1、数学第 1 页，共 6 页 俯视图 侧视图正视图 高考前适应性测数学试卷2020.6.26 本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共一、选择题共 1010 个小题，每个小题个小题，每个小题 4 4 分，共分，共 4040 分。在每小题列出的四个选项分。在每小题列出的四个选项 中，选出符合题目要求的一项。中，选出符合题目要求的一项。 1. 已知集合R2Axx， 2 R230Bxxx，则AB A2,2 B. 1,3 C. 1,2 D. 1,2
2、 2. 复数 35i 1 i z （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列函数中有最小值的是 A2xy B. 1yx C. tanyx D. lgyx 4. 直线l与圆 22 :1O xy交于,A B两点，若2AB ，则点O到直线l的距离 为 A2 B. 1 C. 2 2 D. 1 2 5. 已知非零向量,a b满足a = b，则“1”是“ 22 a = b”的 A充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 某三棱锥的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1） ，则该三棱锥的体积
3、 为 A 2 3 B. 4 3 C. 1 D. 2 7. 若函数 cossinf xxx在0,2内恰有2个零点，则的值不可能为 A1 B. 0 C. 1 D. 2 数学第 2 页，共 6 页 133 31 2 122 向上移动一次 1 3 2 3 2 1 向右移动一次 213321 C D A B D1 A1 B1 C1 E 8. 已知平面向量,a b的夹角为 3 ，且=1a b ，则+a b的最小值为 A1 B. 2 C. 2 D. 6 9. 如图， 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为3， 点E在棱BC上， 且满足2BEEC， 动点M在正方体表面上运动，且MEBD 1，则动点M的轨
4、迹的周长为 A6 2 B. 4 3 C. 4 2 D. 3 3 10、如图，在3 3的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下 移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化. 例如 若想移动成每行的数字相同，则最少需要移动（ ）次 A2 B. 3 C. 4 D. 5 第二部分第二部分( (非选择题 共 110 分) ) 二、填空题共二、填空题共 5 5 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分。分。 11. 在 6 2 1 x x 的展开式中，常数项为_.（用数字作答） 12. 已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线方程
5、为 3 3 yx， 且一个焦 点在抛物线 2 8yx的准线上，则该双曲线的方程为_. 13. 已知等差数列 n a的首项为2，等比数列 n b的公比为2， n S是数列 n b的 数学第 3 页，共 6 页 前n项和，且 2 n a n b ，则 4 a _， 5 S _. 14. 中国地大物博，大兴安岭的雪花还在飞舞，长江两岸的柳枝已经发芽，海南 岛上盛开着鲜花. 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬. 专家发现: 两岁燕子的飞行速度可以表示为 2 5log/ 10 q v 米 秒，其中q表 示燕子的耗氧量，则燕子静止时耗氧量为_； 若某只两岁的燕子耗氧量为 1 q时的飞行速度为 1 /v 米
6、 秒，另一只两岁的燕 子耗氧量为 2 q时的飞行速度为 2 /v 米 秒，两只燕子同时起飞，当 12 4qq时，一 分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为_米. 15. 已知函数 2 1f xx，直线:2l yax与x轴和y轴分别交于点,D B，直 线l与函数 f x的图像交于,A C两点 （点C在点,B D之间） ， 给出下列四个结论： 若点E为y轴上一点， 则存在符合条件的点E和实数a， 使得ABE为等边三 角形； 记 AC r a DC ，则 1y yr a； 记 AB h a BC ，则 h a的值域为0,； 记 max, min, ABBC g a ABBC ，则对任意的非零实数
