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    江苏省盐城市二校联考2020年6月高三第三次模拟考试数学试题含附加题(有答案解析)

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    江苏省盐城市二校联考2020年6月高三第三次模拟考试数学试题含附加题(有答案解析)

    1、一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分不需要写出解答过程,请将答案填写在答题卡 相应的位置上 ) 1.已知集合 31 |xxA,42|xxB,则 AB_ 2.若复数满足(2 )5i z ,则在复平面内与复数z对应的点Z位于第_象限. 3.袋中共有大小相同的 4 只小球,编号为 1,2,3,4现从中任取 2 只小球,则 取出的 2 只球的编号之和是奇数的概率为     4.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa) 的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,将其按从左到 右的顺序分

    2、别编号为第一组,第二组,第五组如图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第 一组与第二组共有 20 人,则第三组的人数为_ 5.如图是某算法的伪代码,输出的结果 S 的值为_ 6.设向量 a(1,1),a2b(k1,2k2),且 ab,则 k _ 7.已知等比数列 n a满足8 2 a,144 453 aaa,则 3 a_ 8.已知双曲线 22 1 4 xy m 的渐近线方程为,则m     9.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中,积累了丰富的经验,总结出了一 套有关体积、容积计算的方法,这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著九章算术中

    3、九 章算术 商功 :“斜解立方, 得两堑堵 斜解堑堵, 其一为阳马, 一为鳖臑阳马居二,鳖臑居一,不易之率也合两鳖臑三而 一, 验之以棊, 其形露矣 ” 下图解释了这段话中由一个长方体, 得到“堑堵” 、 “阳马” 、 “鳖臑”的过程已知如图堑堵的棱长 1, 1, 2cba,则鳖臑的外接球的体积为     10.已知函数 2 )(xxf,则不等式 2 (2)()f xf x的解集是     11.函数xxy2cos2sin的图像向右平移 6 得到函数( )yf x的图像,则( )f x在 2 , 0 上的增区间 为    12.已知函

    4、数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时, x x xf e 1 )( 若关于 x 的方程 f(x)m 有解,则实数 m 的取值范围是     13.在ABC 中,coscos3,2 3.ABAB当sinsinAB取最大值时, ABC 内切圆的半径为_. 14.已知函数)(xfy 是定义域为R的偶函数,当0x时, , 2, 4 3 2 1 , 20 , 4 1 )( 2 x xx xfx若关于x的方程 Ra a xafxf, 0 16 7 )()( 2 有且仅有 8 个不同的实数根,则实数a的取值范围     二、解答题(本大题共 6 小题,共

    5、计 90 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 2 2 yx 2 过程或演算步骤.) 15.(本题满分 14 分) 在 锐 角ABC中 , 已 知 内 角A、B、C所 对 的 边 分 别 为a、b、c, 向 量 2 (2sin(), 3),cos2 ,2cos1 2 B mACnB ,且向量m,n共线 (1)求角B的大小;  (2)如果1b,求ABC的面积 ABC S的最大值 16.(本题满分 14 分) 如图,矩形ABCD所在平面与直角三角形ABE所在平面互相垂直, BEAE ,点NM,分别是CDAE,的中点 (1)求证:MN平面BCE;  (2)求证

    6、:平面BCE平面ADE 17. (本小题满分 14 分) N M A D B C E 3 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的左、 右焦点分别为 12 (,0)( ,0)FcF c、,  已知) 2 2 , 1 (和) 2 3 , 2 2 (都在椭圆上. (1)求椭圆C的方程; (2)过点 2 F的直线l与椭圆C相交于,P Q两点,且 21122 4QPF FFF QF,求直线l的方程 18. (本小题满分 16 分) 某房地产商建有三栋楼宇, ,A B C,三楼宇间的距离都为 2 千米,拟准备在此三楼宇围成的区域ABC 外建第四栋楼宇D,

    7、规划要求楼宇D对楼宇B,C的视角为120,如图所示,假设楼宇大小高度忽略不 计 (1)求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值; (2)当楼宇D与楼宇B,C间距离相等时,拟在楼宇A,B间建休息亭E,在休息亭E和楼宇A,D间 分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED, 如图, 已知铺设鹅卵石路、 防腐木路的单价分别为a,2a(单位: 元千米,a为常数) 记BDE,求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值 19. (本小题满分 16 分) 4 已知等差数列 n a和等比数列 n b的各项均为整数, 它们的前n项和分别为, nn S T, 且 11 22ba, 2322 54,11b SaT. (

