1、20192019 学年第二学期高三模拟考试数学试卷学年第二学期高三模拟考试数学试卷 2020.5 姓名_ 准考证号_ 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 6 页，选择题部分 2 至 3 页；非选择题部分 4 至 6 页.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规 定的位置上. 2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范操作，在本试题卷上的 作答一律无效. 参考公式： 如果事件A，B互斥，那么 P ABP AP B. 如果事件A，B相互独立，那么 P A
2、BP AP B. 如果事件A在一次试验中发生的概率是P， 那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 ( )(1)(0,1,2, ) kkn k nn P kC ppkn . 球的表面积公式 2 4SR， 其中R表示球的半径. 球的体积公式 3 4 3 VR， 其中R表示球的半径. 棱柱的体积公式VSh， 其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高. 棱锥的体积公式 1 3 VSh， 其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高. 棱台的体积公式 1122 1 3 Vh SS SS， 其中 1 S， 2 S分别表示棱台的上、下底面积，h表示棱台的高. 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共
3、 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知集合2, 1,1,2A ， , 12,B ，则AB （ ） A. 2, 1,1 B. 1,1,2 C. 2,1,2 D. 2, 1,2 2. 若x，y满足约束条件 23 23 0 0 xy xy x y ，则zxy的最大值是（ ） A. 3 B. 2 C. 3 2 D. 1 3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，其中正视图是等边三角形，则该几何体的体积（单位： 3 cm） 是（ ） A. 3 3 B. 3 C. 2 3 D. 2 4. 已知双曲线 22 4xy， 1 F是左焦
4、点， 1 P， 2 P是右支上的两个动点，则 1 11 21 2 FPFPPP的最小值 是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 5. 如果对于任意实数x，x表示不小于x的最小整数， 例如1.52，1.61， 那么 “1xy” 是“xy”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若函数 f x的图象如图所示，则 f x的解析式可以是（ ） A. sinf xxx B. cosf xxx C. 2 sinf xxx D. 2 cosf xxx A， （-2，-1，1） 7. 已知 1 0 2 a，随机变量的分布如下： -1
5、0 1 P 1 2 1 2 a a 当a在 1 0, 2 内增大时， （ ） A. E减小， D减小 B. E减小， D增大 C. E增大， D减小 D. E增大， D增大 8. 已知函数 ,0 ,0 x ex f x x x （其中e为自然对数的底数） ，若函数 2 yf xax恰有三个零点，则 （ ） A. 2 0 4 e a B. 2 0 2 e a C. 2 4 e a D. 2 2 e a 9. 设, a bR，数列 n a满足 1 aa， * 1 ln nn aab nN ，则（ ） A. 若2b，则 2020 aa B. 若2b，则 2020 aa C. 若2b，则 2020 a
6、a D. 若2b，则 2020 aa 10. 如图， 在等腰直角三角形ABC中，CACB， 点D为BC的中点.现将ACD沿AD折起至 1 AC D， 使 1 BC D为钝角三角形，设直线 1 DC与平面ABD所成的角为，直线 1 BC与面ABD所成的角为， 直线BD与面 1 AC D所成的角为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11. 复数 12zii（i为虚数单位） ，则复数z的共轭复数是_. 12. 若偶函数 sin2cos0f xxx，则_， f x的最大
7、值为_. 13. 在二项式 6 1 2 3 x x 的展开式中，有理项共有_项，项的系数最小的项为_. 14. 已知圆C： 22 124xy，若直线l：2122410mxmymmR 与圆C交 于A，B两点，则弦AB长的最小值为_，若圆心C到直线l的距离为 3 2 ，则实数m_. 15. 设, x yR，若 22 2321xxyy，则xy的最小值为_，xyxy 的最小值为_. 16. 已知椭圆 2 2 1 2 x y的左右焦点分别为 1 F， 2 F，A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线 1 AF与 直线 2 BF平行，若 12 2 2 3 AFBF，则 12 AFF的面积为_. 17. 已
8、知平面向量a，b，c满足21ba，2c ， 440cacb，则2ab的取值范围 是_. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 已知四边形ABCD中，角A和角C互补，且1AB ，2BC ，3CD，4DA . （）求cos A的值； （）求tantan 22 AC 的值. 19. 如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，四边形ABCD是菱形，2AC ，2 3BD ， E是PB上任意一点. （）求证：ACDE； （）若二面角APBD的平面角的余弦值为 15 5 ，且E是PB的中点，求EC与平面PAB所成角的 正弦值. 20. 已知数列
9、 n a满足 1 1a ， * 11nnnn aaaanN . （）求证：数列 1 n a 为等差数列，并求 n a； （）设 1 1 2 nn ba ，数列 n b的前n项和为 n S，求证： 1 1 1 n Sn n . 21. 已知抛物线 2 20ypx p的焦点F到准线l的距离为 2，直线0xymmR与抛物线交于 不同的两点A，B. （）求抛物线的方程； （）是否存在与m的取值无关的定点T，使得直线AT，BT的斜率之和恒为定值？若存在，求出所有 点T的坐标；若不存在，请说明理由. 22. 已知函数 2x f xe（其中e为自然对数的底数）. （）证明：当0x时， 2 1 22f xxx
