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    北京二中2020届高三校模数学试卷(含答案)

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    北京二中2020届高三校模数学试卷(含答案)

    1、北京二中北京二中 2020 届高三校模届高三校模 数学数学 一、选择题一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项) 1. 复数 1 i i z + =在复平面内对应的点位于( ). A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2. 已知集合|0 ,Ay yABA=则集合B不可能 是( ). A0,|=xxyy B0,lg|=xxyy C 1 |,R 2 x y yx = D 3. 若实数,0a b ,ab,则( ). Alglgab B 11 ab C 22 ab D 33 ab 4. 从圆 22 2210xxyy+ =外一点

    2、()3,2P向圆作两条切线, 则两切线夹角的余弦值为 ( ). A 3 5 B 4 5 C 1 2 D 4 3 5. 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作,其中方田章计算弧田面积所用的经 验公式为:弧田面积() 2 1 + 2 S =弦 矢 矢弧田由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指 圆弧所对的弦长, “矢”等于“半径长”与“圆心到弦的距离”之差,按照上述经验公式计 算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差现有圆心角为 2 3 ,半径等于4米的弧田按 照上述方法计算出弧田的面积相比实际的弧田面积小大约( ). A1平方米 B2平方米 C3平方米 D4平方米 6. 已知双曲线() 22 22

    3、10,0 xy ab ab =的两条渐近线与抛物线() 2 20ypx p=的准线分 别交于,A B两点,O为原点, 若双曲线的离心率为2, AOB面积为3, 则p =( ) . A1 B 3 2 C2 D3 7. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ). A 1 3 B 2 3 C1 D 4 3 8. 已知平面向量1a =,()0,2ab+=,则ab的最大值为( ). A2 B3 C4 D5 9. 已知四棱柱 1111 ABCDABC D, 1 AA 平面ABCD,则“平面 1 ACB 平面 11 DBB D” 是“四棱柱 1111 ABCDABC D为正方体”的( ). A充分

    4、不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10. 关于曲线:C 42 1xy+=,下列命题错误错误的个数是( ). 曲线C关于()0,0中心对称 直线0,0,xyyx=都是曲线C的对称轴 曲线C恰好经过4个整点(横纵坐标都是整数的点) 曲线C是封闭图形,且围成的面积(),4S A0 B1 C2 D3 二、填空题二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. () 5 12x的展开式中 3 x的系数为 . 12. 数列 n a满足 1 4a =, 1 2 nn aa + =,Nn ,若 2 log nn ba=,则数列 n b的前10项和 等于 . 13

    5、. 使命题“,0, 222 xyx y x y + +”为假命题的一组, x y的值为 . 14. 如图,在ABC中,D是边AC上的点,且3ABAD=,2BD =,4BC =, 则sinC =_;ABC面积为 . 15. 已知函数( )(R) 1 | x f xx x = + 时,则下列结论正确的是 . R,()( )0xfxf x +=等式恒成立; (0,1),|( )|mf xm =使得方程有两个不等实数根; 121212 ,R( )()x xxxf xf x=,使得; (1,),( )( )R.kg xf xkx +=使得函数在 上有三个零点 三三、解答解答题题(共 6 小题,共 85

    6、分) 16. (本小题满分 14 分) 如图,PD垂直于梯形ABCD所在的平面,90ADCBAD = . F为PA中点, 2PD=, 1 1. 2 ABADCD= 四边形PDCE为矩形,线段PC交DE于点 N . ()求证:AC/ 平面DEF; ()求二面角ABCP的大小; ()在线段EF上是否存在一点Q,使得BQ与 平面BCP所成角的大小为 6 ? 若存在,请求出FQ 的长;若不存在,请说明理由. 17. (本小题满分 14 分) 已知: 函数( ) 1 64 f xcosxsinx =+ ,且 1 5 2 4 , ; 向量() 11 32 24 msinx,cosx ,ncosx, = ,