    8、1)求数列 n a, n b的通项公式; (2)求 1 1223 3nnn Maba ba ba b; (3)是否存在正整数m,使得 1mm mm ST ST 恰好是数列 n a或 n b中的项?若存在,求出所有满足条件的m 的值;若不存在,说明理由. 20.(本题满分 16 分) 已知( )ln x f xaxae,xexg x )(,其中常数0a  (1)当ae时,求函数( )f x的极值; (2)若函数)()(xfxgy有两个零点 1212 ,(0)x xxx,求实数a的范围; (3)设 2 ( )(1) ( ( )H xxg xx,在区间(1,)内是否存在区间 , (1)m

    9、n m ,使函数在区间 , m n的值域也是 , m n?请给出结论,并说明理由. 江苏省盐城市第一中学 2020 届高三年级六月第三次模拟考试 ( )H x 5 数学试题    2020.06.29 第 II 卷(附加题,共 40 分) 21【选做题】本题共 2 小题,每小题 10 分共计 20 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步 骤 A选修 42:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知矩阵 3 2 a A d ,若 18 24 A ,求矩阵A的特征值 B选修 44:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与x轴的正

    10、半轴重合 已知圆 O:cossin和 直线 l: 2 sin() 42 ,  (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 (0,)时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步 骤 22.(本小题满分 10 分) 6 袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为 1 7 ,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 个球,甲先取,乙后取,然后甲再取,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止,每个球 在每一次被取出的机会是等可能的,用 表示取球终止所需要

    11、的取球次数(1) 求袋中原有白球的个数; (2) 求随机变量 的概率分布和数学期望. 23.(本小题满分 10 分) 如图,已知抛物线 2 :4r yx焦点为F,过r上一点 000 (,)(0)xyy 作切线 1 l,交x轴于点T,过点 T作直线 2 l交r于点 1122 ,)(,BC xxyy. (1)证明: 2 120 yyy; (2)设直线AB,AC的斜率为 12 ,k k, ABC的面积为S,若 12 2kk ,求 S AF 的最小值. 江苏省盐城市第一中学 2020 届高三年级六月第三次模拟考试 7 数学试题    2020.06.29 第 I 卷(必做题,共 1

    12、60 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分不需要写出解答过程,请将答案填写在答题卡 相应的位置上 ) 1.已知集合 31 |xxA,42|xxB,则 AB_ 【答案】)4 , 1 ( 【解析】本题考查的是集合的并集合运算,利用并集运算的定义不难得到 AB)4 , 1 ( 2.若复数满足(2 )5i z ,则在复平面内与复数z对应的点Z位于第_象限. 【答案】四 【解析】因为 5 2 2 zi i ,所以在复平面内与复数z对应的点Z为(2, 1),复数z对应的点Z位于第 四象限. 3.袋中共有大小相同的 4 只小球,编号为 1,2,3,4现从中任取 2 只小球,

    13、则取出的 2 只球的编号之和 是奇数的概率为     【答案】 3 2 【解析】从编号为 1,2,3,4 的 4 只小球中任取 2 只小球共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),其中 取出的 2 只球的编号是奇数有(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),所以所求概率为 2 3 . 4.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa) 的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,将其按从左到 右的顺序分别编号为第一组,第二组,第五组如图是根据试验数据制成的 频率分布直方图

    14、, 已知第一组与第二组共有 20 人, 则第三组的人数为_ 【答案】18 【解析】20(0.240.16) 0.3618 5.如图是某算法的伪代码,输出的结果 S 的值为_ 【答案】16 【解析】运用追踪法:初始1,1iS,第一次循环3,4iS;第二次循环 5,9iS;第三次循环7,16iS,这时 6i 退出,所以16S . 6.设向量 a(1,1),a2b(k1,2k2),且 ab,则 k _ 【答案】 5 【解析】由 a(1,1),a2b(k1,2k2)解得 3 (1,) 22 k bk 由 ab 得 0a b ,所以得 3 10 22 k k,所以得5k 7.已知等比数列 n a满足8