7、a，都有 1 g a ga 成立 （ 12 max,x x表示 12 ,x x中最大的数， 12 min,x x表示 12 ,x x中最小的数）. 其中正确结论的序号是_. 数学第 4 页，共 6 页 D B1 C1 A1 A B C 三、 解答题共三、 解答题共 6 6 个小题， 共个小题， 共 8585 分。 解答应写出文字说明，分。 解答应写出文字说明， 演算演算步骤或证明过程。步骤或证明过程。 16. (本小题共 14 分) 如图，三棱柱 111 ABCABC中， 1 AAABC底面， D是AB的中点， 1 2AAACCB，2 2AB . （）证明： 11 /BCACD平面； () 求
8、直线 1 AA与平面 1 ACD所成角的正弦值. 17. (本小题共 14 分) 2020 年岁末年初， “新冠肺炎”疫情以其汹汹袭来之势席卷了我国的武汉，在这 关键的时刻， 在党中央的正确指导下， 以巨大的魄力， 惊人的壮举， 勇敢的付出， 及时阻断了疫情的传播，让这片土地成为了世界上最温暖的家园；通过全国人民 的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得 到了控制.下表统计了 2 月 12 日到 2 月 18 日连续七天全国的治愈人数： （单位： 例） 日期 12 13 14 15 16 17 18 治愈人数 1171 1081 1373 1323 1425 17
9、01 1824 请根据以上信息，回答下列问题： （）记前四天治愈人数的平均数和方差分别为 1 x和 2 1 s，后三天治愈人数的平 均数和方差分别为 2 x和 2 2 s，判断 1 x与 2 x， 2 1 s与 2 2 s的大小（直接写出结论） ； () 从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多 于200例的概率； () 设集合 1 ,212,13,17 iii Mx xxii 表示 月日的治愈人数,，从集合M 中任取两个元素，设其中满足 1ii xx的个数为X，求X的分布列和数学期望 E X. 数学第 5 页，共 6 页 18. (本小题共 14 分) 已知ABC中，
10、cos c A b . （）求证：B是钝角； （）若ABC同时满足下列四个条件中的三个： 2 sin 2 A ； 2a； 2c 3 sin 2 C . 请指出这三个条件，说明理由，并求出b的值. 19. (本小题共 14 分) 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，右焦点为1,0F. （）求椭圆C的标准方程； （）过点F的直线l交椭圆C于不同的两点,M N，点P是直线4x上任意一 点，求证：直线,PM PF PN的斜率成等差数列. 数学第 6 页，共 6 页 20. (本小题共 15 分) 已知函数 1 elne x f xxax a. （）当ea时， （i）
11、求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程； (ii) 求函数 yf x的最小值； （）若曲线 yf x与x轴有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围. 21. (本小题共 14 分) 对给定的正整数n，令 12 ,0,1 ,1,2,3, nni a aaain a. 对任意的 12 , n x xxx， 12 , nn y yyy，定义x与y的距离 1122 , nn dxyxyxyx y. 设A是 n 的含有至少两个元素的子集，集合 , ,DdAx y xy x y中的最 小值称为A的特征，记作 A. （）当3n时，直接写出下述集合的特征： 0,0,0 , 1,1,1A, 0,0,0 , 0
12、,1,1 , 1,0,1 , 1,1,0B 0,0,0 , 0,0,1 , 0,1,1 , 1,1,1C （）当2020n时，设 2020 A且 =2A，求A中元素个数的最大值； （） 当2020n时， 设 2020 A且 =3A， 求证：A中的元素个数小于 2020 2 2021 . 数学第 7 页，共 6 页 昌平区昌平区 2020 届届高考前适应性测试卷高考前适应性测试卷答答案案 数数 学学 一、一、选择题共选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C A A D D A B 二、填空题二、
13、填空题:本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. 11. 15 12. 2 2 1 3 x y 13. 8；62 14. 10；600 15. 注：第 13、14 题第一空 3 分,第二空 2 分；第 15 题全部选对得 5 分， 不选或有错选得分， 其他得 3 分。 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16.（本小题共 14 分） （）证明：连接 1 AC交 1 AC于点O，连接OD，则点O是 1 AC的中点， 点D是AB的中点， OD/ 1 BC OD平面 1 ACD ， 1 BC平面 1 ACD 1 BC/
