1、2020 年山东省潍坊市市区中考数学一模试卷年山东省潍坊市市区中考数学一模试卷 一、选择题 1下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 2下列运算正确的是（ ） Aa4+a2a6 B（mn）2m2n2 C（x2y）3x6y3 Db6b2b3 3成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.0000046 克数据“0.0000046”用科学记数法表示为 （ ） A46107 B4.6107 C4.6106 D0.46105 4疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班学生积极 参加献爱心活动，该班 50 名学生的捐款统计情况如表： 金额/元 5 10
2、 20 50 100 人数 6 17 14 8 5 则他们捐款金额的平均数和中位数分别是（ ） A27.6，10 B27.6，20 C37，10 D37，20 5如图， 已知直线 ab， 点 C 在直线 b 上， DCB90， 若175， 则2 （ ） A15 B20 C25 D30 6如图是圆桌正上方的灯泡（看做一个点） 发出的光线照射桌面后， 在地面上形成阴影（圆 形）的示意图，已知桌面的直径为 1.2m，桌面距离地面 1m若灯泡距离地面 3m，则地 面上阴影部分的面积为（ ） A0.36m2 B0.81m2 C2m2 D3.24m2 7下列因式分解正确的是（ ） Ax22xx（x+2）
3、Ba2a6（a2）（a+3） C4a2+4abb2（2ab）2 D4x2y2（2x+y）（2xy） 8数轴上的点 A 表示的数是 a，当点 A 在数轴上向左平移了个单位长度后得到点 B，若 点 A 和点 B 表示的数恰好互为相反数，则数 a 的大小在（ ） A0 与 1 之间 B1 与 2 之间 C2 与 3 之间 D3 与 4 之间 9如图，已知MON60，以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 OM，ON 于点 C，D，分别以点 C，D 为圆心，大于CD 的长为半径作弧，两弧在MON 内交于 点 P， 作射线 OP， 若 A 是 OP 上一点， 过点 A 作 ON 的平行线交 OM
4、 于点 B， 且 AB6， 则直线 AB 与 ON 之间的距离是（ ） A3 B2 C3 D6 10如图，在 RtABC 中，BAC90，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AFBC 交 BE 的延长线于点 F若 AC4，AB6，则四边形 ADCF 的面积为（ ） A12 B24 C6 D12 11如图，半径为 R 的O 的弦 ACBD，且 ACBD 于 E，连结 AB、AD，若 AD， 则半径 R 的长为（ ） A1 B C D 12已知二次函数 yx2+mx+m（m 为常数），当2x4 时，y 的最大值是 15，则 m 的值是（ ） A19 或 B6 或或10 C19
5、 或 6 D6 或或19 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分.只要求填写最后结果，每小题填对得 3 分.） 13化简：（1）的结果是 14 已知： 如图， ACBDBC， 要使ABCDCB， 只需增加的一个条件是 （只 需填写一个你认为适合的条件） 15如图所示，点 C 在反比例函数 y （x0）的图象上，过点 C 的直线与 x 轴、y 轴分 别交于点 A、B，且 ABBC，已知AOB 的面积为 1，则 k 的值为 16关于 x 的方程 x22（k1）x+k20 的两个实数根 x1、x2满足 x1+x21x1x2，则 k 的 值为 17如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB4，AD6，
6、点 E 是 AB 的中点，点 F 是 AD 边上的 一个动点， 将AEF 沿 EF 所在直线翻折， 得到AEF， 则 AC 的长的最小值是 18如图，已知直线 l：yx，过点 A（0，1）作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B，过点 B 作 直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1；过点 A1作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，过点 B1作直线 l 的 垂线交 y 轴于点 A2；按此作法继续下去，则点 B2020的坐标为 三、解答题（共 7 小题；满分 66 分） 19如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ykx+b（k0）与反比例函数 y（m0） 的图象交于点 A（3，1），且过点 B（0，2）
