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    2020年广东省深圳市高考数学模拟试卷(文科)(3月份)含详细解答

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    2020年广东省深圳市高考数学模拟试卷(文科)(3月份)含详细解答

    1、已知集合 A1,2,3,4,5,B0, 2, 4,6, 则集合 AB 的子集共有 ( ) A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 2 (5 分)若复数 z的实部为 0,其中 a 为实数,则|z|( ) A2 B C1 D 3 (5 分)已知向量,且实数 k0,若 A、B、 C 三点共线,则 k( ) A0 B1 C2 D3 4 (5 分)意大利数学家斐波那契的算经中记载了一个有趣的问题:已知一对兔子每个 月可以生一对兔子,而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子假如没有发生死亡 现象,那么兔子对数依次为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,这就 是著名的斐波那契数列,

    2、它的递推公式是 anan1+an2(n3,nN*) ,其中 a11,a2 1若从该数列的前 100 项中随机地抽取一个数,则这个数是偶数的概率为( ) A B C D 5 (5 分)设,clog0.3,则下列正确的是( ) Aabc Bacb Ccab Dbac 6 (5 分)如图所示的茎叶图记录了甲,乙两支篮球队各 6 名队员某场比赛的得分数据(单 位:分) 若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则 x 和 y 的值为( ) A2 和 6 B4 和 6 C2 和 7 D4 和 7 第 2 页(共 26 页) 7 (5 分)若双曲线(a0,b0)的焦距为,且渐近线经过点(1,2) , 则此

    3、双曲线的方程为( ) A B C D 8 (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是由一个长方体切割而成的三 棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为( ) A12 B16 C24 D32 9 (5 分)已知函数的最大值、最小值分别为 3 和1,关于 函数 f(x)有如下四个结论: A2,b1; 函数 f(x)的图象 C 关于直线对称; 函数 f(x)的图象 C 关于点对称; 函数 f(x)在区间内是减函数 其中,正确的结论个数是( ) A1 B2 C3 D4 10 (5 分)函数 f(x)cosxln(x)的图象大致为( ) 第 3 页(共 26 页) A B C D 11 (5 分

    4、)已知直三棱柱 ABCA1B1C1,ABC90,ABBCAA12,BB1和 B1C1 的中点分别为 E、F,则 AE 与 CF 夹角的余弦值为( ) A B C D 12 (5 分)函数 f(x)是定义在(0,+)上的可导函数,f(x)为其导函数,若 xf(x) +f(x)(1x)ex,且 f(2)0,则 f(x)0 的解集为( ) A (0,1) B (0,2) C (1,2) D (1,4) 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 第 4 页(共 26 页) 13 (5 分)已知 sin(+),则 sin2 14 (5 分)在A

    5、BC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a+b) (sinAsinB) (ac)sinC,b2,则ABC 的外接圆面积为 15 (5 分)已知一圆柱内接于一个半径为的球内,则该圆柱的最大体积为 16 (5 分)设椭圆 C:1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,其焦距为 2c, O 为坐标原点,点 P 满足|OP|2a,点 A 是椭圆 C 上的动点,且|PA|+|AF1|3|F1F2|恒成 立,则椭圆 C 离心率的取值范围是 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考

    6、题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题: 共共 60 分分 17 (12 分)已知数列an,a14, (n+1)an+1nan4(n+1) (nN*) (1)求数列an的通项公式; (2)若 bn,求数列bn前 n 项和为 Tn 18 (12 分)某公司为了对某种商品进行合理定价,需了解该商品的月销售量 y(单位:万 件)与月销售单价 x(单位:元/件)之间的关系,对近 6 个月的月销售量 yi和月销售单 价 xi(i1,2,3,6)数据进行了统计分析,得到一组检测数据如表所示

    7、: 月销售单价 x(元/件) 4 5 6 7 8 9 月销售量 y(万件) 89 83 82 79 74 67 (1)若用线性回归模型拟合 y 与 x 之间的关系,现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归 直线方程分别为: 4x+105, 4x+53 和 3x+104,其中有且仅有一位实习员 工的计算结果是正确的请结合统计学的相关知识,判断哪位实习员工的计算结果是正 确的,并说明理由; ( 2 ) 若 用 y ax2+bx+c 模 型 拟 合 y 与 x 之 间 的 关 系 , 可 得 回 归 方 程 为 +0.875x+90.25,经计算该模型和(1)中正确的线性回归模型的相关指数 R2分别为 0