    7、且 1 5 2 4 , ,( )f xm n=; 请在上述二个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答 已知_,且函数( )fx的图象关于直线 5 6 x=对称. ()求函数( )fx在0,上的单调递增区间 ()当0x,时,若( ) 1 1 4 4 f x, ,求x的取值范围 N F D C A B EP 18. (本小题满分 14 分) 某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况,随机抽取了一些客户进 行回访,调查结果如下表: 汽车型号 回访客户(人数) 250 100 200 700 350 满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2 满意率是指:某种型号汽车的回访客户中

    8、,满意人数与总人数的比值. 假设客户是否满意互相独立,且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该 型号汽车的满意率相等. ()从所有的回访客户中随机抽取 1 人,求这个客户满意的概率; ()从型号和型号汽车的所有客户中各随机抽取 1 人,设其中满意的人数为,求 的分布列和期望; ()用“ 1 1=”,“ 2 1=”,“ 3 1=”,“ 4 1=”,“ 5 1=”分别表示, ,型号汽车让客户满意,“ 1 0=”,“ 2 0=”,“ 3 0=”,“ 4 0=”,“ 5 0=” 分别表示,型号汽车让客户不满意.写出方差 12345 ,DDDDD的 大小关系. 19 (本小题满分 15 分)

    9、 已知函数 2 ( )2ln4f xxmxx=+ ()当5m=时,求 ( )f x的单调区间 ()设直线l是曲线( )yf x=的切线,若l的斜率存在最小值2,求m的值,并求取得 最小斜率时切线l的方程 ()已知 ( )f x分别在 1 x,() 212 xxx处取得极值,求证:()() 12 2fxfx+ 20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab +=的离心率为 1 2 ,左、右焦点分别为 12 ,F F,点D 在椭 圆C上, 12 DFF的周长为6 ()求椭圆C的方程; ()已知直线l经过点(2,1)A,与椭圆C交于不同的两点,M N,若AM,

    10、 1 2 OA, AN(O为坐标原点)成等比数列,判断直线l的斜率是否为定值?若是,请求出 该定值;若不是,请说明理由 21. (本小题满分 14 分) 设n为给定的大于2的正整数,集合1,2,Sn=,已知数列 n A: 1 x, 2 x, n x满足条件: 当1in 时, i xS; 当1 ijn 时, ij xx . 如果对于1 ijn ,有 ij xx ,则称(), ij x x为数列 n A的一个逆序对.记数列 n A的 所有逆序对的个数为() n T A. ()若() 4 1T A=,写出所有可能的数列 4 A; ()若()2 n T A=,求数列 n A的个数; ()对于满足条件的

    11、一切数列 n A,求所有() n T A的算术平均值. 北京二中北京二中 2020 届高三校模届高三校模 数学数学参考答案参考答案 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 D B D A A 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 C D C B B 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 1 11 1 1 12 2 1 13 3 1 14 4 1 15 5 80 65 1 1 , 2 2 (不唯一) 6 6 ; 4 52 3 + 三、解答题(共 6 小题,共 85 分) 16. (本小题满分 14 分) 解:()连接,FN在PAC中,,F N

    12、分别为,PA PC中点,所以/ /,FNAC 因为,FNDEF ACDEF平面平面 所以/ /DEFAC平面 4 分 ()如图以D为原点,分别以,DA DC DP所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系 .Dxyz 5 分 则(0,0,2), (1,1,0),(0,2,0),(1,1,2),( 1,1,0).PBCPBBC= 所以 设平面PBC的法向量为( , , ),mx y z=则 ( , , ) (1,1,2)0, ( , , ) ( 1,1,0)0 m PBx y z m BCx y z = = = 即 20, 0 xyz xy += + = 解得, 2 xx zx = = N

    13、P F D C A B E z y x 令1x =,得 1 1, 2 x y z = = = 所以(1,1,2).m = 7 分 因为平(0,0,1),ABCn =面的法向量 所以 2 cos, 2 n m n m nm = , 由图可知二面角ABCP为锐二面角, 所以二面角ABCP的大小为. 4 9 分 () 设存在点 Q 满足条件. 由 12 ( ,0,),(0,2, 2). 22 FE 设(01)FQFE=, 整理得 12(1) (,2 ,) 22 Q + , 12(1) (,21,), 22 BQ + = 11 分 因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为 6 , 所以 2 |51|1