7、 （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出当 kx+b时，x 的取值范围 202020 年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电 脑等电子产品上网课某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调 查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并 将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题： （1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图； （2）该校共有学生 800 人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数； （3）对视力“非常重视”的 4 人有 A1，A2两名男生，B1
8、，B2两名女生，若从中随机抽 取两人向全校作视力保护交流，请利用树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概 率 21图分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知跑步机的手柄 AB 平行于地面 且离地面的高度 h 约为 1.05m，踏板 CD 与地面 DE 的夹角CDE 为 10，支架（线段 AC）的长为 0.8m，ACD 为 82求跑步机踏板 CD 的长度（精确到 0.1m） （参考数据：sin10cos800.17，sin72cos180.95，tan723.1） 22如图 1，CD 是O 的直径，且 CD 过弦 AB 的中点 H，连接 BC，过弧 AD 上一点 E 作 EFBC，交 BA
9、的延长线于点 F，连接 CE，其中 CE 交 AB 于点 G，且 FEFG （1）求证：EF 是O 的切线； （2）如图 2，连接 BE，求证：BE2BG BF 23国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进 A、 B两种型号的低排量汽车， 其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元； 花 50 万元购进 A 型汽车的数量与花 40 万元购进 B 型汽车的数量相同 （1）求 A、B 两种型号汽车的进货单价； （2）销售过程中发现：A 型汽车的每周销售量 yA（台）与售价 xA（万元/台）满足函数 关系 yAxA+18；B 型汽车的每周销售量 yB（台）
10、与售价 xB（万元/台）满足函数关系 yBxB+14若 A 型汽车的售价比 B 型汽车的售价高 1 万元/台，设每周销售这两种车 的总利润为 w 万元求当 B 型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最 大？最大利润是多少万元？ 24如图，在 RtABC 中，C90，点 P 为 AC 边上的一点，将线段 AP 绕点 A 顺时针 方向旋转（点 P 对应点 P），当 AP 旋转至 APAB 时，点 B、P、P恰好在同一直 线上，此时作 PEAC 于点 E （1）求证：CBPABP； （2）求证：AECP； （3）当，BP5时，求线段 AB 的长 25 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中
11、， 抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴相交于原点 O 和点 B （4， 0），点 A（3，m）在抛物线上 （1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴； （2）若点 P 为线段 OA 上方抛物线上的一点，过点 P 作 x 轴的垂线，交 OA 于点 Q，求 线段 PQ 长度的最大值 （3）求 tanOAB 的值 （4）在抛物线的对称轴上是否存在一点 N，使得BAN 为以 AB 为腰的等腰三角形，若 不存在，请说明理由，若存在，请直接写出点 N 的坐标 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把 正确的选项选出来，每小题选对得 3 分，错选、不选或
12、选出的答案超过一个均记 0 分.） 1下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D 2下列运算正确的是（ ） Aa4+a2a6 B（mn）2m2n2 C（x2y）3x6y3 Db6b2b3 【分析】分别根据合并同类项法则，完全平方公式，积的乘方运算法则以及同底数幂的 除法法则逐一判断即可 解
13、：Aa4与 a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B（mn）2m22mn+n2，故本选项不合题意； C（x2y）3x6y3，故本选项符合题意； Db6b2b4，故本选项不合题意 故选：C 3成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.0000046 克数据“0.0000046”用科学记数法表示为 （ ） A46107 B4.6107 C4.6106 D0.46105 【分析】本题用科学记数法的知识即可解答 解：0.00000464.6106 故选：C 4疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班学生积极 参加献爱心活动，该班 50 名学生的捐款统计情况如表： 金