    8、.9702 和 0.9524,请用 R2说明哪个回归模型的拟合效果更好; (3)已知该商品的月销售额为 z(单位:万元) ,利用(2)中的结果回答问题:当月销 售单价为何值时,商品的月销售额预报值最大?(精确到 0.01) 第 5 页(共 26 页) 参考数据:80.91 19 (12 分)如图,四边形 ABCD 为长方形,AB2BC4,E、F 分别为 AB、CD 的中点, 将ADF 沿 AF 折到ADF 的位置, 将BCE 沿 CE 折到BCE 的位置, 使得平面 ADF 底面 AECF,平面 BCE底面 AECF,连接 BD (1)求证:BD平面 AECF; (2)求三棱锥 BADF 的体

    9、积 20 (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,过点 F(2,0)的动圆恒与 y 轴相切,FP 为该圆 的直径,设点 P 的轨迹为曲线 C (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 A(2,4)的任意直线 l 与曲线 C 交于点 M,B 为 AM 的中点,过点 B 作 x 轴 的平行线交曲线 C 于点 D,B 关于点 D 的对称点为 N,除 M 以外,直线 MN 与 C 是否有 其它公共点?说明理由 21 (12 分)已知函数 f(x)(x1)lnx+ax2+(1a)x1 (1)当 a1 时,判断函数的单调性; (2)讨论 f(x)零点的个数 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生

    10、在第分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意:只能做所选定两题中任选一题作答注意:只能做所选定 的题目如果多做,则按所做的第一题计分,的题目如果多做,则按所做的第一题计分,选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1的参数方程为(t 为参数, 为倾斜角) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标 方程为 4sin (1)求 C2的直角坐标方程; (2)直线 C1与 C2相交于 E,F 两个不同的点,点 P 的极坐标为,若 2|EF| |PE|+|PF|,求直线 C1的普通方程 第 6 页(共

    11、 26 页) 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知 a,b,c 为正数,且满足 a+b+c1证明: (1)9; (2)ac+bc+ababc 第 7 页(共 26 页) 2020 年广东省深圳市高考数学模拟试卷(文科) (年广东省深圳市高考数学模拟试卷(文科) (3 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 (5 分) 已知集合 A1,2,3,4,5,B0, 2,

    12、 4,6, 则集合 AB 的子集共有 ( ) A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 【分析】求出集合的交集,写出子集,判断即可 【解答】解:已知集合 A1,2,3,4,5,B0,2,4,6, 则集合 AB2,4 则子集共有2,4,2,4,4 个 故选:B 【点评】考查集合的交集运算,考查子集问题,基础题 2 (5 分)若复数 z的实部为 0,其中 a 为实数,则|z|( ) A2 B C1 D 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,由实部为 0 求得 a 值,进一步得到 z,再由 复数模的计算公式求解 【解答】解:z的实部为 0, a2, 则 z2i,则|z|2 故选:A 【点评】本题考查

    13、复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,考查复数模的求法, 是基础题 3 (5 分)已知向量,且实数 k0,若 A、B、 C 三点共线,则 k( ) A0 B1 C2 D3 【分析】求出(2,2k) ,(k+1,2) ,由 A、B、C 三 第 8 页(共 26 页) 点共线,得,由此能求出 k 【解答】解:向量,且实数 k0, (2,2k) ,(k+1,2) , A、B、C 三点共线, , 由 k0,解得 k3 故选:D 【点评】本题考查实数值的求法,考查向量共线、向量垂直的性质等基础知识,考查运 算求解能力,是基础题 4 (5 分)意大利数学家斐波那契的算经中记载了一个有趣的问题:已知一

    14、对兔子每个 月可以生一对兔子,而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子假如没有发生死亡 现象,那么兔子对数依次为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,这就 是著名的斐波那契数列,它的递推公式是 anan1+an2(n3,nN*) ,其中 a11,a2 1若从该数列的前 100 项中随机地抽取一个数,则这个数是偶数的概率为( ) A B C D 【分析】从斐波那契数列,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,可得: 每三个数中有有一个偶数,即可得出结论 【解答】解:从斐波那契数列,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, 可得

