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    2019年山东省临沂市高考数学一模试卷(文科)含详细解答

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    2019年山东省临沂市高考数学一模试卷(文科)含详细解答

    1、在复平面内,复数(i 为虚数单位)对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 (5 分)已知集合 Ax|3x1,Bx|x+10,则 AB( ) A (,1) B (,0) C (1,0) D (1,1) 3 (5 分)已知 8 位学生的某次数学测试成绩的茎叶图如图,则下列说法正确的是( ) A众数为 7 B极差为 19 C中位数为 64.5 D平均数为 64 4 (5 分)已知双曲线的一个焦点 F(2,0) ,一条渐近线的斜率 为,则该双曲线方程为( ) A B C D 5 (5 分)将函数的图象向左平移个单位,得到函数 g(x)的图象, 则下列说法正确的是( ) A

    2、g(x)的最小正周期为 2 B C是 g(x)图象的一条对称轴 Dg(x)是偶函数 6 (5 分) “不等式 x22x+m0 在 R 上恒成立”的一个充分不必要条件是( ) Am1 Bm1 Cm0 Dm2 7 (5 分)已知函数 g(x)f(x)+x2是奇函数,当 x0 时,函数 f(x)的图象与函数 y log2x 的图象关于 yx 对称,则 g(1)+g(2)( ) 第 2 页(共 22 页) A7 B9 C11 D13 8 (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的值为( ) A0 B C1 D1 9 (5 分)已知ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a2,b3,C

    3、60, 则 tanA( ) A B C D 10 (5 分)某几何体的三视图如图,其中侧视图为半圆,则该几何体的表面积为( ) A6+4 B6+3 C9+4 D9+3 11 (5 分) “珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家,他的应用巨著算法统综中有 一首“竹筒容米”问题: “家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节四升五,上梢四 节三升八, 唯有中间两节竹, 要将米数次第盛, 若有先生能算法, 也教算得到天明 ”( 【注】 四升五:4.5 升,次第盛:盛米容积依次相差同一数量 )用你所学的数学知识求得中间 两节竹的容积为( ) A2.2 升 B2.3 升 C2.4 升 D2.5 升 12

    4、(5 分)点 A、B 分别为椭圆的左、右顶点,F 为右焦点,C 为短 第 3 页(共 22 页) 轴上不同于原点 O 的一点,D 为 OC 的中点,直线 AD 与 BC 交于点 M,且 MFAB,则 该椭圆的离心率为( ) A B C D 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)已知向量 (3,2) , (1,1) ,若( ) ,则 14 (5 分)设 x,y 满足约束条件,则 z2x+3y 的最小值为 15 (5 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn,满足,若 am与 Sm的等差中项为 11,则 m 的值为

    5、16 (5 分)若 f(x)kx+bg(x) ,则定义直线 ykx+b 为曲线 f(x) ,g(x)的“分界直 线” 已知,则 f(x) ,g(x)的“分界 直线”为 三、解答题:共三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生要根据要求作答 (一)必考题为选考题,考生要根据要求作答 (一)必考 题:共题:共 60 分分 17 (12 分) (文)已知函数的最小正周 期为 4 (1)求 的值; (2)求 f(x)的单

    6、调递增区间 18 (12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD,ABAD,ADBC,AD2BC 4,PB,M 是线段 AP 的中点 (1)证明:BM平面 PCD; (2)当 PA 为何值时,四棱锥 PABCD 的体积最大?并求此最大值 第 4 页(共 22 页) 19 (12 分)某中学为了丰富学生的课外文体活动,分别开设了阅读、书法、绘画等文化活 动;跑步、游泳、健身操等体育活动该中学共有高一学生 300 名,要求每位学生必须 选择参加其中一项活动,现对高一学生的性别、学习积极性及选择参加的文体活动情况 进行统计,得到数据如下: 男生 女生 参加文化活动 参加体育活动 参

    7、加 文 化 活 动 参 加 体 育 活 动 学习积极性高 80 36 100 24 学习积极性不 高 20 24 10 6 (1)在选择参加体育活动的学生中按性别分层抽取 6 名,再从这 6 名学生中抽取 2 人了 解家庭情况,求 2 人中至少有 1 名女生的概率; (2)是否有 99.9%的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关?请说明你的 理由 附:参考公式:,其中 na+b+c+d P(K2k0) 0.10 0.010 0.001 k0 2.706 6.635 10.828 20 (12 分)已知抛物线 E:y22px(p0)上一点 M(4,y0)到焦点 F 的距离为 5 (1)