14、额/元 5 10 20 50 100 人数 6 17 14 8 5 则他们捐款金额的平均数和中位数分别是（ ） A27.6，10 B27.6，20 C37，10 D37，20 【分析】根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据中位数的定义直接求出 这组数据的中位数即可 解：这组数的平均数是：（56+1017+2014+508+1005）27.6（元）， 把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数是20 元， 则中位数是 20 元； 故选：B 5如图， 已知直线 ab， 点 C 在直线 b 上， DCB90， 若175， 则2 （ ） A15 B20 C25 D30 【分析】先根据对顶角的
15、定义求出3 的度数，再由平行线的性质即可得出结论 解：175，1 与3 是对顶角， 3175， ab，点 C 在直线 b 上，DCB90， 2+DCB+3180， 21803DCB180759015 故选：A 6如图是圆桌正上方的灯泡（看做一个点） 发出的光线照射桌面后， 在地面上形成阴影（圆 形）的示意图，已知桌面的直径为 1.2m，桌面距离地面 1m若灯泡距离地面 3m，则地 面上阴影部分的面积为（ ） A0.36m2 B0.81m2 C2m2 D3.24m2 【分析】欲求投影圆的面积，可先求出其直径，而直径可通过构造相似三角形，由相似 三角形性质求出 解：构造几何模型如图： 依题意知 D
16、E1.2 米，FG1 米，AG3 米， 由DAEBAC 得，即， 得 BC1.8， 故 S圆（ BC）2 （） 2 0.81， 故选：B 7下列因式分解正确的是（ ） Ax22xx（x+2） Ba2a6（a2）（a+3） C4a2+4abb2（2ab）2 D4x2y2（2x+y）（2xy） 【分析】各项分解因式得到结果，判断即可 解：A、原式x（x2），不符合题意； B、原式（a3）（a+2），不符合题意； C、原式不能分解，不符合题意； D、原式（2x+y）（2xy），符合题意， 故选：D 8数轴上的点 A 表示的数是 a，当点 A 在数轴上向左平移了个单位长度后得到点 B，若 点 A 和点
17、 B 表示的数恰好互为相反数，则数 a 的大小在（ ） A0 与 1 之间 B1 与 2 之间 C2 与 3 之间 D3 与 4 之间 【分析】 根据题意得出 ab， 由点 A 和点 B 表示的数恰好互为相反数得： a+b0， 求出即可 解：设 B 点表示的数是 b， 根据题意得：ab，a+b0， 解得：a， 23， 12，即 1a2； 故选：B 9如图，已知MON60，以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 OM，ON 于点 C，D，分别以点 C，D 为圆心，大于CD 的长为半径作弧，两弧在MON 内交于 点 P， 作射线 OP， 若 A 是 OP 上一点， 过点 A 作 ON 的平
18、行线交 OM 于点 B， 且 AB6， 则直线 AB 与 ON 之间的距离是（ ） A3 B2 C3 D6 【分析】过 B 作 BEON 于 E，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到 BO BA6，再根据含 30角的直角三角形的性质以及勾股定理，即可得到直线 AB 与 ON 之间的距离 解：如图所示，过 B 作 BEON 于 E， 由题可得 OP 平分MON， DOABOA， ABDO， DOABAO， BOABAO， BOBA6， NOM60，BEO90， OBE30， OEOB3， BE， 即直线 AB 与 ON 之间的距离为， 故选：A 10如图，在 RtABC 中，BAC90，
19、D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AFBC 交 BE 的延长线于点 F若 AC4，AB6，则四边形 ADCF 的面积为（ ） A12 B24 C6 D12 【分析】证明AEFDEB，根据全等三角形的性质得到 AFBD，根据三角形的面积 公式得到AFC 的面积ABD 的面积，根据三角形的面积公式计算，得到答案 解：AFBC， AFBDBF， 在AEF 和DEB 中， ， AEFDEB（AAS）， AFBD， AFBC， AFC 的面积ABD 的面积， 四边形 ADCF 的面积ADC 的面积+AFC 的面积 ADC 的面积+ABD 的面积 ABC 的面积 46 12， 故选
20、：D 11如图，半径为 R 的O 的弦 ACBD，且 ACBD 于 E，连结 AB、AD，若 AD， 则半径 R 的长为（ ） A1 B C D 【分析】由弦 ACBD，可得，继而可得，然后由圆周角定理，证得 ABDBAC，即可判定 AEBE；连接 OA，OD，由 AEBE，ACBD，可求得ABD 45，继而可得AOD 是等腰直角三角形，则可求得 ADR，可解答 解：弦 ACBD， ， ， ABDBAC， AEBE； 连接 OA，OD， ACBD，AEBE， ABEBAE45， AOD2ABE90， OAOD， ADR， AD， R1， 故选：A 12已知二次函数 yx2+mx+m（m 为常数
21、），当2x4 时，y 的最大值是 15，则 m 的值是（ ） A19 或 B6 或或10 C19 或 6 D6 或或19 【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得 m 的值，从而可以 解答本题 解：二次函数 yx2+mx+m（x）2+m， 抛物线的对称轴为 x， 当2 时，即 m4， 当2x4 时，y 的最大值是 15， 当 x2 时，（2）22m+m15，得 m19； 当24 时，即4m8 时， 当2x4 时，y 的最大值是 15， 当 x时，+m15，得 m110（舍去），m26； 当4 时，即 m8， 当2x4 时，y 的最大值是 15， 当 x4 时，42+4m+m