14、平面 1 ACD -5 分 （）解：2ACCB，2 2AB ACCB 三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 底面ABC 1 AA 底面ABC 1 CCCA， 1 CCCB 以C为坐标原点，分别以 1 ,CA CB CC为, ,x y z轴，如图建立空间直角坐标系 ( 0 , 0 , 0 )C，(2,0,0)A， 1(2,0,2) A，(0,2,0)B，(1,1,0)D， 0 数学第 8 页，共 6 页 (1,1,0)CD ， 1 (2,0,2)CA ， 1 (0,0,2)AA 设平面 1 ACD的法向量为( , , )x y zn， 因为 1 0 0 CD CA n n 0 220 xy
15、 xz 令1x ，则1,1yz ， 所以平面 1 ACD的一个法向量为(1, 1, 1) n， 设直线 1 AA与平面 1 ACD所成角为 si n 1 1 1 c o s, AA AA AA n n n 23 321 1 1 所以直线 1 AA与平面 1 ACD所成角的正弦值为 3 3 . -14 分 17.（本小题共 14 分） 解： （） 12 xx； 22 12 ss -4 分 （）设事件A：“从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数 多于 200 例”.从这七天中任选取连续的两天，共有 6 种选法，其中 13 日和 14 日，16 日和 17 日符合要求 所以
16、21 ( ) 63 P A -8 分 （）由题意可知0,1,2X 2 2 2 6 1 (0) 15 C P X C 11 24 2 6 8 (1) 15 C C P X C 2 4 2 6 62 (2) 155 C P X C 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 1 15 8 15 2 5 数学第 9 页，共 6 页 1824 ()012 151553 E X -14 分 18.（本小题共 14 分） （）证明： （解法 1）由A b c cos及余弦定理Abccbacos2 222 可知 bc acb b c 2 222 2222 2acbc 0 222 bca 即0cosB 因为0,B
17、 所以, 2 B 即B为钝角-5 分 （解法 2）由A b c cos及正弦定理 sinsin bc BC 可知 sin cos sin C A B sin()sincosABBA sin()sincoscossinsincosABABABBA sincos0AB 因为0,A 所以sin0A 所以cos0B 因为0,B 所以, 2 B 即B为钝角-5 分 数学第 10 页，共 6 页 （）解：因为B为钝角，所以 2 , 0, CA 若成立，因为 2 sin= 2 A，0 2 A ， 所以 4 A 若成立，因为 3 sin= 2 C，0 2 C ， 可得 3 C 若同时成立，则 12 5 , 1
18、2 7 BCA 与题矛盾，故不能同时成立 则必同时成立 因为ac 所以AC 若成立，则 3 , 3 2 , 3 BCAA 与题矛盾，故选 bc acb A 2 cos 222 b b 22 42 2 2 2 解得31b（31舍）-14 分 19.（本小题共 14 分） 解： （）由题意得 1 , 2 1, c a c 解得2a，1c， 从而 22 3bac， 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy -5 分 数学第 11 页，共 6 页 （）当直线l的斜率不存在时，设4Pt，当 0 (1,)My， 0 (1,)Ny时， 0 0 2 4 14 13 PMPN tyty t kk ，又 0 4
19、13 PF tt k ， 所以直线,PM PF PN的斜率成等差数列 当直线l的斜率存在时，设:(1)l yk x 联立 22 (1), 3412, yk x xy 得 2222 (43)84120kxk xk 2 144(1)0k 成立， 设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy，则 2 12 2 8 43 k xx k ， 2 12 2 412 43 k x x k 设点4Pt， 3 PF t k 则 12 12 44 PMPN ytyt kk xx 12 1 212 121 212 112(5 )()8() 444() 16 k xtk xtkx xtk xxtk xxx x
20、xx 22 2 22 222 22 4128 2(5 )8() 24 (1)2 4343 =2 412836(1)3 416 4343 PF kk ktktk t kt kk k kkk kk 所以直线,PM PF PN的斜率成等差数列 综上, 直线,PM PF PN的斜率成等差数列 -14 分 20.（本小题共 15 分） 解： （）当ae时，( )(1)ln x f xxeex，(1)0f， （）( ) x e fxxe x ，(1)0fee 所求切线方程为：0y -4 分 （）( )0 x e fxxex x ， 令( )( )0 x e g xfxxex x ， 数学第 12 页，共