    15、:每三个数中有一个偶数(并且是最后一个) ,可得:从该数列的前 100 项中随机地 抽取一个数,则这个数是偶数的概率 故选:B 【点评】本题考查了古典概率计算公式、斐波那契数列性质,考查了推理能力与计算能 力,属于基础题 5 (5 分)设,clog0.3,则下列正确的是( ) Aabc Bacb Ccab Dbac 【分析】利用指数函数对数函数的单调性即可得出 【解答】解:b1a0c, 第 9 页(共 26 页) bac, 故选:D 【点评】本题考查了指数函数对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基 础题 6 (5 分)如图所示的茎叶图记录了甲,乙两支篮球队各 6 名队员某场比赛的得

    16、分数据(单 位:分) 若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则 x 和 y 的值为( ) A2 和 6 B4 和 6 C2 和 7 D4 和 7 【分析】利用中位数和平均值的计算公式可得答案 【解答】解:由所有选项可知 x0,y9, 再由茎叶图可知: 甲队的数据中位数为:18, 乙队的数据中位数为:, 若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等, 即18,解得 y7, 甲(7+12+16+20+20+x+31) ,乙(8+9+19+17+27+28) , 甲乙,解得 x2, 故选:C 【点评】本题考查茎叶图,中位数和平均值,是基础题 7 (5 分)若双曲线(a0,b0)的焦距为,且渐近线经过

    17、点(1,2) , 则此双曲线的方程为( ) A B 第 10 页(共 26 页) C D 【分析】依题意可得 a2+b2c25,b2a解得,即可求解 【解答】解:依题意可得 a2+b2c25, 渐近线经过点(1,2) ,(1,2)在直线上 b2a 由可得, 则此双曲线的方程为: 故选:B 【点评】本题考查了双曲线的方程、渐近线,属于基础题 8 (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是由一个长方体切割而成的三 棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为( ) A12 B16 C24 D32 【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步求出几何体的体积 【解答】解:根据几何体的三视图转换为几何

    18、体为: 如图所示:请旋转一下角度再看 第 11 页(共 26 页) 所以 V344416 故选:B 【点评】本题考查的知识要点:三视图和几何体之间的转换,几何体的体积和表面积公 式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 9 (5 分)已知函数的最大值、最小值分别为 3 和1,关于 函数 f(x)有如下四个结论: A2,b1; 函数 f(x)的图象 C 关于直线对称; 函数 f(x)的图象 C 关于点对称; 函数 f(x)在区间内是减函数 其中,正确的结论个数是( ) A1 B2 C3 D4 【分析】由条件利用正弦函数的最值,求得 A 和 b 的值结合正弦函数性质对命题

    19、逐一 判断即可 【解答】 解: 由于函数 f (x) Asin (x+) +b 的最大值为 3, 最小值为1, 可得; A2,b1,故 f(x)2sin(x+)+1 故正确; 直线代入 x+,故函数 f(x)的图象 C 关于直线对称;正 确; 点代入, 得 f (x+) 2sin+11; 故函数 f (x) 的图象 C不关于点 对称;不正确; 当 x时,x+(,) 故函数 f(x)在区间内是 减函数正确; 正确的结论个数是:3 个; 故选:C 【点评】本题主要考查正弦函数的最值,正弦型函数的性质,整体法思想,属于中档题 第 12 页(共 26 页) 10 (5 分)函数 f(x)cosxln(

    20、x)的图象大致为( ) A B C D 【分析】由函数的奇偶性及特殊点的函数值,运用排除法得解 【解答】解:, 函数 f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故排除 AD; 当 x 时,故排除 C 故选:B 【点评】本题考查函数图象的确定,属于基础题 第 13 页(共 26 页) 11 (5 分)已知直三棱柱 ABCA1B1C1,ABC90,ABBCAA12,BB1和 B1C1 的中点分别为 E、F,则 AE 与 CF 夹角的余弦值为( ) A B C D 【分析】根据题意,可以点 B 为原点,直线 BA,BC,BB1分别为 x,y,z 轴,建立空间 直 角 坐 标 系 , 然 后 可 求 出,