    8、求抛物线 E 的方程; 第 5 页(共 22 页) (2)直线 l 与圆 C:x2+y24x0 相切且与抛物线 E 相交于 A,B 两点,若AOB 的面 积为 4(O 为坐标原点) ,求直线 l 的方程 21 (12 分)已知函数 (1)判断 f(x)的单调性; (2)若 f(x)0 在(1,+)上恒成立,且 f(x)0 有唯一解,试证明 a1 选考题:共选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题 计分计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系 xOy

    9、 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数) ,以坐 标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(0,02) ,点 A 为曲线 C1 上的动点,点 B 在线段 OA 的延长线上,且满足|OA|OB|6,点 B 的轨迹为 C2 (1)求 C1,C2的极坐标方程; (2)设点 C 的极坐标为(2,0) ,求ABC 面积的最小值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x5|+|x1| (1)求 f(x)的最小值 m; (2)若正实数 a,b 满足,求证: 第 6 页(共 22 页) 2019 年山东省临沂市高考数学一模试卷(文年山东省临沂市高考数学一模试卷(文科)科) 参

    10、考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 (5 分)在复平面内,复数(i 为虚数单位)对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数的除法运算法则化简求解,得到复数的对应点的坐标,判断即可 【解答】解:复数1+i 复数(i 为虚数单位)对应的点(1,1)在第二象限 故选:B 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算,复数的几何意义,考查计算能力 2 (5 分)已知

    11、集合 Ax|3x1,Bx|x+10,则 AB( ) A (,1) B (,0) C (1,0) D (1,1) 【分析】求解不等式化简集合 A、B,然后直接利用交集运算得答案 【解答】解:3x130,x0,A(,0) , x+10,x1,B(1,+) , AB(1,0) 故选:C 【点评】本题考查了交集及其运算,考查了不等式的解法,是基础题 3 (5 分)已知 8 位学生的某次数学测试成绩的茎叶图如图,则下列说法正确的是( ) A众数为 7 B极差为 19 C中位数为 64.5 D平均数为 64 【分析】根据茎叶图中的数据求得这组数据的众数、极差、中位数和平均数 【解答】解:根据茎叶图中的数据

    12、知,这组数据的众数为 67,A 错误; 极差是 755718,B 错误; 第 7 页(共 22 页) 中位数是64.5,C 正确; 平均数为 60+(31+1+2+7+7+12+15)65,D 错误 故选:C 【点评】本题考查了利用茎叶图求众数、极差、中位数和平均数的应用问题,是基础题 4 (5 分)已知双曲线的一个焦点 F(2,0) ,一条渐近线的斜率 为,则该双曲线方程为( ) A B C D 【分析】由题意可得 c2,求得双曲线的渐近线方程可得 a,b 的关系式,解方程可得 a, b,进而得到双曲线方程 【解答】解:由题意可得 c2,即 a2+b24, 双曲线的渐近线方程为 yx, 由题

    13、意可得, 解得 a1,b, 则双曲线的方程为 x21, 故选:A 【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程,考查方程思想和运算能力, 属于基础题 5 (5 分)将函数的图象向左平移个单位,得到函数 g(x)的图象, 则下列说法正确的是( ) Ag(x)的最小正周期为 2 B C是 g(x)图象的一条对称轴 Dg(x)是偶函数 【分析】根据三角函数的平移关系求出 g(x)的解析式,结合三角函数的周期性,奇偶 第 8 页(共 22 页) 性,对称性分别进行判断即可 【解答】解:将函数的图象向左平移个单位,得到函数 g(x) 的图象, 即 g(x)sin2(x+)+sin(2x+)sin

    14、(2x+)cos2x, 则 g(x)的最小正周期 T,故 A 错误, g()cos(2)cos,故 B 错误, Cg()cos(2)cos1,即不是 g(x)图象的一条 对称轴,故 C 错误, Dg(x)cos(2x)cos2xg(x) ,即 g(x)是偶函数,故 D 正确, 故选:D 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数的平移关系求出函数的解 析式是解决本题的关键 6 (5 分) “不等式 x22x+m0 在 R 上恒成立”的一个充分不必要条件是( ) Am1 Bm1 Cm0 Dm2 【分析】由二次不等式恒成立问题得: : “不等式 x22x+m0 在 R 上恒成立”的充要