22、15，得 m（舍去）； 由上可得，m 的值是19 或 6； 故选：C 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分.只要求填写最后结果，每小题填对得 3 分.） 13化简：（1）的结果是 【分析】根据分式的运算法则化简原式即可求出答案 解：原式 ， 故答案为： 14已知：如图，ACBDBC，要使ABCDCB，只需增加的一个条件是 A D 或ABCDCB 或 BDAC （只需填写一个你认为适合的条件） 【分析】已知一条公共边和一个角，有角边角或角角边定理，再补充一组对边相等或一 组对角相等即可 解： 添加AD， ABCDCB， BDAC 后可分别根据 AAS、 SAS、 SAS 判定ABC AD
23、C 故填AD 或ABCDCB 或 BDAC 15如图所示，点 C 在反比例函数 y （x0）的图象上，过点 C 的直线与 x 轴、y 轴分 别交于点 A、B，且 ABBC，已知AOB 的面积为 1，则 k 的值为 4 【分析】根据题意可以设出点 A 的坐标，从而以得到点 C 和点 B 的坐标，再根据AOB 的面积为 1，即可求得 k 的值 解：设点 A 的坐标为（a，0）， 过点 C 的直线与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，且 ABBC，AOB 的面积为 1， 点 C（a，）， 点 B 的坐标为（0，）， 1， 解得，k4， 故答案为：4 16关于 x 的方程 x22（k1）x+k20 的
24、两个实数根 x1、x2满足 x1+x21x1x2，则 k 的 值为 3 【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于 k 的不等式，则可求得 k 的取值 范围；再利用根与系数的关系可求得两根之和与两根之积，代入所给等式，则可得到关 于 k 的方程，可求得 k 的值 解：关于 x 的方程 x22（k1）x+k20 有两个实数根 x1、x2， 0，即2（k1）24k20，解得 k； 由根与系数关系可得 x1+x22（k1），x1x2k2， x1+x21x1x2， 2（k1）1k2，解得 k1 或 k3， k， k3 故答案为：3 17如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB4，AD6，点 E 是
25、AB 的中点，点 F 是 AD 边上的 一个动点， 将AEF 沿 EF 所在直线翻折， 得到AEF， 则 AC 的长的最小值是 2 2 【分析】以点 E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接 CE，当点 A在线段 CE 上时，A C 的长取最小值， 根据折叠的性质可知 AE2， 在 RtBCE 中利用勾股定理可求出 CE 的长度，用 CEAE 即可求出结论 解：以点 E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接 CE，当点 A在线段 CE 上时，AC 的 长取最小值，如图所示 根据折叠可知：AEAEAB2， 在 RtBCE 中，BEAB2，BC6，B90， CE2， AC 的最小值CEAE22 故答案
26、为：22 18如图，已知直线 l：yx，过点 A（0，1）作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B，过点 B 作 直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1；过点 A1作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，过点 B1作直线 l 的 垂线交 y 轴于点 A2；按此作法继续下去，则点 B2020的坐标为 （42020 ，42020） 【分析】 先根据题意找出 A220的坐标， 再根据 A2020的坐标与 B2020的纵坐标相同即可得出 结论 解：直线 l 的解析式为：yx， l 与 x 轴的夹角为 30， ABx 轴， ABO30， OA1， AB， A1Bl， ABA160， AA13， A1（0，4）
27、， B1（4 ，4）， 同理可得 B2（16，16）， A2020纵坐标为：42020， B2020（42020 ，42020） 故答案为：（42020，42020） 三、解答题（共 7 小题；满分 66 分） 19如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ykx+b（k0）与反比例函数 y（m0） 的图象交于点 A（3，1），且过点 B（0，2） （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出当 kx+b时，x 的取值范围 【分析】（1）先把 A 点坐标代入 y中求出 m 得到反比例函数解析式，然后利用待定 系数法求一次函数解析式； （2）结合函数图象，写出一次函数图象在反比例函数