    21、 然 后 可 求 出 ,从而可得出 AE 与 CF 夹角的余弦值 【解答】解:分别以直线 BA,BC,BB1为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则: A(2,0,0) ,E(0,0,1) ,C(0,2,0) ,F(0,1,2) , , , AE 与 CF 夹角的余弦值为 故选:B 【点评】本题考查了直三棱柱的定义,通过建立空间直角坐标系,利用向量坐标解决异 面直线所成角的问题的方法,向量夹角的余弦公式,异面直线所成角的定义,考查了计 算能力,属于基础题 12 (5 分)函数 f(x)是定义在(0,+)上的可导函数,f(x)为其导函数,若 xf(x) 第 14 页(共 26 页)

    22、 +f(x)(1x)ex,且 f(2)0,则 f(x)0 的解集为( ) A (0,1) B (0,2) C (1,2) D (1,4) 【分析】令 g(x)xf(x) ,结合已知可求函数 g(x)的单调性,然后结合特殊点 g(0) g(2)0 及单项即可求解 【解答】解:令 g(x)xf(x) ,则 g(x)xf(x)+f(x)(1x)ex, 当 x(0,1)时,g(x)0,g(x)单调递增,当 x(1,+)时,g(x)0, 函数单调递减, 又因为 f(2)0,所以 g(2)2f(2)0,g(0)0, 由 f(x)0 可得,xf(x)0 即 g(x)0, 所以 0x2 故选:B 【点评】本题

    23、主要考查了利用导数求解函数的单调性,解不等式,解题的关键是进行合 理的构造 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)已知 sin(+),则 sin2 【分析】 利用诱导公式和二倍角的余弦公式把要求的式子化为 21, 运 算求得结果 【解答】解:, sin2cos(2+)cos2(+)21, 故答案为 【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式以及诱导公式的应用,属于中档题 14 (5 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a+b) (sinAsinB) (ac)sinC,b2,则ABC 的外接圆面

    24、积为 【分析】ABC 中,由条件利用正弦定理可得 a2+c2b2a,求得 cosB的值,即可求 得 B 的值利用正弦定理,圆的面积公式即可求解 【解答】解:ABC 中,由(a+b) (sinAsinB)(ac)sinC0, 利用正弦定理可得: (a+b) (ab)(ac)c0,即 a2+c2b2a, 第 15 页(共 26 页) cosB, B b2, 设ABC 的外接圆半径为 R,可得 2R,可得 R,可得ABC 的 外接圆面积 SR2 故答案为: 【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题 15 (5 分)已知一圆柱内接于一个半径为的球内,则该圆柱的最大体积为 4

    25、 【分析】作出轴截面,设圆柱体的底面半径为 r,进而根据截面圆半径、球半径、球心距 满足勾股定理,我们可以用 R 与 r 表示出圆柱的高,进而得到其体积的表达式,然后结 合基本不等式,即可得到圆柱体积的最大和此时底面半径的值 【解答】解:作出轴截面如右 设圆柱体的底面半径为 r, 则球心到底面的距离(即圆柱高的一半)为 d, 则 d, 则圆柱的高为 h2, 则圆柱的体积 Vr2h2r2r2 4, 当且仅当 r262r2,即 r时, 圆柱的体积取最大值,且为 4 故答案为:4 第 16 页(共 26 页) 【点评】本题主要考查球的截面的性质,考查圆柱的体积的最大值,运用三元均值不等 式是解题的关

    26、键,属于中档题 16 (5 分)设椭圆 C:1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,其焦距为 2c, O 为坐标原点,点 P 满足|OP|2a,点 A 是椭圆 C 上的动点,且|PA|+|AF1|3|F1F2|恒成 立,则椭圆 C 离心率的取值范围是 ,1) 【分析】因为|PA|+|AF1|3|F1F2|恒成立,而|PA|+|AF1|PA|+2a|PF2|PF2|+2a,当且仅 当,P,F2,A 三点共线时,取等号又点 P 的轨迹是以 O 圆心,半径为 2r 的圆上,所以 点 P 到圆内点 F2的最大距离为半径与|OF2|的和,可得 6c4a+c 可得离心率,又椭圆的 离心率的取值范围,进

