由矩形中点的横坐标乘以频率作和可得这 100 名学生的平均成绩； （2）由频率分布直方图填写 22
32、列联表，求出 K2的观测值，结合临界值表得结论 【解答】解： （1）由题可得（0.005+0.010+0.020+0.030+a+0.010）101， 第 16 页（共 22 页） 解得 a0.025 450.05+550.1+650.2+750.3+850.25+950.174， 估计这 100 名学生的平均成绩为 74； （2）由（1）知，在抽取的 100 名学生中，比赛成绩优秀的有 100（0.25+0.1）100 0.3535 人， 由此可得完整的 22 列联表： 优秀 非优秀 合计 男生 10 40 50 女生 25 25 50 合计 35 65 100 K2的观测值， 有 99%的
33、把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关” 【点评】本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数学抽象、数学运 算、数据分析的数学核心素养是基础题 19 （12 分）在底面为菱形的四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，ABAA12， A1BA1D， BAD 60，ACBDO，AO平面 A1BD （1）证明：B1C平面 A1BD； （2）求二面角 BAA1D 的正弦值 【分析】 （1）根据题意，得到四边形 A1B1CD 是平行四边形，得到 B1CA1D，再根据线 面平行的判定定理证明即可； （2）根据题意，以 O 为原点，分别以为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建 立如图所示的空间直角坐标
34、系 Oxyz，求出平面 A1AB 的法向量和平面 A1AD 的法向量， 利用夹角公式求出即可 【解答】解： （1）依题意，A1B1AB，A1B1CAB，ABCD，ABCD， 第 17 页（共 22 页） A1B1CD，A1B1CD， 四边形 A1B1CD 是平行四边形， B1CA1D， B1C平面 A1BD，A1D平面 A1BD， B1C平面 A1BD； （2）AO平面 A1BD，AOA1O， A1BA1D 且 O 为 BD 的中点，A1OBD， AO、BD平面 ABCD，且 AOBDO， A1O平面 ABCD， 以 O 为原点，分别以为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间 直
35、角坐标系 Oxyz， 则，B（0，1，0） ，D（0，1，0） ，A1（0，0，1） ， ， 设平面 A1AB 的法向量为， 则，取 x1，则， 设平面 A1AD 的法向量为， 则，取 x1，则 ， 设二面角 BAA1D 的平面角为 ，则， 二面角 BAA1D 的正弦值为 第 18 页（共 22 页） 【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，二面角等基础知识，意在 考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养，中档题 20 （12 分）已知椭圆（ab0）的离心率为，以 C 的短轴为直径的圆 与直线 l：3x+4y50 相切 （1）求 C 的方程； （2）直线 yx+m 交椭圆
36、C 于 M（x1，y1） ，N（x2，y2）两点，且 x1x2已知 l 上存在 点 P，使得PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形若 P 在直线 MN 右下方，求 m 的值 【分析】 （1）由点到直线的距离公式列式求 b，再由离心率结合隐含条件求得 a，则椭圆 方程可求； （2）直线 yx+m 的倾斜角为 45，且PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形， P 在直线 MN 右下方，可得 NPx 轴过 M 作 NP 的垂线，垂足为 Q，则 Q 为线段 NP 的中点，求得 P（2x1x2，y2） ，代入直线 l 的方程，由，得 4x2+6mx+3m2 30再由根与系数的关系联立求解 m 值
37、 【解答】解： （1）依题意， 离心率，解得， 椭圆 C 的标准方程为； （2） 直线 yx+m 的倾斜角为 45， 且PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形， P 在直线 MN 右下方，NPx 轴 过 M 作 NP 的垂线，垂足为 Q，则 Q 为线段 NP 的中点，Q（x1，y2） ，故 P（2x1x2， y2） ， 3（2x1x2）+4y250， 即 3（2x1x2）+4（x2+m）50， 整理得 6x1+x2+4m50 第 19 页（共 22 页） 由，得 4x2+6mx+3m230 36m248m2+480，解得2m2， ， 由得， 将代入得 x21m， 将代入得，解得 m1 综上