28、图象上方所对应的自变量的范围即 可 解：（1）反比例函数 y（m0）的图象过点 A（3，1）， m313， 反比例函数的表达式为 y； 一次函数 ykx+b 的图象过点 A（3，1）和 B（0，2）， ，解得， 一次函数的表达式为 yx2； （2）当1x0 或 x3，kx+b 202020 年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电 脑等电子产品上网课某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调 查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并 将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题： （1）求本
29、次调查的学生总人数，并补全条形统计图； （2）该校共有学生 800 人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数； （3）对视力“非常重视”的 4 人有 A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽 取两人向全校作视力保护交流，请利用树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概 率 【分析】（1）用“不重视”人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，再用总人 数减去其它重视程度的人数求出重视的人数，从而补全统计图； （2）用总人数乘以“非常重视”人数所占的百分比即可得出答案； （3）先画树状图展示所有 12 个等可能的结果数，再找出恰好抽到一男一女的结果数， 然后根据概率公式求解
30、解：（1）本次调查的学生总人数有：1620%80（人）； 重视的人数有：804361624（人）， 补图如图： （2）根据题意得： 80040（人）， 答：该校对视力保护“非常重视”的学生人有 40 人； （3）画树状图如下： 共有 12 种可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有 8 个，则 P（恰好抽到一男一女的） 21图分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知跑步机的手柄 AB 平行于地面 且离地面的高度 h 约为 1.05m，踏板 CD 与地面 DE 的夹角CDE 为 10，支架（线段 AC）的长为 0.8m，ACD 为 82求跑步机踏板 CD 的长度（精确到 0.1m） （参考数据：s
31、in10cos800.17，sin72cos180.95，tan723.1） 【分析】过 C 点作 FGAB 于 F，交 DE 于 G，根据平行线的性质得到 FGDE，求得 CGE90，求得GCD901080，解直角三角形即可得到结论 解：过 C 点作 FGAB 于 F，交 DE 于 G， ABDE， FGDE， CGE90， 又CDE10， GCD901080， 又ACD82， ACF180ACDGCD 180808218， 在 RtACF 中，CFAC cosACF0.8 cos180.76（m）， 则 CGhCF1.050.760.29（m）， 在 RtCDG 中， CD 1.7（m），
32、 跑步机踏板 CD 的长度约为 1.7m 22如图 1，CD 是O 的直径，且 CD 过弦 AB 的中点 H，连接 BC，过弧 AD 上一点 E 作 EFBC，交 BA 的延长线于点 F，连接 CE，其中 CE 交 AB 于点 G，且 FEFG （1）求证：EF 是O 的切线； （2）如图 2，连接 BE，求证：BE2BG BF 【分析】（1）连接 OE，由垂径定理可得GCH+CGH90，由等腰三角形的性质 可得FGEFEG，OCEOEC，由直角三角形的性质可得FEO90，可得 结论； （2）通过证明FEBEGB，可得，可得结论 解：（1）连接 OE， H 是 AB 的中点，CD 是直径， C
33、HAB， GCH+CGH90， FEFG， FGEFEG， OEOC OCEOEC， 又CGHEGF FEOFEG+CEOCGH+GCH90， EF 是O 的切线； （2）CHAB， ， CBACEB， EFBC， CBAF， FCEB， 又FBEEBG， FEBEGB， BE2BG BF 23国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进 A、 B两种型号的低排量汽车， 其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元； 花 50 万元购进 A 型汽车的数量与花 40 万元购进 B 型汽车的数量相同 （1）求 A、B 两种型号汽车的进货单价； （2）销售过程中
34、发现：A 型汽车的每周销售量 yA（台）与售价 xA（万元/台）满足函数 关系 yAxA+18；B 型汽车的每周销售量 yB（台）与售价 xB（万元/台）满足函数关系 yBxB+14若 A 型汽车的售价比 B 型汽车的售价高 1 万元/台，设每周销售这两种车 的总利润为 w 万元求当 B 型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最 大？最大利润是多少万元？ 【分析】（1）设 B 型汽车的进货单价为 x 万元，根据题意，得关于 x 的分式方程，解方 程并检验即可； （2）设 B 型号的汽车售价为 t 万元/台，则 A 型汽车的售价为（t+1）万元/台，根据题意 写出 w 关于 t 的函