    14、sin|cos,| | 62 2 19107 BQ m BQ m BQm = + , 13 分 则 2 1,01=由知1=,即Q点与 E 点重合. 故在线段EF上存在一点Q,且 19 | |. 2 FQEF= 14 17. 解:方案一:选条件 因为() = ( 6) + 1 4 = ( 6 6) + 1 4, = 3 2 1 2cos 2 +1 4 = 3 4 2 1 42, = 1 2( 3 2 2 1 22) = 1 2sin(2 6); 方案二:选条件 因为 = (3,2), = (1 2, 1 4), 所以() = 3 2 1 4 2 = 1 2sin(2 6) 函数()的图象关于直线

    15、 5 6 x=对称, () 5 2 662 kkZ =+ 32 55 k=+ 5 2 4 1 , ,=1( ) 1 2 26 f xsinx = . (I)求函数( )f x在0,上的单调递增区间 由 2 + 2 2 6 2 + 2, , 得 6 + 3 + , , 令 = 0,得0 1 3,令 = 1,得 5 6 , 所以函数()在0,上的单调递增区间为0, 3, 5 6 , ()当0x,时,若( ) 1 1 4 4 f x, ,求x的取值范围 ( ) 1 1 4 4 f x, 111 2 4264 sinx 1 2 sin(2 6) 1 2 6 + 2 2 6 1 6 + 2, 57 22

    16、2 66 - 6 kxk + 6 + ,或 2 23 kxk + 当 = 0时,0 6,满足 0,, 当 = 0时, 2 23 x ,满足 0,, 综上所述 x 的范围为 2 0 62 3 , . 18. 【答案】【答案】(1) 111 320 (2)见解析;(3) 13245 DDDDD= 【解析】【解析】 【分析】 (1)求出样本中的回访客户的总数和满意的客户人数,即可求出概率; (2)由题求出满意的人数为的分布列,继而求出期望; (3)根据公式直接得出结果,然后作比较. 【详解】 (1)由题意知,样本中的回访客户的总数是250 100200 700 3501600+=, 满意的客户人数2

    17、50 0.5 100 0.3 200 0.6 700 0.3 350 0.2555+=, 故所求概率为 555111 1600320 = (2)0,1,2=. 设事件A为“从 I 型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”, 事件B为“从 V 型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”,且A、B为独立事件. 根据题意,( )P A估计为 0.5,( )P B估计为 0.2 . 则()()( )()( )()0110.5 0.80.4PP ABP AP B=; ()()()()( )( )()( )()( )111PP ABABP ABP ABP AP BP AP B=+=+=+ 0.5 0.8 0.5 0

    18、.20.5=+=; ()()( ) ( )20.5 0.20.1PP ABP A P B= . 的分布列为 0 1 2 P 0.4 0.5 0.1 的期望( )0 0.4 1 0.52 0.10.7E=+ + = (3)由题,I 型号的平均数为 0.5,所以 1 D= 22 0.5 (1 0.5)0.5 (00.5)0.25+= 同理 2 D= 22 0.3 (1 0.3)0.7 (0 0.3)0.21+= 同理 3 D=0.24; 4 D=0.21; 5 D=0.16 所以 13245 DDDDD= 19. (1)由题意得:( )fx的定义域为()0,+, 当5m=时,( ) 2 52ln4

    19、f xxxx=+, ( ) () 2 1 22 22522 25 xx xx fxx xxx + = += , 当 1 0, 2 x 和()2,+时,( )0fx ;当 1 ,2 2 x 时,( )0fx , ( )f x的单调递增区间为 1 0, 2 ,()2,+;单调递减区间为 1 ,2 2 . (2)0x,所以 ( ) 22 2 224fxxmmm x x x =+=(当且仅当 2 2x x =, 即1x =时取等号) , 切线l的斜率存在最小值2,42m =,解得:6m=, ( )1 6141f+= =,即切点为()1, 1,从而切线方程210xy+ = (3) ( ) 2 222 2