    15、条 件为: “ (2)24m0“即”m1“, 由充分必要条件得: “m2“是”m1“的充分不必要条件,即“不等式 x22x+m0 在 R 上恒成立”的一个充分不必要条件是: ”m2“,得解 【解答】 解: “不等式 x22x+m0 在 R 上恒成立” 的充要条件为: “ (2) 24m0 “即” m1“, 又“m2“是”m1“的充分不必要条件, 即“不等式 x22x+m0 在 R 上恒成立”的一个充分不必要条件是: ”m2“, 故选:D 【点评】本题考查了二次不等式恒成立问题及充分必要条件,属简单题 7 (5 分)已知函数 g(x)f(x)+x2是奇函数,当 x0 时,函数 f(x)的图象与函

    16、数 y log2x 的图象关于 yx 对称,则 g(1)+g(2)( ) A7 B9 C11 D13 【分析】由 x0 时,函数 f(x)的图象与函数 ylog2x 的图象关于 yx 对称可得出,x 第 9 页(共 22 页) 0 时,f(x)2x,从而得出 x0 时,g(x)2x+x2,再根据 g(x)是奇函数即可求 出 g(1)+g(2)的值 【解答】解:x0 时,f(x)的图象与函数 ylog2x 的图象关于 yx 对称; x0 时,f(x)2x; x0 时,g(x)2x+x2,又 g(x)是奇函数; g(1)+g(2)g(1)+g(2)(2+1+4+4)11 故选:C 【点评】考查奇函

    17、数的定义,以及互为反函数的两函数图象关于直线 yx 对称,指数函 数和对数函数互为反函数 8 (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的值为( ) A0 B C1 D1 【分析】根据程序框图,利用模拟验算法进行求解即可 【解答】解:第一次循环,k1,Scos01,k1+12,k4 不成立, 第二次循环,k2,S1+cos1+,k2+13,k4 不成立 第三次循环,k3,S+cos1,k3+14,k4 不成立 第四次循环,k4,S1+cos110,k4+15,k4 成立 输出 S0, 故选:A 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断,利用模拟运算法是解决本题的关键 9 (5 分)已知ABC 的内

    18、角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a2,b3,C60, 第 10 页(共 22 页) 则 tanA( ) A B C D 【分析】利用余弦定理列出关系式,将 a,b 及 cosC 的值代入即可求出 c 的值,进而根 据正弦定理可求 sinA,利用同角三角函数基本关系式即可得解 【解答】解:在ABC 中,a2,b3,C60, 由余弦定理得:c2a2+b22abcosC4+967,解得:c 由正弦定理,可得:sinA, ab,A 为锐角, cosA,tanA 故选:B 【点评】此题考查了余弦定理,正弦定理,同角三角函数基本关系式以及特殊角的三角 函数值的综合应用,熟练掌握余弦定理是解

    19、本题的关键,属于基础题 10 (5 分)某几何体的三视图如图,其中侧视图为半圆,则该几何体的表面积为( ) A6+4 B6+3 C9+4 D9+3 【分析】根据三视图知该几何体是半圆柱体, 结合图中数据计算该几何体的表面积即可 【解答】解:根据三视图知,该几何体是半圆柱体, 画出图形如图所示; 结合图中数据,计算该几何体的表面积为: S212+213+234+6 故选:A 第 11 页(共 22 页) 【点评】本题考查了利用三视图求几何体表面积的应用问题,是基础题 11 (5 分) “珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家,他的应用巨著算法统综中有 一首“竹筒容米”问题: “家有九节竹一茎,为

    20、因盛米不均平,下头三节四升五,上梢四 节三升八, 唯有中间两节竹, 要将米数次第盛, 若有先生能算法, 也教算得到天明 ”( 【注】 四升五:4.5 升,次第盛:盛米容积依次相差同一数量 )用你所学的数学知识求得中间 两节竹的容积为( ) A2.2 升 B2.3 升 C2.4 升 D2.5 升 【分析】设从下至上各节容积分别为 a1,a2,a9,则an是等差数列,设公差为 d, 由题意利用等差数列通项公式列出方程组,由此能求出中间两节的容积 【解答】解:设从下至上各节容积分别为 a1,a2,a9, 则an是等差数列,设公差为 d, 由题意得, 解得 a11.6,d0.1, 中间两节的容积为:a