35、数关系式，由二次函数的性质可得答案 解：（1）设 B 型汽车的进货单价为 x 万元，根据题意，得： ， 解得 x8， 经检验 x8 是原分式方程的根 答 A、B 两种型号汽车的进货单价分别为：10 万元、8 万元 （2）设 B 型号的汽车售价为 t 万元，则 A 型汽车的售价为（t+1）万元/台，根据题意， 得： w（t+110）（t+1）+18+（t8）（t+14） 2t2+48t265 2（t12）2+23， 20，当 t12 时，w 有最大值为 23 答：A、B 两种型号的汽车售价各为 13 万元、12 万元时，每周销售这两种汽车的总利润 最大，最大利润是 23 万元 24如图，在 Rt
36、ABC 中，C90，点 P 为 AC 边上的一点，将线段 AP 绕点 A 顺时针 方向旋转（点 P 对应点 P），当 AP 旋转至 APAB 时，点 B、P、P恰好在同一直 线上，此时作 PEAC 于点 E （1）求证：CBPABP； （2）求证：AECP； （3）当，BP5时，求线段 AB 的长 【分析】（1）根据旋转的性质可得 APAP，根据等边对等角的性质可得APP APP，再根据等角的余角相等证明即可； （2） 过点 P 作PDAB 于D， 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CPDP， 然后求出PADAPE，利用“角角边”证明APD 和PAE 全等，根据全等三 角形对应边相等可
37、得 AEDP，从而得证； （3）设 CP3k，PE2k，表示出 AECP3k，APAP5k，然后利用勾股定理列 式求出 PE4k，再求出ABP和EPP 相似，根据相似三角形对应边成比例列式 求出 PAAB，然后在 RtABP中，利用勾股定理列式求解即可 【解答】（1）证明：AP是 AP 旋转得到， APAP， APPAPP， C90，APAB， CBP+BPC90，ABP+APP90， 又BPCAPP（对顶角相等）， CBPABP； （2）证明：如图，过点 P 作 PDAB 于 D， CBPABP，C90， CPDP， PEAC， EAP+APE90， 又PAD+EAP90， PADAPE，
38、在APD 和PAE 中， APDPAE（AAS）， AEDP， AECP； （3）解：， 设 CP3k，PE2k， 则 AECP3k，APAP3k+2k5k， 在 RtAEP中，PE4k， C90，PEAC， CBP+BPC90，EPP+EPP90， BPCEPP（对顶角相等）， CBPEPP， 又CBPABP，ABPEPP， 又BAPPEP90， ABPEPP， ， 即， 解得 PAAB， 在 RtABP中，AB2+PA2BP2， 即 AB2+AB2（5 ）2， 解得 AB10 25 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴相交于原点 O 和点 B （4，
39、 0），点 A（3，m）在抛物线上 （1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴； （2）若点 P 为线段 OA 上方抛物线上的一点，过点 P 作 x 轴的垂线，交 OA 于点 Q，求 线段 PQ 长度的最大值 （3）求 tanOAB 的值 （4）在抛物线的对称轴上是否存在一点 N，使得BAN 为以 AB 为腰的等腰三角形，若 不存在，请说明理由，若存在，请直接写出点 N 的坐标 【分析】（1）把点 O（0，0），点 B（4，0）分别代入 yx2+bx+c，可求 b 和 c 的值， 即可得到抛物线的表达式，根据抛物线的对称轴 x，代入求值即可； （2）求出 OA 解析式为：yx，设点 P（p，p2
40、+4p），则点 Q（p，p），利用参数 p 表示 PQ 的长，由二次函数的性质可求解； （3）过点 B 作 BDOA，交 OA 于点 D，过点 A 作 AEOB，交 OB 于点 E，由等腰直 角三角形的性质求出线段 BD 和 AD 的长，即可求解； （4）分点 A 为顶点和点 B 为顶点两种情况讨论，由两点距离公式可求解 解：（1）把点 O（0，0），点 B（4，0）分别代入 yx2+bx+c 得： ， 解得：， 即抛物线的表达式为：yx2+4x， 它的对称轴为：x2； （2）把点 A（3，m）代入 yx2+4x 得 m32+433， 则点 A 的坐标为：（3，3）， 由点 O（0，0），A（
41、3，3）得直线 OA 的解析式为：yx， 设点 P（p，p2+4p），则点 Q（p，p）， PQyPyQp2+4ppp2+3p（p）2+， 当 p时，PQ 的值最大，最大值为； （3）如图 1，过点 B 作 BDOA，交 OA 于点 D，过点 A 作 AEOB，交 OB 于点 E， A（3，3）， AE3，OE3， AOE 为等腰直角三角形， AOE45，OAOE3， 在等腰 RtBOD 中，OB4， ODBD2， ADOAOD32， tanOAB2； （4）存在， 设点 N（2，a）， 若 ABAN， 点 A（3，3），B 点（4，0），点 N（2，a）， ， a10，a26， 当 a26 时，点 P，点 A，点 B 共线， a26 不合题意舍去， 点 N 坐标为（2，0） 若 ABBN， 点 A（3，3），B 点（4，0），点 N（2，a）， a3，a4 ， 点 N 坐标为（2，）或（2，）， 综上所述：点 N（2，）或（2，）或（2，0）
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