    15、2 a,144 453 aaa,则 3 a_ 【答案】 2 【解析】由144 453 aaa得 2 44 4410aa ,所以得 4 1 2 a , 2 324 4aa a,所以得 3 2a 8.已知双曲线 22 1 4 xy m 的渐近线方程为,则m     【答案】2 【解析】由双曲线 22 1 4 xy m 的渐近线方程为得 2 2 () 42 m ,所以2m 9.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中,积累了丰富的经验,总结出了一 2 2 yx 2 2 yx 8 套有关体积、容积计算的方法,这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著九章算术

    16、中 九 章算术 商功 : “斜解立方,得两堑堵斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑阳马居二,鳖臑居一,不易 之率也合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣 ”下图解释了这段话中由一个长方体,得到“堑堵” 、 “阳 马” 、 “鳖臑”的过程已知如图堑堵的棱长1, 1, 2cba,则鳖臑的外接球的体积为     【答案】 6 【解析】由题意 “鳖臑”的外接球即为“堑堵” 的外接球,即为长方体的的外接球 所以得 222 22116r , 所以得 6 2 r ,所以 3 4 6 3 Vr 10.已知函数 2 )(xxf,则不等式 2 (2)()f xf x的解集是    

    17、【答案】) 1 , 2( 【解析】因为函数 2 ( )f xx是偶函数且在(0, )上递增,所以得 2 |2|xx,即 2 2xx 或 2 2xx ,解之得21x 11.函数xxy2cos2sin的图像向右平移 6 得到函数( )yf x的图像,则( )f x在 2 , 0 上的增区间 为    【答案】 24 7 , 0 【解析】sin2cos22sin(2) 4 yxxx ,所以( )2sin2()2sin(2) 6412 f xxx 由222 2122 kxk ,解之得 57 () 2424 kxkkz ,所以( )f x在在 2 , 0 上的 增区间为 24 7 ,

    18、 0. 12.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时, x x xf e 1 )( 若关于 x 的方程 f(x)m 有解,则实数 m 的取值范围是     【答案】) 1 , 1( 【解析】当0x时,0x ,所以 ()(1) x fxexf x ,所以 (1) x f xe x,当0x时, (2) x fxe x,令 0fx,所以2x,所以 f x在, 2 上单调递减,在2,0上单调 递增,且当1x时, 0f x ,当10x时, 0f x ,所以当0x时, ( 2)1ff x, 即 2 1 1fx e ,由对称性可知,当0x时, 2 1 1fx e ,又

    19、00f,故当,x 时, ( 1,1)f x ,若关于x的方程 f xm有解,则11m, 13.在ABC 中,coscos3,2 3.ABAB当sinsinAB取最大值时, ABC 内切圆的半径为_. 9 【答案】 332 【解析】设sinsintAB,则 2 322cos()tAB,所以 2 2cos() 1 1tAB , 当且仅当AB时, max 1t,即当 3 coscos 2 AB ,即 6 AB 时sinsinAB取最大值1,这时 ABC 中求得2ab,由 121 sin() 232 Sababc r 解得 2 33r . 14.已知函数)(xfy 是定义域为R的偶函数,当0x时, ,

    20、 2, 4 3 2 1 , 20 , 4 1 )( 2 x xx xfx若关于x的方程 Ra a xafxf, 0 16 7 )()( 2 有且仅有 8 个不同的实数根,则实数a的取值范围     【答案】) 9 16 , 4 7 ( 【解析】当02x时, 2 1 4 yx 递减,当2x 时, 13 24 x y 递增,由于函数 yf x是定义 域为R的偶函数, 则函数 yf x在, 2 和0,2上递减,在2,0和2,上递增, 当0x时,函数 yf x取得最大值0;当2x时,函数 yf x取得最小值1 当02x时, 2 1 1,0 4 yx ;当2x 时, 133 1, 2

    21、44 x y . 要使关于x的方程 27 0 16 a f xaf x ,aR,有且仅有8个不同实数根, 设 tf x,则 2 7 0 16 a tat的两根均在区间 3 1, 4 则有 2 7 0 4 3 1 24 7 10 16 937 0 16416 a a a a a aa ,即为 7 0 4 3 2 2 16 9 9 5 aa a a a 或 ,解得 716 49 a 因此,实数a的取值范围是 7 16 , 49 . 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.) 15.(本题满分 14 分) 10 在 锐 角