    21、4+a5(1.60.13)+(1.60.14)2.5(升) 故选:D 【点评】本题考查等差数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审题, 注意等差数列的性质的合理运用 12 (5 分)点 A、B 分别为椭圆的左、右顶点,F 为右焦点,C 为短 轴上不同于原点 O 的一点,D 为 OC 的中点,直线 AD 与 BC 交于点 M,且 MFAB,则 该椭圆的离心率为( ) A B C D 【分析】 设 M 在第一象限,设 M 坐标,求直线 BM 方程, 得 C 点坐标,求直线 AM 方程, 得 D 点坐标,由 D 为 OC 的中点,得 a、c 数量关系,进一步得离心率 【解答】解:设 M(

    22、c,y0)在第一象限, 第 12 页(共 22 页) 又 B(a,0) , 直线 BM 方程:y C(0,) ,又 A(a,0) 直线 AM 方程:y D(0,) ,D 为 OC 的中点, 2,2(ac)c+a, a3c,e 故选:B 【点评】本题考查了椭圆的离心率的求法,考查了直线方程,考查了方程思想 二、二、填空题:本大题共填空题:本大题共 4 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)已知向量 (3,2) , (1,1) ,若( ) ,则 【分析】 可求出, 根据即可得出, 进行数量积的坐标运算即可求出 【解答】解:; ; ; 解得 故答案为: 【点评】

    23、考查向量垂直的充要条件,向量坐标的减法、数乘和数量积的运算 14 (5 分)设 x,y 满足约束条件,则 z2x+3y 的最小值为 8 【分析】画出不等式组表示的平面区域,结合图形求得最优解,再计算目标函数的最小 第 13 页(共 22 页) 值 【解答】解:画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示, 由图形知,当目标函数 z2x+3y 过点 A 时,z 取得最小值; 由,求得 A(1,2) ; z2x+3y 的最小值是 21+328 故答案为:8 【点评】本题考查了线性规划的应用问题,解题时常用“角点法” ,其步骤为:由约束 条件画出可行域,求出可行域各个角点的坐标,将坐标逐一代入目标函

    24、数,验证 求出最优解 15 (5 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn,满足,若 am与 Sm的等差中项为 11,则 m 的值为 3 【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式,进一步求出数列的前 n 项和,再利 用等差中项求出结果 【解答】解:数列an的前 n 项和为 Sn,满足, 当 n2 时, 得:, 即:, 第 14 页(共 22 页) 当 n1 时,a11, (首项符合通项) , 故:, 则:, 答 am与 Sm的等差中项为 11, 故:, 整理得:3m27, 解得:m3 故答案为:3 【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,等比数列的前 n 项和公 式的应用,主

    25、要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型 16 (5 分)若 f(x)kx+bg(x) ,则定义直线 ykx+b 为曲线 f(x) ,g(x)的“分界直 线” 已知,则 f(x) ,g(x)的“分界 直线”为 yx1 【分析】求得 f(x) ,g(x)的交点(1,0) ,可得所求直线过(1,0) ,即 bk,由 kxk(x)在 x1 恒成立,运用判别式小于等于 0,化简可得 k1,可得直线 方程为 yx1,再证 x1xlnx 在 x1 恒成立,通过函数 yxlnxx+1,求得导数, 判断单调性,即可得到所求结论 【解答】解:由 f(1)ln10,g(1)(11)0, 则 f(x) ,g(x

    26、)的图象存在交点(1,0) , 且 f(x) ,g(x)在1,+)递增, 可得直线 ykx+b 必过(1,0) ,即 bk, 由 kx+bg(x) ,即 kxk(x)在 x1 恒成立, 即有(2k1)x22kx+10, 可得 2k10,且4k24(2k1)0, 解得 k1, 即有直线方程为 yx1, 第 15 页(共 22 页) 下面证明 x1xlnx 在 x1 恒成立, 由 yxlnxx+1 的导数为 y1+lnx1lnx, 由 x1 可得 lnx0,即有函数 yxlnxx+1 在 x1 递增, 可得 xlnxx1 在 x1 恒成立, 则 f(x) ,g(x)的“分界直线”为 yx1 故答案

    27、为:yx1 【点评】本题考查导数的运用:求单调性和极值、最值,考查转化思想和恒成立思想解 放,注意运用构造函数法,考查化简整理的运算能力,属于中档题 三、解答题:共三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生要根据要求作答 (一)必考题为选考题,考生要根据要求作答 (一)必考 题:共题:共 60 分分 17 (12 分) (文)已知函数的最小正周 期为 4 (1)求 的值; (2)求 f(x)的单调递增区间 【分析