    27、而可得本题的范围 【解答】解:为使|PA|+|AF1|3|F1F2|恒成立,只需 3|F1F2|(|PA|+|AF1|)max恒成立, 由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|2a, 所以|PA|+|AF1|PA|+2a|AF2|PF2|+2a,当且仅当 P,F2,A 三点共线时,取等号,F2 在线段 PA 上, 又点 P 的轨迹是以 O 圆心,半径为 2r 的圆上,所以点 P 到圆内点 F2的最大距离为半径 与|OF2|的和,即|PF2|2a+c, 所以|PA|+|AF1|PF2|+2a2a+c+2a4a+c, 所以 6c4a+c,即 5c4a,所以可得离心率 e, 又 e1, 所以离心率的范

    28、围:,1) 故答案为:,1) 【点评】考查椭圆的性质,属于中档题 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题: 共共 60 分分 17 (12 分)已知数列an,a14, (n+1)an+1nan4(n+1) (nN*) (1)求数列an的通项公式; (2)若 bn,求数列bn前 n 项和为 Tn 第 17 页(共 26 页) 【分析

    29、】本题第(1)题根据递推式可用累加法求出数列an的通项公式;第(2)题先 根据第 (1) 题的结果计算出数列bn的通项公式, 然后用裂项相消法计算出前 n 项和 Tn 【解答】解: (1)依题意,由(n+1)an+1nan4(n+1) (nN*) ,可得 2a2a18, 3a32a212, nan(n1)an14n 各项相加,可得 nana18+12+4n, nan4+8+12+4n, an2n+2,nN* (2)由(1)知,bn() 故 Tnb1+b2+bn ()+()+() (+) () 【点评】本题主要考查已知递推公式用累加法求通项公式,以及用裂项相消法计算出数 列前 n 项和考查了整体

    30、思想,转化思想的应用,逻辑思维能力和数学运算能力本题 属中档题 18 (12 分)某公司为了对某种商品进行合理定价,需了解该商品的月销售量 y(单位:万 件)与月销售单价 x(单位:元/件)之间的关系,对近 6 个月的月销售量 yi和月销售单 价 xi(i1,2,3,6)数据进行了统计分析,得到一组检测数据如表所示: 月销售单价 x(元/件) 4 5 6 7 8 9 月销售量 y(万件) 89 83 82 79 74 67 第 18 页(共 26 页) (1)若用线性回归模型拟合 y 与 x 之间的关系,现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归 直线方程分别为: 4x+105, 4x+53 和 3x

    31、+104,其中有且仅有一位实习员 工的计算结果是正确的请结合统计学的相关知识,判断哪位实习员工的计算结果是正 确的,并说明理由; ( 2 ) 若 用 y ax2+bx+c 模 型 拟 合 y 与 x 之 间 的 关 系 , 可 得 回 归 方 程 为 +0.875x+90.25,经计算该模型和(1)中正确的线性回归模型的相关指数 R2分别为 0.9702 和 0.9524,请用 R2说明哪个回归模型的拟合效果更好; (3)已知该商品的月销售额为 z(单位:万元) ,利用(2)中的结果回答问题:当月销 售单价为何值时,商品的月销售额预报值最大?(精确到 0.01) 参考数据:80.91 【分析】

    32、 (1)由变量 x,y 具有负相关关系,说明乙不对,求出样本点的中心坐标,验证 甲与丙得答案; (2) 由 R2越大, 残差平方和越小, 拟合效果越好, 可得选用+0.875x+90.25 更好; (3)求出 z 关于 x 的函数关系式,再由导数求最值 【解答】解: (1)已知变量 x,y 具有负相关关系,故乙不对 , 代入甲和丙的回归方程验证甲正确; (2)0.97020.9524,且 R2越大,残差平方和越小,拟合效果越好, 选用+0.875x+90.25 更好; (3)由题意可知, 即,则 z 令 z0,解得 x(舍去)或 x 令,当 x(0,x0)时,z 单调递增,当 x(x0,+)时

    33、,z 单调递减 当 xx0时,商品的月销售额预报值最大, ,x9.77 当 x9.77 时,商品的月销售额最大 第 19 页(共 26 页) 【点评】本题考查线性回归方程,训练了利用导数求最值,是中档题 19 (12 分)如图,四边形 ABCD 为长方形,AB2BC4,E、F 分别为 AB、CD 的中点, 将ADF 沿 AF 折到ADF 的位置, 将BCE 沿 CE 折到BCE 的位置, 使得平面 ADF 底面 AECF,平面 BCE底面 AECF,连接 BD (1)求证:BD平面 AECF; (2)求三棱锥 BADF 的体积 【分析】 (1)作 DMAF 于 M,作 BNEC 于点 N,从而