    22、ABC中 , 已 知 内 角A、B、C所 对 的 边 分 别 为a、b、c, 向 量 2 (2sin(), 3),cos2 ,2cos1 2 B mACnB ,且向量m,n共线 (1)求角B的大小;  (2)如果1b,求ABC的面积 ABC S的最大值 【解析】 (1)由向量,m n共线有: 2 2sin() 2cos13cos2 , 2 B ACB 即tan2 3B ,又0 2 B ,02B,则2B= 3 ,即 6 B (2)由余弦定理得 222 2cos ,bacacB则 22 13(23)acacac, 23,ac 当且仅当ac时等号成立 11 sin(23) 24 ABC S

    23、acB 16.(本题满分 14 分) 如图,矩形ABCD所在平面与直角三角形ABE所在平面互相垂直, BEAE ,点NM,分别是CDAE,的中点 (1)求证:MN平面BCE;  (2)求证:平面BCE平面ADE 【解析】证明: (1)取BE中点F,连接,CF MF, 又M是AE中点, 1 / /, 2 MFAB MFAB, 又N是矩形ABCD边CD中点, / /,MFNC MFNC,四边形MNCF是平行四边形,   4 分 /MNCF,又MN 面BCE,CF 面BCE,MN平面BCE分 (2)平面ABCD平面ABE,BCAB,BC 平面ABE,9 分 AE 平面ABE,BC

    24、AE,              10 分 又BEAE ,BCBEBI,AE 平面BCE, 而AE 平面ADE,平面BCE平面ADE        14 分  17. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的左、 右焦点分别为 12 (,0)( ,0)FcF c、,  已知) 2 2 , 1 (和) 2 3 , 2 2 (都在椭圆上. (1)求椭圆C的方程; (2)过点 2 F的直线l与椭圆C相交于,

    25、P Q两点,且 21122 4QPF FFF QF,求直线l的方程 【解析】 (1)椭圆的方程为: 2 2 1 2 x y (2)由(1)得 12 ( 1,0),(1,0)FF,设 1122 ,P x yQ x y, N M A D B C E 11 211122 1,1,PFxyFQxy, 12222 (2,0),1,FFQFxy 且 211221 21212 410PF FQFF QFx xy yxx , 验证:当直线l的斜率为 0时, 21122 54PF FFF QQF不符合题意, 设直线l的方程为1xmy, 由 2 2 1 2 1 x y xmy ,可得 22 2210mymy 12

    26、12 22 21 , 22 m yyy y mm 2 1212121212 1214xxx xy ym yymy y 2 22 21 214 22 m mm mm 0, 7m ,直线l的方程为:710xy 18. (本小题满分 16 分) 某房地产商建有三栋楼宇, ,A B C,三楼宇间的距离都为 2 千米,拟准备在此三楼宇围成的区域ABC 外建第四栋楼宇D,规划要求楼宇D对楼宇B,C的视角为120,如图所示,假设楼宇大小高度忽略不 计 (1)求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值; (2)当楼宇D与楼宇B,C间距离相等时,拟在楼宇A,B间建休息亭E, 在休息亭E和楼宇A,D间分别铺设

    27、鹅卵石路EA和防腐木路ED,如图,已 知铺设鹅卵石路、 防腐木路的单价分别为a,2a(单位: 元千米,a为常数) 记 BDE,求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值 【解析】 (1)因为三楼宇间的距离都为 2 千米,所以 ABACBC2,(1 分) 因为楼宇 D 对楼宇 B,C 的视角为 120 ,所以BDC120 ,(2 分) 在BDC 中,因为 BC2BD2DC22BD DC cosBDC,(3 分) 所以 22BD2CD22BD CD cos 120oBD2CD2BD CD2BD CDBD CD3BD CD, 则 BD CD4 3,(4 分) 当且仅当 BDCD 时等号成立,此时DB

    28、CDCB30 ,BDCD 1 cos 30 2 3 3 . 区域最大面积 SSABCSBCD1 222sin 60 1 2BD CD sin 120 4 3 3 (平方千米)(7 分) (或者: 因为直角三角形ABD, ACD 全等, 区域最大面积 SSABDSACD2SABD21 2AB BD 4 3 3 (平方千米)(7 分) (2)当楼宇D与楼宇,B C间距离相等时由(1)得: 2 3 3 BDDC 则DBCDCB,又因为120BDC,所以30DBC,因为等边三角形ABC 12 所以60ABC,所以 2 ABDABCDBC 在Rt EBD中,BDE,所以 2 3 cos3cos BD D

