1、山东省济南市山东省济南市 2020 届高三届高三 6 月份模拟考试数学试题月份模拟考试数学试题 本试卷共 4 页，22 题，全卷满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 参考公式：锥体的体积公式： 1 3 VSh（其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高） 、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8
2、小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题只有一项是符合题 目要求的目要求的 1已知集合=12|Mxx ， |1Nx yx，则=MN A1|x x B2|0xx C2|0xx D12xx 2函数 3 4=f xxx的零点所在的区间为 A()1,0 B0,1 C1,2 D2,3 3已知命题 1 :,e2 e x x px R，则p为 A 1 ,e2 e x x x R B 1 ,e2 e x x x R C 1 ,e2 e x x x R D 1 ,e2 e x x x R 4如图，在圆柱 12 OO内有一个球 O，该球与
3、圆柱的上，下底面及母线均相切若 12=2 OO，则圆柱 12 OO的 表面积为 A4 B5 C6 D7 5 “平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后， 除以期数，即 1 2 1 n ii i aa n 国内生产总值（GDP）被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标，下表是 我国 20152019 年 GDP 数据 年份 2015 2016 2017 2018 2019 国内生产总值/万亿 68.89 74.64 83.20 91.93 99.09 根据表中数据，2015-2019 年我国 GDP 的平均增长量为 A5.03 万亿 B6.04 万亿 C
4、7.55 万亿 D10.07 万亿 6已知双曲线 C 的方程为 22 1 169 xy 则下列说法错误的是 A双曲线 C 的实轴长为 8 B双曲线 C 的渐近线方程为 3 4 yx C双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为 3 D双曲线 C 上的点到焦点距离的最小值为 9 4 7已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第 6 次移动后，该质点恰好回 到初始位置的概率是 A 1 4 B 5 16 C 3 8 D 1 2 8在ABC中，cosc3osAB，2 3AB 当sinsinAB取最大值时，ABC内切圆的半径为 A2 33 B2 22 C 1 3 D2 二、多项选择题二、
5、多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要有多项符合题目要 求求全部选对的得全部选对的得 5 分分，部分选对的得部分选对的得 3 分分，有选错的得有选错的得 0 分分 9已知复数1cos2sin2 () 22 zi （其中 i 为虚数单位） ，下列说法正确的是 A复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 Bz可能为实数 C| 2cosz D 1 z 的实部为 1 2 10台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物 后也遵从反射定律如图，有一张长方形
6、球台 ABCD，2ABAD，现从角落 A 沿角的方向把球打 出去，球经 2 次碰撞球台内沿后进入角落 C 的球袋中，则tan的值为 A 1 6 B 1 2 C1 D 3 2 11如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，P 为线段 1 BC上的动点，下列说法正确的是 A对任意点 P，/ /DP平面 11 AB D B三棱锥 11 PADD的体积为 1 6 C线段 DP 长度的最小值为 6 2 D 存在点 P，使得 DP 与平面 11 ADD A所成角的大小为 3 12设 n a是无穷数列，若存在正整数 k，使得对任意n N，均有 n kn aa a ，则称 n a是间隔递增
7、数 列，k 是 n a的间隔数下列说法正确的是 A公比大于 1 的等比数列一定是间隔递增数列 B已知 4 n an n ，则 n a是间隔递增数列 C已知2( 1)n n an ，则 n a是间隔递增数列且最小间隔数是 2 D已知 2 2020 n antn，若 n a是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则45t 三三、填空题填空题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分 13已知向量(1,1)a ，( 1, )bk ，若 aba，则 k 的值为_ 14若 525 0125 (2)(1)(1)(1)xaaxaxax，则 4 a的值为_ 15 已知 1 F， 2 F分
8、别是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左， 右焦点， A， B 是椭圆上关于 x 轴对称的两点， 2 AF的中点 P 恰好落在 y 轴上，若 2 0BP AF，则椭圆 C 的离心率的值为_ 16 已知函数( )2lnf xx， 2 1 ( )(0) 2 g xaxxa 若直线2yxb与函数 yf x， yg x 的图象均相切， 则 a 的值为_； 若总存在直线与函数 yf x， yg x的图象均相切， 则a 的取值范围是_ （本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 四四、解答题解答题：本题共本题共 6 小题小题，共共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出