    34、 M,N 为 AF,CE 的中点, 且,推导出 DM底面 AECF,BN底面 AECF,DMBN,四 边形 DBNM 是平行四边形,BDMN,由此能证明 BD平面 AECF (2)设点 B到平面 ADF 的距离为 h,连结 NF,B到平面 ADF 的距离与点 N 到 平面 ADF 的距离相等,求出点 B到平面 ADF 的距离 h,由此能求出三棱锥 BADF 的体积 【解答】解: (1)证明:作 DMAF 于 M,作 BNEC 于点 N, ADDF2,BCBE2,ADFCBE90, M,N 为 AF,CE 的中点,且, 平面 ADF底面 AECF,平面 ADF底面 AECFAF, DMAF,DM

    35、平面F,DM底面 AECF, 同理:BN底面 AECF,DMBN, 四边形 DBNM 是平行四边形,BDMN, BD平面 AECF,MN平面 AECF,BD平面 AECF (2)解:设点 B到平面 ADF 的距离为 h,连结 NF, DMBN,DM平面 ADF,BN平面 ADF, BN平面 ADF, B到平面 ADF 的距离与点 N 到平面 ADF 的距离相等, 第 20 页(共 26 页) N 为 CE 中点,EF2,NFCE, AFCE,NFAF, 平面 ADF底面 AECFAF,NF底面 AECF, NF平面 ADF, 点 N 到平面 ADF 的距离为 NF, 点 B到平面 ADF 的距

    36、离 h, SADF, 三棱锥 BADF 的体积 VBADF 【点评】本题考查线面垂直的证明,考查三村锥的体积求法,考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 20 (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,过点 F(2,0)的动圆恒与 y 轴相切,FP 为该圆 的直径,设点 P 的轨迹为曲线 C (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 A(2,4)的任意直线 l 与曲线 C 交于点 M,B 为 AM 的中点,过点 B 作 x 轴 的平行线交曲线 C 于点 D,B 关于点 D 的对称点为 N,除 M 以外,直线 MN 与 C 是否有 其它公共点?说明理由 【分

    37、析】 (1)设 P 的坐标,过 P 做 y 轴的垂线交于点 H,及与直线 x2 交于一点,得 E 到 y 轴的距离为半径 r,又是梯形的中位线可得 P 到定点 F 的距离等于到定直线 x 2 的距离,由抛物线的定义可得,P 的轨迹为抛物线,并且焦点 F(2,0) ,准线为 x 2 的抛物线; (2)分直线 l 的斜率存在和不存在两种情况讨论,设 M 的坐标,可得中点 B 的坐标,由 题意可得 D 的坐标,进而可得 N 的坐标,求出直线 MN,与抛物线方程联立,由判别式 为 0 可得直线除 M 点外,没有其他的公共点 【解答】解: (1)如图,过 P 作 y 轴的垂线,垂足为 H,交直线 x2

    38、于 P, 第 21 页(共 26 页) 设动圆的圆心为 E,半径为 r,则 E 到 y 轴的距离为 r,在梯形 OFPH 中,由中位线性质 可得 PH2r2, 所以|PP|2r2+22r,又|PF|2r, 所以|PF|PP|, 由抛物线的定义知,点 P 是以 F(2,0)为焦点,以直线 x2 为准线的抛物线, 所以曲线 C 的方程为:y28x; (2)由 A(2,4)可得 A 在求出 C 上, (i 当直线 l 的斜率存在时,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) (x12) ,则 y128x1, AM 的中点 B(,) ,即 B(+1,+2) , 在方程 y28x 中,令 y+2,得 x(

    39、+2)2,所以 D(,) , 第 22 页(共 26 页) 设 N(x2,y2) ,由中点坐标公式可得 x2(+2)2, 又 y128x1,代入化简 x2, 所以 N(,+2) , 直线 MN 的斜率为:, 所以直线 MN 的方程为:y(xx1)+y1, 将 x1代入化简可得:yx+, 将 x代入式整理可得 y22y1y+y120,4y124y120, 所以直线 MN 与抛物线相切, 所以除 M 点外,直线 MN 与 C 没有其他的公共点 (ii)当直线 MN 的斜率不存在时M(2,4) ,B(2,0) ,D(0,0) ,N(2,0) , 直线 MN 的方程为:yx2 代入抛物线的方程可得 x