    20、 xmx fxxm xx + =+=, ( )fx分别在 1 x,() 212 xxx处取得极值, 1 x,() 212 xxx是方程 2 22 0 xmx x + =,即 2 220xmx+= 的两个不等正根 则 2 160m = ,解得: 2 16m ,且 12 0 2 m xx+=, 12 1=x x ()()()() 22 12121212 82lnf xf xxxm xxx x+=+ + ()()() 2 12121212 282lnxxx xm xxx x=+ 2 2 2 182ln16 224 mmm m = += + , 2 16m , 2 62 4 m +, 即不等式()()

    21、 12 2fxfx+成立 20. 【答案】【答案】 (1) 22 1 43 xy +=(2)直线l的斜率为定值,该定值为 1 2 . 【解析】【解析】 【分析】 (1)根据题意,列出关于, ,a b c的方程组,求得, ,a b c的值,即可得到椭圆的标准方程; (2)设直线l的方程为()21yk x=+,设() 11 ,M x y,() 22 ,N xy,联立方程组,利用 根与系数的关系,求得 () 2 1212 22 82116168 , 3434 kkkk xxx x kk += + ,再由 2 1 | 4 AMANOA=,求得 k 的值,即可得到结论 【详解】 (1)由题意,得 222

    22、 1 2 226 abc c a ac =+ = += ,解得 2 3 1 a b c = = = ,故椭圆C的方程为 22 1 43 xy += (2)由题意,可设直线l的斜率为k,则直线l的方程为()21yk x=+,设 () 11 ,M x y,() 22 ,N xy 联立方程,得 () 22 1 43 21 xy yk x += =+ , 消去y,整理得()() 222 34821161680kxkkxkk+=, 由根与系数的关系,得 () 2 1212 22 82116168 , 3434 kkkk xxx x kk += + , 由()96210k =+,得 1 2 k , 因为

    23、1 , 2 AMOAAN成等比数列,所以 2 1 | 4 AMANOA=, 所以 5 4 AM AN=,即()() ()() 1212 5 2211 4 xxyy+=, 即()() 2 1212 5 241 4 x xxxk+= , 所以 () () 2 2 22 821161685 241 34344 kkkk k kk += + , 整理得 2 2 445 344 k k + = + ,所以 2 1 4 k =,因为 1 2 k ,所以 1 2 k =, 故直线l的斜率为定值,该定值为 1 2 21.(1)因为() 4 1T A=,故 1234 ,x xx x只有一个逆序对,则不同的 4

    24、A分别为: 1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4. (2)因为() 4 2T A=,故数列 n A: 1 x, 2 x, n x有两种情况: 2 对逆序数由 3 个元素提供, 121212 , iiiiiiin xxx xxxxxxx + , 这样的 n A共有 ()() 3 12 6 n n nn C =个. 2 对逆序数由 4 个元素提供,即 121212iiijjjn xxxxxxxxx + . 这样的 n A共有 ()()() 4 123 2 12 n n nnn C =. 综上,满足()2 n T A=的数列 n A的个数为 () () 2 12 12 n nn . (3)

    25、对任意的 n A: 1 x, 2 x, n x,其逆序对的个数为() n T A, 我们引进一个定义:1 ijn ,有i j xx ,则称(), ij x x为数列 n A的一个顺序对, 则 n A中的顺序对个数为 () () 1 2 n n n T A . 考虑 n A: 1 x, 2 x, n x与 n B: n x, 1n x ,1 x, n A中的逆序对的个数为 n B中顺序对的个数, n A中顺序对的个数为 n B中逆序对个数, 把所有的 n A按如上形式两两分类,则可得所有的 n A中,逆序对的总数和顺序对的总数相 等,它们的和为 ()1 ! 2 n n n ,故逆序对的个数为 ()1 ! 4 n n n ,算术平均值为 ()1 4 n n .


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