21、6 页 所以 2 ( )(1) x e g xxe x 所以当0x时，( )0g x ， 所以( )g x在区间0,上单调递增， 又因为(1)0g， 随的变化如下表： x (0,1) 1 (1,) ( )fx 0 ( )f x 极小值 所以函数( )f x的最小值为(1)0f. -10 分 （）依题，函数( )f x只有一个零点， ( )(0) x a fxxex x ， 0a时， 0,x， ( )0fx ，所以( )f x在0,上单调递增，且(1)0f， 所以函数( )f x只有一个零点； 当0ae时，令( )( )(0) x a g xfxxex x ， 2 ( )(1)(0 ) x a
22、gxxex x ， 所以( )g x在区间0,上单调递增， 若ae时，由（）知函数( )f x只有一个零点， fxf x、x 数学第 13 页，共 6 页 若0ae时，(1)0gea，( )0 a e aa gee ee ， 所以( )g x在区间0,上存在一个零点 0 x，且 0 ,1 a x e ， 随的变化如下表： x 0 (0,)x 0 x 0 (,)x ( )fx 0 ( )f x 极小值 所以 0 ()(1)0f xf， 因为( )(1)lnlnln xxxx f xxeaxxeeaxeax， 取1 e a xe ，()ln+0 ee aa ee ee aa f eeaeee ，
23、（用极限说明也给分）（用极限说明也给分） (1)=0f， 所以函数( )f x在区间 0 0,x和 0, x 上各有一个零点， 综上可知：a的取值范围是 ,0e. -15 分 21.（本小题共 14 分） 解： （）( )3A，( )2B，( )1C -3 分 （）当2020n 时，设 2020 A 且( )2A，则A中元素个数的最大值为 2019 2. 理由如下： （a） 一方面：对任意的 12320192020 (,.,)a a aaaAa，令 12320192020 ( )(,.,1)fa a aaaa fxf x、x 数学第 14 页，共 6 页 则 2020 ( ,( ) |12|1
24、2dfa aa，故( )fAa. 令集合 ( )|BfAaa， 则AB， 2020 ()AB 且A与B的元素个数相同， 但 2020 中共有 2020 2个元素，其中至多一半属于A，故A中至多有 2019 2个元素. （b）另一方面，设 1220202020122020 (,.,)|Aa aaaaa是偶数 则A中的元素个数为 02420202019 2020202020202020 2CCCC. 对任意的 122020122020 ( ,.,),(,.,)x xxy yyAxy，xy 易得 1122 ( ,)| nn dxyxyxyx y与 112220202020 xyxyxy 奇偶性相同，
25、故( , )d x y为偶数，由xy，得( , )0dx y，故( , )2dx y. 注意到(0,0,0,0,.,0,0),(1,1,0,0,.,0,0)A且它们的距离为2，故此时A满足题意. 综上，A中元素个数的最大值为 2019 2. -8 分 （）当2020n 时，设 2020 A 且( )3A，设 12 ,., m A x xx. 任意的 i Ax，定义x的领域 2020 ()| ( ,)1 ii Ndxaa x （a）对任意的1im ，() i N x中恰有2021个元素.事实上 （1）若( ,)0 i da x，则 i ax，恰有一种可能； （2）若( ,)1 i da x，则a
26、与 i x恰有一个分量不同，共 2020 种可能； 综上，() i N x中恰有2021个元素. （b）对任意的1ijm ，()() ij NNxx. 事实上，若 ()() ij NNxx 不妨设()() ij NNaxx，不妨设 122020 (,.,)a aaa， 122020 ( ,.,) i x xxx， 122020 (,.,) j xxxx，则 2020202020202020 1111 (,)|(|)|2 ijkkkkkk kkkk dxxxaaxxaax x x 数学第 15 页，共 6 页 这与( )3A，矛盾. 由（a）和（b） ， 12 ()()() m NNNxxx中共有2021m个元素，但 2020 中共 有 2020 2个元素，所以 2020 20212m， 2020 2 2021 m . 注意到m是正整数，但 2020 2 2021 不是正整数，上述等号无法取到. 所以，集合A中的 元素个数m小于 2020 2 2021 . -14 分
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