9、文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 已知直角梯形 ABCD 中，/ /ADBC，ABBC， 1 2 ABADBC， 将直角梯形 ABCD （及其内部） 以 AB 所在直线为轴顺时针旋转90，形成如图所示的几何体，其中 M 为CE的中点 （1）求证：BMDF； （2）求异面直线 BM 与 EF 所成角的大小 18 （12 分） 已知数列 n a的前 n 项和为 n S，且 2 11 22 n Snn （1）求 n a的通项公式； （2）设 2 , , n na n a n n b 奇数 为偶数 为 ，求数列 n b的前 2n 项和 2n T 19 （12 分） 已知函数( )sin
10、()(0,0) 6 f xAA 能同时满足下列三个条件中的两个： 函数 f x的最大值为 2； 函数 f x的图象可由2sin() 4 yx 的图象平移得到； 函数 f x图象的相邻两条对称轴之间的距离为 2 （1）请写出这两个条件序号，并求出 f x的解析式； （2）求方程 10f x 在区间,上所有解的和 20 （12 分） 法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包面包师声称自己出售的每个面包 的平均质量是1000g， 上下浮动不超过50g 这句话用数学语言来表达就是： 每个面包的质量服从期望为1000g， 标准差为 50g 的正态分布 （1）假设面包师的说法是真实的，从
11、面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于 1000g 的个数为，求的分布列和数学期望； （2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25 天后，得到数据如下 表，经计算 25 个面包总质量为 24468g 庞加莱购买的庞加莱购买的 25 个面包质量的统计数据个面包质量的统计数据（单位：单位：g） 981 972 966 992 1010 1008 954 952 969 978 989 1001 1006 957 952 969 981 984 952 959 987 1006 1000 977 966 尽管上述数据都落在950,1050上，但庞加菜还是
12、认为面包师撤谎，根据所附信息，从概率角度说明 理由 附： 若 2 ,XN ，从 X 的取值中随机抽取 25 个数据，记这 25 个数据的平均值为 Y，则由统计学知 识可知；随机变量 2 ( ,) 25 YN ； 若 2 ,N ，则0.68()26P， 220.9()544P， 330.9()974P p； 通常把发生概率在 005 以下的事件称为小概率事件 21 （12 分） 已知函数( )ln()f xaxbx （1）若1a ，0b，求 f x的最大值； （2）当0b时，讨论 f x极值点的个数 22 （12 分） 已知平面上一动点 A 的坐标为 2 (2 , 2 )tt （1）求点 A 的
13、轨迹 E 的方程； （2）点 B 在轨迹 E 上，且纵坐标为 2 t （i）证明直线 AB 过定点，并求出定点坐标； （ii） 分别以 A， B 为圆心作与直线2x 相切的圆两圆公共弦的中点为 H在平面内是否存在定点 P， 使得PH为定值？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 一、单项选择题一、单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题只有一项是符合题 目要求的目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B C C D
14、 B A 二、多项选择题二、多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要有多项符合题目要 求求全部选对的得全部选对的得 5 分分，部分选对的得部分选对的得 3 分分，有选错的得有选错的得 0 分分 题号 9 10 11 12 答案 BCD AD ABC BCD 三、填空题三、填空题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分 131； 144.5； 15 3 3 ； 16 3 2 ， 3 2 a （本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题四、解答题：共共 7
15、0 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【解析】 （1）证明： 【方法一】 连接 CE，与 BM 交于点 N， 根据题意，该几何体为圆台的一部分，且 CD 与 EF 相交， 故 C，D，F，E 四点共面， 因为平面/ /ADF平面 BCE， 所以/ /CEDF， 因为 M 为 CE 的中点， 所以CBMEBM， 所以 N 为 CE 中点，又BCBE， 所以BNCE，即BMCE， 所以BMDF 【方法二】 如图，以 B 为坐标原点，BE，BC，BA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系， 设1AB ，则1ADAF，2BCBE，
16、 所以0,0,0B，( 2, 2,0)M，0,1,1D，1,0,1F， 所以( 2, 2,0)BM ，(1, 1,0)DF ， 所以220BM DF， 所以BMDF （2） 【方法一】 连接 DB，DN， 由（1）知，/ /DFEN且DFEN， 所以四边形 ENDF 为平行四边形， 所以/ /EFDN， 所以BND为异面直线 BM 与 EF 所成的角， 因为2BDDNBN， 所以BND为等边三角形， 所以60BND， 所以异面直线 BM 与 EF 所成角的大小是60 【方法二】 如图，以 B 为坐标原点，BE，BC，BA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设1AB ，
17、则1ADAF，2BE ， 所以0,0,0B，( 2, 2,0)M，2,0,0E，1,0,1F， 所以( 2, 2,0)BM ，( 1,0,1)EF 所以 21 cos, 2|22 BM EF BM EF BMEF 所以异面直线 BM 与 EF 所成角的大小是60 18 【解析】 （1）因为 2 11 22 n Snn 所以当1n 时， 11 1aS. 当2n 时， 22 1 1111 (1)(1) 2222 nnn aSSnnnnn ， 又1n 时符合上式， 所以 n an （2）因为 , 2 , nn n n b n 为奇数 为偶数 ， 所以对任意的 + k N， 2121 (21)(21)