10、 ； （）当0x时， 2 ln x f xxa xa 恒成立，求实数a的取值范围. 参考答案参考答案 2020.5 一、选择题：本题共 10 个小题，每题 4 分，共 40 分. 1-5：DBACB 6-10：BDCAB 第 10 题解析： CDBD， 1 BC D为钝角三角形， 1 BDC为钝角， 1 BCBD为钝角， 又 1 ACDAC DABD SSS ， 1 C到平面ABD的距离等于B到平面 1 AC D的距离，记为d， 则 1 sin d C D ，sin d BD ， 1 sin d BC ，sinsinsin，. 所以答案 B. 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分
11、，单空题每题 4 分，共 36 分. 11. 1 3i 12. 2 ；1 13. 4； 3 2 2 64Tx 14. 2 3， 53 3 4 m 15. 2 7 7 ， 9 8 16. 1 17. 214 , 22 第 17 题解析： （方法一） 2 224aba b， 440cacb， 2 4160cc aba b， 22 1 8222 22a bc abcabaa bb ， 5 1 82 22 4 a ba b ，所以 33 88 a b， 2 1 7 224, 2 2 aba b ， 214 2 22 ab. （方法二）设 4OAa ， 4OBb ，2,0OC ， 所以 4caAC ，
12、4cbBC ，则由题意知AC BC ， 记矩形ACBD，则由 2222 OAOBOCOD得，3 2OD ， 令2tab，所以 2 2 224taba b，所以 2 2 4 t a b ， 又44CDABab，所以 222 2 444 8CDABabt， 又2 24 2CD，所以 2 84832t，所以 214 2, 22 tab . 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 解： （1）在ABD中，由余弦定理得 2 1 168cosBDA 在BCD中，由余弦定理得， 2 49 12cosBDC 因为角A和角C互补，即coscosCA，所以由
13、解得 1 cos 5 A . （2）因为角A和角C互补，所以 1 tantantantantan 22222 tan 2 ACAAA A sincos 12 22 sin cossinsincos 2222 AA AAAA A ， 由（1）得 1 cos 5 A ，所以 2 6 sin 5 A ，所以 25 tantan6 22sin6 AC A . 19. 解： （1）PD 平面ABCD，AC 平面ABCD，PDAC，四边形ABCD是菱形， BDAC.又BDPDD，,BD PD 平面PBD， AC 平面PBD，又DE 平面PBD，ACDE. （2）在PDB中，E，O分别为PB，BD的中点，
14、/EOPD，又PD 平面ABCD，EO平面ABCD. 分别以OA，OB，OE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设0PDt t， 则1,0,0A， 0, 3,0B，1,0,0C ，0,0, 2 t E ， 0,3,Pt， 1, 3,0AB ， 1,3,APt ， 显然由（1）知平面PBD的一个法向量为1,0,0n ， 设平面PAB的一个法向量为, ,mx y z， 则 0 0 m AB m AP ，得 30 30 xy xytz ，令1y ，得 2 3 3,1,m t ， 二面角APBD的余弦值为 15 5 ， 15 cos, 5 m n ，即 2 315 512 4 t ， 解得2 3
15、t 或2 3t （舍去） ， 0,3,2 3P， 设EC与平面PAB所成的角为， 1,0,3EC ， 3,1,1m ，则 2 315 sincos, 52 5 EC m， EC与平面PAB所成角的正弦值为 15 5 . 20. 解： （）由 11nnnn aaaa ，得 1 11 1 nn aa ， 所以数列 1 n a 是以 1 为首项 1 为公差的等差数列，即 1 11 n nn a ，化简得 2 1 n a n . （）因为 1 222 211 1211 (1)(1) nn ba nnn 1 1 (1)n n ， 所以 12 111 1 22 3(1) xn Sbbbn n n 1 1
16、1 n n . 21. 解： （）由题意得,0 2 p F ，准线方程： 2 p x ，所以2p ，所以 2 4yx. （）假设存在定点T满足题意，设,T a b， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 联立方程 2 4 0 yx xym ，消去x得 2 440yym，由韦达定理得 12 12 16 160 4 4 m yy yym ， 又直线AT，BT的斜率为 1 1 AT yb k xa ， 2 2 BT yb k xa ， 所以 1221 12 1212 ATBT ybxaybxaybyb kk xaxaxaxa 22 21 12 22 12 44 44 yy ybayba yy
17、aa 22 1221 22 12 4444 44 ybyaybya yaya 22 12121212 2 222 1212 416432 416 y yyya yyb yyab y ya yya 2 1212121212 22 2 121212 4164232 4216 y yyya yybyyy yab y yayyy ya 22 2 (2)22 24 bmabab mamaa . 要使 ATBT kk为与m无关的常数，只能 20 220 b abab ，解得1a ，2b， 此时0 ATBT kk为常数， 综上所述存在定点1, 2T，使得直线AT，BT的斜率之和恒为定值 0. 22. 解：
18、（）令 222 ( )( ) 1 221 22(0) x g xf xxxexxx . 所以 2 224 x gxex ，令 2 2240 x h xex x ，所以 2 ( )44(0) x h xex=-?， 所以 0h x 成立， h x在0,单调递增， 00h xh， 即 0gx 成立， 所以 g x在0, 单调递增，得 00g xg，即当0x时， 2 1 22f xxx ，得证. （）因为当0x时， 2 ( )ln() x f xxa xa 恒成立，令0x得 0lnfa，所以0ae， 下证当0ae时原不等式成立 由（）知当 0x 时， 2 1 22f xxx 只需证明 2 2 1 22ln() x xxxa xa ， 因为当0ae时， 2 x x xa ，故只需证明 2 12ln()0xxxa ， 令 2 ( )12ln()(0)p xxxxa x ， 所以 2 14(41)1 ( )1 4 xaxa p xx xaxa ， 当1ae时， 0p x 成立， p x 在 0, 单调递增， 01 ln0p xpa 成立， 当01a时，由不等式ln1xx知ln1xaxa ， 所以 22 ( )12(1)220p xxxxaax 成立， 综上原不等式得证. 命题人：陈杰、高玉良、姚君依、邱东方
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