    28、】 (1)利用三角函数中的恒等变换应用可求得 f(x)sin(2x+) ,利用其最 小正周期为 4 可求得 ; (2)由(1)知,f(x)sin(x+) ,利用正弦函数的单调性即可求得 f(x)的单 调递增区间 【解答】解: (1)f(x)sinxcosx+cos2x sin2x+cos2x+ sin(2x+) , T4, (2)f(x)sin +2kx+2k,kZ 第 16 页(共 22 页) +4kx+4k,kZ f(x)的单调递增区间为+4k,+4k(kZ) 【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用,着重考查正弦函数的周期性与单调性, 属于中档题 18 (12 分)如图,在四棱锥 PAB

    29、CD 中,PA平面 ABCD,ABAD,ADBC,AD2BC 4,PB,M 是线段 AP 的中点 (1)证明:BM平面 PCD; (2)当 PA 为何值时,四棱锥 PABCD 的体积最大?并求此最大值 【分析】 (1)取 PD 中点 N,易证 MNCB 为平行四边形,进而得 BM,CN 平行,得证; (2)设 PAx(0) ,把体积表示为关于 x 的函数,借助不等式求得最大值 【解答】解: (1)证明:取 PD 中点 N,连接 MN,CN, M 是 AP 的中点, MNAD 且 MN, ADBC,AD2BC, MNBC,MNBC, 四边形 MNCB 是平行四边形, MBCN, 又 BM平面 P

    30、CD,CN平面 PCD, BM平面 PCD; (2)设 PAx(0x4) , PA平面 ABCD, PAAB, , 第 17 页(共 22 页) AB, 又ABAD,AD2BC4, VPABCD 16, 当且仅当 x,即 x4 时取等号, 故当 PA4 时,四棱锥 PABCD 的体积最大,最大值为 16 【点评】此题考查了线面平行,线面垂直,棱锥体积,不等式等,难度适中 19 (12 分)某中学为了丰富学生的课外文体活动,分别开设了阅读、书法、绘画等文化活 动;跑步、游泳、健身操等体育活动该中学共有高一学生 300 名,要求每位学生必须 选择参加其中一项活动,现对高一学生的性别、学习积极性及选

    31、择参加的文体活动情况 进行统计,得到数据如下: 男生 女生 参加文化活动 参加体育活动 参 加 文 化 活 动 参 加 体 育 活 动 学习积极性高 80 36 100 24 第 18 页(共 22 页) 学习积极性不 高 20 24 10 6 (1)在选择参加体育活动的学生中按性别分层抽取 6 名,再从这 6 名学生中抽取 2 人了 解家庭情况,求 2 人中至少有 1 名女生的概率; (2)是否有 99.9%的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关?请说明你的 理由 附:参考公式:,其中 na+b+c+d P(K2k0) 0.10 0.010 0.001 k0 2.706 6.635

    32、 10.828 【分析】 (1)由表中数据,选择参加体育活动的男生有 36+2460 人,女生有 24+630 人,再列举出从这 6 名学生中抽取 2 人的所有组合和至少有 1 名女生的组合,再根据古 典概型的概率公式可得; (2)先得 22 列联表,再根据公式计算 K2与临界值表比较可得 【解答】解: (1)由表中数据,选择参加体育活动的男生有 36+2460 人,女生有 24+6 30 人, 按性别从中分层抽取 6 名,应抽取 4 名男生,2 名女生, 记男生为 a,b,c,d,女生为 e,f,从这 6 名学生中抽取 2 人的所有组合为: (a,b) , (a,c) , (a,d) , (

    33、a,e) , (a,f) , (b,c) , (b,d) , (b,e) , (b,f) , (c,d) , (c,e) , (c,f) , (d,e) , (d,f) , (e,f) ,共 15 种, 其中至少有 1 名女生的组合的有: (ae) , (a,f) , (b,e) , (b,f) , (c,e) , (c,f) , (d,e) , (d,f) , (e,f)共 9 种, 所以 2 人中至少有 1 名女生的概率为 (2)由表知: 选择参加文化活动 没有选择参加文化活 动 合计 学校积极性高 180 60 240 学习积极性不高 30 30 60 第 19 页(共 22 页) 合计

    34、 210 90 300 K214.3, 14.310.828, 有 99.9%的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关 【点评】本题考查了独立性检验,属中档题 20 (12 分)已知抛物线 E:y22px(p0)上一点 M(4,y0)到焦点 F 的距离为 5 (1)求抛物线 E 的方程; (2)直线 l 与圆 C:x2+y24x0 相切且与抛物线 E 相交于 A,B 两点,若AOB 的面 积为 4(O 为坐标原点) ,求直线 l 的方程 【分析】 (1)由抛物线的定义求出 p 的值,即可得出抛物线的方程; (2)设直线 l 的方程为 xmy+n,设点 A(x1,y1) 、B(x2,y2