    29、E BDE 2 3 tantan 3 BEBDBDE,则 2 3 2tan 3 AEABBE 所以铺设鹅卵石路和防腐木路的总费用 2fa EAa ED 2 32 3 2tan2 33cos aa 2 33cossin2 0, 3cos3 a 2 3sincos32 sin 2 3 3cos coscossin a f 2 2 32sin1 3cos a 令 1 0sin 2 f因为0, 3 ,所以 6 0, 6 6 , 6 3 f - 0 + f 极小值 所以当 6 时, 3cossin2 2 3 66 4 63 cos 6 a ffa 极小值 即: f的最小值为4a 答:铺设此鹅卵石路和防腐

    30、木路的总费用的最小值4a元. 19. (本小题满分 16 分) 已知等差数列 n a和等比数列 n b的各项均为整数, 它们的前n项和分别为, nn S T, 且 11 22ba, 2322 54,11b SaT. (1)求数列 n a, n b的通项公式; (2)求 1 1223 3nnn Maba ba ba b ; (3)是否存在正整数m,使得 1mm mm ST ST 恰好是数列 n a或 n b中的项?若存在,求出所有满足条件的m 的值;若不存在,说明理由. 【解析】 (1)设数列 n a的公差为d,数列 n b的公比为q,因为 112322 22,54,11bab SaT , 13

    31、 所以 2 (33 )54 12211 qd dq ,即 (1)9 28 qd dq ,解得 3 2 q d ,或 3 2 5 q d (舍去). 所以 1 21,2 3n nn anb . (2) 21 1 12 23 3 1 23 2 35 2 3212 3n nnn Maba ba ba bn , 21 31 2 33 2 3(23) 2 3(21) 2 3 nn n Mnn , 所以 21 224 333(21)23 nn n Mn , 1 3(13) 24(42) 34(44) 3 13 n nn nn 所以2(1) 32 n n Mn. (3)由(1)可得 2 n Sn,31 n

    32、n T,所以 21 1 2 13 13 m m m m m m STm STm . 因为 1mm mm ST ST 是数列 n a或 n b中的一项,所以 21 * 2 1 3 , 1 3 m m m L LN m , 所以 2 (1)1(3)3mLmL,因为 2 1 0,30 m m , 所以13L ,又 * LN,则2L 或3L. 当2L 时,有 2 13mm ,即 2 1 1 3m m ,令 2 1 ( ) 3m m f m . 则 222 11 (1)11223 (1)( ) 333 mmm mmmm f mf m . 当1m时,(1)(2)ff;当2m时, 10f mf m,即 (1

    33、)(2)(3)(4)ffff. 由 1 (1)0,(2) 3 ff,知 2 1 1 3m m 无整数解. 当3L时,有 2 10m ,即存在1m使得 21 2 1 3 3 1 3 m m m m 是数列 n a中的第 2 项, 故存在正整数1m,使得 1mm mm ST ST 是数列 n a中的项. 20.(本题满分 16 分) 已知( )ln x f xaxae,xexg x )(,其中常数0a  (1)当ae时,求函数( )f x的极值; (2)若函数)()(xfxgy有两个零点 1212 ,(0)x xxx,求实数a的范围; (3)设 2 ( )(1) ( ( )H xxg x

    34、x,在区间(1,)内是否存在区间 , (1)m n m ,使函数在区间 ( )H x 14 , m n的值域也是 , m n?请给出结论,并说明理由. 【解析】函数( )f x的定义域为(0,),  (1)当ea时,( )eelne x f xx, e ( )exfx x ,       2 分 而 e ( )exfx x 在(0,)上单调递增,又(1)0 f , 当01x时,( )(1)0fxf,则( )f x在(0,1)上单调递减; 当1x 时,( )(1)0fxf,则( )f x在(1,)上单调递增,所以( )f x有极小值(1)0f,没有极大 值

    35、                      4 分 (2)令axxaxfxgxhln)()()(, x xa xh )( / ,因为0a,所以 x ), 0(a a ),(a )( / xh 0 )(xh 增 减 因为)(xh有两个零点,所以0)(ah,所以1a 当1a时因为0)( 1 eh,0)4( 2 ah,所以)(xh有两个零点. (3) 22 ( )(1) ( ( )(1) x H xxg xxxe,假设在区间(1,)内是存在区间 , (1)m n m ,使函数 在区间 , m