18、2 kk bbkk ， 则 21k b 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列； 22 22 2 2 2 4 2 k k k k b b ， 则 2k b是以 4 为首项，4 为公比的等比数列 所以 2135212462nnn Tbbbbbbbb 2462 (12321)2222 n n 4 14 (121) 214 n nn 1 2 44 33 n n 19 【解析】 （1）函数( )sin( 6 xf xA ）满足的条件为； 理由如下： 由题意可知条件互相矛盾， 故为函数( )sin() 6 f xAx 满足的条件之一， 由可知，T，所以2， 故不合题意， 所以函数( )sin() 6 f
19、 xAx 满足的条件为； 由可知2A， 所以( )2sin(2) 6 f xx （2）因为 10f x ， 所以 1 sin(2) 62 x ， 所以22() 66 xkZk 或 7 22() 66 xkZk ， 即() 6 xkk Z或() 2 xkk Z 又因为,x ， 所以 x 的取值为 6 ， 5 6 ， 2 ， 2 ， 所以方程 10f x 在区间, 上所有解的和为 2 3 20 【解析】 （1）由题意知，的所有可能取值为 0，1，2 002 2 111 (0)( ) ( ) 224 PC； 1 2 111 (1) 222 PC； 220 2 111 (2)( ) ( ) 224 P
20、C 所以的分布列为： 0 1 2 P 1 4 1 2 1 4 所以 111 0121 424 E （个） （2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量 X 假设面包师没有撒谎，则 2 (1000,50 )XN 根据附，从 X 的取值中随机抽取 25 个数据，记这 25 个数据的平均值为 Y， 则 2 (1000,10 )YN 庞加莱记录的 25 个面包质量，相当于从 X 的取值中随机抽取了 25 个数据， 这 25 个数据的平均值为 24468 978.7210002 10980 25 Y ， 由附数据知， 10.9544 (980)0.02280.05 2 P Y ， 由附知，事件“980Y
21、 ”为小概率事件， 所以“假设面包师没有撒谎”有误， 所以庞加莱认为面包师撒谎 21 【解析】 （1）当1a ，0b时，l(n)f xxx 此时，函数 f x定义域为(0,)， 112 ( ) 22 x fx xxx ， 由 0fx得：04x； 由 0fx得：4x ， 所以 f x在0,4上单调递增，在(4,)上单调递减 所以 max ( )(4)2ln22f xf （2）当0b时，函数 f x定义域为0,)， 12 ( ) 22() axa xb fx xbxx xb ， 当0a 时， 0fx对任意的,()0x恒成立， 所以此时 f x极值点的个数为 0 个； 当0a 时，设( )2h xx
22、a xb ， （i）当 2 440ab，即0ab时， 0fx 对任意的,()0x恒成立， 即 fx在(0,)上无变号零点， 所以此时 f x极值点的个数为 0 个； （）当 3 440ab，即ab时， 记方程 0h x 的两根分别为 1 x， 2 x， 则 12 0xxa， 12 0x xb， 所以 1 x， 2 x都大于 0， 即 fx在(0,)上有 2 个变号零点， 所以此时 f x极值点的个数为 2 个 综上所述ab时， f x极值点的个数为 0 个； ab时， f x极值点的个数为 2 个 22 【解析】 （1）设动点 A 的坐标为, x y，因为 A 的坐标为 2 (2 , 2 )t
23、t， 所以 2 2 2 xt yt ，消去参数 t 得： 2 2yx； （2） （i）因为点 B 在轨迹 E 上，且纵坐标为 2 t ， 所以点 B 的坐标为 2 2 2 (, ) tt 当1t 时，直线 AB 的方程为2x ； 当1t 时，直线 AB 的斜率为 2 1 BA AB BA yyt k xxt 所以直线 AB 的方程为 2 2 2(2 ) 1 t ytxt t ， 整理得 2 (2) 1 t yx t 所以直线 AB 过定点2,0； （） 【方法一】 因为 A 的坐标为 2 (2 , 2 )tt，且圆 A 与直线2x 相切， 所以圆 A 的方程为 222 ()()(2) AAA
24、xxyyx， 同理圆 B 的方程为 222 2 BBB xxyyx， 两圆方程相减得 22 2244 BABAABAB xxxyyyyyxx 将 2 (2 , 2 )Att， 2 2 2 (, )B tt 带入并整理得 1 ()(1)ytx t ， 由（i）可知直线 AB 的方程为 2 (2) 1 t yx t ， 因为 H 是两条直线的交点， 所以两个方程相乘得 2 (2)(1)yxx ， 整理得 22 19 () 24 xy， 即点 H 的轨迹是以 1 ( ,0) 2 为圆心， 3 2 为半径的圆， 所以存在点 1 ( ,0) 2 P，满足 3 | 2 HP 【方法二】 由题意知直线2x
25、为圆 A 与圆 B 的公切线，设切点分别为 E，F， 设两圆的公共弦交公切线2x 于点 G，则 G 为 E，F 的中点， 所以 G 点横坐标为2 G x ， G 点的纵坐标为 1 22 EFAB G yyyy yt t ， 即 1 ( 2,)Gt t ， 因为公共弦必与两圆的连心线垂直， 所以公共弦所在直线的斜率为 2 11 AB t kt ， 故公共弦所在的直线方程为 2 11 ()(2) t ytx tt 整理得 1 ()(1)ytx t ， 所以公共弦恒过1,0S ； 由平面几何的知识可知， 公共弦的中点就是公共弦与两圆连心线的交点， 记直线 AB 所过的定点为 R， 则 R，S，公共弦的中点 H，构成以日为直角顶点的直角三角形， 即点 H 在以 RS 为直径的圆上： 所以存在点 1 ( ,0) 2 P，满足 3 | 2 HP
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