    35、) ,根据直线 l 与圆 C 相 切得出 m 与 n 所满足的第一个关系式,将直线 l 的方程联立,列出韦达定理,计算出|AB| 以及原点 O 到直线 l 的距离 d,然后利用三角形的面积公式计算出AOB 的面积,得出 m 与 n 所满足的第二个关系式,然后将两个关系式联立,求出 m 和 n 的值,即可得出直 线 l 的方程 【解答】解: (1)由抛物线的定义知,所以,p2, 因此,抛物线 E 的方程为 y24x; (2)由题意知,直线 l 与 y 轴不垂直,设直线 l 的方程为 xmy+n 直线 l 与圆 C 相切,又圆 C 的圆心为(2,0) ,所以,4m2n24n, 设点 A(x1,y1

    36、) 、B(x2,y2) ,由,消去 x 得,y24my4n0, 由韦达定理得 y1+y24m,y1y24n 则 , 又原点 O 到直线 l 的距离为, 第 20 页(共 22 页) , ,(m2+n)n24, 又 4m2n24n,解得 n2 当 n2 时,m21 不成立; 当 n2 时,m23, 经检验,所求直线方程为,即 【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题,考查抛物线的定义,以及韦达定理设而不 求法在抛物线综合问题中的应用,考查计算能力,属于中等题 21 (12 分)已知函数 (1)判断 f(x)的单调性; (2)若 f(x)0 在(1,+)上恒成立,且 f(x)0 有唯一解,试证明 a

    37、1 【分析】 (1)求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出函数的单调区间即可; (2)问题转化为2lnx0+0,令 g(x0)2lnx0+,根据函数的 单调性证明即可 【解答】解: (1)函数的定义域是(0,+) , f(x)+xa, 易知 x2ax20 有两根,x10,x2, 故 f(x)在(0,)递减,在(,+)递增; (2)a0,1, f(x)在(1,+)上有唯一零点 x0, 又 f(x)+xa,+x0a0, 要使 f(x)0 在区间(1,+)恒成立,且 f(x)0 有唯一解, 第 21 页(共 22 页) 须 f(x0)0,即2lnx0+(+1)ax00, 由得: 2lnx0+(+1

    38、)x0(+x0)0, 故2lnx0+0, 令 g(x0)2lnx0+, 显然 g(x0)在(1,+)递减, g(1)20,g(2)2ln2+0, 1x02, 又a+x0在(1,+)递增, 故 a1 【点评】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转 化思想,是一道综合题 选考题:共选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题 计分计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数) ,以坐

    39、标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(0,02) ,点 A 为曲线 C1 上的动点,点 B 在线段 OA 的延长线上,且满足|OA|OB|6,点 B 的轨迹为 C2 (1)求 C1,C2的极坐标方程; (2)设点 C 的极坐标为(2,0) ,求ABC 面积的最小值 【分析】 (1)直接利用转换关系,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换 (2)利用(1)的结论,进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果 【解答】解: (1)曲线 C1的参数方程为( 为参数) , 转换为直角坐标方程为:x2+(y1)21, 转换为极坐标方程为:2sin, 设点 B 的极坐标为(,) ,点 A 的

    40、极坐标为(0,0) 则:|OB|,|OA|0, 且满足|OA|OB|6, 第 22 页(共 22 页) 整理得:, 即:sin3 (2)点 C 的极坐标为(2,0) , 则:|OC|3, 所以:, |32sin2| 当 sin1 时,SABC的最小值为 1 【点评】本题考查的知识要点:参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,三角 形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x5|+|x1| (1)求 f(x)的最小值 m; (2)若正实数 a,b 满足,求证: 【分析】 (1)根据绝对值不等式|a+b|ab|便可得出|x5|+|x1|4,从而得出 f(x) 的最小值为 4,即得到 t4; (2)利用柯西不等式即可证明 【解答】 (1)解 f(x)|x5|+|x1|(x5)(x1)|4; f(x)的最小值 m 为 4; (2)证明:a0,b0,+, (+)12+()2(1+)264 【点评】考查绝对值不等式公式:|a|+|b|ab|,以及柯西不等式的应用,属于中档题


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