    36、 n的值域也是 , m n,因为 2 ( )(1) x H xxe,当1x 时( )0H x 所以( )H x在(1,)上是增函数,所以 ( ) ( ) H mm H nn ,即 2 2 (1) (1) m n mem nen 即方程 2 (1) x xex有两个大于1的不等实根.上述方程等价于 2 0(1) (1) x x ex x 设 2 ( )0(1) (1) x x u xex x ,所以 3 1 ( )0(1) (1) x x u xex x 所以 2 ( )0 (1) x x u xe x 在(1,)上是增函数,所以( )u x(1,)上至多一个实数根. 即( )u x(1,)上不

    37、可能有两个不等实数根,所以假设不成立,所以不存在区间 , m n符合要求. 江苏省盐城市第一中学 2020 届高三年级六月第三次模拟考试 ( )H x 15 数学试题    2020.06.29 第 II 卷(附加题,共 40 分) 21【选做题】本题共 2 小题,每小题 10 分共计 20 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步 骤 A选修 42:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知矩阵 3 2 a A d ,若 18 24 A ,求矩阵A的特征值 【解析】因为 13168 222224 aa A dd ,所以 68 224 a d ,解得 2 1 a d , 所

    38、以 23 21 A ,-5 分 其特征多项式为 2 23 ( )(2)(1)634 21 f ,   -8 分 令( )0f,解得特征值为 1 1 , 2 4-10 分 B选修 44:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与x轴的正半轴重合 已知圆 O:cossin和 直线 l: 2 sin() 42 ,  (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 (0,)时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标 【解析】 (1)圆 O:cossin,即 2 cossin , 故圆 O 的直角坐标方程为: 22 xyxy ,

    39、即 22 0xyxy , 直线 l: 2 sin() 42 ,即 sincos1 ,则直线的直角坐标方程为10xy (2)由 22 0 10 xyxy xy , ,可得 0 1 x y ,直线 l 与圆 O 公共点的直角坐标为(0,1) , 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为(1,) 2 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步 骤 22.(本小题满分 10 分) 袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为 1 7,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 个球,甲先取,乙后取,然后甲再取,取后不放回,直

    40、到两人中有一人取到白球时即终止,每个球在 每一次被取出的机会是等可能的, 用 表示取球终止所需要的取球次数 (1) 求袋中原有白球的个数; (2) 求 随机变量 的概率分布和数学期望. 16 【解析】 (1)设袋中原有n个白球, 由题意知 2 2 7 1 11 2 = 7 6 7 67 2 n n n n nC C ,所以1 =6n n. 解得3n (2n,舍去).即袋中原有 3 个白球. (2)由题意,X的可能取值为 1,2,3,4,5. 3 1 7 P X ; 4 32 2 7 67 P X ; 4 3 36 3 7 6 535 P X ; 4 3 2 33 4 7 6 5 435 P X

    41、 ; 4 3 2 1 31 5 7 6 5 4 335 P X . 所以,取球次数X的分布列为. X 1 2 3 4 5 P 3 7 2 7 6 35 3 35 1 35 所以 32631 123452 77353535 E x . 23.(本小题满分 10 分) 如图,已知抛物线 2 :4r yx焦点为F,过r上一点 000 (,)(0)xyy 作切线 1 l,交x轴于点T,过点 T作直线 2 l交r于点 1122 ,)(,BC xxyy. (1)证明: 2 120 yyy; (2)设直线AB,AC的斜率为 12 ,k k, ABC的面积为S,若 12 2kk ,求 S AF 的最小值. 【解析】 (1) 设过点 2 0 0 , 4 y Ay 与 2 4yx相切的切线 2 0 10 4 :xy y lyk , 联立 2 0 0 2 4 4 y yk xy yx ,消去x得 0 22 0 440kyyyky, 由 0 2 0 2 00 2 01644020ykykkyk y , 则 0 22 00 44 T y x k yy ,则 2 0 ,0 4 T y ,因为直线 2 l的斜率不为 0, 17 设直线 2 0 2: 4 xmy y l,联立方程 2 0 2 4 4 y xmy yx 得 0 22 40ymyy


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