    40、24x+40,42440, 所以除 M 点外,直线 MN 与 C 没有其他的公共点 综上所述,除 M 点外直线 MN 与 C 没有其他的公共点 【点评】考查抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系和中点坐标的关系,属于中难题 21 (12 分)已知函数 f(x)(x1)lnx+ax2+(1a)x1 (1)当 a1 时,判断函数的单调性; (2)讨论 f(x)零点的个数 【分析】 (1)把 a1 代入后对函数求导,然后结合导数与单调性的关系即可求解函数 的单调性; (2)先对函数求导,然后结合导可判断函数的单调性,然后结合函数的性质及零点判定 定理即可求解 第 23 页(共 26 页) 【解答】解:

    41、 (1)a1 时,f(x)(x1)lnxx2+2x1, 令 h(x),则, 易得函数 h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减, 故 h(x)h(1)0 即 f(x)0, 所以 f(x)在(0,+)上单调递减; (2)由 f(x)(x1)lnx+ax2+(1a)x1 可得 f(1)0,即 x1 为函数 f(x) 的一个零点, 设 g(x)lnx+ax+1,则 f(x)的零点个数即为 g(x)的不为 1 的零点个数加上 1, (i)当 a1 时,由(1)知 f(x)单调递减,且 x1 是 f(x)的零点,故 f(x)有且 只有 1 个零点 1; (ii)当 a0 时,g(x)单调递

    42、增且 g(1)0, g(x)lnx+ax+1,0x1, 因为 ax2+(a+3)x1(a+4)x2+(a+3)x1(a+4)x1(x+1) , 所以 g()0, 综上可知,g(x)在(0,+)上有 1 个零点且 g(1)9, 所以 f(x)有 2 个零点 (iii)又,所以当1a0 时,g(x)在(0,)上单调递增,在( )上单调递减, 故 g(x)的最大值 g()ln()0, 又 g(x)0,且 g()0,g()0, 所以 g(x)在(0,)上有 1 个零点,在()上有 1 个零点且 x0 也是 零点, 此时 f(x)共有 3 个零点, (iv)又,所以当 a1 时,g(x)在(0,)上单调

    43、递增,在( )上单调递减, 第 24 页(共 26 页) 故 g(x)的最大值 g()ln()0, 故 g(x)没有零点,此时 f(x)只有 1 个零点, 综上可得,当 a1 时,f(x)有 1 个零点;当1a0 时,f(x)有 3 个零点,当 a 0 时,f(x)有 2 个零点 【点评】本题主要考查了利用函数求解函数的单调性及零点个数的判断,体现了分类讨 论思想及转化思想的应用 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 两题中任选两题中任选一题作答注意:只能做所选定一题作答注意:只能做所选定 的题目如果多做,则按所做的第一题计分,的题目如果多做,则按所做的

    44、第一题计分,选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1的参数方程为(t 为参数, 为倾斜角) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标 方程为 4sin (1)求 C2的直角坐标方程; (2)直线 C1与 C2相交于 E,F 两个不同的点,点 P 的极坐标为,若 2|EF| |PE|+|PF|,求直线 C1的普通方程 【分析】 (1)曲线 C2的极坐标方程为 4sin即 24sin,利用互化公式可得普通 方程 (2)点 P 的极坐标为,可得直角坐标为(2,0) 把直线 C1的参数方 程为(t 为参

    45、数, 为倾斜角) ,代入 C2方程可得:t2 (4cos+4sin)t+120,0,由 为锐角可得:sin(+),解得:0 利 用 根 与 系 数 的 关 系 可 得 : |EF| 4,|PE|+|PF|t1|+|t2|t1+t2|8|sin(+)|,解出 即可得出 【解答】 解: (1) 曲线 C2的极坐标方程为 4sin 即 24sin, 可得普通方程: x2+y2 4y (2)点 P 的极坐标为,可得直角坐标为(2,0) 把直线 C1的参数方程为(t 为参数, 为倾斜角) ,代入 C2方程可 第 25 页(共 26 页) 得:t2(4cos+4sin)t+120,480, 可得:sin(+),或 sin(+),由


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