38、，m 的值为1 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、直线和圆的位置关系 等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养，是中档题 21 （12 分）已知函数， （1）求函数 f（x）的极值点； （2）当 a0 时，当函数 h（x）f（x）g（x）恰有三个不同的零点，求实数 a 的取 值范围 【分析】 （1）求导，分 a0 及 a0 讨论即可得出结论； （2）对函数 h（x）求导，分类讨论结合零点存在性定理即可得出结论 【解答】解： （1）因为，所以， 所以， 当 a0 时，f（x）0，所以函数 f（x）无极值点； 当 a0 时，令 f（x）0，解得 第 2
39、0 页（共 22 页） 由，解得；由，解得 故函数 f（x）有极大值点，无极小值点 综上，当 a0 时，函数 f（x）无极值点； 当 a0 时，函数 f（x）有极大值点，无极小值点 （2）当 a0 时， 所以， 设 k（x）ax2+x4a，则116a2， 当即时，h（x）0，所以 h（x）在（0，+）单调递减， 所以 h（x）不可能有三个不同的零点； 当即时，k（x）有两个零点， 所以 x10，x20又因为 k（x）ax2+x4a 开口向下， 当 0xx1时，k（x）0，h（x）0，所以 h（x）在（0，x1）上单调递减； 当 x1xx2时，k（x）0，h（x）0，所以 h（x）在（x1，x2
40、）上单调递增； 当 xx2时，k（x）0，h（x）0，所以 h（x）在（x2，+）上单调递减 因为，又 x1x24，所以 x12x2，h（x1）h（2）0h（x2） ， 令， 则 所以 m（a）在单调递增， 所以，即 由零点存在性定理知，h（x）在区间上有唯一的一个零点 x0 第 21 页（共 22 页） ， 又 h（x0）0，所以 所以，所以 h（x）在区间（0，x1）上有唯一的一个零点， 故当时，h（x）存在三个不同的零点 故实数 a 的取值范围是 【点评】本题主要考查函数和导数及其应用、函数零点等基础知识，意在考查直观想象、 逻辑推理与数学运算的数学核心素养 （二）选考题：共（二）选考题
41、：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分第一个题目计分，作答时请用，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修选修 4-4：坐：坐 标系与参数方程标系与参数方程 22 （10 分）已知直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数） 以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 21+2cos （1）写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）设点 P 为 C2上的任意一点，求 P 到 C1距离
42、的取值范围 【分析】 （1）直接利用和转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转 换 （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果 【解答】解： （1）C1的普通方程为 xy3，即 xy+30 曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y21+2x，即（x1）2+y22 （2）由（1）知，C2是以（1，0）为圆心，半径的圆， 圆心 C2（1，0）到 C1的距离， 所以直线 C1与圆 C2相离，P 到曲线 C1距离的最小值为； 最大值， 所以 P 到曲线 C1距离的取值范围为 【点评】本题主要考查直线的参数方程、曲线直角坐标方程、极坐标方程的互化，圆的 第 22 页（共 22 页） 极坐标方程
43、等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养属 于基础题型 选修选修 4-5：不：不等式选讲等式选讲 23已知 a0，b0，c0，且 a+b+c2 （1）求 a2+b+c 的取值范围； （2）求证：+18 【分析】 （1）由条件等式将 b+c 用 a 表示，再从 a0，b0，c0，进一步求出 a 的范 围，将问题转化为求二次函数的取值范围，二次函数配方，即可求解； （2）根据已知条件转化证明，利用基本不等式即可得证 【解答】解： （1）a0，b0，c0 且 a+b+c2， 2ab+c0，0a2， ， ， a2+b+c 的取值范围为 （2）a0，b0，c0， ， ， 当且仅当时等号成立， 又 a+b+c2， 【点评】本题考查了基本不等式和不等式证明，考查了转化思想，属中档题
浙公网安备33030202001339号